第43讲 空间直线、平面的垂直 讲义-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习讲义聚焦空间直线与平面垂直核心考点，涵盖线线、线面、面面垂直的判定与性质及线面角、二面角求解，按“基础回顾-必备知识-题型突破”逻辑架构知识点，通过考点梳理、方法指导、真题训练等环节，帮助学生构建垂直关系转化体系，突破空间几何证明与计算难点。 讲义采用题型分类分层教学法，如线线垂直判定结合几何体性质与定理推理，培养学生逻辑思维；几何法求角强调“作角-证明-计算”完整流程，提升空间观念。设置基础例题与综合精练，配合方法总结，助力学生高效掌握垂直关系转化策略，为教师把控复习节奏、提升学生应考能力提供系统支持。

第43讲 空间直线、平面的垂直 题型一 空间中垂直关系的基本问题 3 题型二 直线与直线垂直的判定 5 题型三 直线与平面垂直的判定 8 题型四 直线与平面垂直的性质 12 题型五 平面与平面垂直的判定与性质 15 题型六 几何法求直线与平面所成的角与二面角 19 课时精练 23 【基础回顾】 知识点1．直线与平面垂直 (1)直线与平面垂直的定义 如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，就说直线l与平面α互相垂直． (2)判定定理与性质定理 文字语言 图形表示 符号表示 判定定理 如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直 ⇒l⊥α 性质定理 垂直于同一个平面的两条直线平行 ⇒a∥b 知识点2．直线与平面所成的角 (1)定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角叫作这条直线与这个平面所成的角．一条直线垂直于平面，则它们所成的角是90°；一条直线和平面平行或在平面内，则它们所成的角是0°． (2)范围：． 知识点3．二面角 (1)定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫作二面角． (2)二面角的平面角：在二面角的棱上任取一点，以该点为垂足，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所构成的角叫作二面角的平面角． (3)范围：[0，π]． 知识点4．平面与平面垂直 (1)平面与平面垂直的定义 两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直． (2)判定定理与性质定理 文字语言 图形表示 符号表示 判定定理 如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直 ⇒α⊥β 性质定理 两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直 ⇒ l⊥α 【必备知识】 1．两个重要结论 (1)若两平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面． (2)若一条直线垂直于一个平面，则它垂直于这个平面内的任何一条直线(证明线线垂直的一个重要方法)． 2．三种垂直关系的转化 线线垂直线面垂直面面垂直 3．三垂线定理 在平面内的一条直线，如果和穿过这个平面的一条斜线在这个平面内的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直． 4．三垂线定理的逆定理 平面内的一条直线如果和穿过该平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线在该平面内的射影垂直． 5．空间射影定理：如图，如果二面角α－AB－β的大小为θ，则cosθ＝． 题型一 空间中垂直关系的基本问题 与垂直关系有关命题真假的判断方法 (1)借助几何图形来说明． (2)寻找反例，只要存在反例，结论就不正确． (3)反复验证所有可能的情况，必要时要运用判定或性质定理进行简单说明． 【例题精讲】 1．设m，n是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 2．设l，m，n均为直线，其中m，n在平面内，“且”是“”的（    ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 3．已知，，为三条不同的直线，，为两个不同的平面，则下列结论正确的是（    ） A．若,,则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，，则 4．设表示不同的直线，表示不同的平面，下列命题中正确的是（　　） A．若，则 B．若，则 C．若，且，则 D．若，则 5．已知，是两条不同的直线，，，是三个不同的平面，则下列正确的是（　　） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 6．已知，是两条直线，是一个平面，下列命题正确的是（     ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 7．设，是两条不同的直线，，，是三个不同的平面，给出下列四个命题： ①若，，则；②若，，，则； ③若，，则；④若，，则. 其中正确命题的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 8．已知直线⊥平面，直线⊂平面．则下列结论正确的是（    ） A． B．⊥ C． D．⊥ 9．已知m，n是两条直线，，是两个平面，则下列命题正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 10．已知两个平面和两条直线，满足，下列命题正确的是（   ） A．若不垂直，则不可能垂直 B．若垂直，则可能不垂直 C．若不平行，则不可能平行 D．若平行，则可能不平行 题型二 直线与直线垂直的判定 垂直关系里线线垂直是基础 【例题精讲】 1．在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，，，为的中点，二面角为直二面角. (1)求证：； (2)求平面与平面所成角的余弦值； 2．如图，在多面体中，平面平面，在平行四边形和四边形中，，点，分别是，的中点，，，． (1)判断直线与直线的位置关系，并说明理由； (2)证明：； (3)若，求直线与平面所成角的正弦值． 3．已知四棱锥，底面为矩形，、、分别是、、的中点．设平面与平面的交线为，平面平面． (1)证明：平面平面； (2)求证：； (3)求证：． 4．如图，在四棱锥P-ABCD中，，O，M分别是AD，AP中点，底面ABCD为菱形，平面平面ABCD，． (1)证明：； (2)求D到平面MOB的距离． 5．如图，在直三棱柱 中， P，M，N分别是 的中点.    (1)证明：； (2)求二面角的正弦值. 6．三棱柱中，平面，，是棱的中点，． (1)证明：； (2)设，的中点为，求点到平面的距离． 7．如图，在棱长为2的正方体中，点E、F分别是棱BC，的中点， (1)求证：； (2)求异面直线EF与所成角； (3)已知P是侧面内一点，若平面，求线段长度的取值范围． 8．在长方体中，，，为棱上的动点（不包含端点，）． (1)证明：； (2)当时，求二面角的余弦值． 9．如图，在四棱锥中，平面平面，，，，，． (1)证明：； (2)设三棱锥外接球的球心为E，求二面角的余弦值． 10．如图，在三棱柱中，平面平面，，，，. (1)证明：； (2)若三棱锥的体积为，求平面与平面夹角的余弦值. 题型三 直线与平面垂直的判定 1．证明直线与平面垂直的常用方法 (1)判定定理． (2)垂直于平面的传递性(a∥b，a⊥α⇒b⊥α)． (3)面面平行的性质(a⊥α，α∥β⇒a⊥β)． (4)面面垂直的性质(α⊥β，α∩β＝a，l⊥a，l⊂β⇒l⊥α)． 2．证明线面垂直的核心是证线线垂直，而证明线线垂直则需借助线面垂直的性质．因此判定定理与性质定理的合理转化是证明线面垂直的基本思想． 【例题精讲】 1．如图，在四棱锥中，底面为菱形，，且，. (1)求证：平面； (2)若，，点在线段上，且，求平面与平面夹角的余弦值. 2．如图，在四棱锥中，，，15，25. (1)求证：面； (2)求证：二面角是直二面角； (3)在平面上求点，使面. 3．如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，，，O为中点，平面，，M为中点． (1)证明：平面； (2)证明：平面； (3)求三棱锥的体积． (4)求直线与平面所成角的余弦值． (5)求平面与平面所成角的余弦值． 4．如图，在三棱柱中，，，，. (1)证明：平面； (2)求平面与平面的夹角的余弦值. 5．如图，在三棱台中，，，平面平面，且，.    (1)证明：平面； (2)求平面与平面夹角的正弦值. 6．如图，在边长为2的正方体中，为中点， (1)证明： 平面； (2)证明：平面； (3)求三棱锥的体积. 7．如图，在四棱锥中，已知为正三角形，四边形为直角梯形，平面平面，，O为中点． (1)证明：平面； (2)求平面与平面所成夹角的余弦值． 8．如图，在直三棱柱中，，． (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值． 由（1）知，平面， 所以平面的一个法向量为，取， 直线的方向向量为， 设直线与平面所成的角为， 则 所以直线与平面所成角正弦值为． 9．如图，在矩形中，，分别是的中点，点分别是对角线上的动点（不包括端点），且，将四边形沿翻折，使平面平面．    (1)求证：平面； (2)求线段的长（用表示）； (3)当线段的长最小时，求平面与平面夹角的余弦值． 10．如图，直角梯形ABCD中，，，，E为AB的中点，以DE为折痕把折起，使点A到点P的位置，且．    (1)设平面PBC与平面PDE的交线为l，证明：. (2)证明：平面； (3)求二面角的正切值． 题型四 直线与平面垂直的性质 垂直关系中线面垂直是重点 (1) (2) 【例题精讲】 1．如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，，，为中点，平面，，为中点． (1)证明：平面； (2)求直线与平面所成角的余弦值． 2．如图，四棱锥中，平面平面，，． (1)证明：平面； (2)若，，，四棱锥外接球的球心为O，求直线AO 与平面PCD所成角的正弦值． 3．如图，在三棱锥中，侧棱底面，且，，点为棱的中点，四面体的外接球与直线的另一交点为. (1)证明：平面； (2)若，三棱锥的体积是，求直线与平面所成角的正弦值. 4．如图，四棱锥的底面是矩形，平面，点是棱上的动点，点是棱中点，.    (1)求证：； (2)若 平面，求直线与平面所成角的正弦值. 5．如图所示，四边形为矩形，平面，，为上的点，且平面. (1)求三棱锥的体积； (2)设在线段上，且满足，则线段上是否存在一点，使得平面？ 6．如图，在四棱锥中，平面，，，，，. (1)证明：平面平面； (2)若直线与平面所成的角为，求线段的长； 7．如图，是的直径，垂直于所在的平面，是圆周上不同于的一动点. (1)证明：平面； (2)证明：平面平面； (3)若，，求直线与平面所成角的正弦值. 8．如图，在四边形中，，，，.将沿翻折至（为点的对应点），使得平面与平面垂直. (1)证明：； (2)求平面与平面的夹角的余弦值. 9．已知四面体中，，，为中点，．作，垂足为． (1)证明：； (2)若，，四面体的体积大于，求二面角的正切值的取值范围． 10．如图，在四棱锥中，底面是正方形，平面，垂足为，，交于点，点是的中点． (1)求证：平面． (2)求证：平面． (3)求直线与平面所成角的大小． 题型五 平面与平面垂直的判定与性质 1．判定面面垂直的方法 (1)面面垂直的定义． (2)面面垂直的判定定理． 2．面面垂直性质的应用 (1)面面垂直的性质定理是把面面垂直转化为线面垂直的依据，运用时要注意“平面内的直线”． (2)若两个相交平面同时垂直于第三个平面，则它们的交线也垂直于第三个平面． 【例题精讲】 1．如图，四棱锥的底面为平行四边形，，，与全等． (1)求证：平面平面； (2)设平面平面． （i）求证：平面； （ii）当二面角的大小为多少时，四棱锥的体积取得最大值？求出该最大值． 2．如图所示，圆柱的一个轴截面为矩形，是圆柱底面的直径，为底面圆心，为圆柱的一条母线，为的中点，且. (1)求证：平面平面； (2)求平面与平面夹角的大小. 3．如图，在四棱锥中，，，，M，N分别为PA，BC的中点，底面四边形是边长为2的菱形且，AC交BD于点O. (1)求证：平面PCD； (2)求证：平面平面ABCD； (3)求二面角的平面角的余弦值. 4．如图，三棱锥的体积为，，，为的中点 (1)求证：平面平面 (2)线段上是否存在点使得与平面所成的角的正弦值为，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由． 5．如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面，为的中点． (1)求证：平面． (2)已知． （i）若，求证：平面平面； （ii）若，求异面直线与所成角的余弦值． 6．如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，分别是棱，，，的中点，且，． (1)证明：． (2)证明：平面平面． 7．如图1，已知的边长分别为，，，为上的高．    (1)如图2，将绕旋转至，使．证明：平面平面； (2)如图3，为中点，将绕旋转至，使．求三棱锥的体积． 8．现有两个含角的全等直角三角板，较短直角边长均为，如图，与为这两个三角板，其中，.初始时，两三角板的直角顶点重合于点，斜边，共线.现将两三角板绕点平行展开，得到四棱锥. (1)求证：平面平面； (2)设平面平面. （ⅰ）求证：平面； （ⅱ）当二面角的大小为多少时，四棱锥的体积取得最大值？求出该最大值. 9．如图，在底面是矩形的四棱锥中，平面，，，是的中点． (1)求证：平面平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值； (3)求三棱锥的体积． 10．如图，几何体为圆柱的一部分，为底面圆的圆心，底面， ，，为弧上任意一点，为弧的中点，. (1)证明: 平面平面; (2)已知二面角的大小为，且，求平面与平面夹角的余弦值. 题型六 几何法求直线与平面所成的角与二面角 (1)利用几何法求空间线线角、线面角、二面角时要注意“作角、证明、计算”是一个完整的过程，缺一不可． (2)斜线与平面所成的角，首先作出平面的垂线，得出斜线在平面内的射影，从而得出斜线与平面所成的角，转化为直角三角形求解． (3)求空间角中的难点是求二面角，作二面角的平面角的常用方法有： ①定义法：根据平面角的概念直接作，如二面角的棱是两个等腰三角形的公共底边，就可以取棱的中点； ②垂面法：过二面角棱上一点作棱的垂面，则垂面与二面角的两个半平面的交线所成的角就是二面角的平面角或其补角； ③垂线法：过二面角的一个半平面内一点A作另一个半平面所在平面的垂线，得到垂足B，再从垂足B向二面角的棱作垂线，垂足为C，这样二面角的棱就垂直于这两条垂线所确定的平面ABC，连接AC，则AC也与二面角的棱垂直，∠ACB就是二面角的平面角或其补角，这样就把问题归结为解一个直角三角形，这是求解二面角最基本、最重要的方法． 【例题精讲】 1．如图，在正方体中，E，F分别为，的中点. (1)证明：平面. (2)求二面角的正弦值. 2．如图所示，正方体的棱长为1，，求： (1)与所成角的度数； (2)与平面所成角的正切值； (3)平面与平面所成二面角的大小． 3．已知正方形的边长为6，点为边的中点，将沿着折起，使点到的位置，此时点在平面内的射影在上，是线段上一点. (1)求点到平面的距离； (2)求证：； (3)当二面角的余弦值为时，求. 4．在四棱锥中，平面平面ABCD，，底面ABCD为菱形，，，E，F分别是SA，BC的中点．    (1)求证：平面SCD； (2)求二面角的余弦值； (3)求点B到平面SCD的距离． 5．如图，在长方体中，，，点P为棱中点. (1)求证：平面PAC； (2)求异面直线与CP所成角的大小； (3)求二面角的平面角的正切值. 6．如图所示，圆台的上、下底面圆半径分别为4和6，，分别为圆台的上、下底面圆的圆心，，为圆台的两条不同的母线． (1)求证：； (2)已知，，求二面角的大小． 7．如图，在三棱台中，平面平面，，，. (1)求证：； (2)求直线与平面所成的角的正弦值. 8．（本题不可用建系方法做，否则不得分）如图，多面体是由直三棱柱截去一部分后而成，是的中点，且，. (1)若为的中点，在上，且，证明：直线平面； (2)若，求直线与平面所成角的正弦值. 9．如图，四棱锥的底面是梯形，平面，且，，，，为的中点. (1)求证：平面平面； (2)当二面角的余弦值为时，求直线与平面所成角的正切值. 10．四棱锥的底面为矩形，，，，．    (1)证明：平面平面； (2)设四棱锥的外接球的球心为M，且点M与点P在平面的同一侧，球M的半径为． （i）求平面与平面夹角的余弦值； （ii）已知平面与平面的交线为l，点Q在l上，设直线和平面所成的角为，求的取值范围． 课时精练 1．如图，在四棱锥中，底面ABCD是边长为2的菱形，，，，AC与BD交于点O．    (1)求证：平面ABCD； (2)求平面PAB与平面PCD的夹角的余弦值． 2．如图，在四棱锥中，底面为正方形，底面，，E为线段的中点，F为线段上的动点．    (1)证明：平面平面； (2)设点G是线段上的一点，且满足．在线段上是否存在点F，使得A，E，G，F四点共面？若存在，试确定点F的位置；若不存在，请说明理由； (3)求平面与平面夹角的余弦值的最大值． 3．如图，在直四棱柱中，底面四边形是菱形．    (1)求证：平面； (2)若，，，点在棱上，，且平面． ①求点到平面的距离； ②求二面角的正弦值． 4．如图，在三棱柱中，平面平面，，，，为的中点. (1)求证：； (2)若直线与平面所成角的正切值为，求平面与平面所成角的余弦值. 5．如图，在四棱台中，，，；，. (1)证明：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值. 6．如图，在三棱柱中，，，，，D是棱的中点． (1)证明：平面． (2)在答题卡中作出二面角的平面角，并写出作法与理由． (3)在棱上是否存在一点E，使得与平面所成角的正切值为？若存在，求出的长度；若不存在，请说明理由． 7．如图，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，，侧面为等边三角形，且平面平面，为的中点． (1)证明:; (2)点在棱上（含端点），且直线与平面所成角的正弦值为，求出所有满足条件的点，指出其位置． 8．如图甲，是等边三角形，为等腰直角三角形，，将沿翻折到的位置，其中（如图乙），点F在线段上（不含端点）． (1)证明：； (2)设平面与平面的夹角为，求的取值范围． 9．如图，在斜三棱柱中，侧面⊥底面，是等腰直角三角形，，是边长为2的等边三角形，D为的中点. (1)证明：. (2)求平面与平面所成角的余弦值. (3)若点A，B，，D均在球M的球面上，求球M的体积. 10．如图，已知梯形中，，，， 点E是中点；将沿折起到的位置 (1)证明：平面平面； (2)若二面角的大小为，求二面角正弦值. 11．如图，直四棱柱的所有棱长均为2，，M，N分别为AD，的中点． (1)求证：平面平面； (2)若动点P满足，且． （ⅰ）若，E为上一动点，且平面ABCD，求EP的最小值； （ⅱ）若，点O为三棱锥外接球的球心，求OP的取值范围． 12．如图，在四棱锥中，，且． (1)证明：平面平面； (2)若，，且四棱锥的体积为，求该四棱锥的侧面积． (3)若为棱的中点，在（2）的条件下，求二面角的余弦值． 13．如图，在三棱台中，，， ，，分别为的中点，且 (1)证明：平面； (2)证明：平面平面； (3)若，求平面与平面的夹角的正弦值. 14．如图，四棱锥中，底面满足，，，，分别是，的中点，且，． (1)证明：平面平面； (2)若，求平面与平面的夹角的余弦值． 15．如图，在四棱锥中，底面为矩形，，，侧面为正三角形，平面平面，点为棱上一点，、分别为，中点． (1)求证：平面平面； (2)若点E为中点，求直线与平面夹角的余弦值． 16．在边长为4的菱形中，，对角线与交于点O，将沿折起，使得点A到达点P的位置，得到如图所示的三棱锥，M为直线上一点． (1)证明：平面平面； (2)若二面角的大小为120°，直线与平面所成角的正弦值为，求的值． 17．如图，在三棱柱中，所有棱长均为，，． (1)证明：平面平面； (2)求直线与所成角的余弦值； (3)求二面角的正弦值． 18．如图，在梯形中，，，，为的中点，将沿翻折至的位置，使点落在点的位置，且，，分别为，的中点. (1)证明：平面平面. (2)若线段上存在点，使得平面平面， （i）猜想的值，并说明理由； （ii）求二面角的正弦值. 19．如图，底面是正方形的直棱柱中，，． (1)求直线与所成角的正弦值； (2)求证：． 20．如图，在四棱锥中，为等边三角形，平面平面，，，，， (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)线段上是否存在一点，使得二面角的平面角的余弦值为．若存在，求出值；若不存在，请说明理由． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $ 第43讲 空间直线、平面的垂直 题型一 空间中垂直关系的基本问题 3 题型二 直线与直线垂直的判定 7 题型三 直线与平面垂直的判定 23 题型四 直线与平面垂直的性质 40 题型五 平面与平面垂直的判定与性质 53 题型六 几何法求直线与平面所成的角与二面角 67 课时精练 85 【基础回顾】 知识点1．直线与平面垂直 (1)直线与平面垂直的定义 如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，就说直线l与平面α互相垂直． (2)判定定理与性质定理 文字语言 图形表示 符号表示 判定定理 如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直 ⇒l⊥α 性质定理 垂直于同一个平面的两条直线平行 ⇒a∥b 知识点2．直线与平面所成的角 (1)定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角叫作这条直线与这个平面所成的角．一条直线垂直于平面，则它们所成的角是90°；一条直线和平面平行或在平面内，则它们所成的角是0°． (2)范围：． 知识点3．二面角 (1)定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫作二面角． (2)二面角的平面角：在二面角的棱上任取一点，以该点为垂足，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所构成的角叫作二面角的平面角． (3)范围：[0，π]． 知识点4．平面与平面垂直 (1)平面与平面垂直的定义 两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直． (2)判定定理与性质定理 文字语言 图形表示 符号表示 判定定理 如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直 ⇒α⊥β 性质定理 两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直 ⇒ l⊥α 【必备知识】 1．两个重要结论 (1)若两平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面． (2)若一条直线垂直于一个平面，则它垂直于这个平面内的任何一条直线(证明线线垂直的一个重要方法)． 2．三种垂直关系的转化 线线垂直线面垂直面面垂直 3．三垂线定理 在平面内的一条直线，如果和穿过这个平面的一条斜线在这个平面内的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直． 4．三垂线定理的逆定理 平面内的一条直线如果和穿过该平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线在该平面内的射影垂直． 5．空间射影定理：如图，如果二面角α－AB－β的大小为θ，则cosθ＝． 题型一 空间中垂直关系的基本问题 与垂直关系有关命题真假的判断方法 (1)借助几何图形来说明． (2)寻找反例，只要存在反例，结论就不正确． (3)反复验证所有可能的情况，必要时要运用判定或性质定理进行简单说明． 【例题精讲】 1．设m，n是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【详解】若，则或，所以A错误； 若，则或，所以B错误； 若，则或与相交，所以C错误； 若，根据线面垂直的性质定理可知，，所以D正确. 2．设l，m，n均为直线，其中m，n在平面内，“且”是“”的（    ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据直线与平面垂直的判定与性质可直接解决本题. 【详解】由于题干未指定与n为平面内两条相交直线，故且不能必然推出， 故“且”是“”的不充分条件； ，故“且”是“”的必要条件. 所以，“且”是“”的必要不充分条件. 3．已知，，为三条不同的直线，，为两个不同的平面，则下列结论正确的是（    ） A．若,,则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，，则 【答案】D 【分析】根据线线，线面，面面的位置关系判断选项. 【详解】A. 若,,则与相交，平行，或在面内，故A错误； B. 若，，只有与两平面的交线垂直，才有，故B错误； C. 若，，则与相交或平行，故C错误； D. 若，，，则，故D正确. 4．设表示不同的直线，表示不同的平面，下列命题中正确的是（　　） A．若，则 B．若，则 C．若，且，则 D．若，则 【答案】C 【分析】根据空间直线，平面的位置关系及其性质逐项分析判断. 【详解】对于A，若，，则与可能会相交或平行，故A错误； 对于B，若，则可能会平行、相交或异面，故B错误； 对于C，若，且，根据线面垂直的性质可知，故C正确； 对于D，若，则与可能会相交或平行，故D错误. 5．已知，是两条不同的直线，，，是三个不同的平面，则下列正确的是（　　） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】C 【分析】根据线面位置关系的判定定理和性质定理，逐项分析，即可判断． 【详解】对于A，若，，则与可能相交、平行或异面，故A错误； 在B中，若，，则α与β可能相交或平行，故B错误； 在C中，若，，则由线面垂直的性质定理得，故C正确； 在D中，若，，则α与β可能相交或平行，故D错误． 6．已知，是两条直线，是一个平面，下列命题正确的是（     ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】D 【分析】根据线面垂直、线面平行、线线平行、线线垂直的判定定理和性质定理，逐一分析选项，进行判断即可. 【详解】对于A选项，若，，则的位置存在两种可能：或，并不一定平行于，故A错误； 对于B选项，平行于同一平面的两条直线位置关系不唯一，可能平行、相交或异面，无法推出，故B错误； 对于C选项，若，，则与的位置关系可能为平行、相交或，并非一定垂直于，故C错误； 对于D选项，根据线面垂直的性质定理，若一条直线垂直于一个平面，则该直线垂直于平面内的所有直线，故D正确. 7．设，是两条不同的直线，，，是三个不同的平面，给出下列四个命题： ①若，，则；②若，，，则； ③若，，则；④若，，则. 其中正确命题的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】利用线面垂直的定义和线面平行的性质判断命题①；利用面面平行的传递性和线面垂直的性质判断命题②；平行于同一平面的两条直线，位置关系不唯一，可举反例判断命题③；利用线面垂直的性质定理判断命题④. 【详解】命题①，若，则垂直于内任意一条直线，又，可知在内存在直线与平行，所以，又，所以，①正确； 命题②，若，，则，又，所以，②正确； 命题③，若，，则与可能相交、异面或，③错误； 命题④，若，，利用线面所成角的性质可得，④正确. 8．已知直线⊥平面，直线⊂平面．则下列结论正确的是（    ） A． B．⊥ C． D．⊥ 【答案】AC 【详解】对于选项A：若，由，得，又，故，A正确. 对于选项B：若，，则或，结合，与可能平行、相交或异面，B错误. 对于选项C：若，由，得，又，故，C正确. 对于选项D：若，，则或，结合，与可能平行或相交，D错误. 9．已知m，n是两条直线，，是两个平面，则下列命题正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】AC 【分析】根据空间线、面位置关系依次判断即可. 【详解】对于A，若，，则，故A正确； 对于B，若，，则或m与n为异面直线或相交直线，故B错误； 对于C，若，，则，故C正确； 对于D，若，，当时，不成立，故D错误. 10．已知两个平面和两条直线，满足，下列命题正确的是（   ） A．若不垂直，则不可能垂直 B．若垂直，则可能不垂直 C．若不平行，则不可能平行 D．若平行，则可能不平行 【答案】BD 【分析】根据空间中面面位置关系与线线位置关系的判定，可通过生活中的实物模型举反例结合空间几何基本定理判断各选项正误。 【详解】对于A，想象一本半打开的书（比如打开成 角），左边的书页是平面 ，右边的书页是平面，显然这两个平面不垂直， 在左边书页上，画一条直线 垂直于书脊（交线），在右边书页上，取书脊即交线为，此时互相垂直的， 因此平面不垂直，也可以垂直，故A错误；   对于B，想象教室的墙角，地面是平面，前面的黑板墙面是平面 ，它们互相垂直， 在地面上画一条直线，让它平行于墙脚线（交线），在黑板墙面上也画一条直线 ，让它也平行于墙脚线，此时，直线和直线是互相平行的， 因此即使平面垂直，可以平行，即可能不垂直，故B正确； 对于C，还是那本半打开的书，左右两页纸代表平面和，它们相交于书脊，肯定不平行， 在左页纸上画一条横线平行于书脊，在右页纸上也画一条横线平行于书脊， 根据几何公理（如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线互相平行），和都平行于书脊，所以和互相平行， 因此哪怕平面相交（不平行），依然可以平行，故C错误； 对于D，想象教室的天花板是平面，地面是平面，这两个平面是平行的， 在天花板上画一条直线，方向是南北走向，在地面上画一条直线，方向是东西走向， 直线 a在头顶，直线在脚下，方向还互相交叉，它们既不会相交，方向也不一样，这种关系叫作异面直线，既然是异面，它们自然不平行， 因此平面平行，可以是异面的（即不平行），故D正确. 题型二 直线与直线垂直的判定 垂直关系里线线垂直是基础 【例题精讲】 1．在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，，，为的中点，二面角为直二面角. (1)求证：； (2)求平面与平面所成角的余弦值； 【答案】(1)因为二面角为直二面角，所以平面平面. 正方形中，. 又平面平面，平面，所以平面. 因为平面，所以. 又，，平面，所以平面. 因为平面，所以. (2) 【分析】（1）根据面面垂直的性质、线面垂直的性质及线面垂直的判定定理证明即可. （2）建立空间直角坐标系，求出平面与平面的法向量，结合面面角的向量求法求解即可. 【详解】（1）略 （2）在中，，为的中点，， 所以，. 又平面平面，平面平面，平面， 所以平面. 取中点，连接，因为平面，所以. 正方形中，为中点，所以. 所以两两垂直. 以为原点，以为轴建立空间直角坐标系， 则，，，. 所以，，，. 设平面的法向量为， 则，即，令，则，所以. 设平面的法向量为， 则，即，则，令，则， 所以. 设平面与平面所成角为， 则， 故平面与平面所成角的余弦值为. 2．如图，在多面体中，平面平面，在平行四边形和四边形中，，点，分别是，的中点，，，． (1)判断直线与直线的位置关系，并说明理由； (2)证明：； (3)若，求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)，理由见解析； (2)证明见解析； (3). 【分析】（1）根据两个平面内的一组相交直线分别对应平行可判断两平面平行，再根据面面平行的性质即可解答； （2）根据面面垂直的性质可判定平面，再根据线面垂直的定义即可证明结论； （3）根据已知数据建立合适的空间直角坐标系即可根据线面角的向量求法解答. 【详解】（1），理由如下： 因为四边形为平行四边形，所以， 又因为，且， ，平面，平面，平面，平面， 所以平面平面， 又平面平面，平面平面，所以. （2）因为，是的中点，所以. 又因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面. 因为平面，所以. （3）如图1，作，连接，作， 因为，所以， 又，所以四边形为矩形. 由知，， 在中，， 所以，为的中点，所以为正三角形， 如图2，连接，因为是的中点，所以，以为原点，以直线分别为轴建立空间直角坐标系. 因为，所以，在正中，，所以， ，所以，， 所以， ，所以，是的中点，所以， 所以，，， 设平面的法向量为，则，即， 所以平面的一个法向量为， 设直线与平面所成角为，则， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 3．已知四棱锥，底面为矩形，、、分别是、、的中点．设平面与平面的交线为，平面平面． (1)证明：平面平面； (2)求证：； (3)求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）证明出平面，平面，利用面面平行的判定定理可证得结论成立； （2）证明出平面，利用线面平行的性质定理可证得结论成立； （3）利用面面垂直的性质得出平面，再利用线面垂直的定义可证得结论成立. 【详解】（1）因为、、分别是、、的中点，所以，， 又因为底面为矩形，所以，所以， 又平面，平面，所以平面． 又因为平面，平面，所以平面． 因为，、平面，所以平面平面． （2）因为底面为矩形，所以， 又因为平面，平面，所以平面． 因为平面，平面平面，所以． （3）因为四边形为矩形，所以， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 因为平面，故. 4．如图，在四棱锥P-ABCD中，，O，M分别是AD，AP中点，底面ABCD为菱形，平面平面ABCD，． (1)证明：； (2)求D到平面MOB的距离． 【答案】(1)连接PO，BD，如图一所示， ，，∵平面平面ABCD， 平面平面，平面，平面ABCD， 平面ABCD，， 又平面PAD，平面PAD， 又平面PAD，. (2) 【分析】（1）通过面面垂直得到，继而通过平面PAD，最终完成证明 （2）建系利用向量法求解或利用等体积法求解 【详解】（1）略 （2）由（1）得,又∵O为AD的中点,， ,是正三角形，,. 法一：以O为原点，OA，OB，OP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图一所示的空间直角坐标系， 则 ， ， 设平面MOB的一个法向量为， 则即， 取，则，， ∴点D到平面MOB的距离， ∴点D到平面MOB的距离为. 法二：连接MD，设点D到平面MOB的距离为h， ， ，M到平面ABCD的距离为P到平面ABCD距离的， 即，，， ，∴点D到平面MOB的距离为. 5．如图，在直三棱柱 中， P，M，N分别是 的中点.    (1)证明：； (2)求二面角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析； (2) 【分析】（1）由直三棱柱中得到平面，利用线面垂直的定义得到，利用线面垂直的判定定理得到平面，从而得到，又利用平行的传递性得到，从而利用线面垂直的判定定理得到平面，利用线面垂直的定义得到. （2）建系找点坐标，求平面内向量，求解两个半平面的法向量，利用法向量夹角公式求余弦值，结合三角恒等变换求正弦值. 【详解】（1）直三棱柱中，平面， 平面， ， 又 ， ，平面，平面， 平面， 平面，， 又 ，， 由，可知是边长为的正方形，， 是的中点，是的中点，, ，，， 平面，平面，，， 平面，平面，平面， 平面，. （2）由（1）知，，， 以为原点，、、分别为、、轴，建立空间直角坐标系， 则，，，，，， 是中点，， 是中点，， ，， 设平面的法向量为 ， 则，令，则，，则， ， 设平面的法向量为 ， 则，令，则，，， 设二面角的平面角为，该二面角为锐角， 则， 则.    6．三棱柱中，平面，，是棱的中点，． (1)证明：； (2)设，的中点为，求点到平面的距离． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）在中，利用勾股定理的逆定理可得．结合，可得平面．由线面垂直的性质定理即可得证； （2）先证明平面，可得，，两两垂直，然后建立空间坐标系，利用空间向量求解即可. 【详解】（1）如图所示，由题设知，三棱柱的侧面为矩形． 由于为的中点，故． 又， 可得 ， 所以． 又因为，， 所以平面． 因为平面， 所以． （2）由（1）可知， 又因为平面．平面, 所以， 又因为，平面，且， 所以平面， 所以，，两两垂直． 以为坐标原点，的方向为轴的正方向，的方向为轴的正方向，的方向为轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系． 由题意知，，，，， 则，，． 设是平面的法向量， 则,即， 取，得． 设点到平面的距离为，则． 7．如图，在棱长为2的正方体中，点E、F分别是棱BC，的中点， (1)求证：； (2)求异面直线EF与所成角； (3)已知P是侧面内一点，若平面，求线段长度的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）连接，证明平面即可证明结论； （2）连接，由题意可得，进而结合为等边三角形可得结论； （3）分别取的中点，连接，先证明平面平面，结合平面确定的位置，并根据各边长度得到的最小值和最大值，得到答案. 【详解】（1）连接，因为是正方形，所以， 由正方体，可得平面， 又平面，所以， 又，平面， 所以平面，平面，所以， 又因为点E、F分别是棱BC，的中点，所以，所以； （2）连接，由（1）可得， 所以或其补角为异面直线EF与所成的角， 由正方体，可得， 所以为等边三角形，所以， 所以异面直线EF与所成的角为； （3）分别取的中点，连接，所以， 因为E，F分别是棱的中点，所以，所以， 因为平面，平面，所以平面， 因为分别是棱的中点，所以，且， 所以四边形是平行四边形，所以，且， 又，且，所以，且， 所以四边形是平行四边形，所以， 又因为平面，平面，所以平面， 又，平面， 所以平面平面，又因为P是侧面内一点，若平面， 所以点在上， 因为正方体的棱长为2，所以由勾股定理可得，， 当为的中点时，，此时的长最短，此时， 所以； 当与重合时，可得最大，最大值为， 所以线段长度的取值范围是. 8．在长方体中，，，为棱上的动点（不包含端点，）． (1)证明：； (2)当时，求二面角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2)． 【分析】（1）利用线面垂直的判定性质推理得证. （2）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，再利用面面角的向量法求解. 【详解】（1）在长方体中，连接，由，得底面是正方形， 则，由平面，平面，得， 又，平面，因此平面， 无论点在线段上如何移动，平面， 所以. （2）以为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，连接， 则，， 设平面的法向量，则，取，得， 平面的法向量，则， 由图知，二面角的余弦值为钝角，所以所求余弦值为. 9．如图，在四棱锥中，平面平面，，，，，． (1)证明：； (2)设三棱锥外接球的球心为E，求二面角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由题意可证得，四边形为正方形，从而可得，进而利用线面垂直的判定定理可得平面，进而可证结论； （2）由题意可得为的中点，建立空间直角坐标系，利用向量可求得二面角的余弦值． 【详解】（1）取的中点，连接， 因为，所以，因为，所以， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面，因为平面，所以， 在中，，，所以， 所以，又因为为的中点，所以， 又，所以，所以， 又因为，所以， 又因为，所以， 所以四边形是矩形，又，所以为正方形， 所以，又，平面， 所以平面，又因为平面，所以； （2）因为为正方形，又平面， 所以为四棱锥的外接球的直径， 又四棱锥的外接球即为三棱锥的外接球， 所以为的中点， 以为坐标原点，为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系， 因为，所以， 则， 所以， 设平面的一个法向量为， ，令，则， 所以平面的一个法向量为， 又为平面的一个法向量， 所以. 所以二面角的余弦值为． 10．如图，在三棱柱中，平面平面，，，，. (1)证明：； (2)若三棱锥的体积为，求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）先通过余弦定理与勾股定理证明，再结合面面垂直的性质定理证得平面，进而推出平面，最终得到; （2）先由三棱锥体积公式求出的长度，再以为原点建立空间直角坐标系，求出两个平面的法向量，最后利用法向量夹角公式计算平面夹角的余弦值. 【详解】（1）在中，由余弦定理可得，，解得， 因为，所以， 因为平面平面，平面平面， 所以平面， 因为平面，所以. 因为，，所以平面， 所以； （2）依题意，三棱锥的体积为， 解得， 如图所示，以为原点，分别以，，所在直线为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系， 所以，，，， ，，， 设平面的法向量为，则， 令，则， 设平面的法向量为， 则令，则， 设平面与平面的夹角为， 则， 所以平面与平面夹角的余弦值为. 题型三 直线与平面垂直的判定 1．证明直线与平面垂直的常用方法 (1)判定定理． (2)垂直于平面的传递性(a∥b，a⊥α⇒b⊥α)． (3)面面平行的性质(a⊥α，α∥β⇒a⊥β)． (4)面面垂直的性质(α⊥β，α∩β＝a，l⊥a，l⊂β⇒l⊥α)． 2．证明线面垂直的核心是证线线垂直，而证明线线垂直则需借助线面垂直的性质．因此判定定理与性质定理的合理转化是证明线面垂直的基本思想． 【例题精讲】 1．如图，在四棱锥中，底面为菱形，，且，. (1)求证：平面； (2)若，，点在线段上，且，求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）利用菱形对角线中点的性质，结合等腰三角形三线合一，证明同时垂直于平面内的两条相交直线和，从而证得平面； （2）建立空间直角坐标系，求出各点坐标与向量，分别计算出平面与平面的法向量，再利用向量夹角公式，即可求得. 【详解】（1）证明：因为为菱形，， 所以为中点，也为中点. 在中，，所以， 在中，，所以， 又，平面， 所以平面. （2）由（1）得平面，又因为平面， 所以，， 又，所以如图以为原点，为轴正方向，为轴正方向，为轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系， 由题意知，，， 所以在中，，即，所以， 所以， 在中，，即，所以， 则，，，，， 由，得， 因为，所以， 所以， 所以，，， ， 设平面的一个法向量为，则， 即，取，则，，则， 设平面的法向量为，则， 即，取，则，，则， 设平面与平面的夹角为，则 ， 所以平面与平面夹角的余弦值为. 2．如图，在四棱锥中，，，15，25. (1)求证：面； (2)求证：二面角是直二面角； (3)在平面上求点，使面. 【答案】(1)如图所示： 连接BD，取BD的中点O，连接PO，因为，， 所以的外接圆的圆心为BD的中点，即点O，也为点P在底面ABCD上的射影，则平面ABCD， 因为平面ABCD，所以，又因为，满足所以， 又，所以面； (2)以A为原点，以AB，AD分别为x，y轴，建立空间直角坐标系：则 易得，则，设，则， 因为，所以，解得，则 所以， 设平面PBC的一个法向量为则，即， 令，则，所以， 设平面PCD的一个法向量为则，即， 令，则，所以， 因为，所以，则平面平面PDC，所以二面角是直二面角； (3). 【分析】（1）连接BD，取BD的中点O，连接PO，易得平面ABCD，从而，再由得到，然后利用线面垂直的判定定理证明； （2）以A为原点，以AB，AD分别为x，y轴，建立空间直角坐标系，分别求得平面PBC和平面PDC，利用向量法求解； （3）根据面，得到，设，由求解. 【详解】（1）如图所示： 连接BD，取BD的中点O，连接PO， 因为，， 所以的外接圆的圆心为BD的中点，即点O， 也为点P在底面ABCD上的射影，则平面ABCD， 因为平面ABCD,所以， 又因为，满足 所以，又， 所以面； （2）以A为原点，以AB，AD分别为x，y轴，建立空间直角坐标系： 则 易得，则， 设，则 ，因为， 所以，解得， 则 所以， 设平面PBC的一个法向量为 则，即 令，则， 所以， 设平面PCD的一个法向量为 则，即 令，则， 所以， 因为，所以， 则平面平面PDC，所以二面角是直二面角； （3）因为面，所以，设， 则， 因为， 所以， 解得， 则. 3．如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，，，O为中点，平面，，M为中点． (1)证明：平面； (2)证明：平面； (3)求三棱锥的体积． (4)求直线与平面所成角的余弦值． (5)求平面与平面所成角的余弦值． 【答案】(1)连接，因为底面为平行四边形，为中点， 故与相交于， 因为为的中点，所以， 因为平面，平面，所以平面. (2)因为，，所以，即， 因为平面，平面，所以， 因为平面，且，所以平面. (3) (4) (5) 【分析】（1）作出辅助线，由中位线得到线线平行，进而证明出线面平行； （2）利用线面垂直的判定定理求证； （3）利用等体积计算即可； （4）取的中点，求证为直线与平面所成角，在三角形中计算即可； （5）过点N作于E，求证即为平面与平面所成角即可计算. 【详解】（1）略 （2）略 （3）由，，得， 因为平面，， 所以. （4）取的中点，连接，则， 因为平面，所以平面， 则为直线与平面所成角， 其中，故， 因为，， 由勾股定理得，故， 由勾股定理得，所以， 即直线与平面所成角的余弦值为． （5）过点N作于E，则E为中点，连接， 因为平面，平面，所以， 则即为平面与平面所成角， 因为，，所以， 则平面与平面所成角的余弦值为. 4．如图，在三棱柱中，，，，. (1)证明：平面； (2)求平面与平面的夹角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）设是的中点，连接，先证平面，得，再由勾股定理证明，再由线面垂直的判定定理即可得证； （2）建系，求出相关点与向量的坐标，利用向量法即可求得答案. 【详解】（1）设是的中点，连接， 因为， 所以， 因为平面， 所以平面，因为平面，所以. 在中，由余弦定理得 ，所以， 因为， 所以，所以. 由于平面， 所以平面. （2）以为空间坐标原点，所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系. 过作，垂足为， 由于平面，所以， 由于平面，所以平面. 因,，则， 所以, 则，， 设平面的法向量为， 则，故可取， 因 . 设平面的法向量为， 则，故可取. 设平面与平面的夹角为， 则. 5．如图，在三棱台中，，，平面平面，且，.    (1)证明：平面； (2)求平面与平面夹角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）先利用面面垂直的性质定理推导平面得到，再结合给定的边长关系，通过勾股定理逆定理及线线平行性质证明，最终由线面垂直判定定理得证. （2）在第一问结论的基础上建立空间直角坐标系，求得两个平面对应的法向量，先通过向量点积公式计算两法向量夹角的余弦值，再利用同角三角函数的基本关系求出两平面夹角的正弦值. 【详解】（1）因为，所以. 又平面平面，且平面平面，平面,所以平面. 因为平面，平面，所以，. 又，所以. 又，平面,所以平面，平面,所以. 因为在中，，，所以. 因为在中，，， 所以. 又，所以. 又，且，平面, 所以平面. （2）如图，以为原点，分别以，，的方向为轴、轴、轴正方向建立空间直角坐标系，则，，，.    所以，，，. 设平面的法向量为， 则有不妨取， 则平面的一个法向量为. 设平面的法向量为， 则有不妨取， 则平面的一个法向量为， 所以，所以. 故平面与平面夹角的正弦值为. 6．如图，在边长为2的正方体中，为中点， (1)证明： 平面； (2)证明：平面； (3)求三棱锥的体积. 【答案】(1)在边长为2的正方体中，设交于点，则是中点， 连接，因为为中点，所以 ， 又平面平面，所以 平面. (2)在边长为2的正方体中，平面， 平面， 底面为正方形，， 平面平面， 平面. (3) 【分析】（1）由线面平行的判定定理可得； （2）由线面垂直的判定定理及正方体的性质可得； （3）根据棱锥的体积公式可得. 【详解】（1）略 （2）略 （3）在边长为2的正方体中，平面， 所以三棱锥的体积为. 7．如图，在四棱锥中，已知为正三角形，四边形为直角梯形，平面平面，，O为中点． (1)证明：平面； (2)求平面与平面所成夹角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由面面垂直的性质可得平面，进而得到，再利用勾股定理可得，然后根据线面垂直的判定即可证明； （2）以O为原点，建立如图空间直角坐标系，再利用空间向量法求面面夹角即可． 【详解】（1）因为是边长为2的正三角形， O为中点，所以． ∵平面平面，交线为平面， ∴平面． 因为平面，所以． 在直角梯形中：， ， ， 因此，∴． 又，且平面， ∴平面； （2）以O为原点，建立如图空间直角坐标系， 易得， , 设平面的一个法向量为， 则，令，解得． 又，． 设平面的一个法向量为， 则， 令，解得． 设平面与平面所成夹角为， 则． 8．如图，在直三棱柱中，，． (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)在直三棱柱中，平面，因为平面，所以， 又因为，且，平面，所以平面， 因为平面，所以，又因为， 所以侧面为正方形，所以， 因为，且平面，所以平面. (2) 【分析】（1）根据线面垂直判定定理，通过两次线线垂直，推导出直线垂直平面即可； （2）解法一：先利用三棱锥等体积互换，换顶点、换底面，由算出到平面距离；再依据线面角定义：线面角正弦=垂距/斜线长，代入求值即可；解法二： 先根据垂直条件建空间直角坐标系，写出坐标，再借用第(1)问线面垂直结论直接得到平面法向量，搭配斜线方向向量，最后套用线面角向量公式计算即可. 【详解】（1）略 （2）解法一（等体积法）：设点到平面的距离为． 因为， ． 由得，即． 所以直线与平面所成角正弦值为． 解法二：如图，以为原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则，，，，，， 由（1）知，平面， 所以平面的一个法向量为，取， 直线的方向向量为， 设直线与平面所成的角为， 则 所以直线与平面所成角正弦值为． 9．如图，在矩形中，，分别是的中点，点分别是对角线上的动点（不包括端点），且，将四边形沿翻折，使平面平面．    (1)求证：平面； (2)求线段的长（用表示）； (3)当线段的长最小时，求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2)； (3)． 【分析】(1) 要证明 平面 ，需根据线面垂直判定定理，证明 垂直于平面 内的两条相交直线.由正方形性质可得 ，再结合面面垂直的性质证明 平面 ，得到 ，即可满足判定条件. (2) 以 为原点建立空间直角坐标系，写出各顶点坐标，根据 将点 、 的坐标用参数 表示，通过向量模长公式即可求出 的长度表达式. (3) 先对 长度的表达式配方，求出 最短时对应的 值，确定此时 、 的坐标，再分别求出平面 与平面 的法向量，利用空间向量夹角公式计算两法向量夹角的余弦值，取绝对值即为两平面夹角的余弦值. 【详解】（1）证明：在矩形中，，点分别是的中点， 所以四边形和是全等的正方形，所以， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 因为平面，所以， 又因为，，平面， 所以平面； （2）以为原点，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系，    则， 则 ， ， ， 因为， 所以 ， ， 则 ， 所以 ， 所以线段的长为 ； （3）因为， 所以当时，线段最短， 此时分别为线段的中点， ， ， 则 ， 设是平面的一个法向量， 则， 令，则， 所以平面的一个法向量为， 由（1）知， 为平面的一个法向量， 则， 所以平面与平面夹角的余弦值为． 10．如图，直角梯形ABCD中，，，，E为AB的中点，以DE为折痕把折起，使点A到点P的位置，且．    (1)设平面PBC与平面PDE的交线为l，证明：. (2)证明：平面； (3)求二面角的正切值． 【答案】(1)证明过程见解析； (2)证明过程见解析； (3) 【分析】（1）作出辅助线，得到线面平行，进而得到线线平行； （2）由勾股定理逆定理得线线垂直，进而得到线面垂直； （3）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，进而得到二面角的余弦值和正切值 【详解】（1）因为，E为AB的中点，所以， 因为，所以四边形为平行四边形，故， 因为平面，平面，所以平面， 又平面与平面的交线为l，平面，所以 （2）因为，E为AB的中点，所以， 因为，，所以平行四边形为正方形，⊥， 故， 又，故，由勾股定理逆定理可得， 折叠过程中，⊥，又，平面， 所以平面； （3）由（2）知，两两垂直， 以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 则， ， 设平面的一个法向量为， 则， 令，则，故， 设平面的一个法向量为， 则， 令，则，故， 则， 设二面角的夹角为，由图可知为钝角，故， 所以，所以.    题型四 直线与平面垂直的性质 垂直关系中线面垂直是重点 (1) (2) 【例题精讲】 1．如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，，，为中点，平面，，为中点． (1)证明：平面； (2)求直线与平面所成角的余弦值． 【答案】(1)因为，， 由余弦定理得， 即，解得或（舍）， 因为，所以， 因为平面，平面，所以， 因为平面，且交于， 所以平面. (2). 【分析】（1）利用余弦定理可得，根据勾股定理，可得，再利用线面垂直的性质可得，进而可得平面. （2）取的中点，连接，可得为直线与平面所成角，利用勾股定理可得，，再利用余弦定理即可求得直线与平面所成角的余弦值． 【详解】（1）略. （2）取的中点，连接，则， 因为平面，所以平面， 则为直线与平面所成角， 其中，故， 因为，， 由勾股定理得，故， 由勾股定理得，所以， 即直线与平面所成角的余弦值为． 2．如图，四棱锥中，平面平面，，． (1)证明：平面； (2)若，，，四棱锥外接球的球心为O，求直线AO 与平面PCD所成角的正弦值． 【答案】(1)证明如下： 因为平面平面，平面平面，，平面， 则平面，由平面可得， 又因为，，且，平面， 则平面，由平面可得， 且，平面，所以平面. (2) 【分析】（1）根据面面垂直的性质可得平面，即可得，进而可证平面，可得，即可证线面垂直； （2）建系并标点，分析可知，进而可得，，求平面PCD的法向量，利用空间向量求线面夹角. 【详解】（1）略 （2）因为平面，， 以为坐标原点，分别为轴，建立空间直角坐标系， 则，，，， 设，则，，， 因为四棱锥有外接球，则四边形有外接圆，可得， 则，解得，即， 可知的中点为，可设，， 则，即，解得，即， 可得，，， 设平面PCD的法向量为，则， 令，则，可得， 则， 所以直线AO 与平面PCD所成角的正弦值为. 3．如图，在三棱锥中，侧棱底面，且，，点为棱的中点，四面体的外接球与直线的另一交点为. (1)证明：平面； (2)若，三棱锥的体积是，求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由题先证明平面，可得，进而证明平面，得；又由，，，四点共圆，，得到，根据线面垂直的判定定理得证； （2）由求得，由（1）知，都是以为斜边的直角三角形，故外接球球心为的中点，建立空间直角坐标系，利用向量法求解. 【详解】（1）因为平面，平面，所以， 又因为，且，平面， 所以平面，又平面，所以. 因为，点是的中点，所以. 又，平面， 所以平面，又平面，所以. 由题知，四面体内接于球，则必有，，，四点共圆， 又，所以，则，即， 又，平面，所以平面. （2）设，由（1）得平面，， 因为平面，所以，则， 所以， 化简得，解得，则. 又，，则，则， 又，，则. 又由（1）知，都是以为斜边的直角三角形， 故外接球球心为的中点. 如图，以为原点，与平行的方向，射线，射线分别为，，轴的正半轴，建立空间直角坐标系. 因为，，则，，，，， 由（1）知，平面，所以是平面的一个法向量， 又直线的方向向量为， 设直线与平面所成角为，则， 故直线与平面所成角的正弦值为. 4．如图，四棱锥的底面是矩形，平面，点是棱上的动点，点是棱中点，.    (1)求证：； (2)若 平面，求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)以为坐标原点，为轴正方向，为轴正方向，为轴正方向建立空间直角坐标系. 由题意得各点坐标：，，，，， 为中点，故. 设，. ∵ ，， ∴ ， ∴ ，即.    (2). 【分析】（1）建立如图所示的空间直角坐标系，根据线线垂直的向量判断可证垂直关系； （2）先根据线面平行的向量判断得的坐标，再根据向量法可求线面角的正弦值. 【详解】（1）略 （2）∵ 平面， ，，. 设平面的法向量为，    则 ，即， 取，得. ∵ ， ∴ ， 解得，即. 此时. 设平面的法向量为， ，， 则，即， 令，得，，即. 设直线与平面所成角为， 则. 5．如图所示，四边形为矩形，平面，，为上的点，且平面. (1)求三棱锥的体积； (2)设在线段上，且满足，则线段上是否存在一点，使得平面？ 【答案】(1) (2)存在点为线段上靠近点的一个三等分点 【分析】（1）通过线面垂直的判定与性质推导出，再利用等体积法计算出三棱锥体积； （2）过点作交于点，通过证明平面平面，确定上的三等分点满足平面. 【详解】（1）平面，. 平面. 又平面，. 平面，平面， ，平面. 又平面，. 又， ，则点到平面的距离为， . （2）存在这样的点.如图所示，在中，过点作交于点，在中，过点作交于点，连接， 则由比例关系易得. ，平面，平面， 平面. 同理，平面，又， ∴平面平面. 平面，平面. ∴点为线段上靠近点的一个三等分点. 6．如图，在四棱锥中，平面，，，，，. (1)证明：平面平面； (2)若直线与平面所成的角为，求线段的长； 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据线面垂直的性质可得，再结合得到平面，最后根据面面垂直的判定定理证明平面平面； （2）以为坐标原点建立空间直角坐标系，作交于点，设，根据线面角的向量求法列出方程求解即可. 【详解】（1）证明：因为平面，平面，所以， 又，，所以平面， 又因为平面，所以平面平面 （2）以为坐标原点，以，，为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系， 在平面内，作交于点，则， 在中，，， 设，则，，由，得， 所以，，， ，， 设平面的法向量为， 则，即，令，则，，所以. 又，由直线与平面所成的角为， 可得， 即，整理得，解得或（舍去，因为）， 所以. 7．如图，是的直径，垂直于所在的平面，是圆周上不同于的一动点. (1)证明：平面； (2)证明：平面平面； (3)若，，求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【详解】（1）因为是的直径，是圆周上不同于的一动点， 所以，又因为平面，平面，所以， 又因为平面， 所以平面. （2）因为平面，平面， 所以平面平面. （3）过作于，连接，如图所示， 因为平面，平面，所以， 又，平面，所以平面， 所以是直线与平面所成的角， 在中，由等面积法得 而 所以， 在中，， 故直线与平面所成角的正弦值为. 8．如图，在四边形中，，，，.将沿翻折至（为点的对应点），使得平面与平面垂直. (1)证明：； (2)求平面与平面的夹角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）取线段的中点，求证平面即可； （2）作，垂足为，求证或其补交为平面与平面所成角，再设，并证明计算各边长度，最后利用余弦定理可得. 【详解】（1）取线段的中点，连接， 因为，，所以， 因为平面，所以平面， 因为平面，所以； （2）作，垂足为，连接， 因为，所以全等， 所以，， 则或其补角为平面与平面所成角， 设，则， 因为平面平面平面，平面平面， ，所以平面， 因为平面，所以，则， 所以等腰底边上的高为， 则，得， 在中， 故平面与平面的夹角的余弦值为. 9．已知四面体中，，，为中点，．作，垂足为． (1)证明：； (2)若，，四面体的体积大于，求二面角的正切值的取值范围． 【答案】(1)见解析； (2). 【分析】(1)通过线面垂直证明线线垂直；(2) 求出二面角的正切值的表达式，再求解其取值范围. 【详解】（1）因为， 为 中点，所以， 在 和 中，，，， 故 （SAS），得 ，又 为 中点，所以 , 且 ， 平面 ，所以 平面 ，因为平面 ，所以，又，且 ， 平面 ， 所以 平面 ，因为 平面 ，所以 ； 又 ，且 ， 平面 ，故 平面 ， 又 平面 ，所以 ； （2）由 ，，，得为等边三角形，故 ，， 由（1）知 平面 ，所以，所以即为二面角的平面角. 设，在中，可得 则四面体的体积为， 根据题意有，解得，即， . 10．如图，在四棱锥中，底面是正方形，平面，垂足为，，交于点，点是的中点． (1)求证：平面． (2)求证：平面． (3)求直线与平面所成角的大小． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）根据中位线定理及线面平行的判定定理证明即可. （2）根据线面垂直的性质定理及线面垂直的判定定理证明即可. （3）根据线线平行及线面角的定义，在三角形中求解即可. 【详解】（1）证明：因为底面是正方形，，为对角线，所以为中点， 又点是的中点，所以. 又平面，平面，所以平面. （2）证明：因为平面，，平面， 所以，，且为直角三角形. 因为底面是正方形，所以. 又，平面，，所以平面， 因为平面，所以. 在中，，点是的中点，所以. 又，平面，，所以平面. （3）正方形中，， 所以直线与平面所成角即为直线与平面所成角， 又平面，所以即为直线与平面所成角，也即直线与平面所成角. 在中，，点是的中点，所以，， 所以. 故直线与平面所成角为. 题型五 平面与平面垂直的判定与性质 1．判定面面垂直的方法 (1)面面垂直的定义． (2)面面垂直的判定定理． 2．面面垂直性质的应用 (1)面面垂直的性质定理是把面面垂直转化为线面垂直的依据，运用时要注意“平面内的直线”． (2)若两个相交平面同时垂直于第三个平面，则它们的交线也垂直于第三个平面． 【例题精讲】 1．如图，四棱锥的底面为平行四边形，，，与全等． (1)求证：平面平面； (2)设平面平面． （i）求证：平面； （ii）当二面角的大小为多少时，四棱锥的体积取得最大值？求出该最大值． 【答案】(1)因为与全等，所以，， 因为为与中点，所以，， 因为平面，平面，， 所以平面，因为平面，所以平面平面 (2)（i）因为，平面，平面， 所以平面，又因为平面，平面平面， 所以，又因为平面， 平面，所以平面. （ii） 【分析】（1）通过三角形全等得到，，再由线面垂直的判定定理即可证明； （2）（i）由平面得到，由线面平行的判定定理即可证明； （ii）作，，确定二面角，再结合体积公式，三角函数的性质即可求解. 【详解】（1）略 （2）（i）略 （ii）作，，垂足分别为，，如图所示， 因为，，所以，， 所以为二面角的平面角，所以， 设，与全等， 所以， 又因为，， ，，则，， 因为，，， 平面，平面，所以平面，因为平面， 所以， 当且仅当时，即二面角的大小为时， 四棱锥的体积取得最大值500. 2．如图所示，圆柱的一个轴截面为矩形，是圆柱底面的直径，为底面圆心，为圆柱的一条母线，为的中点，且. (1)求证：平面平面； (2)求平面与平面夹角的大小. 【答案】(1)思路一： 由BC是直径可知，则是等腰直角三角形，故， 由圆柱的特征可知平面ABC，又平面ABC，所以， 因为，，平面，则平面， 而平面，则， 因为，则，所以， ， 所以， 所以，即， 因为，，，，平面， 所以平面， 又平面，故平面平面. 思路二：因为，则，，， 所以， 所以，即， 同理可证， 在二面角中且， 所以为二面角的平面角， 由思路一知，所以二面角为直二面角，即平面平面 (2) 【分析】（1）根据图形特征结合勾股逆定理先证，，再由线线垂直得线面垂直，进而根据线面垂直的性质可得面面垂直；或根据定义证得为二面角是直二面角，进而得面面垂直. （2）建立合适的空间直角坐标系，求出平面的法向量和平面的法向量，利用向量法能求出二面角的余弦值. 【详解】（1）略 （2）由题意及（1）易知，AB，AC两两垂直，如图所示建立空间直角坐标系， 则，，， 所以，，， 由（1）知平面，故平面的一个法向量是， 设是平面的一个法向量， 则有，取，可得 设平面与平面夹角为， 所以， 则平面与平面夹角的大小为. 3．如图，在四棱锥中，，，，M，N分别为PA，BC的中点，底面四边形是边长为2的菱形且，AC交BD于点O. (1)求证：平面PCD； (2)求证：平面平面ABCD； (3)求二面角的平面角的余弦值. 【答案】(1)取PD的中点E，连接ME，CE，如图. ∵M为PA的中点， ∴，， ∵N为BC的中点且四边形ABCD为菱形， ∴，. ∴，， ∴四边形为平行四边形， ∴， 又∵平面PCD，平面PCD， ∴平面. (2)如图，连接， ∵，O是的中点， ∴， 由菱形知，又，PO，平面， ∴平面， ∵平面， ∴平面平面. (3) 【分析】（1）取PD的中点E，连接ME，CE，先证明四边形为平行四边形，得到，再利用线面平行的判定定理证明即可； （2）连接，先证平面，再利用面面垂直的判定定理证明即可； （3）过点B作于点F，连接DF，OF，先证明为二面角的平面角，再在中利用余弦定理求解即可. 【详解】（1）略 （2）略 （3）如图，过点B作于点F，连接DF，OF. ∵平面PAC，平面PAC， ∴. ∵，BD，平面BDF，. ∴平面BDF， ∴，. ∴为二面角的平面角. ∵，，PC，PA，OF共面， ∴， ∵O是AC的中点， ∴F是PC的中点， 又∵， ∴，， ∴. ∵F是PC的中点，又， ∴， ∴， ∴二面角的平面角的余弦值为. 4．如图，三棱锥的体积为，，，为的中点 (1)求证：平面平面 (2)线段上是否存在点使得与平面所成的角的正弦值为，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)设点到平面的距离为， 因为，，所以，   因为，所以，   因为，所以平面，因为平面， 所以平面平面． (2)存在， 【分析】（1）利用三棱锥的体积为，先证明平面，再利用面面垂直的判定定理证明即可； （2）取的中点为，连接，，作交于，连接，先证明为与平面所成的角，设，则， ，由列方程，解得，即可求解. 【详解】（1）略 （2）取的中点为，连接，，作交于，连接， 因为为中点，则，所以， 因为平面，所以平面，平面， 所以为与平面所成的角   因为为等腰三角形，，， 所以，，所以， 又，平面，所以为等腰直角三角形   设，则，，， ，   ，即，解得，（舍）   所以，当时，与平面所成的角的正弦值为   5．如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面，为的中点． (1)求证：平面． (2)已知． （i）若，求证：平面平面； （ii）若，求异面直线与所成角的余弦值． 【答案】(1)证明：设，如图，连接. 因为是中点，是中点， 所以为的中位线，所以， 又平面，平面， 所以平面. (2)（i）证明：当时，四边形为正方形，所以， 因为平面平面，所以， 又平面平面， 所以平面，又平面， 所以平面平面． （ii）. 【分析】（1）连接，则为的中位线，通过，即可证； （2）（i）根据线面垂直的判定定理证明直线平面，再由面面垂直的判定定理得平面平面；（ii），所以（或其补角）即为异面直线与所成的角，利用余弦定理可求异面直线与所成角的余弦值． 【详解】（1）略 （2）（i）略 （ii）由（1）得，所以（或其补角）即为异面直线与所成的角． 在中，， 由余弦定理得， 即异面直线与所成角的余弦值为． 6．如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，分别是棱，，，的中点，且，． (1)证明：． (2)证明：平面平面． 【答案】(1)证明： 连接． 在中，因为E，F分别是，的中点， 所以是的中位线，则， 同理可得， 所以． (2)证明： 设，连接． 因为四边形为平行四边形， 所以互相平分， 在中，，O是的中点，所以， 在中，，O是的中点，所以， 又，且 平面， 所以平面，又平面， 所以平面平面． 【分析】（1）根据三角形中位线即可证明； （2）根据平行四边形及等腰三角形的性质，结合线面垂直和面面垂直的判定即可证明． 【详解】（1）略 （2）略 7．如图1，已知的边长分别为，，，为上的高．    (1)如图2，将绕旋转至，使．证明：平面平面； (2)如图3，为中点，将绕旋转至，使．求三棱锥的体积． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）在中由余弦定理求得，进而求得，故，由勾股定理可得，由线面垂直的性质定理可得，进而可证平面，由面面垂直的判定定理得证； （2）以，所在直线分别为轴、轴，建立空间直角坐标系，根据 ，，列方程求得点的坐标，利用向量法求出到平面的距离，再根据三棱锥等体积转换求得答案. 【详解】（1）由余弦定理得， 因为为三角形内角，所以， 因为，所以，故. 因为，所以，， 又平面，， 所以平面， 因为平面，所以， 又因为，，故，即， ，是平面内两条相交直线，所以平面， 因为平面，所以平面平面. （2）以，所在直线分别为轴、轴，建立如图空间直角坐标系， 由题意可知，，，    设，由 ，， 得，解得，，， 即， 易知平面的一个法向量为，， 故到平面的距离为，又， 所以三棱锥的体积. 8．现有两个含角的全等直角三角板，较短直角边长均为，如图，与为这两个三角板，其中，.初始时，两三角板的直角顶点重合于点，斜边，共线.现将两三角板绕点平行展开，得到四棱锥. (1)求证：平面平面； (2)设平面平面. （ⅰ）求证：平面； （ⅱ）当二面角的大小为多少时，四棱锥的体积取得最大值？求出该最大值. 【答案】(1)证明见解析； (2)（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）最大值. 【分析】（1）通过，确定，即可求证； （2）（ⅰ）通过平面，得到，即可求证；（ⅱ）作，，确定是二面角的平面角.设.得到，.再结合体积公式，结合三角函数性质即可求解. 【详解】（1）由与平行且相等，得四边形为平行四边形， 所以为，的中点. 又由于，，所以，， 又因为，平面，，所以平面. 又平面， 所以平面平面； （2）（ⅰ）因为，平面，平面， 所以平面， 又因为平面，平面平面，所以. 又因为平面，平面，所以平面. （ⅱ）作，，垂足分别为，， 因为，所以，， 所以是二面角的平面角. 因为，为的中点， 所以，设. 则，. 因为，，，平面， 所以平面，所以. 所以. 当且仅当，即二面角的大小为时，四棱锥的体积取得最大值. 9．如图，在底面是矩形的四棱锥中，平面，，，是的中点． (1)求证：平面平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值； (3)求三棱锥的体积． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）通过建立空间直角坐标系，利用向量点积证明同时垂直于平面内的两条相交直线和，得出平面，再结合平面，证得平面平面； （2）先求出平面和平面的法向量，再利用向量夹角公式计算出法向量夹角的余弦值，最后取其绝对值，得到两平面夹角的余弦值； （3）先计算底面的面积，再以点到底面的距离（即的竖坐标）为高，代入三棱锥体积公式计算出体积． 【详解】（1）以A为坐标原点，所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系， 则，，，，，， 所以，，，， 因为，所以，因为，所以， 又，平面， 所以平面，因为平面，所以平面平面； （2）设平面的法向量， 则，即，令，可得， 又设平面的法向量， 则，即，令，可得， 所以， 所以平面与平面夹角的余弦值为； （3）（是的竖坐标）． 10．如图，几何体为圆柱的一部分，为底面圆的圆心，底面， ，，为弧上任意一点，为弧的中点，. (1)证明: 平面平面; (2)已知二面角的大小为，且，求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】(1)以为坐标原点如图建立空间直角坐标，设， 则， 则，， ∴ ，， ∴，且，平面，平面， ∴平面，∵平面， ∴平面平面. (2) 【分析】（1）建立空间直角坐标系，得到点的坐标，由空间向量的数量积证明线线垂直，从而证明结论； （2）由二面角定义及题意求得点坐标，由空间向量的数量积求得面的法向量，然后利用法向量由空间向量的数量积求得面面角的余弦值. 【详解】（1）略 （2） 由题意可知，， ∴二面角为，∴， ∴， ∴， 设向量分别为平面与平面的一个法向量， 则，令，则，即， ，令，则，即， 平面与平面夹角为， 则. 题型六 几何法求直线与平面所成的角与二面角 (1)利用几何法求空间线线角、线面角、二面角时要注意“作角、证明、计算”是一个完整的过程，缺一不可． (2)斜线与平面所成的角，首先作出平面的垂线，得出斜线在平面内的射影，从而得出斜线与平面所成的角，转化为直角三角形求解． (3)求空间角中的难点是求二面角，作二面角的平面角的常用方法有： ①定义法：根据平面角的概念直接作，如二面角的棱是两个等腰三角形的公共底边，就可以取棱的中点； ②垂面法：过二面角棱上一点作棱的垂面，则垂面与二面角的两个半平面的交线所成的角就是二面角的平面角或其补角； ③垂线法：过二面角的一个半平面内一点A作另一个半平面所在平面的垂线，得到垂足B，再从垂足B向二面角的棱作垂线，垂足为C，这样二面角的棱就垂直于这两条垂线所确定的平面ABC，连接AC，则AC也与二面角的棱垂直，∠ACB就是二面角的平面角或其补角，这样就把问题归结为解一个直角三角形，这是求解二面角最基本、最重要的方法． 【例题精讲】 1．如图，在正方体中，E，F分别为，的中点. (1)证明：平面. (2)求二面角的正弦值. 【答案】(1)证明：连接，与交于点O，可知O为的中点. 连接.因为E是的中点，所以. 又平面，平面，所以平面. (2) 【分析】（1）根据线面平行判定定理证明线面平行； （2）利用正方体的性质，结合已知条件，利用几何法或向量法，求出二面角的余弦值，进而求出二面角的正弦值． 【详解】（1）略 （2）不妨设正方体的棱长为2，则由E，F分别为，的中点，可得. 连接，则，，所以即为二面角的大小. ，则. 连接，，则，. 在中，， 则二面角的正弦值为. 2．如图所示，正方体的棱长为1，，求： (1)与所成角的度数； (2)与平面所成角的正切值； (3)平面与平面所成二面角的大小． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据正方体的性质，利用几何法求异面直线所成角； （2）根据正方体的性质，结合已知条件，利用几何法求线面角； （3）根据正方体的性质，结合已知条件，利用几何法求面面角． 【详解】（1）由题意得， 或其补角即为与所成的角， 在正方体中，平面， 平面，， 又，且， 平面， 平面， ， 在中，，， ， ， 即与所成角的度数为． （2）如图所示，过点O作于点E，连接， 平面平面，且交线为， 平面，从而即为与平面所成的角， 在中，，， ， 即与平面所成角的正切值为． （3）由(1)知，平面， 又平面， 平面平面， 即平面与平面所成二面角的大小为． 3．已知正方形的边长为6，点为边的中点，将沿着折起，使点到的位置，此时点在平面内的射影在上，是线段上一点. (1)求点到平面的距离； (2)求证：； (3)当二面角的余弦值为时，求. 【答案】(1)2 (2)证明见解析 (3)或 【分析】（1）设点在平面内的射影为，则平面；过点作，交于，连接，，根据线面垂直的判定定理及线面垂直的性质得到，即三点共线；以点为原点，以，为轴，轴建立平面直角坐标系，结合直线与直线相交求出点、点坐标，得到，，结合勾股定理即可求出. （2）设对角线，的交点为，连接，根据线面垂直的判定定理及线面垂直的性质得到，结合勾股定理及勾股定理逆定理证出，进而得到线面垂直，即可得证. （3）过点作，交于，连接，结合二面角定义得到为二面角的平面角，即，利用勾股定理求出，根据点到直线的距离公式求出直线方程，与方程联立求得点，利用两点间距离公式即可求出. 【详解】（1）设点在平面内的射影为，则平面. 又平面，所以. 过点作，交于，连接，，则. 又，平面，所以平面. 又平面，所以，所以三点共线，即. 在平面中，以点为原点，以，为轴，轴建立平面直角坐标系， 则，，，，. 所以直线：；直线：， 因为，所以，则直线：. 联立，解得，即，所以. 联立，解得，即，所以. 又平面，平面，所以. 在中，. 所以点到平面的距离为2. （2）设对角线，的交点为，连接， 所以，，所以，，. 又平面，平面，所以，. 又，平面，所以平面. 又平面，所以. 在中，，，所以. 在中，，，所以. 在中，，所以. 又，平面，所以平面. 因为是线段上一点，所以平面，所以. （3）过点作，交于，连接. 因为平面，平面，所以. 又，平面，所以平面. 又平面，所以. 所以即为二面角的平面角，所以. 在中，，则，又， 由勾股定理得，，即，解得. 设直线：，则， 所以，整理得，解得或， 即直线：或. 又直线：， 联立，解得；联立，解得，即或， 当时，； 当时，， 所以或. 4．在四棱锥中，平面平面ABCD，，底面ABCD为菱形，，，E，F分别是SA，BC的中点．    (1)求证：平面SCD； (2)求二面角的余弦值； (3)求点B到平面SCD的距离． 【答案】(1)取SD的中点M，连接ME，MC， 因为E，M分别为SA，SD的中点，则且， 又因为F为BC的中点，且四边形ABCD为菱形，则且， 可得且，可知四边形EFCM是平行四边形，则， 且平面SCD，平面SCD，所以平面SCD． (2) (3) 【分析】（1）作辅助线，可证，结合线面平行的判定定理分析证明； （2）作辅助线，根据线面垂直分析可知为二面角的平面角，即可得结果； （3）由（2）可知：平面ABCD，利用等体积转化法求点到平面的距离. 【详解】（1）略 （2）取AB的中点O，连接SO，CO，AC，    因为，则， 且平面平面ABCD，平面平面，平面SAB， 所以平面ABCD， 由题意可知：为等边三角形，则， 且，平面，可得平面， 由平面可得， 又因为，则，， 可知为二面角的平面角， 在中，则，，， 可得， 所以二面角的余弦值为． （3）由（2）可知：平面ABCD， 且，， 设点B到平面SCD的距离为h， 因为，则， 即，解得， 所以B到平面SCD的距离为． 5．如图，在长方体中，，，点P为棱中点. (1)求证：平面PAC； (2)求异面直线与CP所成角的大小； (3)求二面角的平面角的正切值. 【答案】(1)证明： 如图所示，连接正方形的对角线，交于点，则是的中点， 又是的中点，因此在中，是中位线，故. 又平面，平面，所以平面，得证. (2) (3) 【分析】（1）结合图形，利用中位线证明线线平行，进而证明线面平行； （2）利用平行线转化异面直线所成角，结合三角形和三角函数求角的大小； （3）由几何关系确定∠POD是二面角的平面角，进而在中计算正切值. 【详解】（1）略. （2）由（1）知，因此异面直线与所成角等于与所成的角. 正方形边长为2，故，则； ，，， 在中：； 是中位线，， 故. 在中， ， 因此是直角三角形，， 故： ，得， 即异面直线与所成角的大小为. （3）由，，，得平面，因此，，故就是二面角的平面角. 为中点，，， 在中，. 因此， 所以二面角的平面角的正切值为. 6．如图所示，圆台的上、下底面圆半径分别为4和6，，分别为圆台的上、下底面圆的圆心，，为圆台的两条不同的母线． (1)求证：； (2)已知，，求二面角的大小． 【答案】(1)∵圆台可以看作是由平行于圆锥底面的平面去截圆锥而得到， 所以圆台的母线也就是生成这个圆台的圆锥相应母线的一部分． ∴母线与母线的延长线必交于一点， ，，，四点共面， ∵圆面圆面，且平面圆面，平面圆面． ． (2) 【分析】（1）根据圆台母线延长线交于一点，得到四点共面，再借助圆台上、下底面平行，根据面面平行性质得出线线平行. （2）先取线段、的中点分别记作点、，连接，，，根据二面角的平面角的定义证得即为所求的二面角的平面角，再求得的值，进而表示. 【详解】（1）略 （2）取线段、的中点分别记作点、，连接，，， 过点作平行线，交于点，连接， 又，故， 四边形是等腰梯形，故， 于是，即为所求的二面角的平面角， 又，，， 故，，则， ， 故． 故二面角的大小为． 7．如图，在三棱台中，平面平面，，，. (1)求证：； (2)求直线与平面所成的角的正弦值. 【答案】(1)证明：过点作，交于点，连接， 因为平面平面， 平面平面，平面， 所以平面， 又因为平面， 所以、， 在中，，， 又因为， 在中，由余弦定理可得 ， 所以， 在中，， 在中，由勾股定理可得， 在中，因为， 所以， 又因为， 所以； (2) 【分析】（1）过点作，交于点，连接，由面面垂直的性质定理可得平面，根据已知条件和余弦定理，求得，在中，由勾股定理的逆定理可得，即可得证； （2）结合（1），建立坐标系，利用空间向量求解直线与平面所成的角的正弦值即可. 【详解】（1）略. （2）由（1）可知平面， 由三棱台， 可得， 所以直线与平面所成的角， 即为直线与平面所成的角， 以为坐标原点，分别以为轴，轴的正半轴，过点且垂直于平面的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系： 则，，，， 所以，，， 设平面的法向量为， 则，得， 即， 直线与平面所成的角为， 则 8．（本题不可用建系方法做，否则不得分）如图，多面体是由直三棱柱截去一部分后而成，是的中点，且，. (1)若为的中点，在上，且，证明：直线平面； (2)若，求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）在直三棱柱中，取的中点，连接，证明出四边形为平行四边形，可得出，再利用线面平行的判定定理可证得结论成立； （2）方法一：利用等体积法求出点到平面的距离，并求出的长，设直线与平面所成角为，则，即可得解； 方法二：证明出平面，可知为直线与平面所成角，求出的长，即可求出的正弦值. 【详解】（1）在直三棱柱中，取的中点，连接， 因为为的中点，所以是梯形的中位线，所以且， 因为是的中点，所以，则， 因为且，，所以且， 所以且，所以四边形为平行四边形，所以， 因为平面，平面，故直线平面. （2）方法一（等体积法）连接， 因为平面，平面，所以， 因为为的中点，所以， 因为，所以，且为等腰直角三角形， 所以，易知，所以，且， 由余弦定理可得， 所以，即，则， 因为平面，平面，所以， 又因为，，、平面，所以平面. 因为且，所以四边形为平行四边形，则， 所以平面，则， 因为平面，所以， 故， 设点到面的距离为，则， 即，解得， 设直线与平面所成角为， 因为平面，平面，所以， 因为，故， 所以，故直线与平面所成角的正弦值为. 方法二（垂线法） 因为平面，平面，所以， 又因为，，、平面，所以平面. 因为且，所以四边形为平行四边形，则， 所以平面， 因为平面，所以， 因为平面，平面，所以， 因为为的中点，所以， 因为，所以，且为等腰直角三角形， 所以，易知，所以，且， 由余弦定理可得， 所以，即， 因为，、平面，所以平面， 所以为直线与平面所成角， 因为平面，平面，所以， 因为，故， 所以，故直线与平面所成角的正弦值为. 9．如图，四棱锥的底面是梯形，平面，且，，，，为的中点. (1)求证：平面平面； (2)当二面角的余弦值为时，求直线与平面所成角的正切值. 【答案】(1)证明见解析 (2)2 【分析】（1）根据平面，得，根据三角形性质得，进而得到平面，面面垂直的判定即可得出结果； （2）建立空间直角坐标系，设，平面法向量，求出坐标，法一：根据直线与平面所成角的向量求解；法二：由题知平面，所以为与平面所成角的平面角，最后根据三角形性质求解. 【详解】（1）因为平面，在平面内，所以，   在中，，，，所以，   又，为的中点，所以，   又， 在平面内，所以平面，   又平面， 所以平面平面； （2）以为原点，以方向为轴正方向，以方向为轴正方向，以方向为轴正方向，建立空间直角坐标系，   则，，，， 设，平面法向量. 则，，， 令则， 取平面的法向量， 所以， 解得.   法一：即，，取平面的法向量 设直线与平面所成角为， 则.   所以，直线与平面所成角的正切值为.   法二：由题知平面，所以为与平面所成角的平面角，   ，在中，，，， 所以，直线与平面所成角的正切值为. 10．四棱锥的底面为矩形，，，，．    (1)证明：平面平面； (2)设四棱锥的外接球的球心为M，且点M与点P在平面的同一侧，球M的半径为． （i）求平面与平面夹角的余弦值； （ii）已知平面与平面的交线为l，点Q在l上，设直线和平面所成的角为，求的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2)（i）；（ii） 【分析】（1）利用几何法，结合已知条件，利用面面垂直判定定理证明结论； （2）（i）建立空间直角坐标系，利用几何法求出点坐标，由几何法得出是平面与平面的夹角，进而利用余弦定理求出余弦值；（ii）设点坐标，求出相关点和向量坐标，进而利用向量夹角余弦公式求出的表达式，进而求出的取值范围． 【详解】（1）取中点O，连接，，   底面为矩形，且，， ， ， 又， ， ， ，，平面， 平面，又平面， ， ， ， 又，平面， 平面， 平面， 平面平面． （2）（i）连接交于点N，连接．分别以，，所在直线为x轴，y轴，z轴建系，    过点N作平面的垂线l，则， 设，，其中； ，，解得， ，解得， ，， 连接，， ，， 是平面与平面的夹角， 又，，， 由余弦定理得． 平面与平面夹角的余弦值为． （ii），平面，平面， 平面， 平面，平面平面， ， 可设， 又， ， ，，设平面的法向量为， 则，，可取， ， ， ，即的取值范围为． 课时精练 1．如图，在四棱锥中，底面ABCD是边长为2的菱形，，，，AC与BD交于点O．    (1)求证：平面ABCD； (2)求平面PAB与平面PCD的夹角的余弦值． 【答案】(1)因为底面是菱形，， 所以为等边三角形，，，， 又，为中点， 故，， 已知，则， 则，故，           因为，平面， 所以平面． (2)． 【分析】（1）利用线面垂直的判定条件即可证明； （2）以为原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系，通过求出两个平面的法向量即可求解. 【详解】（1）略 （2）由（1）知    两两垂直，以为原点，以所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴建立空间直角坐标系．    如图所示，则，，，，， 设平面的法向量为， ，， 则，即，令，得，     设平面的法向量为， ，， 则，即，令，得， 设平面与平面的夹角为，且为锐角， 则， 所以，平面与平面的夹角的余弦值为． 2．如图，在四棱锥中，底面为正方形，底面，，E为线段的中点，F为线段上的动点．    (1)证明：平面平面； (2)设点G是线段上的一点，且满足．在线段上是否存在点F，使得A，E，G，F四点共面？若存在，试确定点F的位置；若不存在，请说明理由； (3)求平面与平面夹角的余弦值的最大值． 【答案】(1)因为底面为正方形，所以， 又底面，底面，所以， 因为，平面，所以平面， 又平面，所以， 在中，，为的中点，所以， 平面，所以平面， 又平面，所以平面平面. (2)存在唯一的点F，使得A，E，G，F四点共面，此时，(F点在线段上靠近点的三等分点处). (3) 【分析】（1）由线面垂直的性质定理证明即可； （2）建立空间直角坐标系后，将用两种不同的方式表示，列方程组求解； （3）先求平面的一个法向量，再表示平面的一个法向量，接着表示出夹角的余弦值，从而求出最大值. 【详解】（1）略 （2）    以点为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系， 则，，，，，， 因为，则，则得， 则，，，， 设， 若A，E，G，F四点共面，则存在实数使得 即，得方程组： ，解得 即存在唯一的点F，使得A，E，G，F四点共面，此时，(F点在线段上靠近点的三等分点处). （3）由（2）可知 设平面的一个法向量为， 则，故可取， 设平面的一个法向量为， 则故可取， 设平面与平面夹角为，则 ， 当时，取得最大值， 所以平面与平面夹角的余弦值的最大值是 . 3．如图，在直四棱柱中，底面四边形是菱形．    (1)求证：平面； (2)若，，，点在棱上，，且平面． ①求点到平面的距离； ②求二面角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析； (2)①；②． 【分析】(1)根据菱形对角线垂直，以及直四棱柱的性质，侧棱垂直于底面，得到线线垂直，根据线面垂直的判定定理证明即可； (2)根据(1)的结论，找三条两两垂直的直线，建立空间直角坐标系，根据所给的线面垂直条件得到F点坐标，再利用空间向量法解决点面距离与夹角问题． 【详解】（1）证明：连接AC，BD交于点O； 因为底面是菱形，故； 又因为四棱柱为直四棱柱，故底面，故； 因为，且平面， 所以平面； （2）    连接交于点，连接； 则底面，由(1)知，平面； 则以O为原点所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系； 因为，，，故，， 则，，，， 设（），则； 故，，； 设为平面的法向量， 则，故，令，则； 因为平面，故， 可得：，解得或2（舍去）； 故， ①因为，点到平面的距离为d， 故， 故点到平面的距离为； ②设为平面的法向量， 因为， 则，故，令，则； 设二面角为， ，因为， 故； 二面角的正弦值为． 4．如图，在三棱柱中，平面平面，，，，为的中点. (1)求证：； (2)若直线与平面所成角的正切值为，求平面与平面所成角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）取的中点为，连接，由条件可得平面及，进而可得平面，再线面垂直的性质可得线线垂直； （2）直接建立空间直角坐标系，用向量的方法求面面角可得. 【详解】（1）设的中点为，连接.如图： 由，，得是等边三角形，故. 因为平面 ​平面，平面 ​平面，且平面， 根据面面垂直的性质定理，得平面. 又平面，故. 又因为分别是中点，故是的中位线，所以. 由得，故. 因为，平面，所以平面， 又平面，故. （2）由平面，得与平面所成角为，故. 又因为等边中，，所以，代入上式得. 又在直角中，，所以，因此， 所以为等腰直角三角形，所以. 以为原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，如图： 得各点坐标： ，，，，， 因为平面在坐标平面内，所以取平面的法向量为. 设平面的法向量为，向量，， 由，得： ，， 令，，， 所以平面与平面所成角的余弦值： . 5．如图，在四棱台中，，，；，. (1)证明：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）利用余弦定理及勾股定理逆定理证明，进而得到，再结合已知条件证明和，利用线面垂直判定定理即可得证. （2）以为原点建立空间直角坐标系，求出两平面的法向量，利用向量夹角公式求解． 【详解】（1）在中，，，， 由余弦定理得， 所以． 因为，所以，即． 又因为，所以． 在中，，，， 因为，所以，即． 又因为，即，且，平面， 所以平面． （2）由（1）知平面，且，故以为坐标原点， 的方向分别为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系． 则，，，． 因为，，且，所以． 因为四棱台中，，， 所以，所以． 同理，，，所以，． 平面即平面，其一个法向量为． 设平面的法向量为，，， 则，令，则，所以． 设平面与平面的夹角为，则． 所以平面与平面夹角的余弦值为． 6．如图，在三棱柱中，，，，，D是棱的中点． (1)证明：平面． (2)在答题卡中作出二面角的平面角，并写出作法与理由． (3)在棱上是否存在一点E，使得与平面所成角的正切值为？若存在，求出的长度；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)取中点，连接，，，. ，，由三棱柱， 得，, ，是等腰直角三角形. . 是棱的中点，. ，，是的中点，, ，，, 由余弦定理得，得, ，，得，即. 由，，，得平面, 平面，, ，，平面，平面，， 平面. (2)过点作，垂足为，连接. 由（1）得平面. 平面，, ，，平面, 平面，, 为二面角的平面角. (3)存在，，理由如下： 连接，，过点作平面，过点作平面. ，平面，平面，平面. 点到平面的距离等于点到平面的距离，即. ，，，， 由余弦定理得，得，, 为等腰直角三角形，为等边三角形. 由（1）得平面， 是等腰直角三角形，，是的中点，得. 由，得， 即，解得. . 平面，为与平面所成的角. 由与平面所成角的正切值为，得, . 平面，为直角三角形, ，即. 由三棱柱，，， 得四边形为菱形, . 在中，，， 由余弦定理得， 即, 解得或（舍）, , 即当时，与平面所成角的正切值为. 【分析】（1）根据已知边长和角度关系，得到是等腰直角三角形，是等边三角形；由是棱的中点，可得；取中点，求得，从而得平面，即证明，从而证明线面垂直； （2）利用（1）中平面的结论，过点作，垂足为，连接，可证得平面，从而得，即可得为二面角的平面角； （3）由体积相等求出点到平面的距离，由在上，得到到平面的距离，根据线面夹角的正切值，以及勾股定理求得，再根据余弦定理求出. 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 7．如图，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，，侧面为等边三角形，且平面平面，为的中点． (1)证明:; (2)点在棱上（含端点），且直线与平面所成角的正弦值为，求出所有满足条件的点，指出其位置． 【答案】(1)如下图，连接，因为为等边三角形，为的中点， 所以．连接，， 因为四边形是菱形，所以，又， 所以为等边三角形，则．             因为，所以平面． 又因为平面，所以． (2)满足条件的点Q只有一个，即与点P重合 【分析】（1）要证明线线垂直，则需要通过证明线面垂直得到线线垂直，即证明  平面 ; （2）先建立空间直角坐标系，列出各个点的坐标，求出平面的法向量坐标和的坐标，根据线面角的正弦值计算结果即可. 【详解】（1）略 （2）因为，平面平面，平面平面，所以平面． 如图，以为坐标原点，，，的方向分别为，，轴的正方向，建立空间直角坐标系． 由已知可得，，，，，，．             设平面的法向量为， 由，得，取．     ，，设，， 则．        （10分） 设直线与平面所成的角为， 则， 由题意得，整理得 ，因为，所以， 即满足条件的点Q只有一个，即与点P重合. 8．如图甲，是等边三角形，为等腰直角三角形，，将沿翻折到的位置，其中（如图乙），点F在线段上（不含端点）． (1)证明：； (2)设平面与平面的夹角为，求的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）取中点为E，连接，，易得，，根据线面垂直的判定、性质证明结论； （2）构建合适的空间直角坐标系，标注出相关点坐标，求出相关平面的法向量，再应用向量法求面面角余弦值的范围. 【详解】（1）如图，取中点为E，连接，， 因为，，所以，， 因为，，平面，所以平面， 因为平面，所以； （2）因为为等腰三角形，，即， 所以，因为为等边三角形， 所以，故，， 因为，则，即，又，， 所以，，两两互相垂直，以E为原点，为基底建立空间直角坐标系, 则，，， 设平面的法向量为，，， 则，即，取，得， 设，所以，则，故， 设平面的法向量为，， 则，即，取，得， 所以， 令，则，所以， 因为时，，所以， 所以. 9．如图，在斜三棱柱中，侧面⊥底面，是等腰直角三角形，，是边长为2的等边三角形，D为的中点. (1)证明：. (2)求平面与平面所成角的余弦值. (3)若点A，B，，D均在球M的球面上，求球M的体积. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）取的中点，利用面面垂直的性质、线面垂直的性质判定推理得证. （2）以为原点建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用面面角的向量法求解. （3）利用空间两点间距离公式建立方程组，求出球半径，进而求出球的体积. 【详解】（1）在斜三棱柱中，取的中点，连接， 由等腰，，得，由正，得， 由侧面⊥底面，侧面底面，侧面， 得⊥平面，而平面，则，由为的中点， 得四边形为平行四边形，则，，又， 平面，因此平面，又平面， 所以. （2）由（1）知直线两两垂直，以为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则 ，设平面的法向量， 则，取，得， 而平面的一个法向量为，因此， 所以平面与平面所成角的余弦值为. （3）由，得，设球心，球半径为， 则,解得， 所以球的体积为. 10．如图，已知梯形中，，，， 点E是中点；将沿折起到的位置 (1)证明：平面平面； (2)若二面角的大小为，求二面角正弦值. 【答案】(1)因为在梯形中，，点是的中点， 所以四边形是正方形，所以， 所以将沿折起到的位置时，， 又平面，所以平面． 因为,所以平面． 因为平面， 所以平面平面； (2) 【分析】（1）通过，即可求证； （2）建系，求得平面法向量，代入夹角公式即可求解. 【详解】（1）略 （2）以，为轴，轴，过与平行的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 所以． 设为平面的一个法向量，则 ，即 取，得 则， 设为平面的一个法向量，则 ，即 取，得 则， 所以， 所以二面角的正弦值为． 11．如图，直四棱柱的所有棱长均为2，，M，N分别为AD，的中点． (1)求证：平面平面； (2)若动点P满足，且． （ⅰ）若，E为上一动点，且平面ABCD，求EP的最小值； （ⅱ）若，点O为三棱锥外接球的球心，求OP的取值范围． 【答案】(1)如图，设，连接， 因直四棱柱的所有棱长均为2，且M，N分别为AD，的中点， 则， ，又因，则， ，易得，则， 故是二面角的平面角. 又因，可得，故平面平面. (2)（ⅰ）；（ⅱ）. 【分析】（1）设，连接，分别证明，，得出是二面角的平面角，通过计算借助于勾股定理证明即得证； （2）（ⅰ）连接，并在其上任取点，分别作，交于点，作交于点，证明平面平面，即得平面，利用推得，由，借助于向量数量积的运算律将其转化成关于的二次函数，利用其性质即可求得；（ⅱ）分别取的中点，连接，由条件推得，即点在射线上，作平面于，由可得点为的外心，外接球的球心满足平面，半径为，借助于直角梯形由勾股定理即可求得，利用二次函数性质即可求得的范围，进而得到OP的取值范围. 【详解】（1）略 （2）（ⅰ）当时，，即点为线段上的一个动点， 如图连接，并在其上任取点，分别作，交于点，作交于点，连接， 因，平面，平面，则平面，同理可得平面， 因平面，故平面平面，又平面，则平面， 因，则， ，则， 易得， ，则， ， 由两边取平方， 可得， 因，故当时，，此时取得最小值； （ⅱ）分别取的中点，连接，则， 当时，，则点在射线上， 设，易得点为的外心，作平面于，则，且点在射线上. 三棱锥外接球的球心满足平面，则，连接， 设三棱锥外接球半径为，因，则，， 则，在中，， 于是有，化简得， 因，该函数在上单调递减，在上单调递增， 当时，取得最小值，此时取得最小值； 当时，取得最大值10，此时取得最大值，故OP的取值范围为. 12．如图，在四棱锥中，，且． (1)证明：平面平面； (2)若，，且四棱锥的体积为，求该四棱锥的侧面积． (3)若为棱的中点，在（2）的条件下，求二面角的余弦值． 【答案】(1)证明：因为，所以且， 因为，所以， 又，平面，所以平面PAD． 又面，所以平面平面. (2)； (3). 【分析】(1)由题意可证得面，然后结合面面垂直的判定定理即可证得平面平面. (2)在平面PAD内作，垂足为点E．证明平面ABCD．设，则，．由棱锥体积求得后可得各侧面面积．即可得侧面积． (3)以E为坐标原点建立空间直角坐标系，利用空间向量的夹角坐标公式即可求解. 【详解】（1）略； （2） 在平面PAD内作，垂足为点E． 由（1）知平面PAD，故． 又，平面，所以平面ABCD． 设，则，． 故四棱锥的体积，解得． 从而，，． 所以四棱锥的侧面积为． （3） 由（1），（2）知平面ABCD，平面PAD，过作， 以为坐标原点，分别为轴正方向. ,,,,, 易知平面的一个法向量为， 假设平面的一个法向量为， ，， 则，令，则. 所以， 所以二面角的余弦值. 13．如图，在三棱台中，，， ，，分别为的中点，且 (1)证明：平面； (2)证明：平面平面； (3)若，求平面与平面的夹角的正弦值. 【答案】(1)证明：记的交点为，的交点为，连接， 因为是三角形的中线，所以， 因为，所以，所以， 所以，所以， 因为平面，平面，所以平面. (2)证明：由（1）可知，，，所以，所以， 因为，所以， 因为，分别为的中点，所以，且， 所以，所以， 因为，所以， 所以，， 所以，所以， 所以，又是平面内的相交直线，所以平面， 又平面，所以平面平面. (3). 【分析】（1）记的交点为，的交点为，连接，利用相似比证明，结合线面平行判定定理即可得证； （2）利用直线平行的传递性和勾股定理证明和，结合线面垂直的判定定理和面面垂直的判定定理即可得证； （3）利用（2）判断两平面的夹角，然后利用余弦定理直接计算，再结合平方关系即可求得正弦值. 【详解】（1）略 （2）略 （3）由（2）知，，， 所以（或其补角）即为平面与平面的夹角， 因为且，所以， 所以四边形为平行四边形，， 因为，所以， 由余弦定理得，所以， 所以，则， 又，， 所以， 因为，所以即为平面与平面的夹角， 所以. 14．如图，四棱锥中，底面满足，，，，分别是，的中点，且，． (1)证明：平面平面； (2)若，求平面与平面的夹角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）利用向量或者平面几何的方法证明，再结合，根据线面垂直的判定定理得到平面，再根据面面垂直的判定定理即可得到结论. （2）先证平面，建立空间直角坐标系，利用空间向量求二面角的余弦值. 【详解】（1）方法一：，， 则 ， 即． 又，，平面， 所以平面. 又平面，所以平面⊥平面． 方法二：设， 在与中， 因为，，， 所以， 则. 因为，所以. 则在中，， 即⊥. 又，，平面， 所以平面， 又平面， 所以平面⊥平面． （2）因为平面平面，平面平面， 又平面，， 所以平面. 在中，因为，分别是，的中点， 所以， 则平面. 因为，是的中点， 所以是等腰三角形，且==1， 分别以，，方向作轴、轴、轴正方向，建立如图空间直角坐标系． ，，，，， 因为平面，又， 所以是平面的一个法向量． 设是平面的一个法向量， ，. 所以，令，则，，则． 设平面与平面的夹角为． 则， 所以平面与平面的夹角的余弦值为． 15．如图，在四棱锥中，底面为矩形，，，侧面为正三角形，平面平面，点为棱上一点，、分别为，中点． (1)求证：平面平面； (2)若点E为中点，求直线与平面夹角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）利用正三角形的中线性质与矩形对边中点连线的垂直关系，推导出线面垂直；再结合面面垂直的判定定理，由线面垂直推出面面垂直； （2）取线段的中点，过点作，垂足为，求证以及平面，结合长度信息求出即可. 【详解】（1）因为侧面为正三角形，为的中点，所以， 因为是矩形，且分别为中点，所以， 因为平面，所以平面， 因为平面，所以平面平面 （2）取线段的中点，过点作，垂足为，连接， 因为E为中点，所以， 因为底面为矩形，所以， 因为为中点，所以， 则四边形为平行四边形，所以， 因为平面平面，平面，平面平面， 所以平面， 因为平面，所以， 因为平面，所以平面， 因为平面，所以， 因为平面，所以平面， 所以为直线与平面所成角， 因为，， 所以在中， 因为，所以在中，， 因为，， 所以， 则，则， 则直线与平面所成角的余弦值为. 16．在边长为4的菱形中，，对角线与交于点O，将沿折起，使得点A到达点P的位置，得到如图所示的三棱锥，M为直线上一点． (1)证明：平面平面； (2)若二面角的大小为120°，直线与平面所成角的正弦值为，求的值． 【答案】(1)证明见解析 (2)或 【分析】（1）根据线面垂直的判定定理及面面垂直的判定定理可得； （2）建立空间直角坐标系，设，根据线面角的向量求法，得到关于的方程，求解可得. 【详解】（1）在菱形ABCD中，，O为BD中点， 由题可知，所以， 因为，平面， 所以平面， 又平面，所以平面平面. （2）以O为原点，OB，OC所在直线分别为x，y轴，过点O且垂直于平面的直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 二面角的大小为120°，即 因为，， 所以，， 则，，，， 所以，， 设， 则， 所以. 设平面PCD的法向量为， 则， 取，得，， 则. 设直线与平面所成角为， 则 ， 整理得，解得或， 当时，，则； 当时，，则. 综上，或. 17．如图，在三棱柱中，所有棱长均为，，． (1)证明：平面平面； (2)求直线与所成角的余弦值； (3)求二面角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）取中点，利用等腰三角形三线合一性质、勾股定理和线面垂直的判定可证得平面，由面面垂直的判定可证得结论； （2）以为坐标原点建立空间直角坐标系，利用异面直线所成角向量求法可求得结果； （3）根据二面角的向量求法可求得结果. 【详解】（1）取中点，连接， 在三棱柱中，所有棱长均为，， 都为边长为的等边三角形， ，，， ，，， ，平面，平面， 平面，平面平面. （2）以为坐标原点，正方向为轴正方向，可建立如图空间直角坐标系， 则，，，， ，， ， 直线与所成角的余弦值为. （3）由（2）得：，， 设平面的法向量， 则，令，则，，； 轴，平面的一个法向量， ，， 即二面角的正弦值为. 18．如图，在梯形中，，，，为的中点，将沿翻折至的位置，使点落在点的位置，且，，分别为，的中点. (1)证明：平面平面. (2)若线段上存在点，使得平面平面， （i）猜想的值，并说明理由； （ii）求二面角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2)（i），理由见解析；（ii） 【分析】（1）先利用梯形性质得出为等边三角形，翻折后仍为等边三角形，再通过勾股定理证明，结合，证明 平面，从而推出平面平面. （2）（i）利用面面平行的性质，结合中位线定理，通过线线平行推导线面平行，再由面面平行的判定定理得出； （ii）由（i）知为的中点，先证 ，算出、，再由得 ，得出 ，用等面积法得到棱的距离，通过三棱锥体积转换 ，算出到平面的距离，通过计算即可求得结果. 【详解】（1）证明：在梯形中，，，，为的中点， 所以，且， 则四边形为菱形，所以， 则，所以为等边三角形，翻折后为等边三角形，且， 因为为的中点，故. 同理，四边形为菱形，为等边三角形，. 在中，，，又，则，所以. 因为，，平面， 所以平面. 又平面，故平面平面. （2）（ⅰ）. 理由如下： 如图，连接，与，分别交于点，，连接，. 因为，分别为，的中点，四边形为菱形， 所以四边形为平行四边形，所以. 又平面，平面，所以 平面. 因为为的中点，所以为的中位线，所以为的中点. 因为平面 平面，平面平面， 平面平面， 所以，所以为的中点，即. （ⅱ）由（2）（ⅰ）可知，点的位置唯一确定，即为的中点. 由（1）可知，，，且，，平面， 所以平面. 又 ，所以平面. 又平面，则， 所以，则. 在中，，，则， 又，所以 . 如图，过作于点， 由等面积法可知，. 在中，，，则边上的高为. 设点到平面的距离为， 则. 所以，所以. 设二面角的大小为， 则. 故二面角的正弦值为. 19．如图，底面是正方形的直棱柱中，，． (1)求直线与所成角的正弦值； (2)求证：． 【答案】(1) (2)证明见解析. 【分析】（1）利用余弦定理求即可； （2）利用直棱柱性质及正方形性质证明线面垂直，进而证得线线垂直. 【详解】（1）设与的交点为， 直线与所成角为， 由已知，同理可得， 所以， 所以， 因为 ， 所以 . 即直线 与 所成角的正弦值为 . （2）证明：因为 是直棱柱， 所以 平面 . 又因为 平面 ， 所以 . 因为底面 是正方形， 所以 . 又因为 ， 平面 ， 平面 ， 所以 平面 . 因为 平面 ， 所以 . 20．如图，在四棱锥中，为等边三角形，平面平面，，，，， (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)线段上是否存在一点，使得二面角的平面角的余弦值为．若存在，求出值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明：取棱的中点，连接， 因为为等边三角形，所以， 因为平面平面，平面平面，平面，所以平面， 又平面，所以， 又，，，平面，所以平面. (2) (3)存在， 【分析】（1）根据线面垂直的判定定理证明即可. （2）连接，结合线面角的定义得到为直线与平面所成的角，在中结合三角函数求解即可. （3）取中点，连接，，结合二面角的定义得到为二面角的平面角，设，在中，结合余弦定理求解即可. 【详解】（1）略 （2）连接， 由（1）中平面，所以为直线与平面所成的角. 因为为等边三角形，，且为的中点，所以， 又，在中，， 所以直线与平面所成角的正弦值为. （3）取中点，连接，， 在中，， 因为平面，又平面，所以， 在中，，所以，所以， 又点为中点，所以， 同理， 所以为二面角的平面角， 设， 在中，， 在中，， 在中，，，， 由余弦定理可得，即， 化简得到，解得或（舍去）， 即线段上存在一点，使得二面角平面角的余弦值为，此时． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $