第25章 一元二次方程 综合评价-【鸿鹄志·名师测控】2026-2027学年九年级全一册数学（人教版·新教材 贵州专版）

基础过关 1.D2.B3.B4.8√35.证明：连接OA,OD.:AB,BC,CD为⊙O的内接正十边形的 边，∠A0B-∠B0C-∠C0D-0-86.∴∠B0D-∠BC+∠QD-g.∠BAD 号∠B0D=36:0A=0B=0C.:∠0AB=∠0BA=∠0BC=∠0CB=子×(180 36)=72°.∠ABC=∠OBA+∠OBC=144°..∠BAD+∠ABC=180°..AD∥BC. 6.解：如图所示. 能力提升 7.A8.B9.12√310.解：(1)45°30°(2)如图①，过点B作BD⊥AC于D.易得 BD-号S宁AC,BD-华SA=8Sa=2E.如图@，过点F作FH EG于H.:∠FEH=30FH=EF=分S=2EG·FH=子：SE=as= 12S△FG=3.由题意，A8一△12=(S网一S正八边影)一(Sm一S正十=边形)=S正十=边形一S正八边形= 3-2√2. 图① 图② 思维拓展 11.A 数学活动 纸条平结与利用等分圆周设计图案 1.解：(1)所需纸条的宽度是2cm.(2)所需纸条的宽度是√3cm.(3)能.正九边形各内角的 度数为180X(9-2=140.2.解：458如图所示. 【发散思维】答案略 9 第三十章章末复习 思维导图 >=<垂直垂直相等平分 考点整合 1.A2.C3.B4.(9,0)5.2√36.(1)证明：：线段AB为⊙0的弦，O0A=OB. ∴.∠OAB=∠OBA.:∠OBA十∠BAD=90°，∴.∠OAB+∠BAD=∠OAD=90°..OA⊥ CD.OA为⊙O的半径，∴.直线CD为⊙O的切线.(2)解：∠AEB=∠BAD,理由如下： :∠OAB=∠OBA,∠OAB十∠OBA+∠AOB=180°，∴.∠AOB=180°-2∠OAB.E为 ⊙0的DB上-点，∠AEB=号∠A0B=90-∠0AB又：∠BAD=∠0AD-∠OAB- 90°-∠OAB,∴∠AEB=∠BAD.7.B8.(1)解：：⊙O是△ABC的内切圆，.AB⊥ OD,BC⊥OE,AC⊥OF,∴.∠ODB=∠OEB=∠OEC=∠OFC=90°.∠DOE=120°， ∠EOF=150°，∴.∠B=360°-∠ODB-∠OEB-∠DOE=60°，∠C=360°-∠OEC ∠OFC-∠EOF=30..∠A=180°-∠B-∠C=90.(2)证明：由切线长定理，得AD= AF,BD=BE,CF=CE,.AB+AC-BC=AD+AF+BD+CF-BE-CE=2AF. :∠ODA=∠OFA=∠A=90°，四边形ADOF是矩形.∴.OD=AF.:⊙O的直径为d, OD为⊙O的半径，..d=2OD=2AF..d=AB十AC-BC.9.B10.B11.B 聚焦课标 12.解：1)90∠BCV=90°∠N=∠A(2)∠CBD=号∠BAC.证明如下：连接AE. :AB是⊙O的直径，∠AEB=90.AE⊥BC.:AB=AC,∠BAE=号∠BAC.BD —88 是⊙O的切线∠BAE=∠CBD.∴∠CBD=号∠BAC 综合与实践生活中的优化问题 解：143.)《(6,3)y=-0x十x十1(2)在y=一品十十1巾，当x=2时 y一号.G2,号)：0C=1mC(6,4.4).设改造后的大棚对应的抛物线的函数解析 式为)=ar-10ax+1.将C(6,4.4)代入，得a×6-10X6a十1=4.4，解得a=一品 120 y=岛+是x+1.令x=2,则y=铝G(2,号)cc=号-号=号(m (3)设改造后的大棚对应的抛物线的函数解析式为y=ax2-10a.x十1.当x=2时，y=a×22一 10a×2+1=-16a十1；当x=4时，y=a×4-10a×4+1=-24a+1.∴.G(2,-16a+1), ,-24a+1).EE+GG=-24a+1-3.4+(-16a+1D号=二40a-4.由题意 (-40a-4)×492×60≤3200，解得a≥-合：CC=BE=-24a+1-3.4=-24a 2 2.4∴要使C'最大，则a的值最小.“当a=一名时，CC'长的值最大，最大值为1.6m 综合评价答案 第二十五章综合评价 1.C2.B3.B4.B5.D6.A7.C8.D9.D10.B11.B12.A13.x2-2x= 0(答案不唯一)14.1815.1216.-4048【解析】：方程x2-2024x-2025=0的两个 根分别是m,n,∴.m2-2024m-2025=0,n2-2024n-2025=0,m十n=2024,mn= -2025..m2=2024m十2025，n2=2024n十2025..(m2-2023m-2026)(2-2023m 2026)=(2024m+2025-2023m-2026)(2024n+2025-2023m-2026)=(m-1)(n-1)= mn-(m十n)十1=一2025-2024十1=-4048.17.解：(1)移项，得x2+6x=2.配方，得 x2+6x十32=2+3，即(x十3)=11.由此可得x十3=±√11..xm=-3+√11，x2=-3 √工.(2)：关于x的方程xw-7十a.x-4=0是一元二次方程，.3a-7=2,解得a=3.…原 方程为x2十3x一4=0，解得x1=一4x2=1.18.解：她们的解法都不正确.正确的解答过 程如下：移项，得3(x-3)-(x-3)=0.左边因式分解，得(x-3)(3-x十3)=0.于是得 x-3=0,或3-x十3=0.∴.x1=3,x2=6.19.解：把x=-1代入(m-1)x2十m2x十1=0， 得m-1-m十1=0，解得m1=0,2=1.:m-1≠0，即m≠1，∴.m=0.把m=0代入(m- 1)x2十mx+1=0,得-x2十1=0，解得1=-1，x2=1.·方程的另一个根为x=1. 20.解：设右边宽为xcm.根据题意，得(60十2×5x)(24十2x)=2240,解得1=2，x2=一20 (不符合题意，舍去).答：右边宽为2cm,21.(1)证明：：a=1,b=-(k十3)，c=2k十2， .△=-4ac=[-(k十3)]2-4×1×(2k十2)=(k-1)2≥0..此方程总有两个实数根. (2)解：由1，得△=(k-1)x=士3-卫，即1=k十1，=2.：方程有一个根小 2×1 于2，∴.k十1<2，解得k<1.22.解：(1)当AB=AD时，四边形ABCD是菱形，即方程x2一 m十受一子=0有两个相等的实数根.4=m一（受一子）=0，解得m=m=1.六当 n=1时，四边形ABCD是菱形，(2)由根与系数的关系，得十=m,1=受-子 :(x一30(x-3)=-3(十)十9=5m受-}-3m十9=5m,解得m=名 23.解：（问题1）设“山盆脆李”的售价为x元/kg.根据题意，得120-5(x一16)=90，解得 x=22.∴.(22-8)×90=1260（元）.答：当天能获利1260元.（问题2）设“山盆脆李”的售价 定为y元/kg.根据题意，得(y-8)[120-5(y-16)]=1200,解得y1=20,y=28.:要为 顾客谋实惠，∴y=20.答：应将“山盆脆李”的售价定为20元/kg.24.解：(1)解方程2x2- 5+9=0,得=2=令：国-=2-号-号1…孩方程不是邻证银方 程”.(2)设该方程的两个根分别为x1,x2,且x1>x2,,该方程是“邻近根方程”，x一x2= 1十=-=-3 x1十x2=-3, a x1-x2=1, 解得=台-=2.c的值为 x2=-2. 89 2.25.解：(1)24(2)x2+16x-5=x2+16x+64-69=(x+8)2-69..(x十8)2≥0， .(x十8)2-69≥-69.∴.当x=-8时，x2十16x-5有最小值，最小值为-69.(3)S>S2. 理由如下：由题意，得S,=(2a+5)(3a十2)=6a2+19a十10，S2=5a(a十5)=5a2十25a, .S-S2=6a2+19a十10-5a2-25a=a2-6a十10=(a-3)2十1.(a-3)2≥0，.(a- 3)2+1>0..S1-S2>0.∴.S>S2. 第二十六章综合评价 1.B2.B3.A4.D5.D6.B7.B8.A9.B10.C11.B12.D13.(0,2) 14.y=-x2+1(答案不唯-)15.0.3①③④17.(1)解：，y=-2x2十4x-1=-2(x-1)2十 1,.该函数图象的开口向下，对称轴为直线x=1.(2)证明：令y=0,则x2十mx十m-2=0. △=m2-4(m-2)=(m-2)2+4.(m-2)≥0，.(m-2)2十4>0，即△>0..无论m取 何实数，抛物线总与x轴有两个交点，18.解：由题意，得a=2,∴.抛物线的函数解析式为 y=2(x十1)2十b.把(2,3)代入，得2×(2+1)2十b=3,解得b=-15.19.解：(1)把(2,3) 代入y=a.x2-2x十3，得a×2-2×2十3=3，解得a=1.∴.抛物线的函数解析式为y=x2一 2x十3.(2)2≤y≤1120.解：(1)(1，-4)5(2)如图所示 (3)x1=4, x2=-221.解：(1)(16-2x)(2)由题意，得S=x(16-2x)=-2x2+16x=-2(x-4)2+ 32.一2<0，.当x=4时，S有最大值，最大值为32.故当矩形花圃ABCD的面积S最大 时，AB边的长为4m,面积的最大值为32m.22.解：(1)将A(0,3),B(一1,0)代入抛物 线y=ax2+2x十c,得3=C，解得 10=a-2+c. a=一1：抛物线的函数解析式为y一十2x寸 1c=3. 3.(2),y=一x2十2x十3=一(x一1)2十4，.抛物线顶点D的坐标为(1,4)..对称轴与x 轴相交于点E,∴.DE=4,OE=1.:B(-1,0),.OB=1,.BE=OB十OE=1十1=2.在 Rt△BED中，根据勾股定理，得BD=√BE+DE区=2√5.23.(1)解：设抛物线的函数解 析式为y=a(x-2)2+9.把A(-1,0)代入，得a(-1-2)2十9=0，解得a=-1..抛物线的函 数解析式为y=一(x一2)2+9.(2)连接OM.由(1)知，抛物线的对称轴为直线x=2, A(-1,0),.B(5,0)..OB=5.令x=0,得y=5,.C(0,5..OC=5..Sg边形0Bc=S△0cM十 Sw=号00·xw十合0B·w=X5×2+号×5×9=号24解：(1D设y关于x的函 8k十b=2200, 数解析式为y=kx十b.将(8,2200)和(14,1600)代入，得 解得 14k十b=1600, 二10，y关于x的函数解析式为y=-100x十300.(2)设销售这种荔枝日获利为 1b=3000. 元.根据题意，得=(x-6-2)(-100x十3000)=-100x十3800x-24000=-100(x一 19)2+12100.:-100<0,x≤18，.当x=18时，w有最大值，最大值为-100×(18-19)2+ 12100=12000.答：当每千克荔枝的销售价格定为18元时，销售这种荔枝日获利最大，最大 利润为12000元.25.解：(1)抛物线C过点A(0,12),.设抛物线C1的解折式为y= a·402+40b+12=4, ax2十bx十12.·抛物线G过点B(40,4),且顶点的横坐标为30，∴· =30, 解 2a 1 得 (a100' 3 抛物线C的解析式为y=-号十12.(2：在y箱上点P0,18)处挂 1 一条与抛物线C形状相同的抛物线灯带C:心设抛物线C的解析式为y=1Or十6x十 18,“抛物线C最低点到y辅的水平距离为30一会 b 2￥100 1 =30,解得6=- 5· :抛物线C的解析式为y=0-号：十18，当x=50时，-0×2500-号×50+18= 1 90第二十五章综合评价 (时间：120分钟满分：150分) 兰 选择题（每小题3分，共36分.每小题均有A、B、C、D四个选项，其中只 有 个选项正确 题号 1 5 8 9 10 11 12 答案 1.下列方程中，是关于x的一元二次方程的是 A.x+y=3 B.3x+y2=2 C.2x-x2=3 D.x(x2-3)=0 2.将一元二次方程2x2一4x=一5化成一般形式后，若二次项的系数是2， 则一次项系数和常数项分别是 A.4,5 B.-4,5 C.-4,-5 D.5,4 de i 数}3.方程(x十2)2=3的解是 ( A.x1=2-√5，x2=2+√5 B.x1=-2-√5，x2=-2+√3 C.x=3-√2，x2=3十√2 D.x1=-3-√2，x2=-3十√2 4.用配方法解下列方程，其中应在方程两边都加上4的是 A.x2-2x=5 B.x2+4x=5 00i C.x2+8.x=5 D.2.x2+4.x=5 型 5.用公式法解方程x2一2x=2x十11时，根的判别式的值为 A.-43 B.-28 C.45 D.60 6.一元二次方程3x2一2x一1=0的根的情况是 A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根 C.没有实数根 D.不能确定 明 7.下列方程中，最适合用因式分解法求解的是 A.(x-2)(x-3)=1 B.x2-2x-1=0 C.x-2=x2-4 D.x2-3x+4=0 8.若m是方程x2-x一1=0的一个根，则一2m2十2m的值是 A.3 B.0 C.2 D.-2 9.已知a,b是一元二次方程x2一2x-3=0的两个根，则2a十2b-ab的值 为 A.-1 B.1 C.-7 D.7 10.贵州仁怀是知名酱酒产区，某酿酒作坊今年年产酱酒12t,计划连续两 年逐年增产，两年后年产量提升至17.28t.设每年产量的平均增长率为 x,则符合题意的方程是 A.12(1+x)=17.28 B.12(1+x)2=17.28 C.12+12(1+x)+12(1+x)2=17.28 D.12(1+2x)=17.28 11.若关于x的一元二次方程ax2+bx十5=0(a≠0)有一个根为1001，则方 程a(x十1)2+b(x+1)=一5必有一个根为 A.1001 B.1000 C.999 D.998 12.我国古代数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载 x+2 Y+2 过一元二次方程（正根）的几何解法.以方程x2十2x一35= x+2 0,即x(x十2)=35为例，记载的方法如下：构造如图所 xx+2 示的正方形，大正方形的面积是(x十x十2)2，同时它又等于四个矩形 的面积加上中间小正方形的面积，即4×35十22，因此x=5.下列四 个选项中，能正确说明方程x2一5x一6=0的解法的构图是( A B 二、填空题（每小题4分，共16分） 13.若一元二次方程的一个根为2，则该方程可以为 (写出一个即可) 14.用配方法解方程x2一8x十2=0时，可将方程化成(x一m)2=n的形式， 则m十n的值为 15.“水是生命之源，树是水的卫士.”为了更好地让大家珍惜树木，小红将这 条宣传语转发给若干人，收到的人再把这条宣传语转发给相同的人数， 若在这个过程中一共有156人收到了这条宣传语，则小红将这条宣传语 转发给了人. 16.若方程x2一2024x-2025=0的两个根分别是m,,则(m-2023m一 2026)(n2-2023-2026)的值为 三、解答题（本大题共9题，共98分.解答应写出必要的文字说明、证明过程 或演算步骤) 17.（本题满分12分)(1)解方程：x2十6x-2=0; (2)若关于x的方程x3a-7十ax一4=0是一元二次方程，求该方程的解. 2 18.(本题满分10分)小敏与小霞两名同学解方程3(x一3)=(x一3)2的过 程如下： 小敏 小霞 两边同除以(x一3)， 移项，得3(x-3)一(x一3)2=0. 得3=-3， 左边因式分解，得(x一3)(3-x一3)=0. 解得x=6. ∴.x-3=0或3-x-3=0. x1=3,x2=0. 你认为她们的解法是否正确？若不正确，写出正确的解答过程 19.(本题满分10分)已知x=-1是一元二次方程(m-1)x2+m2x+1=0 的一个根，求m的值及方程的另一个根. 20.(本题满分10分)小宇要对一幅书法作品进行装裱，装裱后如图所示， 上、下空白处分别称为天头和地头，左、右空白处统称为边.已知原作品 的长为60cm,宽为24cm,装裱后左右两边的边宽相等，天头长与地头 长也相等，且右边宽与天头长的比为1：5.若装裱后作品的总面积为 2240cm,则右边宽为多少厘米？ 天头长 左边宽 右边宽 地头共 3 21.（本题满分10分)已知关于x的一元二次方程x2一(k十3)x十2k十2=0. (1)求证：此方程总有两个实数根； (2)若方程有一个根小于2，求k的取值范围. 22.(本题满分10分)已知☐ABCD的两边AB,AD的长是关于x的方程 2-m十罗一是=0的两个实数根 (1)当m为何值时，四边形ABCD是菱形？ (2)若这个方程的两个实数根分别是x1,x2,且(x1一3)(x2一3)=5m,求 m的值. 4 23.(本题满分12分)“山盆脆李”历史悠久，果肉饱满，肉质爽脆.近年来，山 盆李子种植已成为山盆主导产业.某校九年级利用星期天开展社会实践 活动，调查山盆李子的价格.某小组的记录表如下.请你根据相关信息解 答下列问题 实践 调查山盆李子的价格，帮水果店解决销售问题的同时为顾客谋 内容 实惠 “山盆脆李”的进价为8元/kg 调 当“山盆脆李”的售价为16元/kg时，每天能售出120kg(当天售 信息 价确定后，一天内售价均不变) 售价每涨价1元/kg,每天的销售量减少5kg 问题1 某天“山盆脆李”的销售量为90kg,当天能获利多少元 决 若水果店想一天销售“山盆脆李”的总利润为1200元，则 题 问题2 应将“山盆脆李”的售价定为多少 24.(本题满分12分)若关于x的一元二次方程a.x2十bx十c=0(a≠0)有两 个实数根x1,x2,且x1一x2|=1,那么称这样的方程为“邻近根方程”， 例如，一元二次方程x2-x=0的两个根是x1=0,x2=1,|0-1|=1,则 方程x2一x=0是“邻近根方程” (1)判断方程2x2-5x十2=0是否为“邻近根方程”，并说明理由： (2)若关于x的方程x2+3x十c=0(c是常数)是“邻近根方程”，求c的值. 25.(本题满分12分)阅读下列材料：利用完全平方公式，将多项式x2十bx十c 变形为(x十m)2+n的形式，然后由(x十m)2≥0即可求出多项式x2+ bx十c的最小值. 例题：求x2一12x十37的最小值 解：x2-12x+37=x2-12x+62+1=(x-6)2+1. .(x-6)2≥0，.(x-6)2+1≥1. ∴.当x=6时，x2-12x十37有最小值，最小值为1. 根据上述材料，解答下列问题： (1)填空： x2-8x十18=x2-8x+16+=(x-)2十2： (2)将x2+16x-5变形为(x十m)2+n的形式，并求出x2+16.x-5的最 小值： (3)如图，第一个矩形的长、宽分别为3a十2,2a十5，面积为S1,第二个矩 形的长、宽分别为5a,a十5，面积为S2,试比较S,与S2的大小，并说 明理由. 3a+2 5a 2a+5 S a+5 S2 一 6