精品解析：2026年四川省成都市第七中学初中学校中考热身考试数学试卷A卷

热身考试 A卷（100分） 一、选择题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 1. 的相反数（ ） A. B. C. D. 2. 科技改变生活，智慧点亮世界．下列图1是一个多功能遥控学习护眼灯，图2是台灯的灯罩部分，其俯视图是（ ） A. B. C. D. 3. 下列计算结果正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 想象一下，在接近绝对零度（）的环境下，能清晰地“看见”材料内部微小的磁场变化，甚至能分辨相距仅米（一根头发丝直径的千分之一）的超导细线．这并不是科幻，是2025年中国科学家实现的最新突破．数据用科学记数法表示应为（ ） A. B. C. D. 5. 在平面直角坐标系中有一点，过点B作x轴的垂线，垂足为C，连接，设射线与x轴正半轴的夹角为，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在四边形中，对角线、相交于点O，则下列说法正确的是（ ） A. 若且，则四边形是矩形 B. 若且，则四边形是菱形 C. 若且，则四边形是平行四边形 D. 若且，则四边形是正方形 7. 《九章算术》中有这样一个题：“今有三人共车，二车空；二人共车，九人步．问：人与车各几何？”其大意是：若每辆车坐人，则有两辆车无人坐；若每辆车坐人，则有人需要步行，问：人与车各多少？设有辆车，个人，根据题意，可列二元一次方程组为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，二次函数（）的图象与轴交于点，对称轴为直线，下列结论中错误的是（ ） A. B. 当时，随的增大而增大 C. 二次函数图形与轴的另一个交点的横坐标为 D. 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 9. 分解因式：__________． 10. 如图，，射线交于点，交于点，射线交于点，若，，则______． 11. 如图，已知，点，，，依次在同一条直线上．若，，则的长为______． 12. 如图，用正三角形地砖与正方形地砖在点处进行无空隙、不重叠地铺设．若一块边长相同的正多边形地砖恰好能无空隙、不重叠地拼在处，则这块正多边形地砖的边数为___________． 13. 如图，在中，，分别以点A和点C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交的两侧于点，连接，交于点D，连接，则的度数为_____． 三、解答题（本大题共5小题，共48分） 14. 计算与解不等式组 （1）计算：； （2）解不等式组：． 15. 某校为了了解学生每天参与体育锻炼的情况，从全校学生中随机抽取部分学生对每天参与体育锻炼的时长进行问卷调查，根据调查结果绘制成如下不完整的统计图表． 组别 每天参与体育锻炼时长（小时） 人数（人） 请你根据统计图表提供的信息，解答下列问题： （1）本次被调查的学生有_____人，表中______； （2）本次调查数据的中位数出现在_____组，扇形统计图中，组所在扇形的圆心角是_____度； （3）该校九年级（）班恰有名男生，名女生每天锻炼的时长超过小时，学校打算从这名同学中抽取名同学在升旗仪式时分享每天体育锻炼时间规划方案，请用列表或画树状图的方法求出恰好抽到一名男生和一名女生参加分享的概率． 16. 《天工开物》是明代宋应星所著的科技著作，总结了中国古代农业、手工业的生产技术与经验．书中介绍在较浅的水池和小水沟里没办法安置大型水车，就只能用仅几尺长的拔车．拔车又称手摇龙骨水车或者手摇翻车，发明于明代，是在手摇翻车基础上改进的小型手摇水车，如图1，其模型如图2所示，已知人身高，支撑杆高，人抬车的时候夹角一般为，求拔车支撑杆与河岸之间的距离即线段的长度．（结果精确到0.01，参考数据：，，） 17. 如图，点在以为直径的上，且，点为上一点，过点作的切线交的延长线于点，交的延长线于点． （1）求证：； （2）连接交于点．若，，求半径及线段的长． 18. 如图，一次函数的图象与坐标轴相交于点和点，与反比例函数相交于点． （1）求出一次函数与反比例函数的表达式； （2）若点是反比例函数图象上的一点，连接并延长，交轴正半轴于点，若时，求的面积； （3）如图2，在（2）的条件下，为反比例函数图象上一动点（不与点、重合），连接，分别于轴、轴交于点、、、，试探究是否是定值？如果是定值，请求出定值；如果不是，请说明理由． B卷（50分） 一、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 19. 比较大小： __________填“”“”或“” 20. 在物理实验课上，教师指导学生进行一次光的折射实验，如图所示．光线在水面点处，经折射后到盆底点处，法线与盆底交于点．光线的入射角为，折射角为．若规定“”为折射率，则光在水中的折射率约为．当时，测得，则的长为______． 21. 在一次射箭比赛中，使用的靶盘是一个边长为的正六边形．靶盘中心有一个圆形区域，该圆恰好是正六边形的内切圆．若运动员射出的箭都能落在靶盘内，且落在靶盘内各点的机会均等，则箭落在圆形区域内的概率为_______． 22. 如图，在菱形中，对角线、交于点，为中点，为上一点，连结、，，若，，求菱形的边长为______． 23. 已知，，，是的三条边长，记，其中为整数． （1）若三角形为等边三角形，则______； （2）下列结论正确的是______（写出所有正确的结论） ①若，，则为直角三角形 ②若，，，则 ③若，，，，为三个连续整数，且，则满足条件的的个数为7 二、解答题（本大题共3小题，共30分） 24. 如图，某校劳动实践基地用总长为的栅栏，围成一块一边靠墙的矩形实验田，墙长为，栅栏在安装过程中不重叠、无损耗，设矩形实验田与墙垂直的一边长为（单位：），与墙平行的一边长为（单位：），面积为（单位：）． （1）直接写出与，与之间的函数解析式（要求写出的取值范围）； （2）当的值是多少时，矩形实验田的面积最大？最大面积是多少？ 25. 在中，，将绕点旋转得到，点的对应点落在边上，连接． （1）如图1，求证：； （2）如图2，当时，求的长； （3）如图3，过点作的平行线交的延长线于点，过点作的平行线交于点G，与交于点． ①求证：； ②当时，直接写出的值． 26. 已知抛物线（是常数）的顶点为，抛物线． （1）求点坐标（用含代数式表示），并求证：点在抛物线上； （2）当时，的图象与轴交于、两点，点在点的左侧． ①若抛物线与的图象除顶点以外的另一个交点为，过点作直线轴，过点作，垂足为点，连接，．当时，求的值； ②在①的条件下，过点作轴的垂线，分别交和于点，；过点作轴的垂线，分别交和于点，；当时，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 热身考试 A卷（100分） 一、选择题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 1. 的相反数（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了相反数的定义，根据只有符号不同的两个数互为相反数进行解答即可得． 【详解】解：的相反数是， 故选：A． 2. 科技改变生活，智慧点亮世界．下列图1是一个多功能遥控学习护眼灯，图2是台灯的灯罩部分，其俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了三视图，熟练运用空间想象能力是解题的关键． 根据此灯罩的俯视图特点即可求解． 【详解】解：俯视图是个同心圆，看得见的轮廓线都画成实线，看不见的画成虚线，根据题意两个圆的轮廓都能看见，所以是两个实线的同心圆．   故选：B ． 3. 下列计算结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据合并同类项，同底数幂除法，积的乘方，完全平方公式逐一计算，即可判断正确选项． 【详解】解：对选项A， ，  A错误． 对选项B，，  B错误． 对选项C，，  C正确． 对选项D， ，  D错误． 4. 想象一下，在接近绝对零度（）的环境下，能清晰地“看见”材料内部微小的磁场变化，甚至能分辨相距仅米（一根头发丝直径的千分之一）的超导细线．这并不是科幻，是2025年中国科学家实现的最新突破．数据用科学记数法表示应为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解： 5. 在平面直角坐标系中有一点，过点B作x轴的垂线，垂足为C，连接，设射线与x轴正半轴的夹角为，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据点得到直角三角形两条直角边的长度，利用勾股定理求出斜边的长，再根据锐角三角函数的定义计算各三角函数值，判断选项即可． 【详解】解：∵ 点，轴，垂足为， ∴ ，， 由勾股定理得 ，故选项A错误； 根据锐角三角函数定义： ，故选项B错误； ，故选项C错误； ，故选项D正确． 6. 如图，在四边形中，对角线、相交于点O，则下列说法正确的是（ ） A. 若且，则四边形是矩形 B. 若且，则四边形是菱形 C. 若且，则四边形是平行四边形 D. 若且，则四边形是正方形 【答案】C 【解析】 【分析】根据平行四边形的判定、矩形的判定、菱形的判定、正方形的判定逐项进行判断即可． 【详解】解：A、且，不能得到四边形是矩形，故A错误； B、且，仅能说明邻边相等，对边关系不确定， 则四边形不一定是菱形，故B错误； C、且，则对角线互相平分，四边形是平行四边形，故C正确； D、且，未强调对角线互相平分， 则不能判定四边形是正方形，故D错误． 7. 《九章算术》中有这样一个题：“今有三人共车，二车空；二人共车，九人步．问：人与车各几何？”其大意是：若每辆车坐人，则有两辆车无人坐；若每辆车坐人，则有人需要步行，问：人与车各多少？设有辆车，个人，根据题意，可列二元一次方程组为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：由题意可得． 8. 如图，二次函数（）的图象与轴交于点，对称轴为直线，下列结论中错误的是（ ） A. B. 当时，随的增大而增大 C. 二次函数图形与轴的另一个交点的横坐标为 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据开口向上，可得，根据对称轴计算公式可得，根据抛物线与y轴的交点位置可得，据此可判断A，B；根据对称性可得抛物线与x轴的另一个交点的坐标为，则当时，，据此可判断C，D． 【详解】解：函数图象开口方向向上，与轴交于负半轴， ，， 对称轴为直线， ∴，当时，y随x的增大而增大；故B正确， ∴， ∴，故A正确， 二次函数的图象与x轴交于点，对称轴为直线， ∴抛物线与x轴的另一个交点的坐标为， 即二次函数图形与x轴的另一个交点的横坐标为，故C正确， ∴由函数图象可知，当时，， ∴，故D错误． 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 9. 分解因式：__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查因式分解，先提公因式，再利用完全平方公式法进行因式分解即可． 【详解】解：原式； 故答案为：． 10. 如图，，射线交于点，交于点，射线交于点，若，，则______． 【答案】##25度 【解析】 【分析】根据平行线的性质，三角形外角性质求解即可． 【详解】解：，， ， ，且， ∴． 11. 如图，已知，点，，，依次在同一条直线上．若，，则的长为______． 【答案】 1.5 【解析】 【分析】先根据全等三角形的对应边相等得，再根据求出，最后根据得出答案． 【详解】解：∵， ∴． ∵，， ∴， ∴， ∴． 12. 如图，用正三角形地砖与正方形地砖在点处进行无空隙、不重叠地铺设．若一块边长相同的正多边形地砖恰好能无空隙、不重叠地拼在处，则这块正多边形地砖的边数为___________． 【答案】6 【解析】 【分析】正多边形的组合进行平面镶嵌，位于同一顶点处的几个角之和为，从而可得的度数，计算正多边形的外角，由此可得边数． 【详解】解：正三角形和正方形的内角分别为与， ， 这块正多边形地砖的边数为． 13. 如图，在中，，分别以点A和点C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交的两侧于点，连接，交于点D，连接，则的度数为_____． 【答案】##36度 【解析】 【分析】本题考查线段的垂直平分线的性质，三角形内角和定理等知识，解题的关键是熟练掌握五种基本作图，属于中考常考题型．分别求出，的大小，可得结论． 【详解】解：∵，， ∴． 由作图可知垂直平分线段， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 三、解答题（本大题共5小题，共48分） 14. 计算与解不等式组 （1）计算：； （2）解不等式组：． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解：解不等式得， 解不等式得， ∴不等式组的解集为． 15. 某校为了了解学生每天参与体育锻炼的情况，从全校学生中随机抽取部分学生对每天参与体育锻炼的时长进行问卷调查，根据调查结果绘制成如下不完整的统计图表． 组别 每天参与体育锻炼时长（小时） 人数（人） 请你根据统计图表提供的信息，解答下列问题： （1）本次被调查的学生有_____人，表中______； （2）本次调查数据的中位数出现在_____组，扇形统计图中，组所在扇形的圆心角是_____度； （3）该校九年级（）班恰有名男生，名女生每天锻炼的时长超过小时，学校打算从这名同学中抽取名同学在升旗仪式时分享每天体育锻炼时间规划方案，请用列表或画树状图的方法求出恰好抽到一名男生和一名女生参加分享的概率． 【答案】（1）； （2）； （3） 【解析】 【分析】（1）根据本次被调查的学生总数组人数组在调查人数中所占的百分比，得到本次被调查的学生总数，再用总人数减其他组的人数求出组的人数即可. （2）根据中位数的概念，即可得到本次调查数据的中位数所处的位置，根据组在调查人数中所占的百分比乘即可得到组所在扇形的圆心角. （3）画出树状图展示所有种等可能的结果，找到恰好抽到一名男生和一名女生参加分享的次数，根据等可能事件的概率公式计算即可． 【小问1详解】 解：本次被调查的学生有（人）， ∴（人）， 故答案为：；； 【小问2详解】 解：∵本次调查数据的中位数是第个数据和第个数据的平均数，且（人）， ∴本次调查数据的中位数出现在组， 扇形统计图中，组所在扇形的圆心角是， 故答案为：；； 【小问3详解】 解：根据题意画树状图如下： ∴共有种等可能的结果，其中恰好抽到一名男生和一名女生参加分享的结果有种， ∴恰好抽到一名男生和一名女生参加分享的概率为． 16. 《天工开物》是明代宋应星所著的科技著作，总结了中国古代农业、手工业的生产技术与经验．书中介绍在较浅的水池和小水沟里没办法安置大型水车，就只能用仅几尺长的拔车．拔车又称手摇龙骨水车或者手摇翻车，发明于明代，是在手摇翻车基础上改进的小型手摇水车，如图1，其模型如图2所示，已知人身高，支撑杆高，人抬车的时候夹角一般为，求拔车支撑杆与河岸之间的距离即线段的长度．（结果精确到0.01，参考数据：，，） 【答案】 【解析】 【分析】设，根据题意结合可求解的长度，由此可表示的长度，再由相似三角形的性质，即边长成比例求解即可． 【详解】解：根据题意可知，，， ∵，，， 在中，， 设，则， ∵，， 即， ∴， ∴， ∴，即， 则有，解得， 答：拔车支撑杆与河岸之间的距离即线段的长度为． 17. 如图，点在以为直径的上，且，点为上一点，过点作的切线交的延长线于点，交的延长线于点． （1）求证：； （2）连接交于点．若，，求半径及线段的长． 【答案】（1）证明：如图，连接 ， ， C是的中点， ， 是圆的切线， ， ， ， ， ，即； （2）3； 【解析】 【分析】本题主要考查了圆的切线性质，相似的判定与性质，用勾股定理解直角三角形，三角函数求直角三角形的边； (1)连接，证明，再利用即可证明结论；（2）过D作于N，与交点记为M，通过已知条件求出，再通过求出，从而由勾股定理求出，最后利用，得到，设出的长，根据方程求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 如图，过D作于N，与交点记为M， 设半径， ， ， ， ， 故半径，，， ， ， 则由勾股定理得， ∵， ∴四边形为矩形， ∴， ， 设，则， ， ， ， ， ， 解得，即的长为． 18. 如图，一次函数的图象与坐标轴相交于点和点，与反比例函数相交于点． （1）求出一次函数与反比例函数的表达式； （2）若点是反比例函数图象上的一点，连接并延长，交轴正半轴于点，若时，求的面积； （3）如图2，在（2）的条件下，为反比例函数图象上一动点（不与点、重合），连接，分别于轴、轴交于点、、、，试探究是否是定值？如果是定值，请求出定值；如果不是，请说明理由． 【答案】（1）一次函数为，反比例函数为； （2）； （3）是定值，其值为． 【解析】 【分析】（1）由题意直接运用用待定系数法即可求解； （2）证明，则，而，点坐标为，利用，即可求解； （3）设点的坐标为，分别求得直线和的解析式，再分别求得点、、、的坐标，据此求解即可． 【小问1详解】 解：一次函数的图象与坐标轴相交于点， ，解得， 一次函数为， 一次函数的图象经过点． ， 点坐标为， 反比例函数经过点， ， 反比例函数为：； 【小问2详解】 解：作轴于，轴于， ∴， ∴， ∴， ∵，点坐标为， ∴，， ∴， ∴， ∴点的纵坐标为， 把代入求得， ∴点的坐标为， 设直线的解析式为， 把，代入得， 解得， ∴直线的解析式为， 令，则， ∴点的坐标为， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：设点的坐标为， 设直线的解析式为， 把，代入得， 解得， ∴直线的解析式为， 令，则， ∴点的坐标为， 令，则，解得， ∴点的坐标为， 设直线的解析式为， 把，代入得， 解得， ∴直线的解析式为， 令，则， ∴点的坐标为， 令，则，解得， ∴点的坐标为， ∴， ， ∴， ∴是定值，其值为． 【点睛】本题是反比例函数的综合题，考查了待定系数法求函数解析式，以及反比例函数与一次函数图象的交点，利用数形结合的思想和方程的思想是解答本题的关键． B卷（50分） 一、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 19. 比较大小： __________填“”“”或“” 【答案】 【解析】 【分析】本题考查实数的大小比较的应用，熟练掌握并能根据实数的大小比较法则比较两个实数的大小是解答此题的关键．将两个分数分别化简为 和，然后比较大小． 【详解】解：，，且， ， ， 故答案为：． 20. 在物理实验课上，教师指导学生进行一次光的折射实验，如图所示．光线在水面点处，经折射后到盆底点处，法线与盆底交于点．光线的入射角为，折射角为．若规定“”为折射率，则光在水中的折射率约为．当时，测得，则的长为______． 【答案】80 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用．先根据折射率、特殊角的函数值求出的值，再利用直角三角形的边角间关系得结论． 【详解】解：∵， ∴， 当时， ， 在中， ∵，， ∴． 故答案为：80． 21. 在一次射箭比赛中，使用的靶盘是一个边长为的正六边形．靶盘中心有一个圆形区域，该圆恰好是正六边形的内切圆．若运动员射出的箭都能落在靶盘内，且落在靶盘内各点的机会均等，则箭落在圆形区域内的概率为_______． 【答案】 ## 【解析】 【分析】连接、，过点作，根据正六边形的性质可知是等边三角形，根据等边三角形的性质可以求出，根据三角形的面积公式可以求出正六边形的面积为，根据圆的面积公式可以求出的面积为，根据概率公式即可求出箭落在圆形区域内的概率． 【详解】解：如下图所示，连接、，过点作， 六边形是正六边形， ，， 是等边三角形， ， ， ， ， 正六边形的面积为， ， ， 箭落在圆形区域内的概率为． 22. 如图，在菱形中，对角线、交于点，为中点，为上一点，连结、，，若，，求菱形的边长为______． 【答案】 【解析】 【分析】延长交的延长线于点，设菱形边长为，利用菱形性质及平行线性质证，用含的式子表示，利用直角三角形斜边上的中线性质表示，再证，利用对应边成比例列方程求解. 【详解】解：如图，延长交的延长线于点，设菱形的边长为，则， ， ， 四边形是菱形， ，，， ， ， ， 在中，为的中点， ， ， ，， ， ，即， ， 即， 整理得：， 解得：，（不合题意，舍去） 菱形的边长为.  23. 已知，，，是的三条边长，记，其中为整数． （1）若三角形为等边三角形，则______； （2）下列结论正确的是______（写出所有正确的结论） ①若，，则为直角三角形 ②若，，，则 ③若，，，，为三个连续整数，且，则满足条件的的个数为7 【答案】 ①. 2 ②. ①②##②① 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理，解一元一次不等式组，三角形三边的关系，等边三角形的性质等等，熟知相关知识是解题的关键． （1）根据等边三角形的性质可得，据此求解即可； （2）当，时，可证明，由勾股定理的逆定理可判断①；当，，时，可得；当时，可得，当时，可得，则可求出，据此求出t的取值范围即可判断②；当时，则，则可得到；根据题意不妨设，则剩下两个数分别为（n为正整数），则可得，解不等式组求出整数n即可判断③． 【详解】解：（1）∵，，是的三条边长，且是等边三角形， ∴， ∴ ， 故答案为；2； （2）①当，时，∵， ∴， ∴， ∴， ∴为直角三角形，故①正确； ②当，，时， ∵， ∴； 当时， ∵， ∴， ∴； 当时， ∵， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴t随b的增大而增大， 当时，， 当时，， ∴，故②正确； ③当时，则， ∵， ∴， ∴； ∵a、b、c是三个相邻的正整数，， ∴不妨设，则剩下两个数分别为（n为正整数）， ∵， ∴， 解得， ∴符合题意的n的值有2、3、4、5、6、7，共6个， ∴符合题意的a、b、c的取值一共有6组， ∴满足条件的的个数为6，故③错误； 故答案为：①②． 二、解答题（本大题共3小题，共30分） 24. 如图，某校劳动实践基地用总长为的栅栏，围成一块一边靠墙的矩形实验田，墙长为，栅栏在安装过程中不重叠、无损耗，设矩形实验田与墙垂直的一边长为（单位：），与墙平行的一边长为（单位：），面积为（单位：）． （1）直接写出与，与之间的函数解析式（要求写出的取值范围）； （2）当的值是多少时，矩形实验田的面积最大？最大面积是多少？ 【答案】（1）； （2）当的值是时，矩形实验田的面积最大，最大面积是 【解析】 【分析】（1）根据栅栏总长为可得到与的函数解析式，再由矩形的面积公式得到与的函数解析式； （2）将与的函数解析式转化为顶点式，结合的取值范围求解最大值即可． 【小问1详解】 解：设矩形实验田与墙垂直的一边长为，与墙平行的一边长为，面积为， ∵栅栏总长为， ∴，即， 其中， 由，可得， ∴与的函数解析式为； 由矩形的面积可知，； 【小问2详解】 解：∵， ∴ 当时，矩形实验田的面积最大，为800，且满足的取值范围， 答：当的值是时，矩形实验田的面积最大，最大面积是． 25. 在中，，将绕点旋转得到，点的对应点落在边上，连接． （1）如图1，求证：； （2）如图2，当时，求的长； （3）如图3，过点作的平行线交的延长线于点，过点作的平行线交于点G，与交于点． ①求证：； ②当时，直接写出的值． 【答案】（1） 证明：∵将绕点旋转得到，点的对应点落在边上， ∴， ∴ ， ∴． （2） （3） ①证明：设旋转角为， 则， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； ② 【解析】 【分析】（1）根据旋转可得，则，即可证明． （2）根据，，可得，即可得出，过作，则，即，在中勾股定理求出，则，在中勾股定理求出，根据，得出，即可求出． （3）①设旋转角为，则，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可得出，，根据，得出，，即可得，根据，得出，即可得，证明，得出，结合，得出； ②根据，设，证明四边形是平行四边形，得出，由①得，在中，勾股定理得出，则，则，根据，得出，根据，得出，证明，，则，求出，由①可得，得出，证出点四点共圆，根据圆周角定理得出，证明，得出，设，则，根据旋转可得，则，联立求出，再根据即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∴， 过作， ∴， ∴， 在中， 即， 解得：，（舍去）， ∴， 在中， ∴， ∵， ∴， 即， ∴． 【小问3详解】 ①略 ②解：∵， ∴设， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， 由①得， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 即， 即， ∴， ∴， ∴， 即， ∴， 由①可得， ∴， ∴点四点共圆， ∴， ∵， ∴， ∴， 设， 则， 根据旋转可得， ∴， 联立可得， ∴． 【点睛】该题考查了相似三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，勾股定理，旋转的性质，圆周角定理，圆内接四边形，解直角三角形，平行四边形的性质和判定等知识点，解题的关键是掌握以上知识点，证明三角形相似． 26. 已知抛物线（是常数）的顶点为，抛物线． （1）求点坐标（用含代数式表示），并求证：点在抛物线上； （2）当时，的图象与轴交于、两点，点在点的左侧． ①若抛物线与的图象除顶点以外的另一个交点为，过点作直线轴，过点作，垂足为点，连接，．当时，求的值； ②在①的条件下，过点作轴的垂线，分别交和于点，；过点作轴的垂线，分别交和于点，；当时，求的值． 【答案】（1）证明：对于抛物线，顶点坐标为， 又中， 当时，， 点在抛物线上； （2）①；②的值为或 【解析】 【分析】（1）求出抛物线顶点坐标为，根据当时，，即可得证结论； （2）①当时，联立两个抛物线的表达式解得或，根据，得到，通过证明，得到，将其代入，求出，结合即可得到答案； ②由①得到，将分别代入两个抛物线的表达式，得到由表示的点的代数式，分别根据当时，当且时，当时，当时，分情况讨论，列方程求出的值即可． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 解：①如图，当时，的对称轴为直线，即直线， 联立和，解得或， 由（1）知：， ， 于点， ， ，， 又， ， ， ， ， ， 将代入，得：，解得：， ， ； ②由①得， ，对称轴为直线， 对于， 当时，，即， 当时，，即， 对于， 当时，，即， 当时，，即； 情况一，当时，即时， ， ， 解得，（不合题意，舍去），， 情况二，当且时，即时， ， ， 解得，（不合题意，舍去），， 情况三，当时， ， ， 解得，（不合题意，舍去），（不合题意，舍去）； 情况四，当时， ， ， 解得，（不合题意，舍去），（不合题意，舍去）， 综上所述，的值为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $