专题03 一元二次方程（期末复习知识清单）八年级数学下学期新教材北京版

专题03 一元二次方程 一元二次方程 （1）一元二次方程的定义： 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程． （2）概念解析： 一元二次方程必须同时满足三个条件： ①整式方程，即等号两边都是整式；方程中如果有分母，那么分母中无未知数； ②只含有一个未知数； ③未知数的最高次数是2． （3）判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”． 一元二次方程的解 （1）一元二次方程的解（根）的意义： 能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根． （2）一元二次方程一定有两个解，但不一定有两个实数解．这x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两实数根，则下列两等式成立，并可利用这两个等式求解未知量． ax12+bx1+c＝0（a≠0），ax22+bx2+c＝0（a≠0）． 配方法解一元二次方程 （1）将一元二次方程配成（x+m）2＝n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法． （2）用配方法解一元二次方程的步骤： ①把原方程化为ax2+bx+c＝0（a≠0）的形式； ②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边； ③方程两边同时加上一次项系数一半的平方； ④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数； ⑤如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此方程无实数解． 因式分解法解一元二次方程 （1）因式分解法解一元二次方程的意义 因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法． 因式分解法就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）． （2）因式分解法解一元二次方程的一般步骤： ①移项，使方程的右边化为零；②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，它们的解就都是原方程的解． 根的判别式 利用一元二次方程根的判别式（△＝b2﹣4ac）判断方程的根的情况． 一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系： ①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根； ②当△＝0时，方程有两个相等的两个实数根； ③当△＜0时，方程无实数根． 上面的结论反过来也成立． 一元二次方程根与系数的关系 若一元二次方程的两个根是，则与方程的系数a，b，c之间有如下关系：+＝，＝ 【补充说明】 1）一元二次方程根与系数关系的使用条件：. 2）当一元二次方程的二次项系数为1时，如，其两根关系为+＝， ＝. 3）以两个数为根的一元二次方程（二次项系数为1）是. 4）运用根与系数的关系和运用根的判别式一样,都必须先把方程化为一般形式，以便正确确定a、b、c的值. 一元二次方程解决问题的类型 1.数字问题 (1)任何一个多位数都是由数位和数位上的数组成.数位从右至左依次分别是：个位、十位、百位、千位……，它们数位上的单位从右至左依次分别为：1、10、100、1000、……，数位上的数字只能是0、1、2、……、9之中的数，而最高位上的数不能为0.因此，任何一个多位数，都可用其各数位上的数字与其数位上的单位的积的和来表示，这也就是用多项式的形式表示了一个多位数。如：一个三位数，个位上数为a，十位上数为b，百位上数为c，则这个三位数可表示为：100c+10b+a； (2)几个连续整数中，相邻两个整数相差1. 如：三个连续整数，设中间一个数为x，则另两个数分别为x-1，x+1. 几个连续偶数(或奇数)中，相邻两个偶数(或奇数)相差2. 如：三个连续偶数(奇数)，设中间一个数为x，则另两个数分别为x-2，x+2. 2.平均变化率问题 列一元二次方程解决增长(降低)率问题时，要理清原来数、后来数、增长率或降低率，以及增长或降低的次数之间的数量关系.如果列出的方程是一元二次方程，那么应在原数的基础上增长或降低两次. (1)增长率问题： 平均增长率公式为 (a为原来数，x为平均增长率，n为增长次数，b为增长后的量)； (2)降低率问题： 平均降低率公式为 (a为原来数，x为平均降低率，n为降低次数，b为降低后的量). 3.利息问题与销售问题 （1）利息有关概念： · 本金：顾客存入银行的钱叫本金. · 利息：银行付给顾客的酬金叫利息. · 本息和：本金和利息的和叫本息和. · 期数：存入银行的时间叫期数. · 利率：每个期数内的利息与本金的比叫利率. （2）利息相关公式: · 利息=本金×利率×期数 · 利息税=利息×税率 · 本金×(1+利率×期数)=本息和 · 本金×[1+利率×期数×(1-税率)]=本息和(收利息税时) （3）销售问题中的常用等量关系 利润＝售价－进价（成本） 总利润＝每件的利润×总件数 利润率＝×100% 售价＝×标价 进价×（1＋利润率）＝标价× 一元二次方程的定义 1．下列关于x的方程中，一定是一元二次方程的是（） A． B． C． D． 2．下列方程中，一元二次方程共有（   ）个． ①；②；③；④；⑤；⑥． A．2 B．3 C．4 D．5 3．下列方程：①（m为常数）；②；③；④；⑤（m为常数）；⑥（为常数）．其中一定是一元二次方程的有___________（填序号）． 化成一元二次方程的一般式 4．把一元二次方程化成一般式，则a，b，c的值分别是（     ） A．，2，5 B．2，， C．1，4， D．，， 5．一元二次方程的二次项系数是_____，一次项系数是_____，常数项是_____． 6．一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项之和是_______． 解一元二次方程 7．解方程： (1)； (2)． 8．用适当的方法解下列方程： (1)； (2)． 9．解下列方程： (1)； (2)． 根的判别式 10．一元二次方程的根的情况，下列结论正确的是（     ） A．有两个相等的实数根 B．没有实数根 C．两实数根之积为1 D．两实数根之和为 11．已知关于x的一元二次方程． (1)求证：该方程总有两个不相等的实数根． (2)若，是方程的两个根，且，求m的值． 12．为实数，关于的方程为． (1)判断方程根的情况． (2)若方程的两根为，，当时，求的值． 根据一元二次方程根的情况求参数 13．已知关于x的一元二次方程有两个不相等实数根． (1)求的取值范围． (2)若该方程的两根异号，设其中一个实数根为a，记，求证：． 14．关于x的一元二次方程． (1)判断方程根的情况，并说明理由； (2)若方程有一个根不小于5，求的取值范围． 15．已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求m的取值范围； (2)如果方程的一个根为1，求另一个根和m的值． 一元二次方程根与系数的关系 16．若，是一元二次方程的两个实数根，且满足，则m的值为__________． 17．已知关于的一元二次方程有两个实数根，，且满足，则的值为______． 18．已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，． (1)求k的取值范围； (2)若为整数，求整数k的值． 传播问题 19．今年秋冬季是流感的感染高发期，如果外出时能够勤洗手、做好防护，可以有效遏制流感病毒的传染．现在，有两个人患了流感，经过两轮传染后共有128人患了流感（假设每个人每轮传染的人数同样多）．求每轮传染中平均一个人传染了几个人？ 20．近期，北京、上海、浙江、天津等地均有学校因学生患甲流而停课．甲流指甲型流感，是由甲型流感病毒引起的急性呼吸道传染病，某一小区有1位住户不小心感染了甲流，由于甲流传播感染非常快，小区经过两轮传播后共有36人患了甲流，每轮感染中平均一个人感染几人？ 21．（1）如图，某小区有一块长为，宽为的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，它们的面积之和为，两块绿地之间及周边有宽度相等的人行通道，则人行通道的宽度为多少米？ （2）有一个人患了流感，经过两轮传染后共有81人患了流感． ①试求每轮传染中平均一个人传染了几个人？ ②如果按照这样的传染速度，经过三轮传染后共有多少个人会患流感？ 增长率问题 22．根据以下素材，探索完成以下任务： 任务背景 2026年春节档，《飞驰人生3》票房一骑绝尘．在此期间，咔搭CaDA联名推出遥控积木赛车，开售即火热． 数据信息 素材1：经销售部统计，该遥控积木赛车在2月份销售20000辆，4月份销售28800辆，且从2月份到4月份销售量的月增长率相同． 素材2：根据市场部反馈，当每辆遥控积木赛车售价为200元时，且销售量为20000辆，在此基础上售价每涨1元，则月销售量将减少100辆． 问题解决 (1)根据素材1中的信息，请求出遥控积木赛车在2月份到4月份销售量的月增长率； (2)从生产部得知，该遥控积木赛车的生产成本为每件160元，为使月销售利润达到1440000元，则应将遥控积木赛车的实际售价定为多少元/辆． 23．为庆祝中国航天事业成立70周年，某航天科普基地推出了一款运载火箭纪念品，深受青少年喜爱． (1)该纪念品今年1月份的销售量为600件，3月份的销售量为864件．若1月份到3月份销售量的月平均增长率都相同，求月平均增长率． (2)该纪念品的进价为每件50元，据市场调查发现，若售价为每件90元，每天能销售30件；售价每降价1元，每天可多售出2件．为推广航天知识，基地决定降价促销，同时尽快减少库存．若使销售该纪念品每天获利1400元，则售价应降低多少元？ 24．根据表中的素材，探索完成任务． 素材1 某工厂一车间对某款车型零部件进行智能化、一体化加工，生产效率显著提升．已知该零件4月份生产100个，6月份生产144个． 素材2 该厂生产该零件的成本为30元/个； 市场调研发现：当售价为40元/个时，月销售量为600个，若售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个． 问题解决 (1)任务一：求该车间4月份到6月份生产数量的月平均增长率． (2)任务二：工厂为了提升利润，决定调整售价．要求月销售利润达到10000元，且尽可能让消费者得到实惠，该零件的实际售价应定为多少？ (3)任务三：有员工提出目标，希望月销售利润能达到20000元，请问这个目标能否实现？如果能，请写出具体的涨价方案；如果不能，请说明理由． 与图形有关的问题 25．如图所示，在一块长是、宽的矩形空地内，拟建两个形状、大小完全相同的矩形花圃，其余的铺设草坪，花圃总面积为矩形空地面积的一半，且花圃四周以及两个花圃之间草坪宽度都相等，求两个花圃之间的草坪的宽度． 26．如图，一养殖户要建一个矩形猪舍，猪舍的一边利用长为18m的住房墙，另外围建猪舍的建筑材料可以建造的围墙总长为32m，为方便进出，在垂直于住房墙的一边留一个2m宽的门（门不占用建筑材料），所围矩形猪舍的长、宽分别为多少时，猪舍面积为140m2？ 27．根据数学名著《勾股圆方注》中所记，我们发现可以利用几何方法求得一些一元二次方程的正根．如图，将四个长为m，宽为n的长方形纸片和一个小正方形拼成一个大正方形． (1)求解方程的正根，可令，，则图中每个长方形的面积为6． ①小正方形，大正方形的面积各是多少？ ②利用大正方形的边长，请你求出方程的正根． (2)小明用此方法求关于的方程（t为常数，且）的正根，构造了同样的图形，已知小正方形的面积为25，求t的值． 营销问题 28．2025年湘超联赛各赛场内旗帜随处可见．某商店经营此类旗帜，已知每面旗帜进价40元，当售价定为每面60元时，每天可卖出100面．经调查发现，售价每降低1元，每天可多卖出10面． (1)如果每面旗降价2元，该商店销售此类旗帜一天可盈利多少元？ (2)若该商店销售此类旗帜每天要获得2240元的利润，且尽可能让利于顾客，求每面旗应降价多少元？ 29．某批发商以每件70元的价格购进800件T恤，第一个月以单价100元销售，售出了200件，第二个月如果单价不变，预计仍可以售出200件．批发商为增加销售量，决定降价销售，根据市场调查，单价每降10元，可多售出100件，但最低单价应高于购进的价格；第二个月结束后．批发商将对剩余的T恤一次性清仓销售，清仓时单价为60元，设第二个月单价降低元． (1)填表： 时间 第一个月 第二个月 清仓时 单价（元） 100 ①______ 60 销售量（件） 200 ②______ ③_____ (2)如果批发商希望通过销售这批T恤获利8750元，那么第二个月的单价应该是多少元？ 30．某文体“网红”商店购进一批文创笔记本，该笔记本每本进价8元，物价部门规定每本笔记本的利润率不得超过，在销售过程中发现，每天销售量y（本）与每本售价x（元）之间存在一次函数关系（其中x为整数）．当每本售价为12元时，每天销售量为100本；当每本售价为14元时，每天销售量为90本． (1)求与x之间的函数关系式； (2)若该商店销售这种笔记本每天能获得400元的利润，则每本笔记本的售价为多少元？ (3)若该商店每天的固定成本为240元，那么每天销售这种笔记本能否获得500元的纯利润？若可以，请求出此时每本笔记本的售价为多少元，若不能，则说明理由． 动态几何问题 31．如图，中，，，，动点从点出发以速度向点移动，同时动点从出发以的速度向点移动，设它们的运动时间为秒． (1)根据题意知：__________，___________；（用含的代数式表示） (2)为何值时，的面积等于？ (3)点、运动时，的长可以是吗？如果可以，请求出的值，如果不可以，请说明理由． 32．如图，在中，，，．点从点出发，以的速度沿运动；同时，点从点出发，以的速度沿运动．当点到达点时，、两点同时停止运动．设动点运动的时间为． (1) ， （用含t的代数式表示） (2)则当t为何值时，的面积为． 33．在长方形中，，，点P从点A开始沿边向终点B以的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边向终点C以的速度移动．如果P、Q分别从A、B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动．设运动时间为t秒． (1)填空：__________，__________用t的代数式表示）； (2)当t为何值时，的长度等于？ (3)是否存在t的值，使得五边形的面积等于？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由． 行程问题 34．今年年初一美丽的白鹅潭江而进行了以“活力湾区，新彩广州”为主题的烟花汇演，甲、乙两人从各自家前往最佳观赏点之一的洲头咀公园观看烟花汇演，由于当晚该公园附近路段实施了交通管制，甲先将车开到距离自己家20千米的停车场后，再步行2千米到达目的地，共花了1小时．此期间，已知甲开车的平均速度是甲步行平均速度的10倍． (1)求甲开车的平均速度及步行的平均速度分别是多少？ (2)乙是骑车前往与他家相距8千米的目的地，若乙骑车的平均速度比甲步行的平均速度快8a千米/小时（），乙骑车时间比甲开车时间多a小时，求a的值． 35．运动创造美好生活！一天小美和小丽相约一起去沿河步道跑步．若两人同时从A地出发，匀速跑向距离9000米处的B地，小美的跑步速度是小丽跑步速度的1.2倍，那么小美比小丽早5分钟到达B地． (1)求小美每分钟跑多少米？ (2)若从A地到达B地后，小美以跑步形式继续前进到C地．从小美跑步开始，前20分钟内，平均每分钟消耗热量15卡，超过20分钟后，每多跑步1分钟，平均每分钟消耗的热量就增加1卡，在整个锻炼过程中，小美共消耗1650卡的热量，小美从A地到C地锻炼共用多少分钟． 36．在物理中，沿着一条直线且加速度不变的运动，叫做匀变速直线运动．在此运动过程中，每个时间段的平均速度为初速度和末速度的算术平均数，路程等于时间与平均速度的乘积．若一个小球以5米/秒的速度开始向前滚动，并且均匀减速，4秒后小球停止运动． (1)小球的滚动速度平均每秒减少多少？ (2)小球滚动5米用了多少秒？（精确到0.1，，） 循环问题 37．我校要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排9天，每天安排5场比赛．比赛组织者应邀请多少个队参赛． 38．某学校九年级举办了一场乒乓球比赛，比赛采用单循环赛制（每两位参赛选手之间都赛1场）． 乐乐和淇淇针对这次比赛有如下对话： 假设有x人报名参加比赛． (1)根据题意，乐乐列出的方程应该是：_________________________．请利用乐乐所列的方程分析淇淇的说法是否正确； (2)乐乐补充道：本次比赛的确一共进行了40场，只是在比赛过程中遇到了特殊情况，有1人身体不适，只参加了4场比赛后就中途退赛．请直接写出此时x的值． 39．某次同学聚会，所有到会同学都互相握一次手，共握手45次，则参加聚会的同学共有多少人？设参加聚会的同学共有人． (1)填空：根据题意，可列方程： ； (2)我们都知道连接多边形不相邻的两个顶点的线段叫做多边形的对角线，也都知道四边形的对角线有2条，多边形的对角线可以有27条吗？如果可以，求出多边形的边数；如果不可以，请说明理由． 由一元二次方程的定义求参数 40．已知、是一元二次方程的两个根，则的值为_____． 41．已知关于的方程（、、为常数，）的解是，，那么方程的解为_______． 42．已知关于x的一元二次方程． (1)判断该一元二次方程根的情况； (2)若方程有一个根为，求k的值及方程的另一个根； (3)若方程的一个根是另一个根的2倍，求k的值． 一元二次方程的解的估算 43．已知关于x的二次三项式的部分对应值如表： 据此可估计关于x的一元二次方程的一个根的取值范围为（   ） A． B． C． D． 44．观察下列表格，可知一元二次方程的一个近似解是（   ） A． B． C． D． 45．探索一元二次方程的一个正数解的过程如下表： x 0 1 2 3 4 5 13 23 从表中可以看出方程的一个正数解在相邻整数a和b之间，则整数a，b分别是____． 配方法的应用 46．一次数学探究活动中，老师给出了两个二次多项式（其中，均是不为零的常数）及这两个代数式的一些信息，如下表所示： 二次多项式 对二次多项式进行因式分解 对二次多项式使用配方法 （说明：均为常数） 有学生探究得到以下四个结论：①若，则；②，则；③若有且只有一个的值，使代数式的值为0，则；④若，则的值不可能是．其中所有正确结论的序号是_____． 47．新定义：关于的一元二次方程与称为“同族二次方程”例如：与是“同族二次方程”现有关于的一元二次方程与是“同族二次方程”，则代数式的最小值是_____． 48．配方法不仅可以用来解一元二次方程，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式的最大值和最小值等．例如，我们用此方法求代数式的最小值的过程如下： 解：． ， ， 的最小值是9． 请根据以上材料，完成下列问题： (1)代数式，当_______时，代数式有最_______值（填“大”或“小”），这个值是_______； (2)比较代数式与的大小，并说明理由． 换元法 49．为解方程，我们可以将看作一个整体，然后设，那么原方程可化为①解得． 当时，，，； 当时，，，． 故原方程的解为． 在由原方程得到①的过程中，利用换元法达到了降次的目的，体现了转化的数学方法． 根据以上阅读理解，解答下列问题： (1)利用换元法解方程：； (2)若实数、满足，求的值． 50．解下列方程： (1)； (2)． 51．综合与实践 我们把利用方程根的代换求新方程的方法称为换根法，核心解题步骤为：设新方程的根为y，根据根的对应关系，用含y的代数式表示原方程的根x；将x代入原方程，化简后得到关于y的新方程． 例：已知方程，求根为原方程根2倍的新方程． 解：设新方程的根为y，则，即，代入原方程得，化简得，即为所求方程． (1)基础应用 已知方程，用换根法求一个一元二次方程，使它的根是原方程根的相反数； (2)能力提升 已知方程，用换根法求一个新的一元二次方程，使它的根分别比原方程的根大1； (3)综合拓展 已知关于x的一元二次方程的两个实数根为1和3，求一元二次方程的两实数根． 韦达定理的应用 52．已知关于的一元二次方程：（）． (1)判断是否是方程的根，并说明理由； (2)现有一个关于的一元二次方程：，若方程，仅有一个相同的根，求证：； (3)若，方程的两实数根，满足，求，的值． 53．阅读以下材料，利用一元二次方程根与系数的关系解答下列问题： 已知实数a，b满足，，则可将a，b看作一元二次方程的两个不相等的实数根． (1)材料理解：已知实数a，b满足，，且，求的值． (2)思维拓展：已知实数a，b满足，，且，求的值． 54．学习完一元二次方程的知识后，数学兴趣小组对关于x的一元二次方程展开探究． (1)当时，该方程的正根称为“黄金数”，求“黄金数”； (2)若实数a，b满足，，且，求的值； (3)若两个不相等的实数p，q满足，，求证：． 一元二次方程与几何相关问题 55．如图1，有一张长为，宽为的长方形硬纸片．    (1)若裁去角上的四个小正方形之后，折成如图2所示的无盖纸盒，当，纸盒的底面积为时，求裁去的正方形边长是多少？ (2)若裁去部分图形后，折成如图3所示底面是正三角形的无盖纸盒，则此时l的长为多少？ (3)在（2）的情况下，当纸盒的底面积与侧面积（三个长方形的面积）相等时，底面正三角形的边长是多少？ 56．在如图所示的方格图中，给每个方格设定不同的数或式，路线经过的方格中的数或式可进行相应的运算，例如：路线C→D上的数字的和记为（－1）＋（－6）＋4＝－3． (1)若路线上所有数或式的积与路线上所有数、式的积的和为0，求x的值； (2)若路线上所有数或式的积与路线上所有数的积的差为y，求y的最大值． 57．如图，在中，已知，，，点，是边上的两个动点，点从点开始，沿方向运动，速度为每秒个单位长度，点从点开始，沿方向运动，速度为每秒个单位长度，它们同时出发，设运动时间为秒．（值用小数表示）      （1）当为______时，是等腰三角形； （2）当点在上运动时，值从小到大依次是______，______，______时，为等腰三角形． 一元二次方程的新定义问题 58．定义新运算，对于两个不相等的实数，我们规定符号表示中较小值，如．，，按照这样的规定，若，则的值是_________ 59．定义：是一元二次方程的倒方程．则下列四个结论： ①如果是的倒方程的解，则； ②如果，那么这两个方程都有两个不相等的实数根； ③如果一元二次方程无解，则它的倒方程也无解； ④如果一元二次方程有两个不相等的实数根，则它的倒方程也有两个不相等的实数根。 其中正确的有_________（填正确的序号） 60．材料1：法国数学家弗朗索瓦・韦达在著作《论方程的识别与订正》中提出一元二次方程的两根，有如下的关系（韦达定理）：，； 材料2：如果实数、满足、，且，则可利用根的定义构造一元二次方程，将、看作是此方程的两个不相等实数根． 请根据上述材料解决下面问题： (1)①已知一元二次方程的两根分别为，，则_______，_______． ②已知实数，满足：，（），则_______． (2)已知实数、、满足：，，且，求的取值范围． 学科网（北京）股份有限公3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 一元二次方程 一元二次方程 （1）一元二次方程的定义： 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程． （2）概念解析： 一元二次方程必须同时满足三个条件： ①整式方程，即等号两边都是整式；方程中如果有分母，那么分母中无未知数； ②只含有一个未知数； ③未知数的最高次数是2． （3）判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”． 一元二次方程的解 （1）一元二次方程的解（根）的意义： 能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根． （2）一元二次方程一定有两个解，但不一定有两个实数解．这x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两实数根，则下列两等式成立，并可利用这两个等式求解未知量． ax12+bx1+c＝0（a≠0），ax22+bx2+c＝0（a≠0）． 配方法解一元二次方程 （1）将一元二次方程配成（x+m）2＝n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法． （2）用配方法解一元二次方程的步骤： ①把原方程化为ax2+bx+c＝0（a≠0）的形式； ②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边； ③方程两边同时加上一次项系数一半的平方； ④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数； ⑤如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此方程无实数解． 因式分解法解一元二次方程 （1）因式分解法解一元二次方程的意义 因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法． 因式分解法就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）． （2）因式分解法解一元二次方程的一般步骤： ①移项，使方程的右边化为零；②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，它们的解就都是原方程的解． 根的判别式 利用一元二次方程根的判别式（△＝b2﹣4ac）判断方程的根的情况． 一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系： ①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根； ②当△＝0时，方程有两个相等的两个实数根； ③当△＜0时，方程无实数根． 上面的结论反过来也成立． 一元二次方程根与系数的关系 若一元二次方程的两个根是，则与方程的系数a，b，c之间有如下关系：+＝，＝ 【补充说明】 1）一元二次方程根与系数关系的使用条件：. 2）当一元二次方程的二次项系数为1时，如，其两根关系为+＝， ＝. 3）以两个数为根的一元二次方程（二次项系数为1）是. 4）运用根与系数的关系和运用根的判别式一样,都必须先把方程化为一般形式，以便正确确定a、b、c的值. 一元二次方程解决问题的类型 1.数字问题 (1)任何一个多位数都是由数位和数位上的数组成.数位从右至左依次分别是：个位、十位、百位、千位……，它们数位上的单位从右至左依次分别为：1、10、100、1000、……，数位上的数字只能是0、1、2、……、9之中的数，而最高位上的数不能为0.因此，任何一个多位数，都可用其各数位上的数字与其数位上的单位的积的和来表示，这也就是用多项式的形式表示了一个多位数。如：一个三位数，个位上数为a，十位上数为b，百位上数为c，则这个三位数可表示为：100c+10b+a； (2)几个连续整数中，相邻两个整数相差1. 如：三个连续整数，设中间一个数为x，则另两个数分别为x-1，x+1. 几个连续偶数(或奇数)中，相邻两个偶数(或奇数)相差2. 如：三个连续偶数(奇数)，设中间一个数为x，则另两个数分别为x-2，x+2. 2.平均变化率问题 列一元二次方程解决增长(降低)率问题时，要理清原来数、后来数、增长率或降低率，以及增长或降低的次数之间的数量关系.如果列出的方程是一元二次方程，那么应在原数的基础上增长或降低两次. (1)增长率问题： 平均增长率公式为 (a为原来数，x为平均增长率，n为增长次数，b为增长后的量)； (2)降低率问题： 平均降低率公式为 (a为原来数，x为平均降低率，n为降低次数，b为降低后的量). 3.利息问题与销售问题 （1）利息有关概念： · 本金：顾客存入银行的钱叫本金. · 利息：银行付给顾客的酬金叫利息. · 本息和：本金和利息的和叫本息和. · 期数：存入银行的时间叫期数. · 利率：每个期数内的利息与本金的比叫利率. （2）利息相关公式: · 利息=本金×利率×期数 · 利息税=利息×税率 · 本金×(1+利率×期数)=本息和 · 本金×[1+利率×期数×(1-税率)]=本息和(收利息税时) （3）销售问题中的常用等量关系 利润＝售价－进价（成本） 总利润＝每件的利润×总件数 利润率＝×100% 售价＝×标价 进价×（1＋利润率）＝标价× 一元二次方程的定义 1．下列关于x的方程中，一定是一元二次方程的是（） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题根据一元二次方程的定义判断选项，一元二次方程需同时满足三个条件：是整式方程，只含一个未知数，未知数的最高次数为． 【详解】解：、选项中是分式，该方程是分式方程，不是整式方程，故不符合题意； 、选项中未说明，当时方程变为一元一次方程，故不符合题意； 、选项整理得，满足只含一个未知数，未知数最高次数为，且是整式方程，一定是一元二次方程，符合题意； 、选项整理得，未知数最高次数为，是一元三次方程，不是一元二次方程，故不符合题意． 2．下列方程中，一元二次方程共有（   ）个． ①；②；③；④；⑤；⑥． A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】本题根据一元二次方程的定义逐个判断方程，统计符合条件的个数即可得到结果，一元二次方程需满足：是整式方程，只含一个未知数，未知数最高次数为2，二次项系数不为0． 【详解】解： ∵①满足所有条件， ∴①是一元二次方程 ∵②未说明，当时不是一元二次方程， ∴②不符合要求 ∵③是分式方程，不是整式方程， ∴③不符合要求 ∵④满足所有条件， ∴④是一元二次方程 ∵⑤含有x，y两个未知数， ∴⑤不符合要求 ∵⑥展开整理原方程得，化简得，未知数最高次数为1， ∴⑥不是一元二次方程； 综上，一元二次方程共有2个． 3．下列方程：①（m为常数）；②；③；④；⑤（m为常数）；⑥（为常数）．其中一定是一元二次方程的有___________（填序号）． 【答案】①⑥ 【分析】本题考查了一元二次方程的定义．只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程，其一般形式是（， ，为常数，且），根据定义逐一判断即可． 【详解】解：①（m为常数）是一元二次方程； ②，是分式方程，不是一元二次方程； ③，含有两个未知数，不是一元二次方程； ④，整理后是一元一次方程，不是一元二次方程； ⑤（m为常数），当时，不是一元二次方程， ⑥是一元二次方程， 故答案为：①⑥． 化成一元二次方程的一般式 4．把一元二次方程化成一般式，则a，b，c的值分别是（     ） A．，2，5 B．2，， C．1，4， D．，， 【答案】B 【分析】将原方程整理为的形式，即可确定，，的值. 【详解】解：原方程为， 展开左边得， 移项整理为一般式得， ，，． 5．一元二次方程的二次项系数是_____，一次项系数是_____，常数项是_____． 【答案】 3 【分析】先将原一元二次方程化为一般形式（），再根据一元二次方程一般形式的定义确定各项系数． 【详解】解：， ∴二次项的系数为3，一次项的系数为，常数项为． 6．一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项之和是_______． 【答案】11 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式：，其中叫做二次项，叫做二次项系数；叫做一次项；叫做常数项． 将方程化为标准形式后，识别二次项系数、一次项系数和常数项，并计算它们的和即可． 【详解】原方程移项得标准形式， 其中二次项系数为5，一次项系数为3，常数项为3， 因此系数之和为． 故答案为：11． 解一元二次方程 7．解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) ， (2) ， 【分析】（1）先提出公因式得出两个因式相乘等于0的形式，再解答即可； （2）根据公式法求解即可． 【详解】（1）解：， 因式分解，得， ∴或， 得； （2）解：， 由，得， ∴， 解得． 8．用适当的方法解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由配方法解一元二次方程即可； （2）由因式分解法解一元二次方程即可． 【详解】（1）解：， ， 则， 直接开平方得， ； （2）解：， ， 则， ， 即， ． 9．解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【详解】（1）解：， ∵，，， ， ∴方程有两个不相等的实数根， ， ∴，． （2）解：， 移项，得， 因式分解，得， 即， ∴或， 解得，． 根的判别式 10．一元二次方程的根的情况，下列结论正确的是（     ） A．有两个相等的实数根 B．没有实数根 C．两实数根之积为1 D．两实数根之和为 【答案】C 【分析】先利用判别式判断根的存在情况，再计算两根之和与两根之积，即可判断选项正误． 【详解】解：对于一元二次方程 ，可得 ，，， 计算根的判别式： ， ∴方程有两个不相等的实数根，选项A，B错误； 根据一元二次方程根与系数的关系： 两根之和 ，∴选项D错误； 两根之积 ，∴选项C正确． 11．已知关于x的一元二次方程． (1)求证：该方程总有两个不相等的实数根． (2)若，是方程的两个根，且，求m的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查利用判别式判断一元二次方程根的情况，根与系数的关系，熟练掌握判别式公式和根与系数的关系是解题的关键． （1）根据判别式判断即可； （2）利用根与系数的关系求解即可． 【详解】（1）证明：由题意可知 ， ， ， 即， 该方程总有两个不相等的实数根； （2）解：，是方程的两个根， ，. ， ，即， 解得， 检验：当时，，所以是原分式方程的解． 12．为实数，关于的方程为． (1)判断方程根的情况． (2)若方程的两根为，，当时，求的值． 【答案】(1)原方程总有两个实数根 (2)或 【分析】（1）求出一元二次方程的判别式，根据判别式的值即可作出判断； （2）求出一元二次方程的两个根，根据条件列式即可求解． 【详解】（1）解：原方程为一元二次方程，可化为． ． 无论为何实数，都是非负数．即． ∴原方程总有两个实数根． （2）解：由（1），原方程的根． 或． 若，则， ． 若，则， ． 综上，的值为或． 根据一元二次方程根的情况求参数 13．已知关于x的一元二次方程有两个不相等实数根． (1)求的取值范围． (2)若该方程的两根异号，设其中一个实数根为a，记，求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】（1）由根的判别式计算即可求解； （2）由两根异号得出，结合1得出，由一元二次方程的根得出，进而可得出，然后利用一次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：关于x的一元二次方程有两个不相等实数根． ， ． （2）证明：∵两根异号， ， 解得， 由（1）知， 的取值范围为， 为方程的一个实数根， ， ， ， ， ， 随的增大而增大， ∴当时，， ∵， ． 14．关于x的一元二次方程． (1)判断方程根的情况，并说明理由； (2)若方程有一个根不小于5，求的取值范围． 【答案】(1)原方程有两个实数根，理由见解析 (2) 【分析】（1）计算判别式，据此判断方程实数根个数； （2）利用因式分解法解原方程，可得出原方程的解为，，结合原方程有一个根不小于5，即可得出． 【详解】（1）原方程有两个实数根，理由如下： ∵ ∴原方程有两个实数根； （2）∵， ∴， 解得：，， ∵方程有一个根不小于5， ∴， ∴． 15．已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求m的取值范围； (2)如果方程的一个根为1，求另一个根和m的值． 【答案】(1)且 (2)，另一根为 【分析】（1）根据一元二次方程定义得出：，根据关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，得出，即可得出答案； （2）先将代入方程，求出，再代入原方程，解方程即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， 故且． （2）解：将代入一元二次方程得：， ∴， ∴原方程化为：． 解得：，， 故，另一根为． 一元二次方程根与系数的关系 16．若，是一元二次方程的两个实数根，且满足，则m的值为__________． 【答案】 【分析】先根据根与系数的关系得到两根之和关于的表达式，再结合已知条件列方程求解，最后验证方程有两个实数根即可． 【详解】解：对于一元二次方程，二次项系数，一次项系数，根据根与系数的关系可得 已知， 因此 移项得 系数化为得 当时，原方程的判别式，满足方程有两个实数根的条件． 17．已知关于的一元二次方程有两个实数根，，且满足，则的值为______． 【答案】4 【分析】本题考查一元二次方程根的定义和根与系数的关系，先将原方程整理为一般形式，利用根与系数的关系求出的值，再利用方程根的定义对所求代数式降次，最后代入计算得到结果． 【详解】解：将原方程整理为一般形式得， 方程的两个实数根为，， 根据根与系数的关系可得，， 已知， ∴， 解得， ∴， 是方程的根，将代入原方程得， 整理得， 将代入得， 将，，代入所求代数式得 ， ． 18．已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，． (1)求k的取值范围； (2)若为整数，求整数k的值． 【答案】(1) (2)0或 【分析】（1）利用判别式求解即可； （2）由根与系数的关系得到，再求出，根据为整数，推出或，据此可得答案． 【详解】（1）解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，， ∴， ∴； （2）解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，， ∴， ∴ ∵为整数， ∴为整数， 又∵k为整数， ∴或， ∴或（舍去）或或， ∴k的值为0或． 传播问题 19．今年秋冬季是流感的感染高发期，如果外出时能够勤洗手、做好防护，可以有效遏制流感病毒的传染．现在，有两个人患了流感，经过两轮传染后共有128人患了流感（假设每个人每轮传染的人数同样多）．求每轮传染中平均一个人传染了几个人？ 【答案】7 【分析】本题主要考查一元二次方程，解题的关键是找到等量关系，列方程计算．设每轮传染中平均一个人传染了个人，得到第一轮传染人数为，第二轮传染人数为，然后根据两轮传染后共有128人患了流感，列出方程，即可解答． 【详解】解：设每轮传染中平均一个人传染了个人， 则第一轮传染人数为，第二轮传染人数为， 由题意得：， 整理得， 解得：，（舍去）， 答：每轮传染中平均一个人传染了7个人． 20．近期，北京、上海、浙江、天津等地均有学校因学生患甲流而停课．甲流指甲型流感，是由甲型流感病毒引起的急性呼吸道传染病，某一小区有1位住户不小心感染了甲流，由于甲流传播感染非常快，小区经过两轮传播后共有36人患了甲流，每轮感染中平均一个人感染几人？ 【答案】每轮感染中平均一个人感染人 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，理解题意，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解此题的关键． 设每轮感染中平均一个人感染人，根据“小区经过两轮传播后共有36人患了甲流”，列出方程，解方程即可得出答案． 【详解】解：设每轮感染中平均一个人感染人， 由题意得：， 整理得：， 解得：或， ， ， 每轮感染中平均一个人感染人． 21．（1）如图，某小区有一块长为，宽为的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，它们的面积之和为，两块绿地之间及周边有宽度相等的人行通道，则人行通道的宽度为多少米？ （2）有一个人患了流感，经过两轮传染后共有81人患了流感． ①试求每轮传染中平均一个人传染了几个人？ ②如果按照这样的传染速度，经过三轮传染后共有多少个人会患流感？ 【答案】（1）；（2）①8人；②729人 【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用，正确理解题意列得方程是解题的关键． （1）设人行通道的宽度为，由题意得，解方程即可； （2）①设平均一人传染了y人，根据有1人患了流感，经过两轮传染后共有81人患了流感，列出方程求解； ②根据前面所求数据y，进而表示出经过三轮传染后患上流感的人数． 【详解】解：（1）设人行通道的宽度为， 由题意得， 解得，（舍去）， ∴人行通道的宽度为； （2）①设平均一人传染了y人， 根据题意得：， 化简得：， 解得：，（舍去） 故每轮传染中平均一个人传染了8个人； ②所以经过三轮后患上流感的人数为：（人）； 经过三轮传染后共有729个人患流感． 增长率问题 22．根据以下素材，探索完成以下任务： 任务背景 2026年春节档，《飞驰人生3》票房一骑绝尘．在此期间，咔搭CaDA联名推出遥控积木赛车，开售即火热． 数据信息 素材1：经销售部统计，该遥控积木赛车在2月份销售20000辆，4月份销售28800辆，且从2月份到4月份销售量的月增长率相同． 素材2：根据市场部反馈，当每辆遥控积木赛车售价为200元时，且销售量为20000辆，在此基础上售价每涨1元，则月销售量将减少100辆． 问题解决 (1)根据素材1中的信息，请求出遥控积木赛车在2月份到4月份销售量的月增长率； (2)从生产部得知，该遥控积木赛车的生产成本为每件160元，为使月销售利润达到1440000元，则应将遥控积木赛车的实际售价定为多少元/辆． 【答案】(1) 月增长率为 (2) 应将实际售价定为元/辆 【分析】（1）利用4月份的销售量=2月份的销售量，解方程取符合题意的解即可得出结论； （2）售价为200元时，且销售量为20000辆，在此基础上售价每涨1元，则月销售量将减少100辆，则涨价金额为元，对应销量减少辆，实际销量为：辆，然后构造等量关系即可求解． 【详解】（1）解：设遥控积木赛车在2月份到4月份销售量的月增长率为， ， 解得：，（舍去）， 答：遥控积木赛车在2月份到4月份销售量的月增长率为， （2）解：设遥控积木赛车的实际售价定为元/辆， 解得： 则遥控积木赛车的实际售价定为元/辆． 23．为庆祝中国航天事业成立70周年，某航天科普基地推出了一款运载火箭纪念品，深受青少年喜爱． (1)该纪念品今年1月份的销售量为600件，3月份的销售量为864件．若1月份到3月份销售量的月平均增长率都相同，求月平均增长率． (2)该纪念品的进价为每件50元，据市场调查发现，若售价为每件90元，每天能销售30件；售价每降价1元，每天可多售出2件．为推广航天知识，基地决定降价促销，同时尽快减少库存．若使销售该纪念品每天获利1400元，则售价应降低多少元？ 【答案】(1)月平均增长率为 (2)售价应降低20元 【分析】（1）设月平均增长率为，因为1月销售量为600件，月平均增长率相同，所以3月销售量满足，直接求解该一元二次方程即可。 （2）设售价应降低元，因为每降价1元多售2件，所以降价后每天销售量为件，每件利润为元，根据总利润=单件利润×销售量，列方程，求解后结合“尽快减少库存”的条件选取符合要求的解。 【详解】（1）解：设月平均增长率为x 根据题意得：， 解得（不符合题意，舍去） 答：月平均增长率为． （2）解：设售价应降价y元． 根据题意可得： 整理可得： 解得： 为了尽快减少库存，应降价20元 答：售价应降低20元． 24．根据表中的素材，探索完成任务． 素材1 某工厂一车间对某款车型零部件进行智能化、一体化加工，生产效率显著提升．已知该零件4月份生产100个，6月份生产144个． 素材2 该厂生产该零件的成本为30元/个； 市场调研发现：当售价为40元/个时，月销售量为600个，若售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个． 问题解决 (1)任务一：求该车间4月份到6月份生产数量的月平均增长率． (2)任务二：工厂为了提升利润，决定调整售价．要求月销售利润达到10000元，且尽可能让消费者得到实惠，该零件的实际售价应定为多少？ (3)任务三：有员工提出目标，希望月销售利润能达到20000元，请问这个目标能否实现？如果能，请写出具体的涨价方案；如果不能，请说明理由． 【答案】(1) (2)该零件的实际售价应定为50元 (3)不能，理由见解析 【分析】（1）设该车间4月份到6月份生产数量的平均增长率为x，利用该车间6月份生产数量该车间4月份生产数量，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论； （2）设该零件的实际售价为m元，则每个的销售利润为元，利用总利润每个的销售利润月销售量，可列出关于m的一元二次方程，解之可得出m的值，再结合要尽可能让消费者得到实惠，即可确定结论； （3）设该零件的实际售价为n元，可列出关于n的一元二次方程，解之即可确定结论． 【详解】（1）解：设车间4月份到6月份生产数量的月平均增长率为x， 由题意得， 解得或（舍去）． 答：该车间4月份到6月份生产数量的月平均增长率为； （2）解：设该零件的实际售价为m元， 由题意得， 整理得， 解得或． ∵尽可能让消费者得到实惠， ∴． 答：该零件的实际售价应定为50元； （3）解：设该零件的实际售价为n元时，月销售利润能达到20000元， 由题意得， 整理得， ， 方程没有实数根， 故月销售利润不能达到20000元． 与图形有关的问题 25．如图所示，在一块长是、宽的矩形空地内，拟建两个形状、大小完全相同的矩形花圃，其余的铺设草坪，花圃总面积为矩形空地面积的一半，且花圃四周以及两个花圃之间草坪宽度都相等，求两个花圃之间的草坪的宽度． 【答案】 【分析】设两个花圃之间的草坪的宽度为，则两个花圃可合成长为，宽为的矩形，根据花圃总面积为矩形空地面积的一半，可列出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【详解】解：设两个花圃之间的草坪的宽度为， 由题意得：， 解得，． 当时，，应舍去． ∴． 答：两个花圃之间的草坪的宽度为． 26．如图，一养殖户要建一个矩形猪舍，猪舍的一边利用长为18m的住房墙，另外围建猪舍的建筑材料可以建造的围墙总长为32m，为方便进出，在垂直于住房墙的一边留一个2m宽的门（门不占用建筑材料），所围矩形猪舍的长、宽分别为多少时，猪舍面积为140m2？ 【答案】所围矩形猪舍的长为14m，宽为10m时，猪舍面积为 【分析】设出垂直住房墙一边长，再利用建造的围墙与门的总长为，用建造的围墙与门的总长减去两条垂直住房墙的边长，最后根据矩形面积公式列式求解． 【详解】解：设矩形猪舍垂直于住房墙一边长为， 由题意得， 解得，， 当时，（舍去）， 当时，， 答：所围矩形猪舍的长为，宽为时，猪舍面积为． 27．根据数学名著《勾股圆方注》中所记，我们发现可以利用几何方法求得一些一元二次方程的正根．如图，将四个长为m，宽为n的长方形纸片和一个小正方形拼成一个大正方形． (1)求解方程的正根，可令，，则图中每个长方形的面积为6． ①小正方形，大正方形的面积各是多少？ ②利用大正方形的边长，请你求出方程的正根． (2)小明用此方法求关于的方程（t为常数，且）的正根，构造了同样的图形，已知小正方形的面积为25，求t的值． 【答案】(1)①49；② (2) 【分析】（1）①先求出小正方形的边长，即可求出小正方形的面积，进而可求出大正方形的面积． ②求出大正方形的边长，进而得出，进而可求出x的值． （2）同（1）可得出小正方形的边长为，大正方形的边长为，解方程组求解即可． 【详解】（1）解：①∵，， ∴小正方形的边长为：， ∴小正方形的面积：25． ∴大正方形的面积：． ②由大正方形的面积为49，则边长为7， ∴，解得． 即方程的正根为． （2）解：如下图： 设，，则长方形的面积为14， ∵小正方形的面积为25，即边长为5， 小正方形的边长为：， 大正方形的面积为：， 大正方形的边长为：， 联立方程组， 解得． 营销问题 28．2025年湘超联赛各赛场内旗帜随处可见．某商店经营此类旗帜，已知每面旗帜进价40元，当售价定为每面60元时，每天可卖出100面．经调查发现，售价每降低1元，每天可多卖出10面． (1)如果每面旗降价2元，该商店销售此类旗帜一天可盈利多少元？ (2)若该商店销售此类旗帜每天要获得2240元的利润，且尽可能让利于顾客，求每面旗应降价多少元？ 【答案】(1)每面旗降价2元，该商店销售此类旗帜一天可盈利2160元 (2)每面旗应降价6元 【分析】（1）根据题意得到，即可得到答案； （2）设每面旗应降价元，由题意，得，尽可能让利于顾客，需降价更多，即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意，得（元）， 答：如果每面旗降价2元，该商店销售此类旗帜一天可盈利2160元； （2）解：设每面旗应降价元，由题意，得， 整理得， 解得． 尽可能让利于顾客， ． 答：每面旗应降价6元． 29．某批发商以每件70元的价格购进800件T恤，第一个月以单价100元销售，售出了200件，第二个月如果单价不变，预计仍可以售出200件．批发商为增加销售量，决定降价销售，根据市场调查，单价每降10元，可多售出100件，但最低单价应高于购进的价格；第二个月结束后．批发商将对剩余的T恤一次性清仓销售，清仓时单价为60元，设第二个月单价降低元． (1)填表： 时间 第一个月 第二个月 清仓时 单价（元） 100 ①______ 60 销售量（件） 200 ②______ ③_____ (2)如果批发商希望通过销售这批T恤获利8750元，那么第二个月的单价应该是多少元？ 【答案】(1)①；②；③ (2)95元或85元 【分析】（1）根据题意用含的代数式表示即可； （2）利用“获利8750元”，即销售额进价利润，作为相等关系列方程，解方程求出的值即可解答． 【详解】（1）解：∵设第二个月单价降低元， ∴第二个月的单价为元，销售量为件， ， ∴清仓时销售量为件； 填表如下： 时间 第一个月 第二个月 清仓时 单价（元） 100 60 销售量（件） 200 （2）解：由题意得，， 整理得：， 解得，， 当时，； 当时，； 答：第二个月的单价应该是95元或85元． 30．某文体“网红”商店购进一批文创笔记本，该笔记本每本进价8元，物价部门规定每本笔记本的利润率不得超过，在销售过程中发现，每天销售量y（本）与每本售价x（元）之间存在一次函数关系（其中x为整数）．当每本售价为12元时，每天销售量为100本；当每本售价为14元时，每天销售量为90本． (1)求与x之间的函数关系式； (2)若该商店销售这种笔记本每天能获得400元的利润，则每本笔记本的售价为多少元？ (3)若该商店每天的固定成本为240元，那么每天销售这种笔记本能否获得500元的纯利润？若可以，请求出此时每本笔记本的售价为多少元，若不能，则说明理由． 【答案】(1) (2)每本笔记本的售价为12元． (3)不能，见解析． 【分析】（1）利用待定系数法求出函数解析式即可； （2）根据该商店销售这种笔记本每天能获得400元的利润列出一元二次方程，解方程即可； （3）根据题意列出一元二次方程，判断方程有无实数解即可． 【详解】（1）解：设与间的函数关系式为，依题意得： ， 解得：， ∴； （2）由题意得： 解得：，（舍去） ∵， ∴． 故，， 答：每本笔记本的售价为12元． （3）由题意得： 整理得： ∵ ∴方程无解，故不能． 动态几何问题 31．如图，中，，，，动点从点出发以速度向点移动，同时动点从出发以的速度向点移动，设它们的运动时间为秒． (1)根据题意知：__________，___________；（用含的代数式表示） (2)为何值时，的面积等于？ (3)点、运动时，的长可以是吗？如果可以，请求出的值，如果不可以，请说明理由． 【答案】(1)； (2) (3)不可以，理由见解析 【分析】此题考查解一元二次方程的应用．熟练掌握动点路程、速度和时间的关系，动点形成三角形面积，列一元二次方程，一元二次方程根的判别式判定一元二次方程根的情况，是解题的关键． （1）根据动点D从点A出发以速度向点C移动，同时动点E从点C出发以的速度向点B移动，可以得出，； （2）根据的面积等于，列方程求出t的值； （3）假设可以，根据这一条件列方程并且整理出一元二次方程，再由一元二次方程根的判别式判定此方程没有实数根，即可得出结论． 【详解】（1）解：∵动点D、E同时出发，动点E从点C出发以的速度向点B移动， ∴， ∵动点D从点A出发以速度向点C移动， ∴， 故答案为：；； （2）解：当的面积等于， 根据题意得， 整理得， 解得， 答：，即运动1秒时，的面积等于； （3）解：不可以，理由如下： 如果可以，则由勾股定理得， 整理得， ∵， ∴该方程没有实数根， ∴的长不可以是． 32．如图，在中，，，．点从点出发，以的速度沿运动；同时，点从点出发，以的速度沿运动．当点到达点时，、两点同时停止运动．设动点运动的时间为． (1) ， （用含t的代数式表示） (2)则当t为何值时，的面积为． 【答案】(1)； (2)或时，的面积为 【分析】此题主要考查了动点问题，一元二次方程的应用，根据题意列出算式，是解题的关键． （1）根据点P、Q运动的速度，表示出、即可； （2）利用两点运动的速度表示出的长，进而表示出的面积；把代入，解方程可得结论． 【详解】（1）解：∵，点从点出发，以的速度沿运动， ∴； ∵点从点出发，以的速度沿运动， ∴； （2）解：由题意得：，，， ∴； 由题意得：， 解得：或， ∴或时，的面积为． 33．在长方形中，，，点P从点A开始沿边向终点B以的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边向终点C以的速度移动．如果P、Q分别从A、B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动．设运动时间为t秒． (1)填空：__________，__________用t的代数式表示）； (2)当t为何值时，的长度等于？ (3)是否存在t的值，使得五边形的面积等于？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)2t， (2) (3)存在， 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，以及勾股定理的应用，正确表示出、的长度是解题关键． （1）根据距离=速度×时间解答即可； （2）根据的长度等于，利用勾股定理列方程求出值即可得答案； （3）根据五边形的面积加上的面积等于长方形面积列方程求解即可得答案． 【详解】（1）解：∵在长方形中，，， 而，， ∴． （2）解：在中，， ∴， 整理，得：， 解得或2． 把舍去， 所以，当时，的长度等于． （3）解：∵， ∴， 即， 整理，得：， 解得：或4． 依题意，， ∴， ∴，故取． 因此，当时，五边形的面积等于． 行程问题 34．今年年初一美丽的白鹅潭江而进行了以“活力湾区，新彩广州”为主题的烟花汇演，甲、乙两人从各自家前往最佳观赏点之一的洲头咀公园观看烟花汇演，由于当晚该公园附近路段实施了交通管制，甲先将车开到距离自己家20千米的停车场后，再步行2千米到达目的地，共花了1小时．此期间，已知甲开车的平均速度是甲步行平均速度的10倍． (1)求甲开车的平均速度及步行的平均速度分别是多少？ (2)乙是骑车前往与他家相距8千米的目的地，若乙骑车的平均速度比甲步行的平均速度快8a千米/小时（），乙骑车时间比甲开车时间多a小时，求a的值． 【答案】(1)甲开车的平均速度是40千米/小时，步行的平均速度是4千米/小时 (2)的值为 【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元二次方程的应用． （1）设甲步行的平均速度是千米小时，则甲开车的平均速度是千米小时，利用时间路程速度，结合甲到达目的地共花了1小时，可列出关于的分式方程，解之经检验后，可得出甲步行的平均速度，再将其代入中，即可求出甲开车的平均速度； （2）利用路程速度时间，可列出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【详解】（1）设甲步行的平均速度是千米小时，则甲开车的平均速度是千米小时， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， （千米小时）． 答：甲开车的平均速度是40千米小时，甲步行的平均速度是4千米小时； （2）根据题意得：， 即， 解得：，（不符合题意，舍去）． 答：的值为． 35．运动创造美好生活！一天小美和小丽相约一起去沿河步道跑步．若两人同时从A地出发，匀速跑向距离9000米处的B地，小美的跑步速度是小丽跑步速度的1.2倍，那么小美比小丽早5分钟到达B地． (1)求小美每分钟跑多少米？ (2)若从A地到达B地后，小美以跑步形式继续前进到C地．从小美跑步开始，前20分钟内，平均每分钟消耗热量15卡，超过20分钟后，每多跑步1分钟，平均每分钟消耗的热量就增加1卡，在整个锻炼过程中，小美共消耗1650卡的热量，小美从A地到C地锻炼共用多少分钟． 【答案】(1)小美每分钟跑360米 (2)小美从A地到C地锻炼共用50分钟 【分析】本题考查了分式方程的应用和一元二次方程的应用，找出等量关系列方程是解题的关键． （1）设小丽每分钟跑x米，则小美每分钟跑米，根据“小红的跑步时间-小明的跑步时间=5”列分式方程求解即可； （2）设小美从A地到C地锻炼共用y分钟，根据“在整个锻炼过程中，小美共消耗1650卡的热量”列出关于y的一元二次方程，求解取其符合题意的值即可． 【详解】（1）解：设小丽每分钟跑x米，则小美每分钟跑米， 根据题意，得， 解得：， 经检验，既是所列分式方程的解，也符合题意， 则， 答：小美每分钟跑360米． （2）设小美从A地到C地锻炼共用y分钟， 根据题意，得， 解得：，（不符合题意，舍去）， 答：小美从A地到C地锻炼共用50分钟． 36．在物理中，沿着一条直线且加速度不变的运动，叫做匀变速直线运动．在此运动过程中，每个时间段的平均速度为初速度和末速度的算术平均数，路程等于时间与平均速度的乘积．若一个小球以5米/秒的速度开始向前滚动，并且均匀减速，4秒后小球停止运动． (1)小球的滚动速度平均每秒减少多少？ (2)小球滚动5米用了多少秒？（精确到0.1，，） 【答案】(1)小球的滚动速度平均每秒减少 (2)小球滚动约用了秒 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）根据以的速度开始向前滚动，并且均匀减速，后小球停止运动列式计算即可； （2）设小球滚动约用了秒，由时间速度路程，列出一元二次方程，解方程即可． 【详解】（1）解：小球的滚动速度平均每秒减少， 答：小球的滚动速度平均每秒减少． （2）解：设小球滚动约用了秒，此时速度为， 由题意得：， 整理得：， 解得：或， 当时，，不符题意，舍去， ， 答：小球滚动约用了秒． 循环问题 37．我校要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排9天，每天安排5场比赛．比赛组织者应邀请多少个队参赛． 【答案】10 【分析】先根据赛程安排算出总比赛场数为场，再设邀请个 队参赛，根据题意总共的比赛场数为，列一元二次方程进行求解即可， 【详解】解：∵赛程计划安排9天，每天安排5场比赛， 总比赛场数为 场， 设比赛组织者应邀请个队参赛， 参赛的每两个队之间都要比赛一场， 比赛总场数为， 由此可得方程：， 解得 （不符合题意，舍去）， 比赛组织者应邀请10个队参赛． 38．某学校九年级举办了一场乒乓球比赛，比赛采用单循环赛制（每两位参赛选手之间都赛1场）． 乐乐和淇淇针对这次比赛有如下对话： 假设有x人报名参加比赛． (1)根据题意，乐乐列出的方程应该是：_________________________．请利用乐乐所列的方程分析淇淇的说法是否正确； (2)乐乐补充道：本次比赛的确一共进行了40场，只是在比赛过程中遇到了特殊情况，有1人身体不适，只参加了4场比赛后就中途退赛．请直接写出此时x的值． 【答案】(1)，淇淇的说法正确 (2)10 【分析】本题考查一元二次方程的应用，理解题意是解答的关键． （1）设有x人报名参赛，根据题意列方程，然后解方程，根据方程根的情况可得结论； （2）结合设有x人报名参赛，有一人比赛了4场后退出比赛，由题意得，整理并求解即可． 【详解】（1）解：     淇淇的说法正确，理由如下： 解得：，     ∵x取正整数， ∴，均不满足实际问题，舍去 所以淇淇的说法正确． （2）解：∵有一人比赛了4场后退出比赛， 由题意得， 解得（舍去）， ∴x的值为10． 39．某次同学聚会，所有到会同学都互相握一次手，共握手45次，则参加聚会的同学共有多少人？设参加聚会的同学共有人． (1)填空：根据题意，可列方程： ； (2)我们都知道连接多边形不相邻的两个顶点的线段叫做多边形的对角线，也都知道四边形的对角线有2条，多边形的对角线可以有27条吗？如果可以，求出多边形的边数；如果不可以，请说明理由． 【答案】(1) (2)多边形对角线可以有27条，即多边形的边数为9 【分析】（1）设参加聚会的同学共有人，每个人与其他个人握手，所有到会同学都互相握一次手，因此总次数为，根据共握手45次，列出方程即可． （2）设多边形的边数为，对角线数量为27，依题意可以得到方程，解方程即可． 本题考查了一元二次方程的应用，熟练掌握解方程是解题的关键． 【详解】（1）解：设参加聚会的同学共有人，每个人与其他个人握手，所有到会同学都互相握一次手，因此总次数为，根据共握手45次， 列出方程为：， 故答案为：． （2）解：设多边形的边数为，对角线数量为27 依题意可以得到方程 化简为 解得或 因为为正整数，所以 答：多边形对角线可以有27条，即多边形的边数为9． 由一元二次方程的定义求参数 40．已知、是一元二次方程的两个根，则的值为_____． 【答案】9 【分析】根据、是一元二次方程的两个根，得到，，，化简代入计算即可． 【详解】解：、是一元二次方程的两个根， ，，， ． 41．已知关于的方程（、、为常数，）的解是，，那么方程的解为_______． 【答案】， 【分析】将所求方程变形后，利用整体换元思想，结合已知原方程的解得到关于x的一次方程，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵的解是，， ∴或， 解得，． 42．已知关于x的一元二次方程． (1)判断该一元二次方程根的情况； (2)若方程有一个根为，求k的值及方程的另一个根； (3)若方程的一个根是另一个根的2倍，求k的值． 【答案】(1)当时，原方程有两个相等的实数根；当且时，原方程有两个不相等的实数根 (2)，方程的另一个根为 (3)或 【分析】（1）根据一元二次方程的定义可得的取值范围，再计算可判断方程根的情况； （2）把代入原方程求解k，再解一元二次方程可得答案； （3）先解含参数的一元二次方程，再分两种情况讨论即可． 【详解】（1）解：∵关于x的一元二次方程， ∴， ∴， 而 ， ∴当时，原方程有两个相等的实数根，当且时，原方程有两个不相等的实数根． （2）解：∵方程有一个根为， ∴， 解得：， ∴方程为：， ∴， 解得：，， ∴方程的另一个根为． （3）解：∵， ∴， ∴，， 解得：，， ∵方程的一个根是另一个根的2倍， ∴当时，解得：，经检验符合题意； 当时，解得：，经检验符合题意； 综上：或． 一元二次方程的解的估算 43．已知关于x的二次三项式的部分对应值如表： 据此可估计关于x的一元二次方程的一个根的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了估算一元二次方程的近似解，根据表格数据得到时，，时，进行求解，即可解题． 【详解】解：依题意， 时，， 时，， 关于x的一元二次方程的一个根的取值范围为， 故选：B． 44．观察下列表格，可知一元二次方程的一个近似解是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的解的近似解，观察表格中的数据可得到方程的一个近似解的取值范围为，逐项判断即可得解． 【详解】解：由表格数据可知，当时，， 当时，， ∵， ∴的一个近似解的取值范围为， ∴为的一个近似解， 故选：C． 45．探索一元二次方程的一个正数解的过程如下表： x 0 1 2 3 4 5 13 23 从表中可以看出方程的一个正数解在相邻整数a和b之间，则整数a，b分别是____． 【答案】1、2 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解的估算，可求出当时，，当时，，据此可得答案． 【详解】解：∵当时，，当时，， ∵方程的一个正数解在相邻整数a和b之间， ∴， 故答案为：1、2． 配方法的应用 46．一次数学探究活动中，老师给出了两个二次多项式（其中，均是不为零的常数）及这两个代数式的一些信息，如下表所示： 二次多项式 对二次多项式进行因式分解 对二次多项式使用配方法 （说明：均为常数） 有学生探究得到以下四个结论：①若，则；②，则；③若有且只有一个的值，使代数式的值为0，则；④若，则的值不可能是．其中所有正确结论的序号是_____． 【答案】①④ 【分析】本题主要考查配方法的应用、根的判别式及二元一次方程组的解法，熟练掌握配方法的应用、根的判别式及二元一次方程组的解法是解题的关键；由题意易得，然后根据配方法的应用、根的判别式及二元一次方程组的解法可依次排除答案． 【详解】解：∵， ， ， ， ∴， ①∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴；故正确； ②∵， ∴， 解得：， ∴；故错误； ③由题意可知：当时，方程有两个相等的实数根， ∴， ∴， ∴， ∴；故错误； ④当，即， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，所以c的值不可能是，说法正确； 综上所述：正确的结论有①④； 47．新定义：关于的一元二次方程与称为“同族二次方程”例如：与是“同族二次方程”现有关于的一元二次方程与是“同族二次方程”，则代数式的最小值是_____． 【答案】2027 【分析】本题考查了新定义，配方法的应用，根据同族二次方程的定义，两个方程必须具有相同的c和k，由第二个方程确定，，令第一个方程中的c相等，解出（舍去），再令k相等，解出，代入代数式，结合配方法求最小值，即可作答． 【详解】解：∵关于的一元二次方程与是“同族二次方程”， ∴，，， 解得，， 则 ， 当时，则， ∴， 即代数式的最小值是， 故答案为：． 48．配方法不仅可以用来解一元二次方程，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式的最大值和最小值等．例如，我们用此方法求代数式的最小值的过程如下： 解：． ， ， 的最小值是9． 请根据以上材料，完成下列问题： (1)代数式，当_______时，代数式有最_______值（填“大”或“小”），这个值是_______； (2)比较代数式与的大小，并说明理由． 【答案】(1)1；大；8 (2)，理由见解析 【分析】本题考查了配方法的应用，解题的关键是熟练掌握完全平方公式的非负性． （1）多项式配方后，根据完全平方式恒大于等于0，即可求出最值； （2）两式相减，配方后根据完全平方式恒大于等于0，可得差值的正负，即可得到两式的大小关系． 【详解】（1）解：∵，∴当1时，代数式有最大值，这个值是8； 故答案为：1，大，8． （2）解：， 理由如下： ， ． 换元法 49．为解方程，我们可以将看作一个整体，然后设，那么原方程可化为①解得． 当时，，，； 当时，，，． 故原方程的解为． 在由原方程得到①的过程中，利用换元法达到了降次的目的，体现了转化的数学方法． 根据以上阅读理解，解答下列问题： (1)利用换元法解方程：； (2)若实数、满足，求的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）设，将原方程转化为，然后利用因式分解法求出或，然后分别判断求解即可； （2）设，将转化为，然后求解判断即可． 【详解】（1）解： 设 ∴原方程可化为 或 解得或 当时， ∴ ∴ ∴方程无实数根； 当时， ∴ ∴ ∴或 解得，； （2）解：设 ∵ ∴ ∴ ∴ ∴或 解得（舍去）或 ∴． 50．解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）用十字相乘法分解因式，用因式分解法求解即可； （2）设，用换元法求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴或， 解得； （2）解：设，则原方程化为， ∴， ∴或， 解得，， 当时，则，即， ∵， ∴； 当时，则，即0， ∵， ∴； 综上所述，原方程的解为，． 51．综合与实践 我们把利用方程根的代换求新方程的方法称为换根法，核心解题步骤为：设新方程的根为y，根据根的对应关系，用含y的代数式表示原方程的根x；将x代入原方程，化简后得到关于y的新方程． 例：已知方程，求根为原方程根2倍的新方程． 解：设新方程的根为y，则，即，代入原方程得，化简得，即为所求方程． (1)基础应用 已知方程，用换根法求一个一元二次方程，使它的根是原方程根的相反数； (2)能力提升 已知方程，用换根法求一个新的一元二次方程，使它的根分别比原方程的根大1； (3)综合拓展 已知关于x的一元二次方程的两个实数根为1和3，求一元二次方程的两实数根． 【答案】(1) (2) (3)3和5 【分析】（1）用题干提供的方法进行求解即可； （2）用题干提供的方法进行求解即可； （3）将新方程变形为，对比原方程得出，根据原方程的两根为1和3，得出新方程的两个根即可． 【详解】（1）解：设所求方程的根为y，则， 即， 将代入原方程，得， 化简得：； （2）解：设所求方程的根为y，则， 即， 将代入原方程，得， 展开化简得：； （3）解：将新方程变形整理：， ， ， 对比原方程，可得代换关系： ，即， ∵原方程的两根为1和3， ∴新方程的两根为，， 即所求两根为3和5． 韦达定理的应用 52．已知关于的一元二次方程：（）． (1)判断是否是方程的根，并说明理由； (2)现有一个关于的一元二次方程：，若方程，仅有一个相同的根，求证：； (3)若，方程的两实数根，满足，求，的值． 【答案】(1)不是，见解析 (2)见解析 (3)， 【分析】（1）把代入方程求解即可； （2）根据题意可得，则有，然后分类进行求解即可； （3）由题意易得，，则有，，然后根据进行分类求解即可． 【详解】（1）解：把代入， 得，不成立， 故不是方程的根． （2）证明：由题意，得， 则，即， 当时，方程，完全相同，不合题意， 当时，则，故（舍去），， 把代入，得． （3）解：由题意及一元二次方程根与系数的关系得，， ∵， ∴，， ∵， ∴． 当时，，可得，， ∴， 此时，舍去． 当时，即， 可得， ∴． 综上所述，，． 53．阅读以下材料，利用一元二次方程根与系数的关系解答下列问题： 已知实数a，b满足，，则可将a，b看作一元二次方程的两个不相等的实数根． (1)材料理解：已知实数a，b满足，，且，求的值． (2)思维拓展：已知实数a，b满足，，且，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据一元二次方程根与系数的关系求得，然后对所求代数式因式分解后整体代入求值即可； （2）在方程的两边同时除以得，易得可将a，看作方程的两个不相等的实数根，则，，然后对所求代数式因式分解后整体代入求值即可． 【详解】（1）解：∵实数a，b满足，，且， ∴可将a，b看作方程的两个不相等的实数根， ，， ∴． （2）解：在方程的两边同时除以得， 又∵实数a满足，且， ∴可将a，看作方程的两个不相等的实数根， ，， ． 54．学习完一元二次方程的知识后，数学兴趣小组对关于x的一元二次方程展开探究． (1)当时，该方程的正根称为“黄金数”，求“黄金数”； (2)若实数a，b满足，，且，求的值； (3)若两个不相等的实数p，q满足，，求证：． 【答案】(1) (2) (3)见解析 【分析】（1）将代入，得，解方程求出正根即可. （2）将变形为，结合，得出a，是一元二次方程的两个根，再根据一元二次方程根与系数关系即可解答. （3）根据①，②，得出，结合得出③，④，将④代入①，得,将③代入②，得，得出p，q是一元二次方程的两个根，即可求得． 【详解】（1）解：将代入， 得， 解得， ∴“黄金数”为； （2）解：∵，， ∴， 即， ∵， ∴， ∴a，是一元二次方程的两个根， ∴， ∴． （3）证明：∵①，②, ∴，得， ∴ ∵， ∴， ∴③，④， 将④代入①，得， ∴， ∴ ， 将③代入②，得， ∴， ∴， ∴p，q是一元二次方程的两个根， ∴． 一元二次方程与几何相关问题 55．如图1，有一张长为，宽为的长方形硬纸片．    (1)若裁去角上的四个小正方形之后，折成如图2所示的无盖纸盒，当，纸盒的底面积为时，求裁去的正方形边长是多少？ (2)若裁去部分图形后，折成如图3所示底面是正三角形的无盖纸盒，则此时l的长为多少？ (3)在（2）的情况下，当纸盒的底面积与侧面积（三个长方形的面积）相等时，底面正三角形的边长是多少？ 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）设裁去的正方形边长为，由题意得：，再解一元二次方程即可； （2）延长交于点P，由题意可设，设，在中，，则，那么，在中，，，则； （3）过点N作于点G，则，则，而，则，解得，再代入①即可求解． 【详解】（1）解：设裁去的正方形边长为， 由题意得：， 解得：，（不合题意，舍去）， 即裁去的正方形边长． （2）解：如图，延长交于点P，    ∵是等边三角形， ∴，， 由矩形可得：，，， ∴设， 由题意得：四边形为矩形， ∴，， 设， ∵， ∴，， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴在中，， 由勾股定理得，， ∵， ∴， ∵， ∴． （3）解：如图，过点N作于点G，    ∴， 由勾股定理得，， ∴， ∵当纸盒的底面积与侧面积（三个长方形的面积）相等， ∴，解得， 将代入， 则， 解得：， ∴等边三角形边长为． 【点睛】本题考查了一元二次方程的实际应用，矩形的性质，勾股定理，解的直角三角形性质，等边三角形的性质等知识点． 56．在如图所示的方格图中，给每个方格设定不同的数或式，路线经过的方格中的数或式可进行相应的运算，例如：路线C→D上的数字的和记为（－1）＋（－6）＋4＝－3． (1)若路线上所有数或式的积与路线上所有数、式的积的和为0，求x的值； (2)若路线上所有数或式的积与路线上所有数的积的差为y，求y的最大值． 【答案】(1)或． (2)． 【分析】本题考查整式的运算与方程求解、二次函数的最值问题，解题关键是根据路线经过的数或式，准确列出代数式，再结合题意进行方程求解和最值分析． （1）先分别求出路线上数式的积和路线上数式的积，根据它们的和为0列方程，进而求解的值． （2）先分别求出路线上数式的积和路线上数式的积，得出关于的表达式，再根据二次函数的性质求其最大值． 【详解】（1）由题意得 ， 整理得， 即 ， 解得或， 的值为或． （2）由题意得 整理得 ， 函数图象开口向下，有最大值，最大值在顶点处取得， 顶点横坐标为 将代入的表达式得 ， 的最大值为． 57．如图，在中，已知，，，点，是边上的两个动点，点从点开始，沿方向运动，速度为每秒个单位长度，点从点开始，沿方向运动，速度为每秒个单位长度，它们同时出发，设运动时间为秒．（值用小数表示）      （1）当为______时，是等腰三角形； （2）当点在上运动时，值从小到大依次是______，______，______时，为等腰三角形． 【答案】 6 【分析】本题考查了直角三角形的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形不同边相等的各类情况，并用勾股定理求出对应线段长度是解题的关键． （1）先根据是等腰三角形，得到，用含有t的式子将表示出来，再围绕利用勾股定理，即可求解． （2）分别讨论、和三种情况，利用等腰三角形的性质和勾股定理先求的长度，再求t，即可求解． 【详解】解：（）如图， 由于，要使是等腰三角形，只能，， 在 中，， ，解得， 故答案为：； （）当点在上运动时，要使为等腰三角形，分三种情况， ①如图，当时， 可得， ， ， ， 在 中，， ， ， ，即，解得； ②如图，当时， 可知，即，解得； ③如图，当 ，过点作，垂足为点， 则， ， ， ， ， ，解得； 综上所述，当运动时间为秒或秒或秒时，为等腰三角形． 故答案为：，，． 一元二次方程的新定义问题 58．定义新运算，对于两个不相等的实数，我们规定符号表示中较小值，如．，，按照这样的规定，若，则的值是_________ 【答案】 或 【分析】本题考查了定义新运算．根据新运算定义，分 和 两种情况讨论，分别求解方程 【详解】当 时，， 代入得 ， 整理得 ， 解得 ， 取 （舍去 ）； 当 时，， 代入得 ， 整理得 ， 解得 ， 取 （舍去 ）； 当时，， ∵， ∴不成立． 故答案为： 或 ． 59．定义：是一元二次方程的倒方程．则下列四个结论： ①如果是的倒方程的解，则； ②如果，那么这两个方程都有两个不相等的实数根； ③如果一元二次方程无解，则它的倒方程也无解； ④如果一元二次方程有两个不相等的实数根，则它的倒方程也有两个不相等的实数根。 其中正确的有_________（填正确的序号） 【答案】①②③ 【分析】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．根据倒方程的定义和一元二次方程根的定义对①进行判断；利用倒方程的定义和根的判别式的意义对②③进行判断；利用反例对④进行判断． 【详解】解：的倒方程为，把代入方程得，解得，所以①正确； 当时，一元二次方程的根的判别式，也为一元二次方程，此方程的根的判别式△，所以这两个方程都有两个不相等的实数根，所以②正确； 一元二次方程无解，则，即，一元二次方程的倒方程为的根的判别式，则它的倒方程也无解，所以③正确； 一元二次方程有两个不相等的实数根，则，当，时，为一元一次方程，它的倒方程只有一个实数解，所以④错误． 故答案为：①②③ 60．材料1：法国数学家弗朗索瓦・韦达在著作《论方程的识别与订正》中提出一元二次方程的两根，有如下的关系（韦达定理）：，； 材料2：如果实数、满足、，且，则可利用根的定义构造一元二次方程，将、看作是此方程的两个不相等实数根． 请根据上述材料解决下面问题： (1)①已知一元二次方程的两根分别为，，则_______，_______． ②已知实数，满足：，（），则_______． (2)已知实数、、满足：，，且，求的取值范围． 【答案】(1)①1.5，；② (2) 【分析】本题考查根与系数的关系，根的判别式． （1）①根据根与系数的关系解答； ②根据题意，得到实数，是方程    的两个根，根据根与系数的关系进行求解即可； （2）根据根与系数的关系，，是方程的解，进而得到，再根据根与系数的关系和根的判别式求出的范围，即可． 【详解】（1）解：①一元二次方程的两根分别为，， ，， 故答案为：1.5，； ②实数，满足：，， ，是方程的解， ，， ； 故答案为：； （2）解：实数、、满足：， ，是方程的解， ，， ， ，， 解得， ， ． 学科网（北京）股份有限公3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $