2.2.2等差数列的前n项和-《数学》人教版拓展模块一《同步必备知识清单》（原卷版+解析版）

2.2.1等差数列的前n项和 一、知识梳理 (1))前n项和公式：已知数列{an}是等差数列，Sn是其前n项和． Sn＝na1＋d＝ (2)数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差数列． (3)为等差数列． 二、题型精练 题型1 等差数列前n项和公式1（高斯公式） 【典例1】：求前1000个正整数的和 【典例2】：在等差数列{an}中，a1=2，a10=8，则S10=_________ 题型2 等差数列前n项和公式2 【典例1】：在等差数列{an}中，a1=12，d=1，则S8=_________ 【典例2】：以2为首项，-5为公差的等差数列的前10项和； 题型3 公式2逆用 【典例1】：等差数列：-3，1，5，....的前多少项和是150？ 【典例2】：等差数列：-1，2，5，8，....的前多少项和是125？ 题型4 最值：从哪一项开始为负 【典例1】：已知等差数列{an}中，an=3n-42，求该数列从哪一项开始为正 【典例2】：已知等差数列{an}中，d=-2,a1=31，求该数列从哪一项开始为负 题型5 最值 【典例1】：已知等差数列-23，-19，-15，-11，....，求前n项和Sn的最小值 【典例2】：已知等差数列{an}中，an=2n-7，求前n项和Sn的最小值 题型6 等差应用 【典例1】：长跑运动员进行常规训练，他的计划是:第一天跑1000米，第二天跑1200米，以后-天都比前一天多跑200米，则该运动员在前9天按计划要跑多少米？ 【典例2】：某剧院共有25 排座位，后一排比前一排多两个座位，最后一排有 70个座位，这个剧院共有_____________个座位: 三、知识检测 1.如果{an}是等差数列，且S10=120，则a1+a10=_________ 2.在等差数列{an}中，a6+a15=15，则S20=_________ 3.在等差数列{an}中，a4+a5=15，则S8=_________ 4.在等差数列{an}中，a4+a5+a6=24，则S9=_________ 5.等差数列{an}各项都是负数，且a32+a82+2a3a8=9,那么S10=_________ 6.已知等差数列{an}中，a7=8，则S13=_________ 7.在等差数列{an}中，a7+a9=a10，则S11=_________ 8.在等差数列{an}中，2a8=6+a11，则S9=_________ 9.在等差数列{an}中，a2+a13=a7，则S15=_________ 10.在等差数列{an}中，a1+a3+a5=3，则S5=_________ 10.在等差数列{an}中，a4+a5+a6=24，则S9=_________ 11.在等差数列{an}中，S15=90，则a8=_________ 12.在等差数列{an}中，S9=72，则a2+a4+a9=_________ 13.等差数列{an}中，a1=-6，a12=16，求S60 14.在等差数列{an}中，a3=5，a7=11，求S7 15. 1+3+5+7+...+x=100,则x=_________ 17.已知等差数列{an}中，an=31-4n，求该数列最接近0项 18.已知等差数列{an}中，d=3,a1=2，求该数列从哪一项开始大于2023 19.等差数列{an}中，a2=11，a4=7，则该数列前多少项之和最大，并求出最大值 20.数列{an}中，a1=60，且an+1=an-3，求这个数列前n项和Sn的最大值 21.某小学的募捐小组上街头募捐，一共募捐得6500元，他们第一天只募捐得 200元，后来采取了积极措施，他们每天都比前一天多募捐了100元，他们总共捐_____________天 22.一个剧场设置了20排座位，第一排有38个座位，往后每一排都比前一排多2个座位:假如有1200个学生去剧场，能否坐得下? 1 2 2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.2.1等差数列的前n项和 一、知识梳理 (1))前n项和公式：已知数列{an}是等差数列，Sn是其前n项和． Sn＝na1＋d＝ (2)数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差数列． (3)为等差数列． 二、题型精练 题型1 等差数列前n项和公式1（高斯公式） 【典例1】：求前1000个正整数的和 【答案】500500 【分析】该数列为等差数列，直接套用等差数列前n项和高斯公式计算。 【详解】前1000个正整数构成首项a1=1，末项a1000=1000，项数n=1000的等差数列。 代入求和公式： S1000===500×1001=500500 【典例2】：在等差数列{an}中，a1=2，a10=8，则S10=_________ 【答案】50 【分析】已知首项、第 10 项和项数，用等差数列前n项和高斯公式直接求值。 【详解】等差数列前n项和公式：，此处n=10 S10===5×10=50 题型2 等差数列前n项和公式2 【典例1】：在等差数列{an}中，a1=12，d=1，则S8=_________ 【答案】108 【分析】已知首项、公差、项数，直接代入Sn=na1+2n(n−1)d计算。 【详解】S8=8a1+28×(8−1)d=8×12+28×7×1=96+28=108​ 【典例2】：以2为首项，-5为公差的等差数列的前10项和； 【答案】−205 【分析】给出a1,d,n，选用Sn=na1+2n(n−1)d求解。 【详解】a1=2,d=−5,n=10；S10=10×2+（10×9）÷2×(−5)=20+45×(−5)=20−225=−205 题型3 公式2逆用 【典例1】：等差数列：-3，1，5，....的前多少项和是150？ 【答案】n=10 【分析】先写出a1,d，代入求和公式列关于n的一元二次方程，取正整数解。 【详解】a1=−3,d=1−(−3)=4，Sn=−3n+[n(n−1)]÷2×4=150 化简：−3n+2n(n−1)=150 2n2−5n−150=0 (2n+15)(n−10)=0 解得n=10，n=−7.5（舍去） 答：前10项和为 150。 【典例2】：等差数列：-1，2，5，8，....的前多少项和是125？ 【答案】n=10 【分析】确定首项、公差，代入求和公式解方程，舍去负根。 【详解】a1=−1, d=3；Sn=−n+[n(n−1)]÷2×3=125; −2n+3n2−3n=250 3n2−5n−250=0 (3n+25)(n−10)=0 n=10，n=−​(舍去) 答：前10项和为 125。 题型4 最值：从哪一项开始为负 【典例1】：已知等差数列{an}中，an=3n-42，求该数列从哪一项开始为正 【答案】第15项 【分析】列不等式an>0，解出整数n最小值。 【详解】3n−42>0;3n>42⟹ n>14 n∈N∗，故nmin=15即从第15项开始为正。 【典例2】：已知等差数列{an}中，d=-2,a1=31，求该数列从哪一项开始为负 【答案】第17项 【分析】先写出通项公式，再解an<0求最小正整数n。 【详解】an=a1+(n−1)d=31−2(n−1)=33−2n; 33−2n<0 2n>33⟹ n>16.5 n取正整数，n=17从第17项开始为负。 题型5 最值 【典例1】：已知等差数列-23，-19，-15，-11，....，求前n项和Sn的最小值 【答案】S6=−78 【分析】首项负、公差正，数列递增，找到最后一项负数，该项对应的Sn最小。 【详解】a1=−23, d=−19−(−23)=4通项：an=−23+(n−1)×4=4n−27 令an≤0；an+1>0； 4n−27≤0⇒n≤6.75,4(n+1)−27>0⇒n>5.75 正整数n=6时Sn最小。 S6=6(a1+a6)÷2, a6=4×6−27=−3；S6=3×(−23−3)=−78 【典例2】：已知等差数列{an}中，an=2n-7，求前n项和Sn的最小值 【答案】S3=−9 【分析】公差d=2>0递增，找最后负项。 【详解】an=2n−7≤0⇒n≤3.5 n=3为最后负项，Sn最小。 a1=−5, a3=−1，S3=23×(−5−1)=−9 题型6 等差应用 【典例1】：长跑运动员进行常规训练，他的计划是:第一天跑1000米，第二天跑1200米，以后-天都比前一天多跑200米，则该运动员在前9天按计划要跑多少米？ 【答案】16200 米 【分析】每日跑步里程为等差数列，a1=1000,d=200,n=9，代入前n项和公式计算。 【详解】a1=1000, d=200, n=9，a9=a1+8d=1000+8×200=2600， S9=9(a1+a9)÷2=9×(1000+2600)÷2=9×1800=16200 答：前9天一共跑 16200 米。 【典例2】：某剧院共有25 排座位，后一排比前一排多两个座位，最后一排有 70个座位，这个剧院共有_____________个座位: 【答案】1150 【分析】座位数等差，n=25,d=2,a25=70，先求首项再求和。 【详解】a25=a1+24d=70=a1+24×2⇒a1=70−48=22， S25=25(a1+a25)÷2=25×(22+70)÷2=25×46=1150 三、知识检测 1.如果{an}是等差数列，且S10=120，则a1+a10=_________ 【答案】24 【分析】将已知前10项和代入高斯求和公式，变形求解a1+a10。 【详解】由S10==5(a1+a10)，代入S10=120：5(a1+a10)=120；a1+a10=24 2.在等差数列{an}中，a6+a15=15，则S20=_________ 【答案】150 【分析】利用下标和性质a1+a20=a6+a15，再代入高斯求和公式。 【详解】6+15=1+20⇒a1+a20=a6+a15=15；S20==10×15=150 3.在等差数列{an}中，a4+a5=15，则S8=_________ 【答案】60 【分析】下标和1+8=4+5，得a1+a8=a4+a5，套求和公式。 【详解】a1+a8=a4+a5=15,S8==4×15=60 4.在等差数列{an}中，a4+a5+a6=24，则S9=_________ 【答案】72 【分析】等差中项a4+a6=2a5，求出a5，再用S9=9a5。 【详解】a4+a6=2a5⇒3a5=24⇒a5=8；S9=9a5=9×8=72 5.等差数列{an}各项都是负数，且a32+a82+2a3a8=9,那么S10=_________ 【答案】−15 【分析】完全平方因式分解，结合下标和a1+a10=a3+a8，再求和。 【详解】(a3+a8)2=9⇒a3+a8=±3数列各项为负， 故a3+a8=−3，a1+a10=a3+a8=−3,S10==5×(−3)=−15 6.已知等差数列{an}中，a7=8，则S13=_________ 【答案】104 【分析】奇数项和公式S13=13a7。 【详解】S13=13a7=13×8=104 7.在等差数列{an}中，a7+a9=a10，则S11=_________ 【答案】0 【分析】统一用a1,d化简求出a6=0，S11=11a6。 【详解】(a1+6d)+(a1+8d)=a1+9d⇒a1+5d=0⇒a6=0；S11=11a6=0 8.在等差数列{an}中，2a8=6+a11，则S9=_________ 【答案】54 【分析】通项展开化简得a5=6，S9=9a5。 【详解】2(a1+7d)=6+a1+10d⇒a1+4d=6⇒a5=6；S9=9a5=9×6=54 9.在等差数列{an}中，a2+a13=a7，则S15=_________ 【答案】0 【分析】下标和变形求出a8=0，S15=15a8。 【详解】(a1+d)+(a1+12d)=a1+6d⇒a1+7d=0⇒a8=0；S15=15a8=0 10.在等差数列{an}中，a1+a3+a5=3，则S5=_________ 【答案】5 【分析】等差中项得3a3=3⇒a3=1，S5=5a3。 【详解】a1+a5=2a3⇒3a3=3⇒a3=1；S5=5a3=5×1=5 10.在等差数列{an}中，a4+a5+a6=24，则S9=_________ 【答案】72 【分析】3a5=24求出a5，再用奇数项和公式。 【详解】3a5=24⇒a5=8,S9=9a5=72 11.在等差数列{an}中，S15=90，则a8=_________ 【答案】6 【分析】S15=15a8​直接变形求解。 【详解】S15=15a8=90⇒a8=90÷15=6 12.在等差数列{an}中，S9=72，则a2+a4+a9=_________ 【答案】24 【分析】先由S9=9a5=72得a5=8，再把所求式子全部化为a1,d合并。 【详解】S9=9a5=72⇒a5=a1+4d=8；a2+a4+a9=(a1+d)+(a1+3d)+(a1+8d)=3a1+12d=3(a1+4d)=3a5 a2+a4+a9=3×8=24 13.等差数列{an}中，a1=-6，a12=16，求S60 【答案】6420 【分析】先用高斯公式求公差，再代入求和；或先求a1+a60。 【详解】a12=a1+11d⟹ 16=−6+11d；11d=22⟹ d=2 a60=a1+59d=−6+59×2=−6+118=112 S60=60(a1+a60)÷2=30×(−6+112)=30×106=6420 14.在等差数列{an}中，a3=5，a7=11，求S7 【答案】45.5 【分析】先用下标性质a1+a7=a3+a5，或先求a4,a5，再用S7=7a4；也可联立方程求a1,d。 【详解】a3+a7=2a5⇒5+11=2a5⇒a5=8a1+a7=a3+a5=5+8=13；S7=7(a1+a7)÷2=7×13÷2=45.5 15. 1+3+5+7+...+x=100,则x=_________ 【答案】19 【分析】连续奇数构成等差数列，a1=1,d=2，先用奇数和结论Sk=k2求出项数，再求末项。 【详解】奇数数列前k项和Sk=k2=100⇒k=10 第 10 项：x=a10=1+(10−1)×2=19 17.已知等差数列{an}中，an=31-4n，求该数列最接近0项 【答案】第8项 【分析】解an=0看n小数，取相邻整数代入比较绝对值大小。 【详解】令31−4n=0⇒n=7.75；a7=31−28=3,∣a7∣=3；a8=31−32=−1,∣a8∣=1 ∣a8∣<∣a7∣，故第 8 项最接近 0。 18.已知等差数列{an}中，d=3,a1=2，求该数列从哪一项开始大于2023 【答案】第675项 【分析】写出通项，列不等式an>2023求解整数n最小值。 【详解】an=2+3(n−1)=3n−13n−1>2023，3n>2024⟹ n>674.67 n为正整数，nmin=675从第675项开始大于 2023。 19.等差数列{an}中，a2=11，a4=7，则该数列前多少项之和最大，并求出最大值 【答案】前6项和最大，最大值36 【分析】先求a1,d，递减数列，找到最后正数项。 【详解】a1+d=11，a1+3d=7⇒d=−2,a1=13，an=13−2(n−1)=15−2n 令an≥0，an+1<0​ 15−2n≥0⇒n≤7.5,15−2(n+1)<0⇒n>6.5，n为正整数，n=7 a1=13,d=−2，S7=7×13+（7×6×(−2)）÷2=91−42=49 前7项和最大，最大值49。 20.数列{an}中，a1=60，且an+1=an-3，求这个数列前n项和Sn的最大值 【答案】n=21时，S21=630 【分析】公差d=−3<0递减，求最后非负项。 【详解】an=60−3(n−1)=63−3n，an≥0⇒63−3n≥0⇒n≤21 a21=0，n=21和最大，S21=21(a1+a21)÷2=21×(60+0)÷2=630 21.某小学的募捐小组上街头募捐，一共募捐得6500元，他们第一天只募捐得 200元，后来采取了积极措施，他们每天都比前一天多募捐了100元，他们总共捐_____________天 【答案】10 【分析】每日募捐额等差，a1=200,d=100,Sn=6500，列方程解正整数n。 【详解】Sn=na1+2n(n−1)d 200n+2n(n−1)×100=6500 200n+50n(n−1)=6500 两边 ÷50：4n+n2−n=130⇒n2+3n−130=0 (n+13)(n−10)=0 n=10，n=−13舍去。 一共捐 10 天。 22.一个剧场设置了20排座位，第一排有38个座位，往后每一排都比前一排多2个座位:假如有1200个学生去剧场，能否坐得下? 【答案】坐不下 【分析】座位等差，求出总座位数，和1200比较大小。 【详解】a1=38, d=2, n=20，a20=38+19×2=76，S20=20×(38+76)÷2=10×114=1140 总座位 1140<1200，坐不下。 1 2 2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $