2.2.1等差数列的概念-《数学》人教版拓展模块一《同步必备知识清单》（原卷版+解析版）

2.2.1等差数列的概念 一、知识梳理 (1)等差数列的定义 如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d表示，定义的表达式为an＋1－an＝d(n∈N*). (2)等差中项 如果a，A，b成等差数列， 那么A叫做a与b的等差中项且A＝. (3)通项公式 如果等差数列{an}的首项为a1，公差为d，那么通项公式为an＝a1＋(n－1)d＝am＋(n－m)d(n，m∈N*)． (4)前n项和公式：Sn＝na1＋d＝ 2.等差数列的性质 已知数列{an}是等差数列，Sn是其前n项和． (1)若m1＋m2＋…＋mk＝n1＋n2＋…＋nk，则am1＋am2＋…＋amk＝an1＋an2＋…＋ank.特别地，若m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq. (2)am，am＋k，am＋2k，am＋3k，…仍是等差数列，公差为kd. (3)数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差数列． (4)为等差数列． (5)数列{an}，{bn}是公差分别为d1，d2的等差数列，则数列{pan}，{an＋p}，{pan＋qbn}都是等差数列(p，q都是常数)，且公差分别为pd1，d1，pd1＋qd2. 二、题型精练 题型1 等差数列的判断 【典例1】：下列数列是等差数列的是（ ） A.1,2,3,4 B.-1,1,-1,-1 C.2,3,2,3 D.-7,5,3,-1 【答案】A 【分析】等差数列定义：后项减前项的差为同一个常数。 【详解】A：公差都为 1，是等差数列；B、C、D 相邻差不相等，不是等差数列。 【典例2】：下列数列是等差数列的是（ ） A.1,2,3,5 B.-1,-2,-4,-8 C.2,0,2,0 D.-7,-5,-3,-1 【答案】D 【分析】用定义：相邻两项差为定值。 【详解】D：公差都为 2，是等差数列；其余选项差值不固定。 题型2 累加法 【典例1】：求等差数列：12,8,4,0，...的通项及第10项 【答案】通项：an=16−4n；第 10 项：a10=−24 【分析】先求公差d，再用等差数列通项 an=a1+(n−1)d。 【详解】a1=12, d=8−12=−4 an=12+(n−1)×(−4)=16−4n， a10=12+(10−1)×(−4)=−24 【典例2】：已知数列{an} 中，a1=3,an-an-1=2,求a66 【答案】133 【分析】等差数列，首项a1=3，公差d=2。 【详解】an=3+(n−1)×2，a66=3+(66−1)×2=133 题型3 首项公差求通项 【典例1】：求等差数列：12,8,4,0，...的通项及第10项 【答案】通项：an=16−4n；第 10 项：a10=−24 【分析】先求公差d，再用等差数列通项 an=a1+(n−1)d。 【详解】a1=12, d=8−12=−4 an=12+(n−1)×(−4)=16−4n，a10=12+(10−1)×(−4)=−24 【典例2】：已知等差数列a1=3,d=5,求通项公式 【答案】an=5n−2 【分析】直接代入通项公式 an=a1+(n−1)d。 【详解】an=3+(n−1)×5=5n−2 题型4 利用通项求项数 【典例1】：等差数列a1=-7,d=3,则32是该数列第几项 【答案】第14项 【分析】设第n项为32，用通项an=a1+(n−1)d解方程求正整数n。 【详解】an=−7+(n−1)×3=3n−10； 令 3n−10=32，3n=42⇒n=14是第 14 项。 【典例2】：2021是等差数列3,5,7，...的（ ） A.第1009项 B.第1010项 C.第1011项 D.第1012项 【答案】C 【分析】先求通项，再解方程求n。 【详解】a1=3,d=2，an=3+(n−1)×2=2n+1； 令2n+1=2021⇒n=1010，对应B​ 题型5 求等差通项 【典例1】：已知等差数列{an} ，第10项是20，第15项是-30，求第100项 【答案】−880 【分析】利用等差数列两项求公差公式am−an=(m−n)d，先求公差，再求首项，最后代入通项求第 100 项。 【详解】由等差数列性质：a15−a10=(15−10)d 代入a10=20,a15=−30：−30−20=5d;−50=5d⟹ d=−10 由 a10=a1+9d：20=a1+9×(−10);a1=20+90=110 由通项公式 an=a1+(n−1)d： a100=110+(100−1)×(−10); a100=110−990=−880 【典例2】：已知一个等差数列的第4项是7，第9项是22，求它的第20项 【答案】55 【分析】先用两项差值求公差，再反求首项，再用通项公式求第 20 项。 【详解】a9−a4=(9−4)d,22−7=5d⟹ 15=5d⟹ d=3, a4=a1+3d⟹ 7=a1+9⟹ a1=−2,a20=a1+19d=−2+19×3=55 题型6 等差通项推广公式 【典例1】：已知等差数列{an} ，第2项是4，第5项是13，求第100项 【答案】见详解 【分析】先用推广公式求公差d，再求首项a1，最后用通项求a100。 【详解】由 am=an+(m−n)d，a5=a2+(5−2)d 13=4+3d⟹ 3d=9⟹ d=3 求首项：a2=a1+d⟹ 4=a1+3⟹ a1=1 通项：an=a1+(n−1)d=1+3(n−1)=3n−2 a100=1+99×3=298 【典例2】：已知等差数列{an}，a3=7,a7=-1,则公差d=_________ 【答案】-2 【分析】直接用推广公式。 【详解】 题型7 等差中项 【典例1】：若三个数a-6,a,2a+5成等差数列，则实数a的值为（ ） A. B.1 C.0 D.-5 【答案】B 【分析】利用等差中项性质：中间项的2倍=前后两项之和。 【详解】由等差中项：2a=(a−6)+(2a+5) 2a=3a−1，a=1 选 B。 【典例2】： a,b,c三个数成等差数列，其中a=3+,c=3-,那么b=_________ 【答案】b=3 【分析】由等差中项 2b=a+c 直接计算。 【详解】2b=(3+)+(3−)=6，2b=6，解得b=3 题型8 三数成等差简便计算 【典例1】：已知三个数成等差数列，其和为15，首末两数的积为9，求这三个数 【答案】1,5,9 或 9,5,1 【分析】三数等差设为 x−d,x,x+d，先由和求中间项，再由乘积列方程求 d。 【详解】设三数：x−d,x,x+d和：(x−d)+x+(x+d)=3x=15，得 x=5 首末两数积：(x−d)(x+d)=x2−d2=9代入 x=5： 25−d2=9⇒d2=16⇒d=±4 d=4：三数为 1,5,9 d=−4：三数为 9,5,1 综上：这三个数为 1,5,9 或 9,5,1。 【典例2】：已知三个数成等差数列，他们和为21，积为168，求这三个数 【答案】2,7,12 或 12,7,2 【分析】设三数 x−d,x,x+d，先由和求 x，再由积求 d。 【详解】设三数：x−d,x,x+d和：3x=21⇒x=7 积：(x−d)⋅x⋅(x+d)=x(x2−d2)=1687(49−d2)=168⇒49−d2=24⇒d2=25⇒d=±5 d=5：2,7,12；d=−5：12,7,2 三个数为：2,7,12 或 12,7,2。 题型9 等差性质 【典例1】：已知等差数列{an}，且有a2+a3+a10+a11=48,a5+a8=（ ） A. B.48 C.16 D.24 【答案】D 【分析】利用等差性质：下标和相等，项和相等。 【详解】由下标：2+11=3+10=5+8 ∴a2+a11=a3+a10=a5+a8 原式：(a2+a11)+(a3+a10)=48，2(a5+a8)=48 ∴a5+a8=24 【典例2】：在等差数列{an}，且有a7=11,a19=3，则a13=_________ 【答案】7 【分析】等差中项性质：7+19=2×13，a7+a19=2a13​ 【详解】2a13=a7+a19=11+3=14，a13=7 题型10 求一长串的和 【典例1】：若等差数列{an}的公差为-2，且a1+a4+a7=9，则a2+a5+a8=_________ 【答案】3 【分析】后一组每一项比前一组对应项大 d，共 3 项，总和多 3d。 【详解】a2=a1+d, a5=a4+d, a8=a7+d；a2+a5+a8=(a1+a4+a7)+3d 代入：a2+a5+a8=9+3×(−2)=3 【典例2】：已知等差数列{an}中，a1+a2+a3=10，则a4+a5+a6=28，则公差d=_________ 【答案】2 【分析】后3项比前3项每一项多3d，共多9d。 【详解】(a4+a5+a6)−(a1+a2+a3)=9d 28−10=9d⇒18=9d⇒d=2 题型11 用定义证明等差数列 【典例1】：已知数列{an}中an=3n-5，证明该数列为等差数列 【答案】见详解 【分析】利用等差数列定义，计算 an+1−an，结果为常数即可。 【详解】an=3n−5；an+1=3(n+1)−5=3n−2； an+1−an=(3n−2)−(3n−5)=3，差为常数 3， 所以{an}是等差数列。 【典例2】：已知数列{an}中an=4-3n，证明该数列为等差数列，并求出其公差。 【答案】公差d=−3 【分析】求an+1−an，判断是否为常数。 【详解】an=4−3n；an+1=4−3(n+1)=1−3n； an+1−an=(1−3n)−(4−3n)=−3差为常数 −3， 故{an}是等差数列，公差d=−3。 三、知识检测 1.下列数列是等差数列的是（ ） A.2,4,8,16,.... B.,,,,.... C.,,, ,.... D.-1,2,-3,4,.... 【答案】C 【分析】判断相邻差值是否为常数。 【详解】C：公差为 ，是等差数列。 2.下列各组数中，成等差数列的是（ ） A.，，，.... B.lg2,lg4,lg8,.... C.,,,..... D.2,-2,,4,.... 【答案】B 【分析】化简 B 选项，看差值是否恒定。 【详解】B：lg4=lg22=2lg2，lg8=lg23=3lg2数列为：lg2, 2lg2, 3lg2⋯后项减前项恒为lg2，是等差数列。其余选项相邻差不相等。 3.已知数列{an} 中，a1=1,an-an-1=n（n≥2）,求a10 【答案】55 【分析】累加法： 【详解】a10=a1+2+3+⋯+10=1+2+3+⋯+10=55​​ 4.已知数列{an} 中,an-an-1=d（n≥2）,求an 【答案】an=a1+(n−1)d 【分析】由递推式知是等差数列，用累加法推导通项。 【详解】 累加消去中间项：an−a1=(n−1)d得：an=a1+(n−1)d 5.求数列4,6,8，...的通项公式an 【答案】an=2n+2 【分析】先确定首项、公差，再写通项。 【详解】a1=4, d=6−4=2，an=4+(n−1)×2=2n+2 6.已知等差数列a9=3,d=-2,求通项公式 【答案】an=21−2n 【分析】先由an=a1+(n−1)d 反求a1，再写通项。 【详解】由 a9=a1+8d： 3=a1+8×(−2)⇒a1=19， an=19+(n−1)×(−2)=21−2n 7.数列1,3,5，...2n+1的项数是（ ） A.2n-1 B.2n+1 C.n D.n+1 【答案】D 【分析】奇数列通项ak=2k−1，末项2k−1=2n+1。 【详解】设末项为第k项：2k−1=2n+1⇒k=n+1项数为n+1，选 D。 8.首项是81，公差是-7的等差数列中，与0最接近的项是（ ） A.第12项 B.第13项 C.第14项 D.第15项 【答案】B 【分析】写出通项，找最接近 0 的n。 【详解】an=81+(n−1)(−7)=88−7n; 令88−7n≈0⇒n≈12.57, 取整数n=13最接近 0，选 B。 9.在等差数列{an} 中，a3+a2=-12,a4+a6=-4,则公差d=（ ） A. B.-3 C.6 D.-6 【答案】 【分析】把各项用a1​,d展开，列方程组，作差消元求公差d。 【详解】a2+a3=(a1+d)+(a1+2d)=2a1+3d=−12 a4+a6=(a1+3d)+(a1+5d)=2a1+8d=−4​ 两式相减：5d=8 ⟹ d= ​故选 A。 10.在3和18之间插入2个数字，使这4个数字成等差数列 【答案】8, 13 【分析】设共4项，已知首项、末项，利用a4=a1+3d求公差，再求出中间两项。 【详解】设等差数列为a1=3, a2, a3, a4=18 a4=a1+3d,18=3+3d⟹ 3d=15⟹ d=5; a2=3+5=8,a3=8+5=13 插入的两个数为：8, 13。 11.等差数列{an}满足，a2=2,a8=26,则an=_________ 【答案】an=4n−6 【分析】先求公差，再求首项，写通项公式。 【详解】， a1=a2−d=2−4=−2， an=a1+(n−1)d=−2+4(n−1)=4n−6 an=4n−6 12.在等差数列{an}中，若a2=2,a4=6，求a2020 【答案】4038 【分析】先求公差，再求首项，代入求第 2020 项。 【详解】，a1=a2−d=2−2=0，a2020=a1+(2020−1)d=0+2019×2=4038 13.一工厂生产某种产品240件，它们来自甲，乙，丙三条生产线。已知从甲乙丙三天生产线上生产的个数组成一个等差数列，则乙生产线生产的产品件数为（ ） A. B.100 C.60 D.80 【答案】D 【分析】设甲、乙、丙为等差三数，乙是等差中项，总和 甲乙丙乙。 【详解】设甲、乙、丙依次成等差数列：甲+丙=2乙，甲+乙+丙=3乙=240 乙=80，选 D。 14.已知△ABC三个内角A,B,C成等差数列，则cosB=_____________ 【答案】 【分析】内角和 A+B+C=180∘，由等差中项得 2B=A+C，先求角B再求余弦。 【详解】由 A,B,C 成等差数列：2B=A+C又 A+B+C=180°， 2B+B=180°⇒3B=180°⇒B=60° cosB=cos60∘=​ 15.已知等差数列中连续三个数的和为21，平方和为179，求这三个数 【答案】3,7,11 或 11,7,3 【分析】设 x−d,x,x+d，先求中间项，再由平方和列方程。 【详解】设三数：x−d,x,x+d和：3x=21⇒x=7 平方和：(x−d)2+x2+(x+d)2=179(x2−2xd+d2)+x2+(x2+2xd+d2)=3x2+2d2=179 代入 x=7：3×49+2d2=179⇒147+2d2=179⇒2d2=32⇒d2=16⇒d=±4 三数为：3,7,11 或 11,7,3。 16.已知4个数成等差数列，他们和为26，中间两项之积为40，求这4个数 【答案】2,5,8,11 或 11,8,5,2 【分析】四数等差巧设：x−3d,x−d,x+d,x+3d，公差 2d。 【详解】设四数：x−3d,x−d,x+d,x+3d和：(x−3d)+(x−d)+(x+d)+(x+3d)=4x=26⇒x=​ 中间两项积：(x−d)(x+d)=x2−d2=40，−d2=40，−d2=40⇒d2=−=⇒d=​ 取 d=，四数：2, 5, 8, 11；取 d=，四数：11, 8, 5, 2 这四个数为：2,5,8,11 或 11,8,5,2。 17.已知a1,a2,a3,a4成等差数列，且a1+a4为方程2x2-5x+2=0的两个根，则a2+a3=_________ 【答案】​ 【分析】韦达定理：两根和a1+a4=；再用等差性质a2+a3=a1+a4。 【详解】由韦达定理：a1+a4=，又 2+3=1+4，得：a2+a3=a1+a4=​ 18.等差数列{an}中，若a3+a9+a15+a17=4 ，则a11=_________ 【答案】1 【分析】配对：3+17=9+15=2×11 【详解】a3+a17=2a11,a9+a15=2a11，2a11+2a11=4⇒4a11=4，a11=1 19.已知等差数列{an}中，a1+a3+.....+a99=150，则a2+a4+....+a100=200，则公差d=_________ 【答案】1 【分析】两组各50项，后一组每项比前一组对应项多d，总和差50d。 【详解】 (a2+a4+⋯+a100)−(a1+a3+⋯+a99)=50d；200−150=50d⇒50=50d⇒d=1 20.若等差数列{an}的公差为2，且S99=498，则a3+a6++a9.....+a99=_________ 【答案】232 【分析】把 99 项分成三组：A=a1+a4+…；B=a2+a5+…；C=a3+a6+⋯+a99​每组各 33 项，B=A+33d, C=A+66d，且 A+B+C=S99​。 【详解】A+(A+33d)+(A+66d)=498 3A+99d=498,  d=23A+99×2=498⇒3A=300⇒A=100 C=A+66d=100+66×2=232答案：232 21.已知数列{an}中an=4+an+1，证明该数列为等差数列，并求出其公差。 【答案】公差d=−4 【分析】变形递推式，得到an+1−an为常数。 【详解】由an=4+an+1； 变形：an+1−an=−4；差为常数−4， 故{an}是等差数列，公差d=−4。 22.在下列通项公式所表示的数列中，不是等差数列的是（ ） A.an=lg2n B.an=13n C.an=9-2n D.an=n2-n 【答案】D 【分析】一次型通项是等差数列，二次型不是；逐一化简判断。 【详解】A：an=nlg2，是关于n的一次式，等差； B：an=13n，一次式，等差； C：an=9−2n，一次式，等差； D：an=n2−n，含n2二次项，an+1−an不是常数，不是等差数列。 选 D。 1 2 2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.2.1等差数列的概念 一、知识梳理 (1)等差数列的定义 如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d表示，定义的表达式为an＋1－an＝d(n∈N*). (2)等差中项 如果a，A，b成等差数列， 那么A叫做a与b的等差中项且A＝. (3)通项公式 如果等差数列{an}的首项为a1，公差为d，那么通项公式为an＝a1＋(n－1)d＝am＋(n－m)d(n，m∈N*)． (4)前n项和公式：Sn＝na1＋d＝ 2.等差数列的性质 已知数列{an}是等差数列，Sn是其前n项和． (1)若m1＋m2＋…＋mk＝n1＋n2＋…＋nk，则am1＋am2＋…＋amk＝an1＋an2＋…＋ank.特别地，若m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq. (2)am，am＋k，am＋2k，am＋3k，…仍是等差数列，公差为kd. (3)数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差数列． (4)为等差数列． (5)数列{an}，{bn}是公差分别为d1，d2的等差数列，则数列{pan}，{an＋p}，{pan＋qbn}都是等差数列(p，q都是常数)，且公差分别为pd1，d1，pd1＋qd2. 二、题型精练 题型1 等差数列的判断 【典例1】：下列数列是等差数列的是（ ） A.1,2,3,4 B.-1,1,-1,-1 C.2,3,2,3 D.-7,5,3,-1 【典例2】：下列数列是等差数列的是（ ） A.1,2,3,5 B.-1,-2,-4,-8 C.2,0,2,0 D.-7,-5,-3,-1 题型2 累加法 【典例1】：求等差数列：12,8,4,0，...的通项及第10项 【典例2】：已知数列{an} 中，a1=3,an-an-1=2,求a66 题型3 首项公差求通项 【典例1】：求等差数列：12,8,4,0，...的通项及第10项 【典例2】：已知等差数列a1=3,d=5,求通项公式 题型4 利用通项求项数 【典例1】：等差数列a1=-7,d=3,则32是该数列第几项 【典例2】：2021是等差数列3,5,7，...的（ ） A.第1009项 B.第1010项 C.第1011项 D.第1012项 题型5 求等差通项 【典例1】：已知等差数列{an} ，第10项是20，第15项是-30，求第100项 【典例2】：已知一个等差数列的第4项是7，第9项是22，求它的第20项 题型6 等差通项推广公式 【典例1】：已知等差数列{an} ，第2项是4，第5项是13，求第100项 【典例2】：已知等差数列{an}，a3=7,a7=-1,则公差d=_________ 题型7 等差中项 【典例1】：若三个数a-6,a,2a+5成等差数列，则实数a的值为（ ） A. B.1 C.0 D.-5 【典例2】： a,b,c三个数成等差数列，其中a=3+,c=3-,那么b=_________ 题型8 三数成等差简便计算 【典例1】：已知三个数成等差数列，其和为15，首末两数的积为9，求这三个数 【典例2】：已知三个数成等差数列，他们和为21，积为168，求这三个数 题型9 等差性质 【典例1】：已知等差数列{an}，且有a2+a3+a10+a11=48,a5+a8=（ ） A. B.48 C.16 D.24 【典例2】：在等差数列{an}，且有a7=11,a19=3，则a13=_________ 题型10 求一长串的和 【典例1】：若等差数列{an}的公差为-2，且a1+a4+a7=9，则a2+a5+a8=_________ 【典例2】：已知等差数列{an}中，a1+a2+a3=10，则a4+a5+a6=28，则公差d=_________ 题型11 用定义证明等差数列 【典例1】：已知数列{an}中an=3n-5，证明该数列为等差数列 【典例2】：已知数列{an}中an=4-3n，证明该数列为等差数列，并求出其公差。 三、知识检测 1.下列数列是等差数列的是（ ） A.2,4,8,16,.... B.,,,,.... C.,,, ,.... D.-1,2,-3,4,.... 2.下列各组数中，成等差数列的是（ ） A.，，，.... B.lg2,lg4,lg8,.... C.,,,..... D.2,-2,,4,.... 3.已知数列{an} 中，a1=1,an-an-1=n（n≥2）,求a10 4.已知数列{an} 中,an-an-1=d（n≥2）,求an 5.求数列4,6,8，...的通项公式an 6. 已知等差数列a9=3,d=-2,求通项公式 7.数列1,3,5，...2n+1的项数是（ ） A.2n-1 B.2n+1 C.n D.n+1 8.首项是81，公差是-7的等差数列中，与0最接近的项是（ ） A.第12项 B.第13项 C.第14项 D.第15项 9.在等差数列{an} 中，a3+a2=-12,a4+a6=-4,则公差d=（ ） A. B.-3 C.6 D.-6 10.在3和18之间插入2个数字，使这4个数字成等差数列 11.等差数列{an}满足，a2=2,a8=26,则an=_________ 12.在等差数列{an}中，若a2=2,a4=6，求a2020 13.一工厂生产某种产品240件，它们来自甲，乙，丙三条生产线。已知从甲乙丙三天生产线上生产的个数组成一个等差数列，则乙生产线生产的产品件数为（ ） A. B.100 C.60 D.80 14.已知△ABC三个内角A,B,C成等差数列，则cosB=_____________ 15.已知等差数列中连续三个数的和为21，平方和为179，求这三个数 16.已知4个数成等差数列，他们和为26，中间两项之积为40，求这4个数 17.已知a1,a2,a3,a4成等差数列，且a1+a4为方程2x2-5x+2=0的两个根，则a2+a3=_________ 18.等差数列{an}中，若a3+a9+a15+a17=4 ，则a11=_________ 19.已知等差数列{an}中，a1+a3+.....+a99=150，则a2+a4+....+a100=200，则公差d=_________ 20. 若等差数列{an}的公差为2，且S99=498，则a3+a6++a9.....+a99=_________ 21.已知数列{an}中an=4+an+1，证明该数列为等差数列，并求出其公差。 22.在下列通项公式所表示的数列中，不是等差数列的是（ ） A.an=lg2n B.an=13n C.an=9-2n D.an=n2-n 1 2 2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $