精品解析：山西省2026年对口升学考试数学试卷

山西省2026年对口升学考试·数学 一、单项选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 已知集合，，若，则实数（ ） A. 2 B. 1 C. D. 或2 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，结合交集的概念和运算，两集合间的包含关系，及构成集合元素的特性，即可求解. 【详解】因为集合，，且， 所以，所以或， 当时，，此时集合，不符合题意，舍去； 当时，解得或， 当时，集合，此时，符合题意； 当时，此时集合，不符合题意，舍去； 综上所述，. 故选：A. 2. 下列函数中与函数是同一个函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据相同函数的定义即可得解. 【详解】函数，定义域为， 定义域为，定义域不同，不是同一函数，故错误； 定义域为，但对应法则不同，不是同一函数，故错误； 定义域为，对应法则相同，是同一函数，故正确； 定义域为，定义域不同，不是同一函数，故错误； 故选：. 3. 函数的值域为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，结合二次函数的图像和性质，即可求解. 【详解】因为函数， 所以函数图像开口向上，对称轴为， 所以当时，函数取得最小值，即，则， 所以函数的值域是. 故选：D. 4. 已知，则等于（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，结合同角三角函数的平方关系，即可求解. 【详解】因为，所以， 即， 解得. 故选：B. 5. 已知平面向量，平面向量.若，则（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据向量垂直的坐标表示列方程求解即可. 【详解】因为平面向量，平面向量， 且，则， 解得. 故选：A. 6. 设为等差数列前项和，已知，，则的值为（ ） A. 10 B. 14 C. 64 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，结合等差数列的性质，及等差数列的前n项和公式，即可求解. 【详解】因为等差数列中，，， 所以， 解得. 故选：A. 7. 下列命题中正确的是（    ） A. 若一条直线垂直于一个平面上的两条直线，则这条直线必垂直于这个平面； B. 若一条直线垂直于一个平面上的无数条直线，则这条直线必垂直于这个平面； C. 若一条直线垂直于一个平面上的任意一条直线，则这条直线必垂直于这个平面； D. 若一条直线垂直于一个平面的一组平行线，则这条直线必垂直于这个平面． 【答案】C 【解析】 【分析】利用线面垂直的定义判定即可. 【详解】在同一平面中可作出无数条平行直线与平面内的另一条直线垂直，显然A、B、D错误； 根据线面垂直的定义可知C正确. 故选：C. 8. 如图，过球的一条半径的中点，作垂直于该半径的平面，所得截面圆的半径为，则球的体积是（       ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求出球体的半径，利用球体的体积公式可得结果. 【详解】由题意可知，与截面圆所在平面垂直， 设球的半径为，则， 所以，则， 因此，球的体积. 故选：A. 9. 已知点到直线的距离为3，则实数等于（ ） A. 3 B. C. 0或3 D. 0或 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，结合点到直线的距离公式，即可求解. 【详解】因为点到直线的距离为3， 所以，两边平方得， 整理得，即， 解得或. 故选：D. 10. 已知圆锥的底面半径为，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的侧面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，结合扇形的弧长公式，及圆锥的侧面积公式，即可求解. 【详解】因为圆锥的底面半径为， 所以底面周长为，即展开图扇形的弧长为， 又侧面展开图为一个半圆，所以扇形的圆心角为， 所以圆锥的母线长， 所以该圆锥的侧面积. 故选：C. 二、填空题（每小题4分，共8小题，共32分） 11. ______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，结合指数幂和对数的运算，即可求解. 【详解】原式. 故答案为：. 12. 已知，则______． 【答案】0 【解析】 【分析】根据分段函数解析式求出函数值即可得解. 【详解】， 则， 故答案为：. 13. 已知，且，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，结合同角三角函数的平方关系，及两角和的正弦公式，即可求解. 【详解】因为，且， 所以， 所以. 故答案为：. 14. 已知椭圆的离心率为，则_____． 【答案】2 【解析】 【分析】根据题意，结合椭圆的标准方程，表示出离心率，继而求解. 【详解】因为椭圆的离心率为， 所以，所以离心率， 即，解得（负值舍）. 故答案为：2. 15. 在的展开式中，的系数是___________. 【答案】 【解析】 【分析】 本题首先可以写出二项式的展开式的通项，然后找出含的项，即可得出结果. 【详解】二项式的展开式的通项， 含的项为， 则的系数是， 故答案为：. 16. 已知平面向量，，且，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，结合向量线性运算的坐标表示，及向量垂直的坐标表示，即可求解. 【详解】因为向量，， 所以， 又，所以， 解得. 故答案为：. 17. 一个袋子里有10个球，其中有7个是白球，3个是黑球，从中随机抽取两个球，两个都是白球的概率为_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，结合组合数的应用及古典概型的概率公式计算即可. 【详解】由题意，两个都是白球的概率为. 故答案为：. 18. 已知长方体的棱长，，则点到棱的距离为_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，结合长方体的结构特征，及线面垂直的性质定理，利用勾股定理，即可求解. 【详解】 由题意，连接， 在长方体中，平面， 又平面，所以， 所以线段的长，即是点到棱的距离， 因为棱长，，所以， 所以， 即点到棱的距离是. 故答案为：. 三、解答题：（本大题共6个大题，共38分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．） 19. 设函数，，求的最大值，最小值． 【答案】最大值为，最小值为 【解析】 【分析】根据指数函数的单调性求值即可. 【详解】， ∴函数在上单调递减， ∴当时，函数有最大值为， 当时，函数有最小值为． 20. 已知， （1）求的值; （2）解不等式. 【答案】（1）5 （2） 【解析】 【分析】（1）由分段函数的解析式，根据自变量所在区间即可求. （2）分及时解不等式即可. 【小问1详解】 函数， 可得， ， 即有. 【小问2详解】 当时， 有，解得， 即， 当时， ，解得， 即， 所以所求不等式的解集为． 21. 在等差数列中，，，求的最小值以及相对应的值. 【答案】当或时，取最小值 【解析】 【分析】由条件求出等差数列的首项和公差，进而得的表达式，利用二次函数的性质进行解答即可． 【详解】因为等差数列中，，， 则，解得， 所以， 又，所以当或时，取最小值． 22. 在中，角的对边分别为，已知． （1）求角C的大小； （2）求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用余弦定理计算即可. （2）利用正弦定理结合（1）的结论求出即可. 【小问1详解】 ， ， 又，所以. 【小问2详解】 由（1）可知，，且， ， ， ， . 23. 如图，点不在平面上，底面是正方形，为中点，求证：平面． 【答案】证明见解析 【解析】 【分析】根据题意，连接，设，连接，结合三角形中位线定理和线面平行的判定定理，即可证明结论成立. 【详解】连接，设，连接， 因为为正方形的对角线，所以O为中点， 在中，、分别为、中点， 所以， 又平面，平面， 所以平面. 24. 已知双曲线与椭圆：有公共焦点，且它的一条渐近线方程为. （1）求椭圆的焦点坐标； （2）求双曲线的标准方程. 【答案】（1）. （2）. 【解析】 【分析】（1）由椭圆方程及其参数关系求出c，即可得到焦点坐标. （2）由渐近线方程与焦点坐标，可设双曲线方程，再由双曲线参数关系求出参数，即可得到答案. 【小问1详解】 由题设，椭圆方程为.所以. 所以，又， 所以椭圆的焦点坐标为. 【小问2详解】 因为双曲线的渐近线方程为,焦点在轴. 可设双曲线为（）， 由（1）知：，可得， 所以双曲线的标准方程为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 山西省2026年对口升学考试·数学 一、单项选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 已知集合，，若，则实数（ ） A. 2 B. 1 C. D. 或2 2. 下列函数中与函数是同一个函数的是（ ） A. B. C. D. 3. 函数的值域为（ ） A. B. C. D. 4. 已知，则等于（ ）． A. B. C. D. 5. 已知平面向量，平面向量.若，则（    ） A. B. C. D. 6. 设为等差数列前项和，已知，，则的值为（ ） A. 10 B. 14 C. 64 D. 3 7. 下列命题中正确的是（    ） A. 若一条直线垂直于一个平面上的两条直线，则这条直线必垂直于这个平面； B. 若一条直线垂直于一个平面上的无数条直线，则这条直线必垂直于这个平面； C. 若一条直线垂直于一个平面上的任意一条直线，则这条直线必垂直于这个平面； D. 若一条直线垂直于一个平面的一组平行线，则这条直线必垂直于这个平面． 8. 如图，过球的一条半径的中点，作垂直于该半径的平面，所得截面圆的半径为，则球的体积是（       ） A. B. C. D. 9. 已知点到直线的距离为3，则实数等于（ ） A. 3 B. C. 0或3 D. 0或 10. 已知圆锥的底面半径为，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的侧面积为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题4分，共8小题，共32分） 11. ______． 12. 已知，则______． 13. 已知，且，则______． 14. 已知椭圆的离心率为，则_____． 15. 在的展开式中，的系数是___________. 16. 已知平面向量，，且，则_____． 17. 一个袋子里有10个球，其中有7个是白球，3个是黑球，从中随机抽取两个球，两个都是白球的概率为_____． 18. 已知长方体的棱长，，则点到棱的距离为_____． 三、解答题：（本大题共6个大题，共38分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．） 19. 设函数，，求的最大值，最小值． 20. 已知， （1）求的值; （2）解不等式. 21. 在等差数列中，，，求的最小值以及相对应的值. 22. 在中，角的对边分别为，已知． （1）求角C的大小； （2）求的值． 23. 如图，点不在平面上，底面是正方形，为中点，求证：平面． 24. 已知双曲线与椭圆：有公共焦点，且它的一条渐近线方程为. （1）求椭圆的焦点坐标； （2）求双曲线的标准方程. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $