25.3 第3课时 循环、数字与销售问题（PDF部分书稿）-【鸿鹄志·名师测控】2026-2027学年九年级全一册数学（人教版·新教材 贵州专版）

思维拓展 10.解：I:∠ACB=90,BC=号AC=b,AB=√BC+AC-√+=W :BD=号，AD=AB-BD=合-.(2)方程化为x十a一公=0，A=Q-4X 2 1X（-6)2=a十4.x=二a±a干46.m=二a十@+4 2 ,x2= -a-a+46 2 ,∴AD的长是方程的正根.遗憾之处：图解法不能表示方程的负根.（合理 即可) 25.2.3因式分解法 新知梳理 ②00 例题引路 【例1】解：(1)左边因式分解，得x(x-3)=0.于是得x=0,或x-3=0.x1=0,x2=3. (2)左边因式分解，得(x一5)(x十1)=0.于是得x一5=0，或x十1=0..x1=5,x2=-1. (3)左边因式分解，得3x(2x十1)=2x十1.移项，得3x(2x十1)一(2x十1)=0.左边因式分 解，得2x十103x-1D=0.于是得2x十1=0，或3x-1=0.∴1=-分=号 易错典例 【例2】② 基础过关 1,C2.C3.解：(1)左边因式分解，得x(4x-11)=0.于是得x=0,或4x-11=0.∴x1= 0,=只.(2)移项、合并同类项，得9-4=0.左边因式分解，得(3x十2)(3x-2)=0.于 是得3x+2=0,或3x-2=01=-号=号.4D5.解：1)配方，得-2x十 2 12=3十1，即(x-1)2=4.由此可得x-1=士2.∴.x=3,x2=-1.(2)原方程可化为3x2 7x十2=0.：a=3,b=-7,c=2,.△=b-4ac=(-7)2-4×3X2=25>0.∴.方程有两个 不相等的实数根，一匹-7结否-7告=2=分 2a 2×3 能力提升 6.C7.208.解：(1)①B②等式的基本性质(2)：a=3,b=-6,c=1,.△=6-4ac （一6)°-4×3×1=24>0.“方程有两个不相等的实数根.x=二b士一4ac=6±35 Za 2×3 1±5=1+ 3-1-6 .(3)移项，得3(x-2)2-(x2-4)=0.左边因式分解，得 (x-2)[3(x-2)-(x十2)]=0，即(x-2)(2x-8)=0.于是得x-2=0,或2x-8=0. .x1=2,x2=4. 思维拓展 9.解：(1)①②(2)解方程x2一2x=0,得x1=0,x2=2,当相同的根是x=0时，把x=0代 入x2十x十m-1=0,得m-1=0,解得m=1;当相同的根是x=2时，把x=2代入x2十x十 m一1=0，得4十2十m一1=0，解得m=一5.综上所述，m的值为1或-5.(3).关于x的一 元二次方程a.x2十bx十c=0(a≠0)同时满足a-b十c=0和9a十3b+c=0,∴.该方程的两个 根是x1=-1,x2=3.:方程(x-n)(x十3)=0的两个根是x1=n,x2=一3，且与方程a.x2十 bx十c=0(a≠0)为“同伴方程”，∴.n=-1或3. 专题二一元二次方程的特殊解法【培养阅读理解能力】 1.解：(1)左边因式分解，得(x十1)(x十4)=0.∴x十1=0，或x十4=0.∴x1=-1,x2= -4.(2)左边因式分解，得(x-1)(x-2)=0..x一1=0，或x-2=0..x1=1,x2=2. (3)左边因式分解，得(x十1)(x一6)=0..x十1=0，或x一6=0..x1=-1,x2=6.(4)左 边偶式分解，得(2x-30(x十2)=0.∴2x-3=0,或x十2=0.∴=号w=-2.2解： (1)设y=x2,则原方程化为y2-3y十2=0，.(y-1)(y-2)=0.∴y-1=0或y-2=0. -58 y=1或y=2..x2=1或x2=2.∴.原方程的解为x1=1,x2=-1,xa=√2，x1=-√2. (2)原方程为(x2-2x)2-5x2十10x-6=0,即(x2-2x)2-5(x2-2x)-6=0,设y=x2 2x,则原方程化为y2-5y-6=0,.(y-6)(y十1)=0..y-6=0或y十1=0..y=6或 y=-1..x2-2x=6或x2-2x=-1.对于x2-2x=6,即x2-2x-6=0.△=(-2)2 4X1×(-6)=4+24=28,x=2生/2s-2生27=1±万.对于x2-2x=-1,即x2 2x十1=0..(x-1)2=0..x=x1=1..原方程的解为=1十√7，x2=1一√7，x3=x1=1. 25.2.4一元二次方程的根与系数的关系 新知梳理 ①-≥ 例题引路 【例1】解：1)m十x=-（-4)=4,x1=1.(2)十=-二3 -2。 2 3x2= 6 3-2. (3)原方程化为x2十8.x-10=0,.x1十x2=-8,x1x2=-10. 易错典例 【例2】D 基础过关 1.C2.C3.A4.C5,一26.解：佳佳的解题过程未考虑△>≥0这个条件.正确的解题 过程如下：根据题意，得△=[一(2m-1D门一4m≥0，解得m≤}.由根与系数的关系，得 a十b=2m-1,ab=m2.:a十b=ab-4,.2m-1=m2-4,解得m1=-1,m2=3(舍去). .m=-1. 能力提升 7.C8.D9.C10.311.解：方程x2+(a2-2a)x十a-1=0的两个实数根互为相反 数，.x十x2=-a2+2a=0,解得a1=0,a2=2.当a=0时，原方程为x2-1=0,符合题意； 当a=2时，原方程为x2十1=0，方程无实数根，舍去.∴.a=0. 思维拓展 12.解：(1)71 √a√b +2=3.(3)令=a,-n=b,则a2+a-7=0,6+b-7=0.“mn≠-1，≠-， a√6 m m 即a≠h..a,b是方程x2十x-7=0的两个不相等的实数根.∴.a十b=一1，ab=-7. 十m=a2+=(a+b)22ab=（1)2-2X(-7)=15. 专题三根与系数的关系的运用【教改变化·贵州热点】 1A2.-33.A41)-告(2)日3)唱（④-}6） 5 ,【变式题】6 5.解：(1)由题意，得△=(-6)-4(2m十1)≥0，解得m≤4.(2)由根与系数的关系，得x1十 x2=6,1x2=2m十1.2x1x2十x1十x2≥20，.2(2m十1)十6≥20，解得m≥3.m≤4， .3m≤4.6.(1)证明：.△=b2-4ac=(-2m)2-4×1×(m2-1)=4>0,.无论m取 何值，方程总有两个不相等的实数根.(2)解：x1十x2=2m,x1x2=m2一1,1x2十x1十x2= -1,.(m2-1)十2m=-1..m2十2m=0.解得m1=0,m2=-2. 25.3实际问题与一元二次方程 第1课时几何图形问题 例题引路 【例1】解：设其中一条直角边的长为xcm,则另一条直角边的长为(30一13一x)cm.根据题 意，得x2+(30-13-x)2=132,解得x1=12,x2=5.当x=12时，30-13-x=5;当x=5 时，30-13-x=12.答：两条直角边的长分别为12cm,5cm 易错典例 【例2】2 59 基础过关 1.A2.43.114.解：四边形ABCD是矩形，.AD=BC,AB=CD.设AB=xm,则 BC=(32-2x)m.由题意，得x(32-2x)=120,解得x1=6,x2=10.当x=6时，BC=AD= 32-2×6=20>18,不符合题意.当x=10时，BC=AD=32一2×10=12<18，符合题意 答：AB的长为10m.5.B6.解：设小路的宽度为xm.根据题意，得(20-4x)(14-4x)= 24X9,解得x1=0.5,x2=8(不符合题意，舍去).答：小路的宽度为0.5m. 能力提升 7.C8.29.解：(1)设剪开后其中一段绳长为xcm,则另一段绳长为(80一x)cm.根据题 意，得（气）”十(0，)=20，解得1==0.要使这两个正方形的面积之和为 200cm,可将绳子从中点处剪开.(2)设剪开后其中一段绳长为ycm,则另一段绳长为 (80-0m根据题意，得（学）+(9）=48，解得=-8（含去）=8（含去》 .这两个正方形的面积之和不可能为488cm2. 思维拓展 10.解：.四边形ABCD为矩形，.CD=AB=6,BC=AD=8.由题意，得BM=2t,CN=t, CM=BC-BM=8-2,DN=CD-CN=6-.:Samw=专Sem,∴8X6-号X6X 21-合×(8-20X1一合×8X(6-)=号×8×6，鉴理，得f-61+8=0,解得1=2， 4.∴当t=2或4时，△AMN的面积等于矩形ABCD面积的3 第2课时传播与平均增长（下降）率问题 新知梳理 ②a(1+x)"=ba(1-x)"=b 例题引路 【例1】C【例2】解：(1)设该商场投入资金的月平均增长率为x,根据题意，得20(1十x)= 24.2,解得x1=0.1=10%,x2=一2.1（不符合题意，舍去）.答：该商场投入资金的月平均增 长率为10%.(2)24.2×(1十10%)=26.62（万元）.答：预计该商场7月份投入资金将达到 26.62万元. 基础过关 1.B2.63.A4.解：设这两年该电池成本的年平均下降率为x,根据题意，得1200(1一 x)2=972,解得x1=0.1=10%,x2=1.9(不符合题意，舍去).答：这两年该电池成本的年平 均下降率为10% 能力提升 5.D6.67.解：设11,12这两个月销售额的月平均增长率为x.根据题意，得200×(1 20%)(1十x)2=193.6,解得x1=0.1=10%,x2=-2.1(不符合题意，舍去).答：11,12这两 个月销售额的月平均增长率为10%.8.解：(1)根据题意，得1十x十x2=111,解得x1= 10,x2=一11（不符合题意，舍去）..x的值为10.(2)经过三轮转发之后，参与人数为1十 10+100+1000=1111(人)，四轮转发之后，参与人数为1+10十100十1000十10000= 11111(人).11111>10000，.再经过两轮转发后，参与人数会超过10000人. 思维拓展 9.解：(1)10000(1十2x)10000(1十x)(2)根据题意，得10000(1十x)2-10000(1十 2x)=25,解得x1=0.05=5%,x2=一0.05（不符合题意，舍去）.答：该理财产品的年利率为 5%. 第3课时循环、数字与销售问题 例题引路 【例1】解：设十位数字为x,则个位数字为x十2.根据题意，得3.x(x十2)=10x十(x十2).整 理，得32-5x一2=0，解得=2=一号（不符合题意，舍去.∴x十2=4.答：这个两位 数为24. 60 易错典例 【例2】A 基础过关 1.B2.B3.324.135.解：(1)(120十10x)(16-x)(2)根据题意，得(16一x)(120十 10x)=1800.整理，得x2-4x一12=0.解得x1=6,x2=-2(不符合题意，舍去).答：每箱应 降价6元. 能力提升 6.367.解：(1)设参加聚会的人数为x.根据题意，得7x(x-1)=28,解得x1=8,x2=一7 (不符合题意，舍去).答：参加聚会的人数为8.(2)根据题意，得2(m十2)(m十1)=21，解得 m=5,m=一8（不符合题意，含去）.m的值为5.(3)根据题意，得号m0a一3)十9=号(n十 1 1)(n-2),解得n=10. 思维拓展 8.解：（任务1）设从6月份到8月份“跟着苏超去旅行”活动报名人数的平均增长率为x.根 据题意，得1500(1十x)2=2160,解得x1=0.2=20%,x2=-2.2(不符合题意，舍去).答： 从6月份到8月份“跟着苏超去旅行”活动报名人数的平均增长率为20%.（任务2）设下调 后每人的团费为y元.根据题意，得y(30+09之)=3200，解得n=400,=80。 :y≥750，∴y=800.答：下调后每人的团费为800元. 阅读与思考一元二次方程与黄金分割数 1.A2.解：(1)设AC=a,则BC=AB-AC=1-a.AC=AB·BC,∴a2=1-a,解得 a=5号a:=有1（含去.AC=.@)设AC=,则C=r-2AB=AC+ BC=2x-2.AC2=AB·BC,.x2=(2x-2)(x-2),解得x1=3十√5，x2=3-√5（舍去）. “AB=2x-2=4针25.3.解：【实骏操作【实践探索】：二胡的“千斤“”钩在琴弦 长的黄金分割点处，.“千斤”下面一截琴弦长为80×5,1=405-40(cm. 2 数学活动探究方程有公共解的条件与神奇的线段分割 1.解：1：-x+1=(-合)+是>0a+6+e=0.(2a+6+(=0,6=-a- 1 .ax2-bx十c=0可化为ax2十(a十c)x十c=0.∴.△=(a十c)2-4ac=(a-c)2>0.∴.x= 二0+若0口a=一日，=-1.2.解将a=2bc代人2合得品。 2a 六-2次十(2b十c0c=(26十c)6化简，得28-3次-2=0，把c看作常数，利用求根公 式进行计算，得b=3①。.：b>c>0,b=3十亚。.a=5十亚。.a:b:c= 2 十亚：3十亚：1，答案不唯一，取满足这个比例式的正数值即可，如：a=10十27， b=3十√17，c=4, 第二十五章章末复习 思维导图 一 整式2不相等相等无一二 a a 考点整合 1.B2.C3.x2-3x=0(答案不唯一)4.45.D6.x1=1,x2=-17.解：(1)整理，得 (x-2)2=24.由此可得x-2=士2√6..x-2=2√6，或x-2=-2√6.x1=2+2√6， x2=2-2√6.(2)整理，得(x十1)(x-2)十2(.x-2)=0.左边因式分解，得(x一2)(x十1十2)= 0.于是得x-2=0,或x十3=0.x1=2,x2=-3.(3)原方程可化为2x2十2√2x十1=0. :a=2,b=2√2，c=1,∴.△=b-4ac=(2√2)-4×2X1=0.∴.方程有两个相等的实数根. .8.A9.-110.解：(1)根据题意，得△=[-2(m十 61 1)]-4(m2+5)>0,解得m>2.(2)由根与系数的关系，得x1十x2=2(m十1)，x1x2=m2十 5.(x1-1)(x2-1)=7,.x1x2-(.x1十x2)十1=7，即m2十5-2(m十1)十1=7，解得1= 3,2=-1.由(1)知m>2,.m=3.(3)x1≠x2,.7是方程的一个根.将x=7代入原方 程，得49一14(m十1)十m2十5=0，解得m1=4,2=10.当m=4时，方程的另一个根为3， 此时三边长分别为7,7,3，符合三边关系：当m=10时，方程的另一个根为15，此时三边长 分别为7,7,15，不能构成三角形，舍去.，，这个三角形的周长为7十7十3=17.11.D 12.10%13.解：)(4-3)(2)根据题意，得x(4-3)=160,解得=9=8.当 x=9时，4-3x=24>2,不符合题意，舍去：当x=8时，4-3x=20<2,符合题意.答： 重建后的养鸡场的宽AB为8m 聚焦课标 14.解：（任务1）设民宿宣传海报边框的宽为acm.根据题意，得(30十2a)(20十2a)=816,解 得a1=2,a2=-27(不符合题意，舍去).答：民宿宣传海报边框的宽为2cm(任务2)①(200十 z) (30-0) ②根据题意，得(200十)(30-)一20(30-后)=860.整理，得x- 120.x十32000=0.4=(-120)2-4×32000=-113600<0，∴.该方程无实数根..无法 满足要求.（任务3）答案不唯一，合理即可，如：建议加强宣传推广，融合特色文化等. 第二十六章二次函数 26.1二次函数的概念 基础过关 1.B2.y=5x2-5x5-53.-24.A5.y=-2x2+8x6.(1)y=-25x2+250x十 5000(2)5525 能力提升 7.C8.B9.y=60十60(1十x)十60(1十x)210.解：(1)由题意，得y=x[30-x-(x 2)]=-2x2十32.x.自变量x的取值范围是2<x<16.(2)由题意，得y=-2x2十32x=56, 解得x1=2(不合题意，舍去)，x2=14.∴.x的值为14. 26.2二次函数的图象和性质 26.2.1二次函数y=ax2的图象和性质 新知梳理 ①y轴原点上低下高小②减小增大增大减小 例题引路 【例】解：(1)如表所示。 y=x? y=2x2 y=-2x2 8 (2)如图所示. (3)对称轴都是y轴，顶点都是原点， 基础过关 1.D2.A3.解：(1)如图所示 (2)开口向上，对称轴为y轴，顶点坐标 -6-4-20246x 为(0,0).(3)当x>2时，y>1,4.B5.<【变式题】< -62 能力提升 6.B7.C8.2(答案不唯一)9.解：(1)根据题意，得k十2<0，且2十k一4=2，解得k= 一3.(2)由(1)，得k=一3，则y=一x2,.函数图象的顶点坐标为(0,0)，对称轴为y轴. (3):-1≤x≤2，-1<0，.当x=0时，y有最大值，最大值为0；当x=2时，y有最小值，最 小值为-22=-4.10.解：(1)1.8(2)由题意，得CE=0.2m,则yE=0.2-1.8=-1.6. 令y=-1.6,则-号x2=-1.6,解得x=士瓦.EF=巨-(-2)=2Em). 思维拓展 11.解：(1)1(2)由(1)知a=1,即y=x2.将C(-1,n)代入，得n=(-1)=1,.C(-1,1). 将D(m,9)代入，得m2=9,解得m=3(负值已舍去)，∴.D(3,9).设直线CD的函数解析式 为)=十6，将C(一1,1)，D(3,9)代入，得+6=1 36。解得{，m∴·y=2x十3.令xs。 b=3. 则y=3,即P(0,3).5Sw=Sa0m十S6m=号×3X1+号X3X3=6. 26.2.2二次函数y=a(x-h)2十k的图象和性质 第1课时二次函数y=ax2十k的图象和性质 新知梳理 ①y轴(0，k)上低小k下高大k②上k下k 例题引路 【例】解：(1)如图所示 抛物线的函数解析式是y=之一2，顶点坐 4-301234文 标是(0，-2)，对称轴是y轴.(2)当x=0时，y2有最小值-2.(3)0≤y2≤6 基础过关 1.A2.C3.D4.解：1)当x=2时y=×4十3=4.点(2,40在该函数的图象上。 (2)<5.A6.1 能力提升 7.D8.C9.1610.解：(1)2-5(2)抛物线的函数解析式为y=2x2-5,∴.顶点坐标 为(0，一5)，对称轴为y轴.(3)当一3≤x1时，函数值y的取值范围是一5y13. 思维拓展 11.解：1)x为任意实数(2)03 44 ②③如图所示， (3)B (4)ab 第2课时二次函数y=a(x一h)2的图象和性质 新知梳理 ①x=h(h,0)上减小增大下增大减小②右h|左h 例题引路 【例1】解：(1)y=5(x十2)2(2)当x>一2时，y随x的增大而增大.(3)将抛物线y=5(x十 2)2向右平移2个单位长度可得到抛物线y=5x. 易错典例 【例2】a≤2 基础过关 1.D2.A3.B4.-1(答案不唯一)5.解：(1)把(1，-3)代入，得-3=a(1十2)2，解得 -63第3课 【新知导学 >>>预习新知 同新知梳理 ①循环问题：握手、单循环问题：总次数= (n一1(m≥2)：互赠礼物、双循环问 2 题：总次数=n(n一1)(n≥2). ②营销问题常用的等量关系：利润=售 价一逢价，利润本一望器×10%，自 价=进价×(1十利润率)，总利润= (售价一进价)×数量， ☑例题引路 【例1】一个两位数，它的十位数字比个 位数字小2，十位数字与个位数字的积 的3倍刚好等于这个两位数，求这个两 位数 【方法点拨】数字问题：两位数=十位数 字×10十个位数字.解方程后要对方程 的根进行取舍，要符合实际意义，即个 位数字为非负整数. 【学生解答】 紉易错典例 【例2】某商店销售某种商品，平均每天 可售出20件，每件盈利40元.经调查 发现，商品销售单价每降1元，平均每 天可多售出2件.在每件盈利不少于25 元的前提下，要获利1200元，则每件商 品应降价 () A.10元 B.20元 C.10元或20元 D.13元 【易错剖析】求解后需根据条件“每件盈 利不少于25元”进行取舍. 【学生解答】 循环、数字与销售问题 基础过关 ●》逐点击破 知识点1循环问题 1.2025一2026梵净山足球联赛火爆出圈，吸引了许多球 迷亲临现场观赛.足球爱好者小明深人了解后得知：联 赛常规赛采用单循环赛制（即每两队之间仅需对决一 场)，本赛季常规赛共进行了78场对决.若设参加该联 赛的球队共有x支，则可列方程为 ( A.2x(x+1)=78 B2x(x-1)=78 C.x(x+1)=78 D.x(x-1)=78 知识点2数字问题 2.(教材P24习题T1变式)两个连续奇数的积为323，设其 中较小的一个奇数为x,则可列方程为 ( A.x(x-2)=323 B.x(x+2)=323 C.x(x-1)=323 D.(2.x-1)(2x+1)=323 3.一个两位数，十位数字比个位数字大1，个位数字与十位数 字的平方和比这个两位数少19，则这个两位数是· 知识点3销售问题 4.某商品进价为3元/件，当售价为x元/件时可销售该商品 (x十3)件，此时获利160元，则该商品每件售价为元. 5.地域特色情境化刺梨是贵州的特产，有补充维生素、健 胃、祛痰、消肿止痛、清热解暑等功效与作用.某刺梨种 植基地在网上直播销售，试销发现：同样的品质下，当每 箱刺梨的售价为60元时，每天可卖出120箱.由于水果不 易储存，该基地决定降价促销，当每箱售价每降低1元时， 每天的销量增加10箱.已知每箱刺梨的成本为44元. (1)如果每箱降价x元，那么每天的销量为 箱，降 价后每箱的利润为 元；（用含x的式子表示） (2)若该直播间想每天销售刺梨获利1800元，每箱应 降价多少元？ 九年级数学人教版全一册21 能力提升 ·>·整合运用 6.学科融合新趋势小明同学是一名古诗文爱 好者，在学习了一元二次方程这一章后，改 编了苏轼诗词《念奴娇·赤壁怀古》：“大江 东去浪淘尽，千古风流人物.而立之年督东 吴，早逝英年两位数.十位恰小个位三，个位 平方与寿同.哪位学子算得快，多少年华数 周瑜？”可算出周瑜去世时年龄是岁. 7.(教材P23练习T1变式)在一次聚会上，规 定每两个人见面必须握手，且握手1次， (1)若参加聚会的人共握手28次，请求出参 加聚会的人数； (2)嘉嘉由握手问题想到了一个数学问题：若线 段AB上共有m个点（不含端点A,B),线 段总数为21，求m的值. (3)琪琪想到另一个数学问题：若n边形的 边数增加1，对角线总数增加9，求边数n 的值， 22第二十五章一元二次方程 【思维拓展 ,·强化素养 8.项目学习新趋势自“苏超”开赛以来，江苏各 市文旅不断推动观赛体验与文化体验紧密串 联，有效带动了江苏文旅消费.某旅行社推出 了“跟着苏超去旅行”活动，现要对活动方案 进行升级，需要对定价和报名人数进行调研. “跟着苏超去旅行”的活动调研 6月份，报名参加“跟着苏超去旅行”活 素材1 动的人数是1500，随着“苏超”热度不 断提升，8月份的报名人数达到2160 经过研讨，旅行社初步制定方案为：30 素材2 人起组团；每人团费为900元 在统计游客的反馈后，发现每人团费每 素材3 下降10元，平均每个团的报名人数会 增加1人，但每人团费不低于750元 问题解决 求从6月份到8月份“跟着苏 确定 任务1 超去旅行”活动报名人数的平 增长率 均增长率 若旅行社要使平均每个团的 拟定价 任务2 总团费为32000元，求下调 格方案 后每人的团费 请完成“问题解决”中的任务1和任务2. 提示 请完成基本功专练（二）