10.3频率与概率课件-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

该高中数学课件聚焦“频率与概率”核心内容，从古典概型的局限性切入，通过抛掷两枚硬币试验计算概率，再结合不同次数试验的频率变化，搭建从旧知到新知的学习支架。 其亮点在于以问题链驱动探究，融入历史实验数据与计算机模拟，培养学生用数学眼光观察频率稳定性、用数学思维辨析频率与概率的区别联系。通过典例分析和对比表格小结，助力学生构建知识体系，既提升探究能力，也为教师提供丰富教学资源。

10.3 频率与概率 第十章 概率 复习引入 古典概型公式可以计算样本点等可能有关事件的概率. 但在现实中，很多试验的样本点往往是等可能的或者是否等可能不容易判断.例如，抛掷一枚质地不均匀的骰子，或者投掷一枚图钉，此时无法通过古典概型公式计算有关事件的概率. 我们知道，事件的概率越大，意味着事件发生的可能性越大，在重复试验中，相应的频率一般也越大；事件的概率越小，则事件发生的可能性越小，在重复试验中，相应的频率一般也越小. 在初中，我们利用频率与概率的这种关系，通过大量重复试验，用频率去估计概率. 那么，在重复试验中，频率与概率之间到底是一种怎样的关系呢？ 新课导入 探究 重复做同时抛掷两枚质地均匀的硬币的试验，设事件A=“一个正面朝上，一个反面朝上”，你能计算事件A发生的概率吗？ 把硬币正面朝上记为l，反面朝上记为0, 则这个试验的样本空间Ω= {(1,1),(1,0),(0,1),(0,0)} A = {(1,0),(0,1)} 所以P(A)= 新知探究 问题1 在试验25次、小组试验100次和试验500次数的情况下，事件A= “一个正面朝上，一个反面朝上”发生的频率. （1）各小组的试验结果一样吗？为什么会出现这样的情况？ 利用计算机模拟抛掷两枚硬币的试验，在重复试验次数为20，100，500时各做5组试验，得到事件A发生的频数nA和频率fn(A)如右表所示： 序号 n=20 n=100 n=500 频数 频率 频数 频率 频数 频率 1 12 0.6 56 0.56 261 0.522 2 9 0.45 50 0.50 241 0.482 3 13 0.65 48 0.48 250 0.5 4 7 0.35 55 0.55 258 0.516 5 12 0.6 52 0.52 253 0.506 （2）随着试验次数的增加，事件A发生的频率有什么变化规律？ 新知探究 序号 n=20 n=100 n=500 频数 频率 频数 频率 频数 频率 1 12 0.6 56 0.56 261 0.522 2 9 0.45 50 0.50 241 0.482 3 13 0.65 48 0.48 250 0.5 4 7 0.35 55 0.55 258 0.516 5 12 0.6 52 0.52 253 0.506 我们发现： (1)试验次数n相同，但频率fn(A)可能不同，这说明随机事件发生的频率具有随机性. (2)从整体来看，频率在概率0.5附近波动. 当试验次数较少时，波动幅度大；当试验次数较大时，波动幅度小. 但试验次数多的波动幅度并不全部比次数少的小，只是波动幅度小的可能性大. 用折线图表示频率的波动情况 新知讲解 大量试验表明，在任何确定次数的随机试验中，一个随机事件A发生的频率具有随机性. 一般地，随着试验次数n的增大，频率偏离概率的幅度会缩小，即事件A发生的频率fn(A)会逐渐稳定于事件A发生的概率P(A). 我们称频率的这个性质为频率的稳定性. 因此，我们可以用频率fn(A)来估计概率P(A). 雅各布第一•伯努利(1654-1705)瑞士数学家，被公认为概率理论的先驱，他給出了著名的大数定律. 大数定律阐述了随着试验次数的增加，频率稳定在概率附近. 知识链接 抛掷次数（n) 2048 4040 12000 24000 30000 正面朝上次数(m) 1061 2048 6019 12012 14984 频率(m/n) 0.518 0.506 0.501 0.5005 0.4996 历史上曾有人作过抛掷硬币的大量重复实验，结果如下表所示 抛掷次数n 频率m/n 0.5 1 2048 4040 12000 24000 30000 72088 德 . 摩根 蒲 丰 皮尔逊 皮尔逊 维 尼 概念生成 一般地，在n次重复进行的试验中，事件A发生的频率为，当n很大时，总在某个常数附近摆动，随着n的增加，摆动幅度越来越小，这时就把这个常数叫做事件A的概率，记为P (A). 由定义可得概率P (A)满足：P (A) 事件的概率 新知探究 问题2 事件A发生的频率fn(A)是不是不变的？事件A发生的概率P(A)是不是不变的？它们之间有什么区别和联系？ (1)频率是一个变量，随着试验次数的变化而变化； (2)概率是一个确定的数，客观存在的，与试验次数无关. 频率是概率的近似值(实验值)，会随试验次数的增加逐渐稳定； 联系: 区别： 概率是频率理论上的稳定值，在实际中可用频率估计概率. 典例小结 由统计定义求概率的一般步骤 ①确定随机事的频数nA(为试验的总次数)； ②由计算频率； ③由频率估计概率. 典例分析 例1 一个游戏包含两个随机事件A和B，规定事件A发生则甲获胜，事件B发生则乙获胜. 判断游戏是否公平的标准是事件A和B发生的概率是否相等. 在游戏过程中甲发现：玩了10次时，双方各胜5次；但玩到1000次时，自己才胜300次，而乙却胜了700次. 据此，甲认为游戏不公平，但乙认为游戏是公平的. 你更支持谁的结论?为什么? 解：当游戏玩了10次时，甲、乙获胜的频率都为0.5； 当游戏玩了1000次时，甲获胜的频率为0.3，乙获胜的频率为0.7. 根据频率的稳定性，随着试验次数的增加，频率偏离概率很大的可能性会越来越小. 相对10次游戏，1000次游戏时的频率接近概率的可能性更大，因此我们更愿意相信1000次时的频率离概率更近. 而游戏玩到1000次时，甲、乙获胜的频率分别是0.3和0.7，存在很大差距，所以有理由认为游戏是不公平的. 因此，应该支持甲对游戏公平性的判断. 典例分析 例2 气象台预测“本市明天降雨的概率是90％”，对预测的正确理解是（　　） A. 本市明天将有90％的地区降雨 B. 本市明天将有90％的时间降雨 C. 明天出行不带雨具肯定会淋雨 D. 明天出行不带雨具可能会淋雨 D 《三维设计》P114例1（1） 典例分析 例2 某射手在同一条件下进行射击，结果如表所示： ①填写表中击中靶心的频率； ②这个射手射击一次，击中靶心的概率约是多少？ 《三维设计》P114例1（2） 射击次数n 10 20 50 100 200 500 击中靶心次数m 8 19 44 92 178 455 击中靶心的频率 典例分析 例2 某射手在同一条件下进行射击，结果如表所示： ①填写表中击中靶心的频率； ②这个射手射击一次，击中靶心的概率约是多少？ 《三维设计》P114例1（2） 射击次数n 10 20 50 100 200 500 击中靶心次数m 8 19 44 92 178 455 击中靶心的频率 典例分析 例3 有两个不透明的箱子，每个箱子都装有4个完全相同的小球，球上分别标有数字1，2，3，4. (1)甲从其中一个箱子中摸出一个球，乙从另一个箱子中摸出一个球，谁摸出的球上所标的数字大谁就获胜（若数字相同则为平局），求甲获胜的概率； (2)摸球方法与(1)相同，若规定：两人摸到的球上所标数字相同甲获胜，所标数字不相同则乙获胜，这样规定公平吗？请说明理由. 《三维设计》P114例2 新知探究 问题3 用频率估计概率，需要做大量的重复试验. 有没有其他方法可以替代试验呢? 我们知道，利用计算器或计算机软件可以产生随机数. 实际上，我们也可以根据不同的随机试验构建相应的随机数模拟试验，这样就可以快速地进行大量重复试验了. 由试验产生的随机数： 例如我们要产生0~9之间的整数随机数，像彩票摇奖那样，把10个质地和大小相同的号码球放入摇奖器中，充分搅拌后摇出一个球，这个球上的号码称为随机数. 计算机产生的随机数： 利用计算机产生随机数是按照确定的算法产生的数，具有周期性，因此我们把利用计算机产生的随机数称为伪随机数. 新知探究 问题4 一个袋中装有2个红球和3个白球，这些球除颜色不同外没有其他差别 . 对于从袋中摸出一个球的试验，我们可以让计算器或计算机产生取值于集合{1，2，3，4，5}的随机数，用1，2表示红球，用3，4，5表示白球. 这样不断产生1～5之间的整数随机数，相当于不断地做从袋中摸球的试验. n 10 20 50 100 150 200 250 300 nA 6 7 20 45 66 77 104 116 fn(A) 0.6 0.35 0.4 0.45 0.44 0.385 0.416 0.39 fn n 10 20 50 100 150 200 250 300 利用随机模拟解决问题的方法为蒙特卡洛方法. 从图中可以看出：随着试验次数的增加，摸到红球的频率稳定于概率0.4. 下表是用电子表格软件模拟上述摸球试验的结果，其中n为试验次数，nA为摸到红球的频数，fn(A)为摸到红球的频率. 典例分析 例4 通过模拟试验，产生了20组随机数： 6830 3013 7055 7430 7740 4422 7884 2604 3346 0952 6807 9706 5774 5725 6576 5929 9768 6071 9138 6754 如果恰有三个数在1，2，3，4，5，6中，表示恰有三次击中目标，求四次射击中恰有三次击中目标的概率. 《三维设计》P116训练3（1） 典例分析 例5 在一个不透明的盒子中装有4个大小、形状、手感完全相同的小球，分别标有数字1，2，3，4.现有放回地每次从中任意取出一个小球，若标有偶数的球都取到过，则停止摸球.小明用随机模拟的方法估计恰好在第3次停止摸球的概率，利用计算机软件产生1～4之间（包括1和4）取整数值的随机数，每1组中有3个数字，分别表示每次摸球的结果，经随机模拟产生了以下18组随机数： 131 432 123 233 234 122 332 141 312 241 122 214 431 241 141 433 223 442 由此估计恰好在第3次停止摸球的概率. 《三维设计》P116训练3（2） 课堂小结 (1)频率的性质： (2)频率与概率的联系与区别： 随机性和稳定性．   频率 概率 区别 本身是随机的，是一个变量，在试验前不能确定． 是一个确定的数，是客观 存在的，与每次的试验无关． 联系 随着试验次数的增加，频率逐渐稳定在概率附近，所以当试验次数比较大时，我们常常用频率估计概率． Sheet2 Sheet2 0.6 0.35 0.4 0.45 0.44 0.385 0.416 0.39 Sheet1 系列 1 系列 2 系列 3 类别 1 4.3 2.4 2 类别 2 2.5 4.4 2 类别 3 3.5 1.8 3 类别 4 4.5 2.8 5 0.6 0.35 0.4 0.45 0.44 0.385 0.416 0.39 $