25.3 第2课时 传播与平均增长(下降)率问题（PDF部分书稿）-【鸿鹄志·名师测控】2026-2027学年九年级全一册数学（人教版·新教材 贵州专版）

思维拓展 10.解：I:∠ACB=90,BC=号AC=b,AB=√BC+AC-√+=W :BD=号，AD=AB-BD=合-.(2)方程化为x十a一公=0，A=Q-4X 2 1X（-6)2=a十4.x=二a±a干46.m=二a十@+4 2 ,x2= -a-a+46 2 ,∴AD的长是方程的正根.遗憾之处：图解法不能表示方程的负根.（合理 即可) 25.2.3因式分解法 新知梳理 ②00 例题引路 【例1】解：(1)左边因式分解，得x(x-3)=0.于是得x=0,或x-3=0.x1=0,x2=3. (2)左边因式分解，得(x一5)(x十1)=0.于是得x一5=0，或x十1=0..x1=5,x2=-1. (3)左边因式分解，得3x(2x十1)=2x十1.移项，得3x(2x十1)一(2x十1)=0.左边因式分 解，得2x十103x-1D=0.于是得2x十1=0，或3x-1=0.∴1=-分=号 易错典例 【例2】② 基础过关 1,C2.C3.解：(1)左边因式分解，得x(4x-11)=0.于是得x=0,或4x-11=0.∴x1= 0,=只.(2)移项、合并同类项，得9-4=0.左边因式分解，得(3x十2)(3x-2)=0.于 是得3x+2=0,或3x-2=01=-号=号.4D5.解：1)配方，得-2x十 2 12=3十1，即(x-1)2=4.由此可得x-1=士2.∴.x=3,x2=-1.(2)原方程可化为3x2 7x十2=0.：a=3,b=-7,c=2,.△=b-4ac=(-7)2-4×3X2=25>0.∴.方程有两个 不相等的实数根，一匹-7结否-7告=2=分 2a 2×3 能力提升 6.C7.208.解：(1)①B②等式的基本性质(2)：a=3,b=-6,c=1,.△=6-4ac （一6)°-4×3×1=24>0.“方程有两个不相等的实数根.x=二b士一4ac=6±35 Za 2×3 1±5=1+ 3-1-6 .(3)移项，得3(x-2)2-(x2-4)=0.左边因式分解，得 (x-2)[3(x-2)-(x十2)]=0，即(x-2)(2x-8)=0.于是得x-2=0,或2x-8=0. .x1=2,x2=4. 思维拓展 9.解：(1)①②(2)解方程x2一2x=0,得x1=0,x2=2,当相同的根是x=0时，把x=0代 入x2十x十m-1=0,得m-1=0,解得m=1;当相同的根是x=2时，把x=2代入x2十x十 m一1=0，得4十2十m一1=0，解得m=一5.综上所述，m的值为1或-5.(3).关于x的一 元二次方程a.x2十bx十c=0(a≠0)同时满足a-b十c=0和9a十3b+c=0,∴.该方程的两个 根是x1=-1,x2=3.:方程(x-n)(x十3)=0的两个根是x1=n,x2=一3，且与方程a.x2十 bx十c=0(a≠0)为“同伴方程”，∴.n=-1或3. 专题二一元二次方程的特殊解法【培养阅读理解能力】 1.解：(1)左边因式分解，得(x十1)(x十4)=0.∴x十1=0，或x十4=0.∴x1=-1,x2= -4.(2)左边因式分解，得(x-1)(x-2)=0..x一1=0，或x-2=0..x1=1,x2=2. (3)左边因式分解，得(x十1)(x一6)=0..x十1=0，或x一6=0..x1=-1,x2=6.(4)左 边偶式分解，得(2x-30(x十2)=0.∴2x-3=0,或x十2=0.∴=号w=-2.2解： (1)设y=x2,则原方程化为y2-3y十2=0，.(y-1)(y-2)=0.∴y-1=0或y-2=0. -58 y=1或y=2..x2=1或x2=2.∴.原方程的解为x1=1,x2=-1,xa=√2，x1=-√2. (2)原方程为(x2-2x)2-5x2十10x-6=0,即(x2-2x)2-5(x2-2x)-6=0,设y=x2 2x,则原方程化为y2-5y-6=0,.(y-6)(y十1)=0..y-6=0或y十1=0..y=6或 y=-1..x2-2x=6或x2-2x=-1.对于x2-2x=6,即x2-2x-6=0.△=(-2)2 4X1×(-6)=4+24=28,x=2生/2s-2生27=1±万.对于x2-2x=-1,即x2 2x十1=0..(x-1)2=0..x=x1=1..原方程的解为=1十√7，x2=1一√7，x3=x1=1. 25.2.4一元二次方程的根与系数的关系 新知梳理 ①-≥ 例题引路 【例1】解：1)m十x=-（-4)=4,x1=1.(2)十=-二3 -2。 2 3x2= 6 3-2. (3)原方程化为x2十8.x-10=0,.x1十x2=-8,x1x2=-10. 易错典例 【例2】D 基础过关 1.C2.C3.A4.C5,一26.解：佳佳的解题过程未考虑△>≥0这个条件.正确的解题 过程如下：根据题意，得△=[一(2m-1D门一4m≥0，解得m≤}.由根与系数的关系，得 a十b=2m-1,ab=m2.:a十b=ab-4,.2m-1=m2-4,解得m1=-1,m2=3(舍去). .m=-1. 能力提升 7.C8.D9.C10.311.解：方程x2+(a2-2a)x十a-1=0的两个实数根互为相反 数，.x十x2=-a2+2a=0,解得a1=0,a2=2.当a=0时，原方程为x2-1=0,符合题意； 当a=2时，原方程为x2十1=0，方程无实数根，舍去.∴.a=0. 思维拓展 12.解：(1)71 √a√b +2=3.(3)令=a,-n=b,则a2+a-7=0,6+b-7=0.“mn≠-1，≠-， a√6 m m 即a≠h..a,b是方程x2十x-7=0的两个不相等的实数根.∴.a十b=一1，ab=-7. 十m=a2+=(a+b)22ab=（1)2-2X(-7)=15. 专题三根与系数的关系的运用【教改变化·贵州热点】 1A2.-33.A41)-告(2)日3)唱（④-}6） 5 ,【变式题】6 5.解：(1)由题意，得△=(-6)-4(2m十1)≥0，解得m≤4.(2)由根与系数的关系，得x1十 x2=6,1x2=2m十1.2x1x2十x1十x2≥20，.2(2m十1)十6≥20，解得m≥3.m≤4， .3m≤4.6.(1)证明：.△=b2-4ac=(-2m)2-4×1×(m2-1)=4>0,.无论m取 何值，方程总有两个不相等的实数根.(2)解：x1十x2=2m,x1x2=m2一1,1x2十x1十x2= -1,.(m2-1)十2m=-1..m2十2m=0.解得m1=0,m2=-2. 25.3实际问题与一元二次方程 第1课时几何图形问题 例题引路 【例1】解：设其中一条直角边的长为xcm,则另一条直角边的长为(30一13一x)cm.根据题 意，得x2+(30-13-x)2=132,解得x1=12,x2=5.当x=12时，30-13-x=5;当x=5 时，30-13-x=12.答：两条直角边的长分别为12cm,5cm 易错典例 【例2】2 59 基础过关 1.A2.43.114.解：四边形ABCD是矩形，.AD=BC,AB=CD.设AB=xm,则 BC=(32-2x)m.由题意，得x(32-2x)=120,解得x1=6,x2=10.当x=6时，BC=AD= 32-2×6=20>18,不符合题意.当x=10时，BC=AD=32一2×10=12<18，符合题意 答：AB的长为10m.5.B6.解：设小路的宽度为xm.根据题意，得(20-4x)(14-4x)= 24X9,解得x1=0.5,x2=8(不符合题意，舍去).答：小路的宽度为0.5m. 能力提升 7.C8.29.解：(1)设剪开后其中一段绳长为xcm,则另一段绳长为(80一x)cm.根据题 意，得（气）”十(0，)=20，解得1==0.要使这两个正方形的面积之和为 200cm,可将绳子从中点处剪开.(2)设剪开后其中一段绳长为ycm,则另一段绳长为 (80-0m根据题意，得（学）+(9）=48，解得=-8（含去）=8（含去》 .这两个正方形的面积之和不可能为488cm2. 思维拓展 10.解：.四边形ABCD为矩形，.CD=AB=6,BC=AD=8.由题意，得BM=2t,CN=t, CM=BC-BM=8-2,DN=CD-CN=6-.:Samw=专Sem,∴8X6-号X6X 21-合×(8-20X1一合×8X(6-)=号×8×6，鉴理，得f-61+8=0,解得1=2， 4.∴当t=2或4时，△AMN的面积等于矩形ABCD面积的3 第2课时传播与平均增长（下降）率问题 新知梳理 ②a(1+x)"=ba(1-x)"=b 例题引路 【例1】C【例2】解：(1)设该商场投入资金的月平均增长率为x,根据题意，得20(1十x)= 24.2,解得x1=0.1=10%,x2=一2.1（不符合题意，舍去）.答：该商场投入资金的月平均增 长率为10%.(2)24.2×(1十10%)=26.62（万元）.答：预计该商场7月份投入资金将达到 26.62万元. 基础过关 1.B2.63.A4.解：设这两年该电池成本的年平均下降率为x,根据题意，得1200(1一 x)2=972,解得x1=0.1=10%,x2=1.9(不符合题意，舍去).答：这两年该电池成本的年平 均下降率为10% 能力提升 5.D6.67.解：设11,12这两个月销售额的月平均增长率为x.根据题意，得200×(1 20%)(1十x)2=193.6,解得x1=0.1=10%,x2=-2.1(不符合题意，舍去).答：11,12这两 个月销售额的月平均增长率为10%.8.解：(1)根据题意，得1十x十x2=111,解得x1= 10,x2=一11（不符合题意，舍去）..x的值为10.(2)经过三轮转发之后，参与人数为1十 10+100+1000=1111(人)，四轮转发之后，参与人数为1+10十100十1000十10000= 11111(人).11111>10000，.再经过两轮转发后，参与人数会超过10000人. 思维拓展 9.解：(1)10000(1十2x)10000(1十x)(2)根据题意，得10000(1十x)2-10000(1十 2x)=25,解得x1=0.05=5%,x2=一0.05（不符合题意，舍去）.答：该理财产品的年利率为 5%. 第3课时循环、数字与销售问题 例题引路 【例1】解：设十位数字为x,则个位数字为x十2.根据题意，得3.x(x十2)=10x十(x十2).整 理，得32-5x一2=0，解得=2=一号（不符合题意，舍去.∴x十2=4.答：这个两位 数为24. 60第2课时 新知导学 预习新知 同新知梳理 ①传播问题：若有α个传染源，每个传 染源每轮传染x人，则n轮后的总人 数为a(1十x)". ②平均增长率（下降率）问题：a为增长 (下降)前的量，x为平均增长（下降） 率，n为增长（下降）次数，b为增长 (下降)后的量，则平均增长率的公式 为 ,平均下降率的公 式为 ☑例题引路 【例1】电脑病毒传播快，如果一台电脑 被感染，经过两轮感染后就会有169台 电脑被感染.若每轮感染中，平均一台 电脑会感染x台电脑，则下列方程正确 的是 ( A.x(x+1)=169 B.1十x+x2=169 C.1+x+x(x+1)=169 D.1+(x+1)2=169 【方法点拨】传播问题：传播源十第一轮 被传染的十第二轮被传染的=两轮被 传染后的总数. 【学生解答】 【例2】某商场响应国家消费品以旧换新 的号召，开展了家电惠民补贴活动.4月 份投人资金20万元，6月份投入资金 24.2万元，现假定每月投入资金的增长 率相同. (1)求该商场投入资金的月平均增长率； (2)按照这个增长率，预计该商场7月 份投人资金将达到多少万元？ 【方法点拨】(1)设出未知数，再利用平 均增长率的公式列方程求解；(2)7月份 投入资金=6月份投入资金×(1十月平 均增长率). 【学生解答】 传播与平均增长（下降）率问题 基础过关 、>逐点击破 知识点1传播问题 1.(2025一2026·黔南期末)化学是一门以实验为基础的 学科.小星在化学老师的帮助下，学会了用高锰酸钾制 取氧气的实验，回到班上后，小星教会了x名学习小组 长，每名学习小组长又教会了x名组员，这样全班43 名学生恰好都学会了这个实验.则根据题意，可列方程 为 () A.x2+x=43 B.x2+x+1=43 C.(.x+1)2=43 D.x2+1=43 2.学科融合新趋势（教材P22练习T1变式）生物学家研 究发现，很多植物的生长都有这样的规律：主干长出若 干数目的支干后，每个支干又会长出同样数目的小分 支.现有符合上述生长规律的某种植物，它的主干、支干 和小分支的总数是43，则这种植物每个支干长出 个小分支 知识点2平均增长（下降）率问题 3.(2025一2026·六盘水期末)六盘水市某景区2023年全 年接待游客25万人次，经过两年加大旅游开发力度，该 景区2025年全年接待游客36万人次.那么该景区这两 年接待游客的年平均增长率为多少？若设这两年接待 游客的年平均增长率为x,则可列方程为 () A.25(1+x)2=36 B.25(1+x)=36 C.25(1-x)2=36 D.25(1-x)=36 4.科技创新情境化在全球新能源汽车产业蓬勃发展的浪 潮中，我国凭借强大的产业实力和技术创新能力脱颖而 出，已连续10年保持新能源汽车年产销量全球第一.随 着技术迭代加速发展，某新能源汽车的电池成本持续下 降，2023年电池成本约为1200元/(kW·h),2025年 电池成本约为972元/(kW·h),求这两年该电池成本 的年平均下降率. 九年级数学人教版全一册19 能力提升 ··整合运用 5.(2026·遵义一模)我国北宋诗人欧阳修名 言：“立身以立学为先，立学以读书为本”表 达了学习和读书的重要性.为了鼓励全民阅 读，某校图书馆开展阅读活动，自阅读活动 开展以来，进馆阅读人次逐月增加，第一个 月进馆300人次，前三个月累计进馆1092 人次.设进馆人次的月平均增长率为x,依题 意可列方程 A.300(1+x)2=1092 B.300(1+x)+300(1+x)2=1092 C.300(1+x+x2)=1092 D.300+300(1+x)+300(1+x)2=1092 6.某云平台的网络安全事件中，最初有4台服 务器遭受攻击并感染病毒.两轮传播后共有 196台服务器感染病毒，则每轮感染中平均 每台服务器感染的台数为· 7.某商场9月份的销售额是200万元，10月份 的销售额下降了20%.该商场从11月份起 加强管理，改善经营，使销售额稳步上升，12 月份的销售额达到了193.6万元.求11,12 这两个月销售额的月平均增长率. 8.节能环保情境化为了宣传低碳生活，小王写 了一封倡议书，用社交平台转发的方式传 播，他设计了如下的转发规则：将倡议书发 表在自己的主页上，然后邀请x个好友转 发，每个好友转发之后，又邀请x个互不相 同的好友转发.已知经过两轮转发后，共有 111人参与了本次活动. 20第二十五章一元二次方程 (1)求x的值； (2)再经过几轮转发后，参与人数会超过 10000人？ 【思维拓展 >·强化素养 9.小王了解到某理财产品按年计息，有单利和 复利两种不同的计息方式， 单利是指每年依据最初本金计算利息，不考虑前 期利息所产生的利息； 复利是指每年依据本金和前期利息之和计算利息， 小王准备用10000元购买该理财产品，有如 下两种方案（年利率相同）： 方案一：按单利方式存2年： 方案二：按复利方式存2年. (1)设该理财产品的年利率为x,两年后方案 一的本息和为 元，方案二的本 息和为 元； (2)若两年后方案二得到的本息和比方案一 多25元，请计算该理财产品的年利率.