第30卷 三角计算的应用-考点训练卷 2027年吉林省（高职分类考试）《数学考纲百套卷》（原卷版+解析版）

**基本信息** 三阶递进式训练体系下的三角计算应用基础层训练，聚焦考点微目标拆解，强化实际情境中的三角知识应用。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |解三角形应用|单选1-3、6、9、15，填空16、19，解答23|结合三角形边角关系判断形状、计算距离，融入方位角等实际要素|从三角形基本性质到余弦定理、正弦定理的应用，构建“已知量→定理选择→实际结果”的逻辑链| |三角函数模型|单选4、5、12、14，填空17|以时钟、单摆、简谐振动为背景，考查三角函数解析式构建与参数求解|从三角函数定义到周期、振幅等参数的实际意义，体现“数学建模→数据拟合→模型应用”的思维过程| |实际测量问题|单选7、8、10、11、13，填空18、20，解答22、24|通过仰角俯角、坡度等测量场景，综合考查三角计算与空间想象|从平面几何图形抽象到三角关系建立，培养用数学眼光观察现实世界、用数学语言表达测量问题的能力|

编写说明：2027年吉林省高职分类考试《数学考纲百套卷》，依据《中等职业学校数学课程标准》及最新的考试要求，在历年数学真题分析的基础上进行编写。本专辑试卷采用三阶递进式训练体系：基础层拆解考点为微目标，紧扣考纲中考查内容及考查要求编写考点训练卷；巩固层强化知识综合，按考纲专题编写专题训练卷；应用层聚焦真题突破，结合考纲与真题编写综合模拟卷。 2027年吉林省高职分类考试《数学考纲百套卷》 第30卷 三角计算的应用 考点训练卷 考试时间：90分钟 满分：100分 班级 姓名 学号 成绩 一、单项选择题：本大题共15小题，每小题3分，共45分.在每小题列出的四个备选项中只有一个是最符合题目要求的，请将其选出. 一、单选题 1．已知中，，，，则为（    ） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．以上都可能 2．下列结论正确的是（    ） A．东南方向与南偏东方向相同． B．若为锐角三角形且，则角的取值范围是. C．从处望处的仰角为，从处望处的俯角为，则的关系为. D．俯角是铅垂线与目标视线所成的角，其范围为. 3．在中，已知，那么是（    ） A．钝角三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．等腰直角三角形 4．记某时钟的中心点为，分针针尖对应的端点为．已知分针长，且分针从12点位置开始绕中心点顺时针匀速转动．若以中心点为原点，3点和12点方向分别为轴和轴正方向建立平面直角坐标系，则点到轴的距离（单位：）与时间t（单位：min）的函数解析式为（    ） A． B． C． D． 5．如图，一根绝对刚性且长度不变、质量可忽略不计的线，一端固定，另一端悬挂一个沙漏．让沙漏在偏离平衡位置一定角度（最大偏角）后在重力作用下在铅垂面内做周期摆动．若线长为l cm，沙漏摆动时离开平衡位置的位移s（单位：cm）与时间t（单位：s）的函数关系是，取，如果沙漏从离开平衡位置到下一次回到平衡位置恰用0.5s，则线长约为（        ）cm．（精确到0.1cm） A．12.7 B．25.3 C．101.3 D．50.7 6．在铁路建设中需要确定隧道的长度，已测得隧道的两端点 到某一点 的距离分别是 3 km 和 1 km，且 ，则 两点的距离为（    ） A． km B． km C． km D． km 7．甲、乙两人从直径为的圆形水池的一条直径的两端同时按逆时针方向沿水池做匀速圆周运动，已知甲的速度是乙的速度的两倍，乙绕水池一周停止运动，若用表示乙在某时刻旋转角的弧度数，表示甲、乙两人的直线距离，则的大致图象是（    ） A． B． C． D． 8．如图，在山脚下处经过山腰到山顶拉一条电缆，其中，的长为，的长为，在处测得的仰角为，在处测得的仰角为.则此山的高度为（    ）    A． B． C． D． 9．某地为响应习近平总书记关于生态文明建设的号召，大力开展“青山绿水”工程，造福于民，拟对该地某湖泊进行治理，在治理前，需测量该湖泊的相关数据.如图所示，测得千米，千米，则A，B间的直线距离约为（   ）    A．6千米 B．7千米 C．8千米 D．5千米 10．如图，甲秀楼位于贵州省贵阳市南明区甲秀路，是该市的标志性建筑之一.甲秀楼始建于明朝，后楼毁重建，改名“凤来阁”，清代甲秀楼多次重修，并恢复原名、现存建筑是宣统元年（1909年）重建.甲秀楼上下三层，白石为栏，层层收进.某研究小组将测量甲秀楼最高点离地面的高度，选取了与该楼底在同一水平面内的两个测量基点与，现测得，，，在点测得甲秀楼顶端的仰角为，则甲秀楼的高度约为（参考数据：，）（    ） A． B． C． D． 11．如图，八卦桥（图1）是洛南县地标性建筑之一，它是一个八边形人行天桥，桥的中心处建有一座五层高的宝塔（图2），晚上宝塔上的霓虹灯流光溢彩非常美丽.某同学为了测量宝塔的高度，在塔底部同一水平线上选取了C，D两点，测得塔的仰角分别为和，C，D间的距离是12米.则宝塔的高度AB是（    ）米.（结果保留根号）    A． B． C． D． 12．如图，一个质点在半径为2的圆O上以点P为起始点，沿逆时针方向运动，每转一圈．则该质点到x轴的距离y关于时间t的函数解析式是（    ） A． B． C． D． 13．从处望处的俯角为，从处望处的仰角为，则，的关系为（　　） A． B． C． D． 14．弹簧振子的振动是简谐振动.下表给出了振子在完成一次全振动的过程中的事件t与位移s之间的测量数据，那么能与这些数据拟合的振动函数的解析式为（    ） t 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 s 0.1 10.3 1.7 20.0 17.7 10.3 0.1 A．， B． C． D．， 15．2024年7月30日，巴黎奥运会中国乒乓球选手孙颖莎、王楚钦与朝鲜两名选手进行男女混双决赛，现场看台上有、两位观众，他们距离比赛场地中央点的距离均为10米，且观众在点北偏西的位置，观众在点北偏东的位置，则这两位观众之间的距离为（    ） A．10米 B．米 C．米 D．米 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分. 16．在中，，在点望的视角为___________. 17．我国古代数学家赵爽利用“勾股圆方图”巧妙地证明了勾股定理，成就了我国古代数学的骄傲，后人称之为“赵爽弦图”.如图，它是由四个全等的直角三角形和中间的一个小正方形拼成的一个大正方形，若直角三角形中较小的锐角记为，大正方形的面积为25，小正方形的面积为1，则______. 18．彬塔，又称开元寺塔､彬县塔，民间称“雷峰塔”，位于陕西省彬县城内西南紫薇山下.某同学为测量彬塔的高度，选取了与塔底在同一水平面内的两个测量基点与，现测得，，，在点测得塔顶的仰角为，则塔高___________. 19．游客从某旅游景区的景点A处至景点C处有两条线路．线路1是从A沿直线步行到C，线路2是先从A沿直线步行到景点B处，然后从B沿直线步行到C．现有甲、乙两位游客从A处同时出发匀速步行，甲的速度是乙的速度的倍，甲走线路2，乙走线路1，最后他们同时到达C处．经测量，AB＝1 040 m，BC＝500 m，则sin∠BAC等于________． 20．重庆奉节小寨天坑景区拥有世界上深度和容积最大的岩溶漏斗，吸引大量游客来此参观留影.为了测量天坑边上如图1所示的，两点间的距离，现在旁边取两点，测得米，，，（假设，，四点在同一平面上，则两点的距离为______米. 三、解答题:本大题共4小题，每题10分，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 21．已知两个电流瞬时值函数解析式分别是，，求合成后的电流的函数解析式． 22．如图所示，某炮兵阵地位于点，两观察所分别位于，两点，已知为等边三角形，且.当目标出现在点时，测得，，求炮兵阵地与目标的距离是多少. 23．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c已知，． (1)若，求的值和的面积； (2)在（1）的条件下，求的值； 24．如图，保定市某中学在实施“五项管理”中，将学校的“五项管理”做成宣传牌（CD），放置在教学楼的顶部（如图所示），该中学数学活动小组在山坡的坡脚A处测得宣传牌底部D的仰角为60°，沿该中学围墙边坡AB向上走到B处测得宣传牌顶部C的仰角为45°．已知山坡AB的坡度为． (1)求点B距水平面AE的高度BH； (2)求宣传牌CD的高度．（结果保留根号） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2027年吉林省高职分类考试《数学考纲百套卷》，依据《中等职业学校数学课程标准》及最新的考试要求，在历年数学真题分析的基础上进行编写。本专辑试卷采用三阶递进式训练体系：基础层拆解考点为微目标，紧扣考纲中考查内容及考查要求编写考点训练卷；巩固层强化知识综合，按考纲专题编写专题训练卷；应用层聚焦真题突破，结合考纲与真题编写综合模拟卷。 2027年吉林省高职分类考试《数学考纲百套卷》 第30卷 三角计算的应用 考点训练卷 考试时间：90分钟 满分：100分 班级 姓名 学号 成绩 一、单项选择题：本大题共15小题，每小题3分，共45分.在每小题列出的四个备选项中只有一个是最符合题目要求的，请将其选出. 1．已知中，，，，则为（    ） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．以上都可能 【答案】B 【分析】利用余弦定理判断的最大内角的大小即可得解. 【详解】因为在中，，，， 所以角是的最大内角，且， 又， 所以，即角为钝角，故为钝角三角形. 故选：B. 2．下列结论正确的是（    ） A．东南方向与南偏东方向相同． B．若为锐角三角形且，则角的取值范围是. C．从处望处的仰角为，从处望处的俯角为，则的关系为. D．俯角是铅垂线与目标视线所成的角，其范围为. 【答案】A 【分析】根据方向、锐角三角形、仰角、俯角等知识确定正确答案. 【详解】A选项，东南方向与南偏东方向相同，A选项正确. B选项，若为锐角三角形且， 则，解得，所以B选项错误. C选项，从处望处的仰角为，从处望处的俯角为， 则，所以C选项错误. D选项，俯角是在竖直面内，水平线与向下递降线段直线的角度， 范围是，所以D选项错误. 故选：A 3．在中，已知，那么是（    ） A．钝角三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．等腰直角三角形 【答案】A 【分析】根据余弦定理即可求解. 【详解】因为，设，则， 因为，则为最大内角， ， 所以，即是钝角三角形. 故选：A. 4．记某时钟的中心点为，分针针尖对应的端点为．已知分针长，且分针从12点位置开始绕中心点顺时针匀速转动．若以中心点为原点，3点和12点方向分别为轴和轴正方向建立平面直角坐标系，则点到轴的距离（单位：）与时间t（单位：min）的函数解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】画出图像，由题意分析得， 利用已知条件求解出化简即可. 【详解】如图所示： 由题意得分针每分钟转rad， 则分钟后转了rad， 则点到轴的距离与时间t的关系可设为： ， 当时，点在钟表的12点处，此时， 所以， 所以可以取， 此时， 故选：D. 5．如图，一根绝对刚性且长度不变、质量可忽略不计的线，一端固定，另一端悬挂一个沙漏．让沙漏在偏离平衡位置一定角度（最大偏角）后在重力作用下在铅垂面内做周期摆动．若线长为l cm，沙漏摆动时离开平衡位置的位移s（单位：cm）与时间t（单位：s）的函数关系是，取，如果沙漏从离开平衡位置到下一次回到平衡位置恰用0.5s，则线长约为（        ）cm．（精确到0.1cm） A．12.7 B．25.3 C．101.3 D．50.7 【答案】B 【分析】根据题意得到函数的最小正周期为，结合余弦型函数的性质，列出方程，即可求解. 【详解】因为线长为l cm，沙漏摆动时离开平衡位置的位移（单位：cm）与时间（单位：s）的函数关系是， ，且取， 又因为沙漏从离开平衡位置到下一次回到平衡位置恰用， 所以函数的最小正周期为，即，解得， 即线长约为cm. 故选：B. 6．在铁路建设中需要确定隧道的长度，已测得隧道的两端点 到某一点 的距离分别是 3 km 和 1 km，且 ，则 两点的距离为（    ） A． km B． km C． km D． km 【答案】B 【分析】根据余弦定理即可求解. 【详解】由题意得，， 则由余弦定理得，， 解得km. 故选：B. 7．甲、乙两人从直径为的圆形水池的一条直径的两端同时按逆时针方向沿水池做匀速圆周运动，已知甲的速度是乙的速度的两倍，乙绕水池一周停止运动，若用表示乙在某时刻旋转角的弧度数，表示甲、乙两人的直线距离，则的大致图象是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意分析，当时两人相遇，再根据距离一定非负，即可得到答案. 【详解】甲的速度是乙的速度的两倍， 由题意知当时，两人相遇，排除A，C，两人的直线距离大于等于零，排除D. 故选：B. 8．如图，在山脚下处经过山腰到山顶拉一条电缆，其中，的长为，的长为，在处测得的仰角为，在处测得的仰角为.则此山的高度为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】作图分析结合几何图形的性质求解即可. 【详解】如图，设分别为在地平面的投影，，则由题意，， ，故此山高度m.      故选：B 9．某地为响应习近平总书记关于生态文明建设的号召，大力开展“青山绿水”工程，造福于民，拟对该地某湖泊进行治理，在治理前，需测量该湖泊的相关数据.如图所示，测得千米，千米，则A，B间的直线距离约为（   ）    A．6千米 B．7千米 C．8千米 D．5千米 【答案】B 【分析】利用余弦定理求解即可； 【详解】由题可知，得千米，千米， 所以由余弦定理可得，， 所以千米. 故选：B 10．如图，甲秀楼位于贵州省贵阳市南明区甲秀路，是该市的标志性建筑之一.甲秀楼始建于明朝，后楼毁重建，改名“凤来阁”，清代甲秀楼多次重修，并恢复原名、现存建筑是宣统元年（1909年）重建.甲秀楼上下三层，白石为栏，层层收进.某研究小组将测量甲秀楼最高点离地面的高度，选取了与该楼底在同一水平面内的两个测量基点与，现测得，，，在点测得甲秀楼顶端的仰角为，则甲秀楼的高度约为（参考数据：，）（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用正弦定理在中取得的长，根据正切函数的定，可得答案. 【详解】由题意可知，，，所以，又因， 由正弦定理，可得：，解得， 又因为，所以， 故选:C. 11．如图，八卦桥（图1）是洛南县地标性建筑之一，它是一个八边形人行天桥，桥的中心处建有一座五层高的宝塔（图2），晚上宝塔上的霓虹灯流光溢彩非常美丽.某同学为了测量宝塔的高度，在塔底部同一水平线上选取了C，D两点，测得塔的仰角分别为和，C，D间的距离是12米.则宝塔的高度AB是（    ）米.（结果保留根号）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设宝塔的高度米，表示出的长，解直角三角形即可求得答案. 【详解】设宝塔的高度米， 因为，故米， 而米，故米， 又，所以， 解得（米），即宝塔的高度AB是米， 故选：D 12．如图，一个质点在半径为2的圆O上以点P为起始点，沿逆时针方向运动，每转一圈．则该质点到x轴的距离y关于时间t的函数解析式是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设点的纵坐标为，根据题意可求，与，从而可求解. 【详解】设点的纵坐标为， 由题意可得，得. 因为起始点在第四象限，所以初相， 由图可知， 所以. 所以该质点到x轴的距离y关于时间t的函数解析式是. 故选:A. 13．从处望处的俯角为，从处望处的仰角为，则，的关系为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由仰角和俯角的概念得. 14．弹簧振子的振动是简谐振动.下表给出了振子在完成一次全振动的过程中的事件t与位移s之间的测量数据，那么能与这些数据拟合的振动函数的解析式为（    ） t 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 s 0.1 10.3 1.7 20.0 17.7 10.3 0.1 A．， B． C． D．， 【答案】D 【分析】根据简谐振动的解析式结合三角函数性质运算求解. 【详解】设简谐振动的解析式为，其中 由表格可知：振幅，周期，过点， 由周期，且，可得， 由过点，可得，即，则， 可得， 所以简谐振动的解析式为. 故选：D. 15．2024年7月30日，巴黎奥运会中国乒乓球选手孙颖莎、王楚钦与朝鲜两名选手进行男女混双决赛，现场看台上有、两位观众，他们距离比赛场地中央点的距离均为10米，且观众在点北偏西的位置，观众在点北偏东的位置，则这两位观众之间的距离为（    ） A．10米 B．米 C．米 D．米 【答案】C 【分析】根据余弦定理分析求解即可. 【详解】 由题意可知，在中，， 由余弦定理可得， 即： ， 解得：， 即这两位观众之间的距离为米， 故选：C. 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分. 16．在中，，在点望的视角为___________. 【答案】 【解析】根据题意可知点望的视角为,再根据三角形内角和为求解即可. 【详解】在点望的视角为. 故答案为： 【点睛】本题主要考查了视角的定义,属于基础题. 17．我国古代数学家赵爽利用“勾股圆方图”巧妙地证明了勾股定理，成就了我国古代数学的骄傲，后人称之为“赵爽弦图”.如图，它是由四个全等的直角三角形和中间的一个小正方形拼成的一个大正方形，若直角三角形中较小的锐角记为，大正方形的面积为25，小正方形的面积为1，则______. 【答案】/0.6 【解析】设直角三角形的短的直角边长为，则较长的直角边长为，得到， 求得，即可求解. 【详解】根据已知条件四个直角三角形全等，所以设直角三角形的短的直角边长为， 则较长的直角边长为， 又由大正方形的面积为，所以边长为，即直角三角形的斜边为， 根据勾股定理，可得， 整理得，解得或(负值舍去)，所以. 故答案为： 18．彬塔，又称开元寺塔､彬县塔，民间称“雷峰塔”，位于陕西省彬县城内西南紫薇山下.某同学为测量彬塔的高度，选取了与塔底在同一水平面内的两个测量基点与，现测得，，，在点测得塔顶的仰角为，则塔高___________. 【答案】 【分析】在中，由正弦定理可得，再由可得答案. 【详解】因为，，所以， 在中，由正弦定理可得，可得， 在直角三角形中，， 所以. 故答案为：. 19．游客从某旅游景区的景点A处至景点C处有两条线路．线路1是从A沿直线步行到C，线路2是先从A沿直线步行到景点B处，然后从B沿直线步行到C．现有甲、乙两位游客从A处同时出发匀速步行，甲的速度是乙的速度的倍，甲走线路2，乙走线路1，最后他们同时到达C处．经测量，AB＝1 040 m，BC＝500 m，则sin∠BAC等于________． 【答案】 【分析】设乙的速度为x m/s，根据正弦定理列式＝，可得AC＝1 260 m，再由余弦定理求解即可. 【详解】依题意，设乙的速度为x m/s， 则甲的速度为x m/s， 因为AB＝1 040 m，BC＝500 m， 所以＝，解得AC＝1 260 m． 在△ABC中，由余弦定理得， cos∠BAC＝＝＝， 所以sin∠BAC＝＝＝． 故答案为：. 20．重庆奉节小寨天坑景区拥有世界上深度和容积最大的岩溶漏斗，吸引大量游客来此参观留影.为了测量天坑边上如图1所示的，两点间的距离，现在旁边取两点，测得米，，，（假设，，四点在同一平面上，则两点的距离为______米. 【答案】 【分析】画出图形，在三角形中，结合正余弦定理即可解决. 【详解】如图所示：在中，，， ，， 由正弦定理得：，解得，在中，，，， ，所以，在中，由余弦定理得， ，所以 所以两点的距离为. 故答案为： 三、解答题:本大题共4小题，每题10分，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 21．已知两个电流瞬时值函数解析式分别是，，求合成后的电流的函数解析式． 【答案】，其中. 【分析】利用和差公式展开，整理后再使用辅助角公式化简即可. 【详解】因为，， 所以 ，其中. 22．如图所示，某炮兵阵地位于点，两观察所分别位于，两点，已知为等边三角形，且.当目标出现在点时，测得，，求炮兵阵地与目标的距离是多少. 【答案】 【分析】根据正弦定理，余弦定理即可求解. 【详解】∵，， ∴. 在中，由正弦定理得 ， 即， ∴. 又∵， ， ∴在中，由余弦定理得 ， ∴， 即炮兵阵地与目标的距离是. 23．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c已知，． (1)若，求的值和的面积； (2)在（1）的条件下，求的值； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据余弦定理列式算出a，利用同角三角函数的基本关系算出，结合三角形的面积公式算出答案. （2）先由二倍角的三角函数公式算出，，再根据两角和的余弦公式算出的值. 【详解】（1）在中，有余弦定理得， 化简得，解得或 （舍），所以. 因为，，，得. 所以的面积=. （2）因为，， 所以，， 所以==. 24．如图，保定市某中学在实施“五项管理”中，将学校的“五项管理”做成宣传牌（CD），放置在教学楼的顶部（如图所示），该中学数学活动小组在山坡的坡脚A处测得宣传牌底部D的仰角为60°，沿该中学围墙边坡AB向上走到B处测得宣传牌顶部C的仰角为45°．已知山坡AB的坡度为． (1)求点B距水平面AE的高度BH； (2)求宣传牌CD的高度．（结果保留根号） 【答案】(1)2m (2) 【分析】（1）根据坡度比以及勾股定理即可求解， （2）根据锐角三角形的边角关系即可结合图形关系进行求解. 【详解】（1）由于所以, 设，则， 所以 （2）过点作，垂足为,则, 在中， 又， 故宣传牌CD的高度为， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $