第23练 排列组合的应用《数学》拓展模块一下册（高教版第三版）《一课一练》（原卷版+解析版）

**基本信息** 中职数学同步练（高教版第三版），聚焦第八章排列组合应用，采用三阶分层设计，从基础概念到综合应用，结合实际情境培养数学思维与应用能力，助力知识巩固与技能进阶。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础理解|单一排列组合公式应用|选择题对标核心概念（如电话与写信计数），夯实运算能力| |综合应用|多知识点综合运算|填空题情境化设计（如数字组成、小球入盒），深化数学语言表达| |拓展提升|结合概率的实际问题解决|解答题分步设问（如工作分配、申请大学概率），培养逻辑推理与创新意识|

中职数学高教版第三版《一课一练》，依托三阶支架资源体系精心编撰。本专辑作为课堂教学同步配套资源，作业设计严格对标课堂知识点，遵循“由浅入深、循序渐进”的认知逻辑，侧重于基础性与实效性，旨在降低学习门槛，帮助学生巩固课堂所学，通过科学、系统的反复训练，帮助学生打牢数学基础。 《数学》拓展模块一下册（高教版第三版） 第八章 排列组合 第 23 练 排列组合的应用 一、选择题 1．现有3位教师和4位学生站成一排照相，任选一位教师站在正中位置，3位教师中最多允许2位可以相邻，那么所有不同排法的种数是（    ） A．864 B．1296 C．1728 D．2040 【答案】C 【分析】根据组合、排列数的计算分析求解即可. 【详解】3位教师和4位学生站成一排照相，任选一位教师站在正中位置， 不同的排法共有种； 任选一位教师站在正中位置且3位教师都相邻的排法共有 种； 所以任选一位教师站在正中位置，3位教师中最多允许2位可以相邻 的排法共有种. 故选：C. 2．现有4本不同的书，送给3个人，每人至少1本，则不同的送法有（    ）. A．72种 B．36种 C．12种 D．100种 【答案】B 【分析】按照题目中的分配方案，必然是1人拿2本，另外2人各拿1本，结合分步计数原理，进而求解. 【详解】先从4本书中选2本捆绑成1组：， 把这3组分给3个人：， 根据分步计数原理，总方法数为两步相乘：， 故选：B 3．8个人两两互通一次电话，一共要通话多少次？若两两相互写一封信，一共要写多少封信？上述两个问题的计算公式分别为（   ）. A． B． C． D． 【答案】D 【分析】通话是两人之间的双向互动，是无序的；而写信是单向的发送行为，是有序的，据此即可选出正确答案. 【详解】甲给乙打电话和乙给甲打电话是同一次通话，是无序的，没有先后之分，是组合问题， 故通话次数应是：， 而两个人写信时，谁是写信者，谁是收信者是有顺序的，是排列问题， 通信次数应为：， 故选：D 4．某职业学校开展“蓝天白云”宣讲活动，现将4名志愿者分别安排到A，B，C三个社区进行宣讲，若每个人都要参加，且每个社区至少要安排1名志愿者，则所有不同的安排方法种数是（    ） A．24 B．36 C．48 D．72 【答案】B 【分析】根据题意先分组再分配即可得解. 【详解】将4名志愿者分成组，因每个社区至少人，故只能分为人，人，人，分组方法有种可能， 再向三个社区分配，有种可能， 则共种安排方法， 故选：. 5．有5名同学站成一排，其中甲不在两端且和乙相邻的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出5名同学站成一排的情况总数，再求出满足条件的情况总数，结合概率公式求解即可. 【详解】5名同学站成一排，方法数为种， 甲不在两端，则甲只能站在中间三个位置，方法数为种， 又与乙相邻，则乙只能站在甲的左侧或右侧，方法数为种， 剩余3名同学进行排列，方法数为种， 则甲不在两端且和乙相邻的概率是. 故选：C. 6．要安排3名学生到2个乡村做志愿者，若每名学生只能选择去一个村，每个村里至少有一名志愿者，则不同的安排方法种数是（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】C 【分析】将3名学生分成两个组，再将2组学生安排到2个村即可得解. 【详解】第一步，将3名学生分成两个组，有种分法， 第二步，将2组学生安排到2个村，有种安排方法， 所以，不同的安排方法共有种. 故选：. 7．甲、乙、丙三人站到共有6级的台阶上，且每级台阶最多站2人，同一级台阶上的人不区分站的位置，则所有不同站法的种数是（   ） A．210 B．180 C．120 D．60 【答案】A 【分析】分情况讨论三人的站法，结合排列数及组合数公式求解. 【详解】三人站3个台阶，不同站法的种数有； 三人站2个台阶，不同站法的种数有， 所以一共有种不同的站法. 故选：A. 8．从班级中成绩为“优秀”的6位同学中选3位分别参加数学、英语、专业技能大赛，其中甲同学不参加数学大赛的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意结合古典概型公式及排列组合的应用即可得解. 【详解】先考虑参加数学大赛的同学，因为甲同学不参加数学大赛， 所以参加数学大赛的同学可以从除甲外的5位同学中选择，有种选择方法； 然后考虑参加英语和专业技能大赛的同学，可以从包括剩余4位和甲在内的5位同学中选择， 由于与顺序有关，所以有种选择方法. 根据分步乘法计数原理，甲同学不参加数学大赛共有种选择方法， 所以甲同学不参加数学大赛的概率. 故选：. 二、填空题 9．从名同学中选择人参加三天志愿服务活动，有一天安排两人，另两天各安排一人，共有__________种安排方法（用数字作答） 【答案】180 【分析】先从人中选人，将人分成三组，再进行全排，即可求解. 【详解】第一步，从人中选人，共有种取法，第二步，将人分成三组，共有种分法， 再进行全排有种排法， 由分步计数原理知，共有种安排方法， 故答案为：. 10．某中学每次升国旗仪式由1名旗手和4名护旗手进行，旗手需要掌握擎旗、展旗等技术，每名护旗手也各有不同的职责．现安排甲、乙、丙、丁、戊5人升国旗，其中甲和乙能担任旗手或护旗手，其他人只能担任护旗手，则不同的安排方法种数为________． 【答案】48 【分析】先由甲乙一人担任旗手，再其余全排即可； 先甲乙选一人担任旗手，再将其余全排， 可得不同的安排方法种数为种， 故答案为：48. 11．从0，2，4中任取2个数字，从1，3，5中任取2个数字，一共可以组成没有重复数字的四位数有______. 【答案】180 【分析】分取出的数字有和没有两种情况讨论，先取数字、再排列. 若取出的数字有，则有个没有重复数字的四位数； 若取出的数字没有，则有个没有重复数字的四位数； 综上可得一共有个没有重复数字的四位数. 故答案为： 12．将4个编号为1，2，3，4的小球放入4个编号为1，2，3，4的盒子中.恰好有一个空盒，有____种放法. 【答案】144 【分析】按分步计数原理，先将小球分为三组，再放入四个盒子中的三个. 根据题意，分2步进行分析： ①将4个小球分为三组，其中一组有2个小球，另外两组各有1个小球， 有种分组方法； ②从4个盒子中任选3个，放入三组小球，有种情况， 故共有种不同的放法； 故答案为：144. 三、解答题 13．甲、乙、丙做四项工作，每项工作只需1人完成，每人至少完成1项工作． (1)共有多少种不同的情况； (2)求甲做工作的概率． 【答案】(1)36 (2) 【分析】（1）由题意可知有1人做两项工作，其余2人各做一项工作，根据排列与组合的知识求解即可； （2）分甲只做工作和甲做工作及中的任意一项工作，求解即可. 1）解：甲、乙、丙做四项工作，每项工作只需1人完成，每人至少完成1项工作， 故有1人做两项工作，其余2人各做一项工作， 共有种情况． （2）解：甲做工作的情况有2种： ①甲只做工作，共有种情况； ②甲做工作及中的任意一项工作，共有种情况， 所以甲做工作的情况有种， 故所求概率为． 14．某中职学校在2025年省技能大赛中取得历史性突破，有4位学生获得金牌，在2026年职教高考中将依据政策直接申请三所本科院校就读．若每位学生只能申请其中一所本科院校，且申请其中任何一所大学是等可能的． (1)求“没有一所学校的申请人数为0”的概率； (2)求“恰有2人申请大学”的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）分析4人申请三所大学的所有情况，再求出所有大学都有人申请的情况，结合古典概型即可解得. （2）分析4人申请三所大学的所有情况，再求恰好有2人申请大学的情况，最后古典概型求解即可. 【详解】（1）设没有一所学校的申请人数为， 即所有的大学都有人申请， ， 所以没有一所学校的申请人数为0的概率为. （2）设恰有2人申请大学，， 所以恰有2人申请大学的概率为． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 中职数学高教版第三版《一课一练》，依托三阶支架资源体系精心编撰。本专辑作为课堂教学同步配套资源，作业设计严格对标课堂知识点，遵循“由浅入深、循序渐进”的认知逻辑，侧重于基础性与实效性，旨在降低学习门槛，帮助学生巩固课堂所学，通过科学、系统的反复训练，帮助学生打牢数学基础。 《数学》拓展模块一下册（高教版第三版） 第八章 排列组合 第 23 练 排列组合的应用 一、选择题 1．现有3位教师和4位学生站成一排照相，任选一位教师站在正中位置，3位教师中最多允许2位可以相邻，那么所有不同排法的种数是（    ） A．864 B．1296 C．1728 D．2040 2．现有4本不同的书，送给3个人，每人至少1本，则不同的送法有（    ）. A．72种 B．36种 C．12种 D．100种 3．8个人两两互通一次电话，一共要通话多少次？若两两相互写一封信，一共要写多少封信？上述两个问题的计算公式分别为（   ）. A． B． C． D． 4．某职业学校开展“蓝天白云”宣讲活动，现将4名志愿者分别安排到A，B，C三个社区进行宣讲，若每个人都要参加，且每个社区至少要安排1名志愿者，则所有不同的安排方法种数是（    ） A．24 B．36 C．48 D．72 5．有5名同学站成一排，其中甲不在两端且和乙相邻的概率是（    ） A． B． C． D． 6．要安排3名学生到2个乡村做志愿者，若每名学生只能选择去一个村，每个村里至少有一名志愿者，则不同的安排方法种数是（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 7．甲、乙、丙三人站到共有6级的台阶上，且每级台阶最多站2人，同一级台阶上的人不区分站的位置，则所有不同站法的种数是（   ） A．210 B．180 C．120 D．60 8．从班级中成绩为“优秀”的6位同学中选3位分别参加数学、英语、专业技能大赛，其中甲同学不参加数学大赛的概率是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 9．从名同学中选择人参加三天志愿服务活动，有一天安排两人，另两天各安排一人，共有__________种安排方法（用数字作答） 10．某中学每次升国旗仪式由1名旗手和4名护旗手进行，旗手需要掌握擎旗、展旗等技术，每名护旗手也各有不同的职责．现安排甲、乙、丙、丁、戊5人升国旗，其中甲和乙能担任旗手或护旗手，其他人只能担任护旗手，则不同的安排方法种数为________． 11．从0，2，4中任取2个数字，从1，3，5中任取2个数字，一共可以组成没有重复数字的四位数有______. 12．将4个编号为1，2，3，4的小球放入4个编号为1，2，3，4的盒子中.恰好有一个空盒，有____种放法. 三、解答题 13．甲、乙、丙做四项工作，每项工作只需1人完成，每人至少完成1项工作． (1)共有多少种不同的情况； (2)求甲做工作的概率． 14．某中职学校在2025年省技能大赛中取得历史性突破，有4位学生获得金牌，在2026年职教高考中将依据政策直接申请三所本科院校就读．若每位学生只能申请其中一所本科院校，且申请其中任何一所大学是等可能的． (1)求“没有一所学校的申请人数为0”的概率； (2)求“恰有2人申请大学”的概率． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $