9.2.3 总体集中趋势的估计 课件-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

该高中数学课件聚焦“用样本估计总体集中趋势”，系统梳理平均数、中位数、众数的概念及在频率分布直方图中的计算方法。通过“新知梳理—自主思考—能力提升—迁移应用”的学习支架，衔接前期频率分布知识，为后续统计推断奠定基础。 其亮点在于以数据分析和数学运算素养为核心，通过实例（如篮球投篮数据、棉花纤维长度估计）强化概念辨析与实际应用。采用“解题感悟+分层练习”模式，帮助学生形成理性思维，教师可借助系统资源提升教学效率。

第九章 统计 9.2 用样本估计总体 9.2.3 总体集中趋势的估计 1 课时学习素养目标：1.通过对有关数据的搜集、整理、分析和判断，能 用样本的众数、中位数和平均数估计总体的众数、中位数、平均数,并 对实际问题进行合理判断.2.了解平均数、中位数和众数的区别与联系.3. 会通过样本频率分布表或频率分布直方图估计总体的平均数、中位数 和众数，培养数学运算、数据分析的核心素养. 高 中 同 步 课 堂 学 案 2 任务学习一 平均数、中位数和众数 任务学习二 用样本的集中趋势估计总体 素养评价·课堂达标 3 任务学习一 平均数、中位数和众数 4 新知梳理 1.平均数、中位数和众数的概念 （1）平均数：一般地，对于个数，， ， ，把____________ ________叫做这个数的平均数，记作 . （2）中位数：把一组数据按从小到大（或从大到小）的顺序排列，处 在______位置的数（或中间两个数的平均数）叫做这组数据的中位数. （3）众数:一组数据中出现次数______的数. 中间 最多 高 中 同 步 课 堂 学 案 5 自主思考 一组数据的众数一定存在且唯一吗？举例说明. [答案] 一组数据的众数不一定存在，也不一定是唯一的.例如：1，2， 3，4，5，6没有众数，1，2，2，3，4，4，5的众数是2和4. 高 中 同 步 课 堂 学 案 6 2.平均数和中位数的大小关系 一般地，对一个单峰的频率分布直方图来说，如果直方图的形状 是对称的（如图1），那么平均数和中位数应该大体上差不多；如果直 方图在右边“拖尾”（如图2），那么平均数______中位数；如果直方图 在左边“拖尾”（如图3），那么平均数______中位数.也就是说，和中位 数相比，平均数总是在“长尾巴”那边. 大于 小于 图1 图2 图3 高 中 同 步 课 堂 学 案 7 3.平均数、中位数在频率分布直方图中的计算方法 因为样本平均数可以表示为数据与它的频率的乘积之和，所以在 频率分布直方图中，样本平均数可以用___________________________ _________________________近似代替. 在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积应该 ______. 每个小矩形底边中点的横坐标 与小矩形的面积的乘积之和 相等 高 中 同 步 课 堂 学 案 8 能力提升 角度1 样本数据中的平均数、中位数和众数 例1（1）某篮球运动员练习投篮，共20组，每组50次，每组命中球数 如下表： 命中球数 46 47 48 49 50 频数 2 4 4 6 4 则这组数据的中位数和众数分别为( ) D A. 48，4 B. ，4 C. 48，49 D. ，49 高 中 同 步 课 堂 学 案 9 （2）（2025黑龙江牡丹江期末）若样本数据,,,, 的平均数为2， 则数据，，，， 的平均数为___. 7 [解析] 因为样本数据,,,,的平均数为2，所以数据 ， ，，，的平均数为 . 高 中 同 步 课 堂 学 案 10 解题感悟 1.求样本数据的中位数和众数时，要把数据按照从小到大（或从大到小） 的顺序排列，中位数仅与数据的排列位置有关，个别数据的变动对中 位数可能没有影响，确定众数的关键是统计数据出现的频数，频数最 大的就是众数. 2.平均数与每一个数据都有关，可以反映更多的总体信息，但受极端值 的影响较大；中位数是样本数据所占频率的等分线，不受极端值的影 响；众数只能体现数据的最大集中点，无法客观反映总体特征. 高 中 同 步 课 堂 学 案 11 3.若平均数大于中位数，则说明数据中存在许多较大的极端值；反之， 则说明数据中存在许多较小的极端值. 4.如果一组数据，， ，的平均数为，那么， ， ，的平均数是；，， ， 的平均数是 ；，， ，的平均数是 #1.4 高 中 同 步 课 堂 学 案 迁移应用1（1）10名工人某天生产同一零件，生产的件数依次是15， 17，14，10，15，17，17，16，14，12，设其平均数为，中位数为 ， 众数为 ，则有( ) B A. B. C. D. [解析] 将这些数从小到大重新排列为10，12，14，14，15，15，16， 17，17，17，故中位数，众数 ， 平均数 ， 故 .故选B. 高 中 同 步 课 堂 学 案 13 （2）某中学有初中生600名，高中生200名，为保障学生的身心健康， 学校举办“校园安全知识”竞赛.现采用比例分配的分层随机抽样的方法， 分别抽取初中生名，高中生名，经统计： 名学生的平均成绩 为74分，其中名初中生的平均成绩为72分， 名高中生的平均成绩为 分，则 ( ) D A. 74 B. 76 C. 78 D. 80 [解析] 由题意，得 可得，解得 .故选D. 高 中 同 步 课 堂 学 案 14 角度2 频率分布直方图中的平均数、中位数和众数 例2 为了解某校高一年级学生数学 学习的阶段性表现，年级组织了一 次阶段测试.已知此次考试共有450名 学生参加，考试成绩的频率分布直 方图如图所示（同一组中的数据以 该组区间的中点值作代表）. 高 中 同 步 课 堂 学 案 15 （1）求 的值； [解析] 由 ，解得 . 高 中 同 步 课 堂 学 案 16 （2）估计这次数学考试成绩的众数、中位数和平均数（中位数保留两 位小数）； [解析] 由频率分布直方图知，众数为65. 因为， ，故中位 数位于内，设为 ， 则有，解得 ，所以中位数为 67.69. 平均数为 . 高 中 同 步 课 堂 学 案 17 （3）估计该校学生的数学成绩的第70百分位数（结果保留两位小数）. [解析] 成绩小于70分所占的比例为 ， 成绩小于80分所占的比例为 ， 所以第70百分位数在 内， 所以第70百分位数为 . 高 中 同 步 课 堂 学 案 18 解题感悟 众数、中位数、平均数与频率分布直方图的关系 众数 众数可以用最高小长方形底边的中点的横坐标近似代替 中位数 在频率分布直方图中，中位数左边和右边的小长方形的面积 的和相等，由此可以估计中位数的值，但是有偏差 平均数 ①平均数可以用每个小长方形的面积乘小长方形底边中点的 横坐标之和近似代替； ②平均数是频率分布直方图的重心，是频率分布直方图的平 衡点 高 中 同 步 课 堂 学 案 19 迁移应用2 （2025黑龙江哈尔滨师大附 中期末）某棉纺厂为了了解一批棉花的 质量，从中随机抽取了100根棉花纤维的 长度（棉花的纤维长度是棉花质量的重 要指标），所得数据都在区间 中， 其频率分布直方图如图所示. （1）估计此批棉花纤维长度的众数； [解析] 由题图可知，区间 对应的矩形最高，所以估计此批棉花 纤维长度的众数为 . 高 中 同 步 课 堂 学 案 20 （2）估计此批棉花纤维长度的下四分位数和中位数（保留整数）； [解析] 因为前两组的频率之和为 ，前三组的 频率之和为 ， 所以此批棉花纤维长度的下四分位数在区间 内，为 ， 因为前三组的频率之和为 ，前四组的频率之和为 ， 所以此批棉花纤维长度的中位数在区间 内，为 . 高 中 同 步 课 堂 学 案 21 （3）估计此批棉花纤维长度的平均数（保留整数）. [解析] 估计此批棉花纤维长度的平均数为 . 高 中 同 步 课 堂 学 案 22 任务学习二 用样本的集中趋势估计总体 23 例3 某校在一次考试中，甲、乙两班学生的数学成绩统计如表所示. 分数 50 60 70 80 90 100 甲班人数 1 6 12 11 15 5 乙班人数 3 5 15 3 13 11 综合平均数、众数与中位数评估这两个班的成绩. 高 中 同 步 课 堂 学 案 24 [解析] 甲班成绩的平均数是 （分）， 乙班成绩的平均数是 （分）， 从平均数看成绩较好的班是乙班. 甲班成绩的众数为 90分，乙班成绩的众数为70分，从众数看成绩较好 的班是甲班. 高 中 同 步 课 堂 学 案 25 由题表可知，甲班的第25个和第26个成绩都是80分，所以中位数是80分. 同理，乙班成绩的中位数也是80分，但是甲班成绩在中位数以上 （含中位数）的学生有31 人，占全班学生的 ，乙班成绩在中位数 以上（含中位数）的学生有27 人，占全班学生的 ，所以从中位数 看成绩较好的班是甲班.综合平均数、众数与中位数可知成绩较好的是甲班. 高 中 同 步 课 堂 学 案 26 迁移应用3 甲、乙两人在相同条件下各射击10次，每次射击的成绩情 况如图所示. 高 中 同 步 课 堂 学 案 27 （1）请填写下表； 平均数 中位数 命中9环及9环以上的次数 甲 7 乙 [解析] 由题图可知，甲射击的成绩为2，4，6，8，7，7，8，9，9，10. 乙射击的成绩为9，5，7，8，7，6，8，6，7，7. 甲命中环数的中位数是 ，命中9环及9环以上的次数是3. 高 中 同 步 课 堂 学 案 28 乙命中环数的平均数是 ，中位数是7，命中9 环及9环以上的次数是1. 故完成表格： 平均数 中位数 命中9环及9环以上的次数 甲 7 7.5 3 乙 7 7 1 高 中 同 步 课 堂 学 案 29 （2） ①由平均数和中位数相结合看，谁的射击成绩较好？ [解析] 甲、乙两人命中环数的平均数相同，甲命中环数的中位数比乙 大，所以甲的射击成绩较好. ②由平均数和命中9 环及9 环以上的次数相结合看，谁的射击成绩较好？ [解析] 甲、乙两人命中环数的平均数相同，甲命中9环及9环以上的次 数比乙多，所以甲的射击成绩较好. [解析] 由（1）知， 高 中 同 步 课 堂 学 案 30 ③从折线图中两人射击命中环数的走势看，谁更有潜力？ [解析] 从题中的折线图看，在后半部分，甲命中环数呈上升趋势，故 甲更有潜力. 高 中 同 步 课 堂 学 案 31 素养评价·课堂达标 32 1.某校举行演讲比赛，9位评委分别给出对某位选手的原始评分，评定 该选手的成绩时，从9个原始评分中去掉一个最低分和一个最高分，得 到7个有效评分，则这7个有效评分与9个原始评分相比，不变的数字特 征是( ) C A. 平均数 B. 众数 C. 中位数 D. 极差 [解析] 无论是7个有效评分，还是9个原始评分，中间位置的评分不变， 所以不变的数字特征为中位数，故选C. 高 中 同 步 课 堂 学 案 33 2.为了解某地区老年人体育运动的 情况，随机抽取了200名老年人进 行调查.根据调查结果绘制了日均体 育运动时间（单位：分钟）的频率 分布直方图，如图所示，则日均体 育运动时间的众数和中位数的估计 值分别是( ) D A. 35，35 B. 40，35 C. 30，30 D. 35，30 高 中 同 步 课 堂 学 案 34 [解析] 由频率分布直方图可得第四组的频率最大，故众数的估计值为35. 前三组的频率之和为 ，故中位数的估 计值为30，故选D. 高 中 同 步 课 堂 学 案 35 3.已知甲、乙两支篮球队各6名队员在某场比赛的得分（单位：分）从 小到大排列如下， 甲队：7，12，12，20， ，31； 乙队：8，9，19， ，25，28. 这两组数据的中位数相等，且平均数也相等，则和 的值分别为 ( ) C A. 2和3 B. 0和2 C. 0和3 D. 2和4 高 中 同 步 课 堂 学 案 36 [解析] 由题意得甲队成绩的平均数为 ，中 位数为 ， 乙队成绩的平均数为 ， 中位数为，因为两队成绩的中位数相等，所以 ， 即 ， 因为两队成绩的平均数相等，所以, ，故选C. 高 中 同 步 课 堂 学 案 37 4.如果将一组数据5，4，6，5，4，13，5依次重复写10次，会得到70个 数组成的一组新数据，关于这组新数据的中位数、众数、平均数，下 列说法正确的是( ) A A. 中位数和众数都是5 B. 众数是10 C. 中位数是4 D. 中位数、平均数都是5 [解析] 将这组数据按从小到大的顺序排列为4，4，5，5，5，6，13， 处于中间位置的数是5，每个数字重复写10次，5依然处于中间位置， 所以新数据的中位数是5，新数据中出现次数最多的数是5，出现了30 次，所以众数为5，故A正确，B，C错误.新数据的平均数为 ，故D错误.故选A. 高 中 同 步 课 堂 学 案 38 $