2.1数列的概念-《数学》人教版拓展模块一《同步必备知识清单》（原卷版+解析版）

2.1数列的概念 一、知识梳理 1. 数列的有关概念 概念 含义 数列 按照一定顺序排列的一列数 数列的项 数列中的 每一个数 数列的通项 数列{an}的第n项an 通项公式 数列{an}的第n项an与n之间的关系能用公式 an＝f(n) 表达，这个公式叫做数列{an}的通项公式 前n项和 数列{an}中，Sn＝ a1＋a2＋…＋an 叫做数列{an}的前n项和 2.数列的表示方法 通项 公式 把数列的通项使用公式表示的方法 递推 公式 使用初始值a1和an＋1＝f(an)或a1，a2和an＋1＝f(an，an－1)等表示数列的方法 3.an与Sn的关系 若数列{an}的前n项和为Sn，则an＝ 4.　数列的分类 5．常见数列的通项公式 (1)自然数列：1,2,3,4，…，an＝n. (2)奇数列：1,3,5,7，…，an＝2n－1. (3)偶数列：2,4,6,8，…，an＝2n. (4)平方数列：1,4,9,16，…，an＝n2. (5)2的乘方数列：2,4,8,16，…，an＝2n. (6)乘积数列：2,6,12,20，…，an＝n(n＋1)． (7)正整数的倒数列：1，，，，…，an＝. (8)重复数串列：9,99,999,9 999，…，an＝10n－1. (9)符号数列：－1,1，－1,1，…或1，－1,1，－1，…，an＝(－1)n或an＝(－1)n＋1. 二、题型精练 题型1 简单找规律 【典例1】：若数列{an}的前4项分别是1，3，9，27，按此规律，第5项为（ ） A.36 B.108 C.54 D.81 【典例2】：数列，，，...，则是这个数列的（ ） A.第6项 B.第7项 C.第10项 D.第11项 题型2 利用通项求各项 【典例1】：已知数列的通项公式，求该数列前2项和第10项 【典例2】：已知数列的通项公式,则它的前四项是（ ） A.1，-1，1，-1 B.-1，2，-3，4 C.1，-2，3，-4 D.1，2，3，4 题型3 已知通项求项数 【典例1】：下列各数中是数列{5n-2}中某一项的是（ ） A.35 B.-567 C.3001 D.923 题型4 递推数列求各项 【典例1】：已知数列{bn}中，b1=1,b2=1,bn+2=bn+1+bn,求前5项 【典例2】：数列{an}中，对所有的正整数n都有,则（ ） A. B. C. D. 题型5 选择通项公式 【典例1】：数列1，3，6，10，....的一个通项公式是（ ） A. B. C. D. 【典例2】：数列，，，，，.... 的通项公式是（ ） A. B. C. D. 题型6 求通项公式 【典例1】：写出数列-，，-，.....的通项公式 【典例2】：写出数列7，77，777，...的通项公式 三、知识检测 1.在数列5，8，13，x，29，...中x的值是（ ） A.19 B.20 C.21 D.22 2.填空：，，，( )，，.... 3.观察数列，括号内应该填入（   ） A．10 B．11 C．12 D．13 4.已知数列的通项公式,求该数列第3项和第10项 5.数列{an}的通项公式,这个数列的前三项为______________ 6.判断19是否为数列{4n+1}中的项，如果是，请指出是第几项 7.以下4个数中，是数列{n2+1}中的一项是（ ） A.17 B.32 C.39 D.380 8.若120是一个数列中的一项，则这个数列是（ ） A. {n2+1} B.{n2-1} C.{n2-2n+1} D.{n2-n+1} 9.数列的一个通项公式为（   ） A． B． C． D． 10.已知数列{an}中，a1=1,an+1=an+3,求前4项 11.已知数列{an}中，a1=1,a2=2,an+2=2an+1-an,求第5项 12.已知数列满足，且，则（   ） A． B． C． D． 13.在数列中，，，则（   ）． A．19 B．121 C．244 D．364 14.已知数列满足，，则（    ） A．6 B． C． D． 15.如果数列{an}满足a1=-1,a2=3,a3=-5,.....则an等于（ ） A.2n-1 B.4n+5 C. D. 16.数列1，- ，，- ，....的一个通项公式是（ ） A. B. C. D. 17.写出数列2，-4，6，-8，...的通项公式 18.写出数列- ，，- ，.....的通项公式 19.数列的一个通项公式（　　） A． B． C． D． 1 2 2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.1数列的概念 一、知识梳理 1. 数列的有关概念 概念 含义 数列 按照一定顺序排列的一列数 数列的项 数列中的 每一个数 数列的通项 数列{an}的第n项an 通项公式 数列{an}的第n项an与n之间的关系能用公式 an＝f(n) 表达，这个公式叫做数列{an}的通项公式 前n项和 数列{an}中，Sn＝ a1＋a2＋…＋an 叫做数列{an}的前n项和 2.数列的表示方法 通项 公式 把数列的通项使用公式表示的方法 递推 公式 使用初始值a1和an＋1＝f(an)或a1，a2和an＋1＝f(an，an－1)等表示数列的方法 3.an与Sn的关系 若数列{an}的前n项和为Sn，则an＝ 4.　数列的分类 5．常见数列的通项公式 (1)自然数列：1,2,3,4，…，an＝n. (2)奇数列：1,3,5,7，…，an＝2n－1. (3)偶数列：2,4,6,8，…，an＝2n. (4)平方数列：1,4,9,16，…，an＝n2. (5)2的乘方数列：2,4,8,16，…，an＝2n. (6)乘积数列：2,6,12,20，…，an＝n(n＋1)． (7)正整数的倒数列：1，，，，…，an＝. (8)重复数串列：9,99,999,9 999，…，an＝10n－1. (9)符号数列：－1,1，－1,1，…或1，－1,1，－1，…，an＝(－1)n或an＝(－1)n＋1. 二、题型精练 题型1 简单找规律 【典例1】：若数列{an}的前4项分别是1，3，9，27，按此规律，第5项为（ ） A.36 B.108 C.54 D.81 【答案】D 【分析】先找出数列的通项公式，再求解即可. 【详解】观察数列1，3，9，27，可以发现：数列的各项的倍数均为3，所以该数列的通项公式为， 所以第10项为. 故选：D. 【典例2】：数列，，，...，则是这个数列的（ ） A.第6项 B.第7项 C.第10项 D.第11项 【答案】B 【分析】先找出数列的通项公式，再求解即可. 【详解】观察数列可以发现：数列的各项的根号下是：2,5,8,11，。。。,各项的间隔为+3，所以该数列的通项公式为，所以，为第7项 故选：B. 题型2 利用通项求各项 【典例1】：已知数列的通项公式，求该数列前2项和第10项 【答案】前 2 项：4,7；第 10 项：31 【分析】数列通项求项，直接把项数n代入通项公式计算即可。 【详解】n=1时：a1=3×1+1=4n=2时：a2=3×2+1=7n=10时：a10=3×10+1=31 【典例2】：已知数列的通项公式,则它的前四项是（ ） A.1，-1，1，-1 B.-1，2，-3，4 C.1，-2，3，-4 D.1，2，3，4 【答案】B 【分析】依次代入n=1,2,3,4求值。 【详解】 n=1：a1=(−1)1×1=−1 n=2：a2=(−1)2×2=2 n=3：a3=(−1)3×3=−3 n=4：a4=(−1)4×4=4 前四项：−1,2,−3,4，选 B。 题型3 已知通项求项数 【典例1】：下列各数中是数列{5n-2}中某一项的是（ ） A.35 B.-567 C.3001 D.923 【答案】D 【分析】令5n−2=k，解出n，若n为正整数，则k是数列中的项。 【详解】令5n−2=k，得 n=，n需为正整数。 A：n==7.4，不是正整数； B：n==−113，不是正整数； C：n==600.6，不是正整数； D：n==185，是正整数；所以选 D。 题型4 递推数列求各项 【典例1】：已知数列{bn}中，b1=1,b2=1,bn+2=bn+1+bn,求前5项 【答案】1,1,2,3,5 【分析】递推数列，依次代入n求后续项。 【详解】b1=1, b2=1，b3=b2+b1=1+1=2，b4=b3+b2=2+1=3，b5=b4+b3=3+2=5，前5项：1,1,2,3,5 【典例2】：数列{an}中，对所有的正整数n都有,则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【分析】记Tn=，则(n≥2)。 【详解】Tn=n2，，，​ 题型5 选择通项公式 【典例1】：数列1，3，6，10，....的一个通项公式是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【分析】观察是自然数前n项和，套用求和公式。 【详解】,, ,，得，选 B。 【典例2】：数列，，，，，.... 的通项公式是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【分析】分子：奇数列；分母：2n。 【详解】分子：1,3,5,7,⋯⇒2n−1；分母：21,22,23,⋯⇒2n；∴，选 A。 题型6 求通项公式 【典例1】：写出数列-，，-，.....的通项公式 【答案】 【分析】分符号、分子、分母分别找规律。 【详解】符号：负、正、负⋯⇒(−1)n分母：2,4,8,⋯⇒2n分子：1,3,7,⋯⇒2n−1所以： 【典例2】：写出数列7，77，777，...的通项公式 【答案】an=(10n−1) 【分析】先看9,99,999⋯通项是10n−1，再变形。 【详解】9=101−1, 99=102−1, 999=103−1，7=×9,77=×99所以：an=(10n−1) 三、知识检测 1.在数列5，8，13，x，29，...中x的值是（ ） A.19 B.20 C.21 D.22 【答案】B 【分析】先找出数列的通项公式，再求解即可. 【详解】观察数列5，8，13，x，29，...可以发现：数列的各项的间隔为+3，+5,+7....,所以x为13+7=20. 故选：B. 2.填空：，，，( )，，.... 【答案】D 【分析】先找出数列的通项公式，再求解即可. 【详解】观察数列，，，( )，，.... ，可以发现：数列的符号为： 数列的各项的分子均为 1 ， 数列的各项的分母依次为，恰好是项数， 所以该数列的通项公式为， 所以第10项为. 故选：D. 3.观察数列，括号内应该填入（   ） A．10 B．11 C．12 D．13 【答案】B 【分析】根据数列的前几项，推出数列的通项公式，即可求解. 【详解】由题，数列为， 可得是由连续的奇数所组成的数列， 故数列的通项为， 故第六项代入即为. 故选：B. 4.已知数列的通项公式,求该数列第3项和第10项 【答案】， 【分析】将、分别代入通项公式计算。 【详解】n=3：；n=10： 5.数列{an}的通项公式,这个数列的前三项为______________ 【答案】-1，4，9 【分析】分段通项，按n取值对应代入分段表达式。 【详解】n=1：a1=−1；n=2：a2=22=4；n=3：a3=32=9 前三项：−1,4,9。 6.判断19是否为数列{4n+1}中的项，如果是，请指出是第几项 【答案】19 不是该数列中的项 【分析】令4n+1=19，解方程看n是否为正整数。 【详解】令4n+1=19，4n=18, n=，n不是正整数，19 不是该数列中的项。 7.以下4个数中，是数列{n2+1}中的一项是（ ） A.17 B.32 C.39 D.380 【答案】A 【分析】令n2+1=k，则n2=k−1，看k−1是否为完全平方数。 【详解】A：17−1=16=42，n=4是正整数，符合；B：32−1=31，不是平方数；C：39−1=38，不是平方数；D：380−1=379，不是平方数；选A。 8.若120是一个数列中的一项，则这个数列是（ ） A. {n2+1} B.{n2-1} C.{n2-2n+1} D.{n2-n+1} 【答案】B 【分析】分别令通项等于120，解n是否为正整数。 【详解】A：n2+1=120⇒n2=119，非平方数；B：n2−1=120⇒n2=121⇒n=11（正整数），符合；C：(n−1)2=120，无整数解；D：n2−n+1=120，无正整数解；选B。 9.数列的一个通项公式为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据观察法求解数列通项公式即可. 【详解】观察数列可发现， 所以第项为， 因此该数列的一个通项公式为． 故选：. 10.已知数列{an}中，a1=1,an+1=an+3,求前4项 【答案】1,4,7,10 【分析】由递推式逐项累加求值。 【详解】a1=1，a2=a1+3=4，a3=a2+3=7，a4=a3+3=10，前4项：1,4,7,10 11.已知数列{an}中，a1=1,a2=2,an+2=2an+1-an,求第5项 【答案】5 【分析】依次求出a3,a4,a5。 【详解】a1=1,a2=2，a3=2a2−a1=3，a4=2a3−a2=4，a5=2a4−a3=5 12.已知数列满足，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据递推公式求解即可. 【详解】数列满足，且， 则，. 故选：C. 13.在数列中，，，则（   ）． A．19 B．121 C．244 D．364 【答案】D 【分析】利用递推关系，依次代入，即可求解. 【详解】因为，， 所以， ， ， ， ． 故选：D. 14.已知数列满足，，则（    ） A．6 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据数列的递推公式求值即可. 【详解】已知数列满足，， 则，， ，， 故选：C. 15.如果数列{an}满足a1=-1,a2=3,a3=-5,.....则an等于（ ） A.2n-1 B.4n+5 C. D. 【答案】C 【分析】符号正负交替，绝对值是连续奇数。 【详解】符号：(−1)n，绝对值：1,3,5,… 通项 2n−1∴an=(−1)n(2n−1)，选 C。 16.数列1，- ，，- ，....的一个通项公式是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【分析】看符号、分子、分母规律逐一匹配。 【详解】 符号：+、−、+、−，为(−1)n+1=(−1)n−1 分子：1,5,7,9 规律：2n+1 分母：n=1:1=12+2×1，n=2:8=22+2×2，n=3:15=32+2×3分母：n2+2n 综上：，选 D。 17.写出数列2，-4，6，-8，...的通项公式 【答案】an=(−1)n+1⋅2n 【分析】符号正负交替，绝对值为偶数列。 【详解】符号：(−1)n+1绝对值：2,4,6,8⋯=2n得：an=(−1)n+1⋅2n 18.写出数列- ，，- ，.....的通项公式 【答案】 【分析】符号、分子奇数、分母 3 的乘方。 【详解】符号：(−1)n分子：1,3,5⋯=2n−1分母：31,32,33⋯=3n得： 19.数列的一个通项公式（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由给出的数列的规律写出其通项公式即可. 【详解】数列中， 分母为偶数，的通项为， 分子为奇数，的通项为， 所以该数列的通项为， 故选：C. 1 2 2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $