专题4 不等式--2.2不等式的解法（讲义）-2027年山东省（春季高考）《数学一轮讲练测》（原卷版+解析版）

编写说明：2027年山东省春季高考《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年山东省春季高考 《数学一轮讲练测》复习讲义 专题4 不等式 2.2 不等式的解法 【复习目标】 1.会解形如的含有绝对值的不等式. 2.会解一元二次不等式. 【知识梳理内容】 考点1 不等式的解集与区间 1.一元一次不等式 (1)定义:只含有一个未知数，且未知数的次数是 1 ，系数不等于0的 左右两边都为整式的不等式叫作一元一次不等式. (2)解一元一次不等式的一般步骤①有分母的去分母；②有括号的去括号；③移项；④合并同类项；⑤化系数为1. 2.不等式的解集 (1)一元一次不等式的解集 ①一元一次不等式最终可化为ax>b(a≠0)的形式.当a>0时，不等式的解集为 ；当a<0时，不等式的解集为 . ②要注意不等式ax>b与一元一次不等式ax>b的区别，对于不等式ax>b的解集 要讨论a=0的情况.当a=0时，若b<0，则不等式的解集为 R ；若b≥0，则不等式的解集为 .而对于一元一次不等式ax>b，a的取值集合是 . (2)一元一次不等式组的解集 ①含有 相同未知数 的几个一元一次不等式组成的不等式组，叫作一元一次不等式组. ②几个一元一次不等式的解集的 交集 叫作由它们所组成的一元一次不等式组的解集.特别地，如果各个不等式的解集的 交集 是空集，那么由它们组成的不等式组的解集就是空集. (3)一元一次不等式组的解法 若a<b，则不等式组: ①的解集为 ，简记为“同大取大”； ②的解集为 ，简记为“大大小小中间找”； ③的解集为 ，简记为“同小取小”； ④的解集为 ，简记为“大大小小无处找”. 3.区间 设a，b是两个实数，而且a<b，规定 (1)满足不等式的全体实数x的集合称为闭区间，记作 ； (2)满足不等式的全体实数x的集合称为开区间，记作 ； (3)满足不等式或者的全体实数x的集合称为半开半闭区间，记作 . 这里的a，b都称为相应区间的端点. (4)①满足x<a的全体实数x的集合，可记作 ； ②满足x>a的全体实数x的集合，可记作 ； ③满足x≤a的全体实数x的集合，可记作 ； ④满足x≥a的全体实数x的集合，可记作 ； ⑤其中“-∞”和“+∞”分别读作“负无穷大”和“正无穷大”,实数集R可记作 . 【即时训练】 1.集合用区间表示为(  ) A. B. C. D. 【答案】A 【分析】利用区间的定义求解即可. 【详解】. 故选:A. 2.不等式的解集用区间表示为(  ) A. B. C. D. 【答案】D 【分析】根据区间表示法的规则判断即可 【详解】区间表示法为，为上限，为下限， 因为不等式表示可取到，但取不到5， 所以不等式的区间表示为. 故选:D. 3.不等式的解集为(  ) A. B. C. D. 【答案】B 【分析】利用一元一次不等式的解法，结合区间的表示即可得解. 【详解】因为，所以， 所以的解集为. 故选:B. 4.不等式组的解集为(  ) A. B. C. D. 【答案】A 【分析】由不等式组的解法求解，并用区间表示即可. 【详解】不等式组， 所以解得，即， 所以解集为. 故选:A. 5.已知集合，，用区间法表示正确的是(  ) A. B. C. D. 【答案】D 【分析】根据区间的运算计算即可. 【详解】因为集合，， 所以，. 故选:D. 6.下列数轴表示区间正确的是(  ) A.   B.   C.   D.   【答案】B 【分析】根据区间表示法分析即可. 【详解】已知区间，则在数轴上能取到点，取不到点， 故点为实心点，点为空心点，图象为    故选:B. 7.某市的出租车收费标准有如下规定:行程超过，但不超过，按照标准来收费，该出租车的行程用区间表示为(  ) A. B. C. D. 【答案】B 【分析】根据区间的概念，即可求解. 【详解】由题意知，该出租车收费标准为行程超过， 但不超过，所以该出租车的行程用区间表示为. 故选:B. 8.已知，若且，则x所在的区间是(  ) A. B. C. D. 【答案】C 【分析】根据区间的表示方法表示即可. 【详解】且用区间表示为， 因为，所以. 故选:C. 9.集合用区间表示为________. 【答案】 【分析】利用区间的表示方法可求. 【详解】，即， 用区间表示为； 故答案为:. 10.的解集是__________. 【答案】 【分析】根据不等式组解集的定义来求解. 【详解】， ， 不等式组的解集为. 故答案为:. 11.已知不等式组的解集为，则的值为______． 【答案】 【分析】先用字母表示出不等式组的解集,然后再根据已知解集对应得到相等关系,解关于字母的方程组求出的值即可求出答案. 【详解】由不等式组解得. 又因为不等式组的解集为, 所以,解得. 所以. 故答案为:. 12.解不等式组． 【答案】 【分析】分别解两个一元一次不等式，然后求出两个不等式解集的交集． 【详解】由原不等式组可得：，解得：， 因此，原不等式组得解集为:. 【知识梳理内容】 考点2 含绝对值的不等式 1.实数的绝对值 (1)绝对值的定义 (2)实数绝对值的几何意义:的几何意义是数轴上表示实数a的点到 原点 的距离. 2.含有绝对值的不等式 (1)最简单的含绝对值的不等式 如果m>0，那么①；②. (2)含有绝对值的不等式的解法 ①当时，的解集为 ；的解集为 . ②当时，的解集为 ；的解集为 R . 【即时训练】 13.不等式的解集是(  ) A. B. C. D. 【答案】C 【分析】根据绝对值的几何意义求解不等式即可. 【详解】由不等式，可得， 所以不等式的解集是. 故选:C 14.不等式的解集是(  ) A. B. C. D. 【答案】B 【分析】结合不含参数的绝对值不等式的解法求解. 【详解】解不等式， 则或， 所以不等式的解集是： ， 故选:B. 15.不等式的解集为(  ) A. B. C. D. 【答案】C 【分析】根据含绝对值不等式的解法求解即可. 【详解】已知不等式， 则，即， 解得， 所以不等式的解集为， 故选:C. 16.不等式的解集是(  ) A. B. C. D. 【答案】D 【分析】将含有绝对值的不等式左边的常数项移到右边，然后两边同时乘，最后根据条件去掉绝对值即可求解. 【详解】由不等式得， 两边同乘得，去掉绝对值 可得，解得. 故选:D. 17.已知不等式的解集是，其中，则等于(  ) A.1 B.3 C.6 D.9 【答案】D 【分析】先解含绝对值的不等式，得出解集，然后列方程组进行求解即可. 【详解】解绝对值不等式，可得， 已知该不等式的解集是， 故有，解得, 所以. 故选:D. 18.不等式的解集是(  ) A. B. C. D. 【答案】C 【分析】由含绝对值的不等式的基本解法即可解得. 【详解】解:因为，所以， 则，即， 所以不等式的解集为. 故选:C 19.计算:________；若，则________． 【答案】 【分析】根据绝对值的性质即可得解. 【详解】； 若，则， 故答案为：；. 20.不等式的解集是，则______. 【答案】/ 【分析】解含绝对值的不等式求出的取值，结合解集列出方程组即可得解. 【详解】不等式，解得， 因为解集是，则，解得， 故答案为:. 【知识梳理内容】 考点3 一元二次不等式 1.一元二次不等式的概念 含有一个未知数并且未知数的最高次数是2的整式不等式称为一元二次不等式. 2.一元二次不等式的两种基本类型 任何一个一元二次不等式经过化简整理，可以归结为如下两种基本类型： (1)ax²+bx+c>0(a>0). (2)ax²+bx+c<0(a>0). 3.一元二次不等式的解法 求方程ax²+bx+c=0(a>0)的判别式的值. (1)当>0时，一元二次方程ax²+bx+c=0(a>0)有两个不等的实根x1，x2，设x1 <x2， 则ax²+bx+c=a(x-x₁)(x-x₂).一元二次不等式ax²+bx+c>0(a>0)的解集为，一元二次不等式ax²+bx+c<0(a>0)的解集为(x₁，x₂). (2)当=0时，一元二次不等式ax²+bx+c>0(a>0)的解集为， 一元二次不等式ax²+bx+c>0(a<0)的解集为. (3)当<0时，一元二次不等式ax²+bx+c>0(a>0)的解集为R，一元二次不等式 ax²+bx+c>0(a<0)的解集为. 注:从函数观点看，一元二次方程ax²+bx+c=0(a≠0)的根就是二次函数y=ax²+bx+c(a≠0)的图象与x轴交点的横坐标.一元二次不等式ax²+bx+c>0(a≠ 0)的解集，即二次函数y=ax²+bx+c(a≠0)的值满足y>0时的自变量x组成的集合，即二次函数y = ax²+bx+c(a≠0)的图象在x轴上方时点的横坐标x的集合. 4.一元二次不等式恒成立的条件 (1)ax²+bx+c>0(a≠0)恒成立的条件是； (2)ax²+bx+c<0(a≠0)恒成立的条件是. 【即时训练】 21.不等式的解集是(  ) A.或 B.或 C. D. 【答案】C 【分析】利用一元二次不等式的解法求解即可. 【详解】由，得，或，无解； 则不等式的解集是； 故选:C. 22.不等式的解集为(  ) A. B. C. D. 【答案】A 【分析】根据一元二次不等式的解法求解. 【详解】不等式，解得， 所以不等式的解集为. 故选:A. 23.不等式的解集是(  ) A.或 B. C.或 D. 【答案】D 【分析】根据一元二次不等式的求解方法计算即可求解. 【详解】因为，所以， 可化为，解得， 所以不等式的解集为. 故选:D. 24.不等式的解集是(  ) A. B. C. D. 【答案】D 【分析】根据一元二次方程、一元二次不等式、二次函数间的关系，求解不等式即可. 【详解】因为不等式的二次项系数为， 对应的方程的解为， 所以不等式的解集是. 故选:D 25.不等式的解集为，则的值为(  ) A.0 B. C.1 D.2 【答案】B 【分析】根据一元二次不等式的解集求解参数，再相加求解即可. 【详解】∵不等式的解集为， ∴方程的两根为和1， ∴，解得， ∴. 故选:B. 26.不等式的解集为空集，则b的取值范围是(  ) A. B.或 C. D.或 【答案】A 【分析】根据一元二次不等式的性质即可求解. 【详解】因为不等式的解集为空集，所以，解得． 故选:A. 27.若不等式对x为全体实数恒成立，则a的取值范围是(  ) A. B. C. D.或 【答案】A 【分析】根据一元二次不等式与二次函数的关系得出，即可得解. 【详解】函数的图像为开口向上的抛物线， 且不等式对x为全体实数恒成立， 则，解得， 故选:. 28.已知不等式的解集为，则不等式的解集为(  ) A. B.或 C. D.或 【答案】A 【分析】根据题意，结合一元二次不等式的解集与一元二次方程的根的关系，利用韦达定理求出a和b的值，代入不等式，结合二次不等式的解法，即可求解. 【详解】因为不等式的解集为， 所以，且是方程的两个根， 所以，解得， 所以不等式为，即， 所以，解得， 即不等式的解集为. 故选:A. 29.解下列一元二次不等式. (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】(1)(2)根据一元二次不等式的解法求解即可. 【详解】(1)由， 得， 当时，， 所以原不等式的解集为. (2)由， 得， 解得， 所以原不等式的解集为. 30.已知函数. (1)若关于的不等式的解集为，求a，b的值； (2)当时，解关于的不等式. 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】(1)由题意知的两个根，列出式子解得的值； (2)分类讨论的范围，再求解不等式. 【详解】(1)由题意知方程的两个根为和， 所以， 解得 (2)当时，， 即， 当，即时，解得； 当时，解得； 当，即时，解得. 综上可知，当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 1.(2026年山东省春季高考数学真题)已知不等式的解集是，则实数c的值是(  ) A.5 B.4 C.3 D.2 【答案】B 【解析】 【分析】根据绝对值不等式的解集求解即可. 【详解】不等式，的解集为，即， 解得，所以， 解得. 故选:B. 2.(2025年山东省春季高考数学真题)已知方程的两个根是和5，则不等式的解集是(  ) A. B. C. D. 【答案】A 【分析】根据一元二次方程、一元二次不等式、二次函数的关系可将不等式变形，进而求解即可. 【详解】因为方程的两个根是−2和5， 所以不等式可变形为， 又因为，所以， 解得， 所以不等式的解集为 故选:A. 3.(2024年山东省春季高考数学真题)不等式的解集是，则实数的值为(  ) A.0 B.1 C.2 D.3 【答案】B 【解析】 【分析】根据含绝对值的不等式的解法即可求解. 【详解】由不等式，解得， 又因为不等式的解集是， 即， 所以有， 所以. 故选:B. 4.(2023年山东省春季高考数学真题)不等式的解集是(  ) A. B. C. D. 【答案】C 【分析】由对数函数的单调性解不等式和解含绝对值的不等式的解法求解即可. 【详解】因为， 由得， 且， 所以， 解得， 所以不等式的解集为(. 故选:C. 5.(2022年山东省春季高考数学真题)已知函数图像的对称轴为.则不等式的解集是(  ) A. B. C. D. 【答案】C 【分析】根据一元二次方程的根与一元二次不等式的关系求解集. 【详解】因为函数图像的对称轴为， 所以，解得， 所以函数为， 不等式即为， 因式分解得， 解得， 所以不等式的解集是. 故选:C. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明:2027年山东省春季高考《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年山东省春季高考 《数学一轮讲练测》复习讲义 专题4 不等式 2.2 不等式的解法 【复习目标】 1.会解形如的含有绝对值的不等式. 2.会解一元二次不等式. 【知识梳理内容】 考点1 不等式的解集与区间 1.一元一次不等式 (1)定义:只含有一个未知数，且未知数的次数是 ，系数不等于0的 叫作一元一次不等式. (2)解一元一次不等式的一般步骤①有分母的去分母；②有括号的去括号；③移项；④合并同类项；⑤化系数为1. 2.不等式的解集 (1)一元一次不等式的解集 ①一元一次不等式最终可化为ax>b(a≠0)的形式.当a>0时，不等式的解集为 ；当a<0时，不等式的解集为 . ②要注意不等式ax>b与一元一次不等式ax>b的区别，对于不等式ax>b的解集 要讨论a=0的情况.当a=0时，若b<0，则不等式的解集为 ；若b≥0，则不等式的解集为 .而对于一元一次不等式ax>b，a的取值集合是 . (2)一元一次不等式组的解集 ①含有 的几个一元一次不等式组成的不等式组，叫作一元一次不等式组. ②几个一元一次不等式的解集的 叫作由它们所组成的一元一次不等式组的解集.特别地，如果各个不等式的解集的 是空集，那么由它们组成的不等式组的解集就是空集. (3)一元一次不等式组的解法 若a<b，则不等式组: ①的解集为 ，简记为“同大取大”； ②的解集为 ，简记为“大大小小中间找”； ③的解集为 ，简记为“同小取小”； ④的解集为 ，简记为“大大小小无处找”. 3.区间 设a，b是两个实数，而且a<b，规定 (1)满足不等式的全体实数x的集合称为闭区间，记作 ； (2)满足不等式的全体实数x的集合称为开区间，记作 ； (3)满足不等式或者的全体实数x的集合称为半开半闭区间，记作 . 这里的a，b都称为相应区间的端点. (4)①满足x<a的全体实数x的集合，可记作 ； ②满足x>a的全体实数x的集合，可记作 ； ③满足x≤a的全体实数x的集合，可记作 ； ④满足x≥a的全体实数x的集合，可记作 ； ⑤其中“-∞”和“+∞”分别读作“负无穷大”和“正无穷大”,实数集R可记作 . 【即时训练】 1.集合用区间表示为(  ) A. B. C. D. 2.不等式的解集用区间表示为(  ) A. B. C. D. 3.不等式的解集为(  ) A. B. C. D. 4.不等式组的解集为(  ) A. B. C. D. 5.已知集合，，用区间法表示正确的是(  ) A. B. C. D. 6.下列数轴表示区间正确的是(  ) A.   B.   C.   D.   7.某市的出租车收费标准有如下规定:行程超过，但不超过，按照标准来收费，该出租车的行程用区间表示为(  ) A. B. C. D. 8.已知，若且，则x所在的区间是(  ) A. B. C. D. 9.集合用区间表示为________. 10.的解集是__________. 11.已知不等式组的解集为，则的值为______． 12.解不等式组． 【知识梳理内容】 考点2 含绝对值的不等式 1.实数的绝对值 (1)绝对值的定义 (2)实数绝对值的几何意义:的几何意义是数轴上表示实数a的点到 的距离. 2.含有绝对值的不等式 (1)最简单的含绝对值的不等式 如果m>0，那么① ；② . (2)含有绝对值的不等式的解法 ①当时，的解集为 ；的解集为 . ②当时，的解集为 ；的解集为 . 【即时训练】 13.不等式的解集是(  ) A. B. C. D. 14.不等式的解集是(  ) A. B. C. D. 15.不等式的解集为(  ) A. B. C. D. 16.不等式的解集是(  ) A. B. C. D. 17.已知不等式的解集是，其中，则等于(  ) A.1 B.3 C.6 D.9 18.不等式的解集是(  ) A. B. C. D. 19.计算:________；若，则________． 20.不等式的解集是，则______. 【知识梳理内容】 考点3 一元二次不等式 1.一元二次不等式的概念 含有一个未知数并且未知数的最高次数是2的整式不等式称为一元二次不等式. 2.一元二次不等式的两种基本类型 任何一个一元二次不等式经过化简整理，可以归结为如下两种基本类型： (1) (a>0). (2) (a>0). 3.一元二次不等式的解法 求方程ax²+bx+c=0(a>0)的判别式的值. (1)当>0时，一元二次方程ax²+bx+c=0(a>0)有两个不等的实根x1，x2，设x1 <x2， 则ax²+bx+c=a(x-x₁)(x-x₂).一元二次不等式ax²+bx+c>0(a>0)的解集为 ，一元二次不等式ax²+bx+c<0(a>0)的解集为 . (2)当=0时，一元二次不等式ax²+bx+c>0(a>0)的解集为 ， 一元二次不等式ax²+bx+c>0(a<0)的解集为 . (3)当<0时，一元二次不等式ax²+bx+c>0(a>0)的解集为 ，一元二次不等式 ax²+bx+c>0(a<0)的解集为 . 注:从函数观点看，一元二次方程ax²+bx+c=0(a≠0)的根就是二次函数y=ax²+bx+c(a≠0)的图象与x轴交点的横坐标.一元二次不等式ax²+bx+c>0(a≠0)的解 集，即二次函数y=ax²+bx+c(a≠0)的值满足y>0时的自变量x组成的集合，即二次函数y = ax²+bx+c(a≠0)的图象在x轴上方时点的横坐标x的集合. 4.一元二次不等式恒成立的条件 (1)ax²+bx+c>0(a≠0)恒成立的条件是 ； (2)ax²+bx+c<0(a≠0)恒成立的条件是 . 【即时训练】 21.不等式的解集是(  ) A.或 B.或 C. D. 22.不等式的解集为(  ) A. B. C. D. 23.不等式的解集是(  ) A.或 B. C.或 D. 24.不等式的解集是(  ) A. B. C. D. 25.不等式的解集为，则的值为(  ) A.0 B. C.1 D.2 26.不等式的解集为空集，则b的取值范围是(  ) A. B.或 C. D.或 27.若不等式对x为全体实数恒成立，则a的取值范围是(  ) A. B. C. D.或 28.已知不等式的解集为，则不等式的解集为(  ) A. B.或 C. D.或 29.解下列一元二次不等式. (1) (2) 30.已知函数. (1)若关于的不等式的解集为，求a，b的值； (2)当时，解关于的不等式. 1.(2026年山东省春季高考数学真题)已知不等式的解集是，则实数c的值是(  ) A.5 B.4 C.3 D.2 2.(2025年山东省春季高考数学真题)已知方程的两个根是和5，则不等式的解集是(  ) A. B. C. D. 3.(2024年山东省春季高考数学真题)不等式的解集是，则实数的值为(  ) A.0 B.1 C.2 D.3 4.(2023年山东省春季高考数学真题)不等式的解集是(  ) A. B. C. D. 5.(2022年山东省春季高考数学真题)已知函数图像的对称轴为.则不等式的解集是(  ) A. B. C. D. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $