专题1.3 不等式（讲义）-2027年湖南省（对口招生考试）《数学一轮讲练测》（原卷版+解析版）

编写说明：2027年湖南省对口招生《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年湖南省对口招生考试 《数学一轮讲练测》复习讲义 专题1.3 ·不等式 【复习目标】 1.理解不等式的基本性质。 2.掌握区间的概念。 3.掌握一元二次不等式的解法。 4.了解含绝对值的不等式[|ax+b|＜c(或＞c)]的解法。 5.掌握从实际问题中抽象出一元二次不等式模型解决简单实际问题的方法。 【考点1 不等式的性质和一元二次不等式】 1.不等式的基本性质 性质 性质内容 特别提醒 对称性 a>b⇔ ⇔ 传递性 a>b，b>c⇒ ⇒ 可加性 a>b⇔ ⇔ 可乘性 a>b且c>0⇒ 注意c 的符号 a>b且c<0⇒ 同向可加性 a>b且c>d⇒ ⇒ 同向同正 可乘性 a>b>0且c>d>0⇒ ⇒ 可乘方性 a>b>0⇒ (n∈N，n≥1) a，b同 为正数 可开方性 a>b>0⇒> (n∈N，n≥2) a，b同为正数 2.一元二次不等式 (1)一元二次不等式的解法 ①将不等式的右边化为零，左边化为二次项系数 零的不等式ax2＋bx＋c>0(a>0)或ax2＋bx＋c<0(a>0)． ②计算相应的 . ③当 时，求出相应的一元二次方程的根． ④利用二次函数的图象与x轴的 确定一元二次不等式的解集． (2) 三个二次之间的关系 判别式 Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0 二次函数 y＝ax2＋bx＋c (a>0)的图象 一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0 (a>0)的根 有 实 根x1，x2 (x1<x2) 有 实根x1＝x2 ＝－ 实数根 ax2＋bx＋c>0 (a>0)的解集 ax2＋bx＋c<0 (a>0)的解集 【即时训练】 一、单选题 1．下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 2．“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．若，且，则一定有（     ） A． B． C． D．m为任意实数 4．不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 5．不等式的解集是（   ） A． B． C．或 D． 6．若不等式的解集为，则b的值为（    ）． A．4 B．5 C．6 D．3 7．设，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 二、填空题 8．若，则_______．（用“>”或“<”或“=”填空） 9．不等式的解集是________________． 10．已知关于x的不等式的解集为，则实数m的取值范围是______． 11．已知集合，集合，则______. 12．若函数，则不等式的解集为______. 13．不等式的解集用区间表示是________________． 三、解答题 14．比较与的大小. 15． 若关于x的一元二次方程没有实数根，求实数k的取值范围． 16．已知函数． (1)当时，求关于x的不等式的解集； (2)求关于x的不等式的解集； 17．计算不等式： （1） （2） 【考点2 含绝对值的不等式】 |ax＋b|≤c(c>0)和|ax＋b|≥c(c>0)型不等式的解法 ①|ax＋b|≤c⇔－c≤ax＋b≤c； ②|ax＋b|≥c⇔ax＋b≥c或ax＋b≤－c. 【即时训练】 一、单选题 1．已知关于的不等式的解集为，则的值为（    ） A．3 B．1 C．4 D．2 2．设甲：，乙：，则（ ） A．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B．甲是乙的必要条件但不是充分条件 C．甲是乙的充要条件 D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 3．不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 4．“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．既不充分也不必要条件 D．充要条件 5．不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 6．不等式的解集是_____（用区间表示）. 7．不等式的解集为，则_____. 8．不等式的解集是__________ 9．是的___________条件. 10．不等式组的解集为________. 三、计算题 11．解下列不等式 (1) (2) 12．设全集，集合．求： (1)； (2)． 13．解下列不等式： (1)； (2) ． 14． 设全集为R，，求． 15． 已知的解集为，求的解集. 16．设，，若，求a的取值范围. 1．（2025湖南对口升学考试第4题）已知，则“”是“”的（　　） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 2．（2023湖南对口升学考试第2题）不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 3．（2022湖南对口升学考试第7题）不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 4．（2021湖南对口升学考试第6题）不等式的解集是（    ） A． B． C． D．或 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2027年湖南省对口招生《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年湖南省对口招生考试 《数学一轮讲练测》复习讲义 专题1.3 ·不等式 【复习目标】 1.理解不等式的基本性质。 2.掌握区间的概念。 3.掌握一元二次不等式的解法。 4.了解含绝对值的不等式[|ax+b|＜c(或＞c)]的解法。 5.掌握从实际问题中抽象出一元二次不等式模型解决简单实际问题的方法。 【考点1 不等式的性质和一元二次不等式】 1.不等式的基本性质 性质 性质内容 特别提醒 对称性 a>b⇔ b<a　 ⇔ 传递性 a>b，b>c⇒ a>c　 ⇒ 可加性 a>b⇔ a＋c>b＋c　 ⇔ 可乘性 a>b且c>0⇒ ac>bc　 注意c 的符号 a>b且c<0⇒ ac<bc　 同向可加性 a>b且c>d⇒ a＋c>b＋d　 ⇒ 同向同正 可乘性 a>b>0且c>d>0⇒ ac>bd　 ⇒ 可乘方性 a>b>0⇒ an>bn　 (n∈N，n≥1) a，b同 为正数 可开方性 a>b>0⇒> (n∈N，n≥2) a，b同为正数 2.一元二次不等式 (1)一元二次不等式的解法 ①将不等式的右边化为零，左边化为二次项系数 大于　零的不等式ax2＋bx＋c>0(a>0)或ax2＋bx＋c<0(a>0)． ②计算相应的 判别式　. ③当 Δ≥0　时，求出相应的一元二次方程的根． ④利用二次函数的图象与x轴的 交点　确定一元二次不等式的解集． (2) 三个二次之间的关系 判别式 Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0 二次函数 y＝ax2＋bx＋c (a>0)的图象 一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0 (a>0)的根 有 两相异　实 根x1，x2 (x1<x2) 有 两相等　 实根x1＝x2 ＝－ 没有　 实数根 ax2＋bx＋c>0 (a>0)的解集 {x|x>x2或　 x<x1}　 {x|x∈R　 且x≠x1}　 R　 ax2＋bx＋c<0 (a>0)的解集 {x|　 x1<x<x2}　 ∅　 ∅　 【即时训练】 一、单选题 1．下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【分析】根据不等式的基本性质判断选项即可. 【详解】A:若，当时，不等号方向改变，，所以A选项错误， B:若，当，时，不等号方向改变，，所以B选项错误， C:若，则，则，所以C选项正确， D:若，不等式两边减一个相同的数，不等号方向不变，所以，所以D选项错误. 故选:C. 2．“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据必要不充分的定义和不等式的基本性质分析. 【详解】当时，，故“” “”. 当时，不等式两边同时乘以，得到，即“” “”. “”是“”的必要不充分条件. 故选：B． 3．若，且，则一定有（     ） A． B． C． D．m为任意实数 【答案】B 【分析】根据不等式的性质求解m的范围即可. 【详解】若，则有， 又因为，则有， 所以. 故选：B. 4．不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据一元二次不等式的解集求解即可. 【详解】不等式，解得或. 故不等式的解集是. 故选：B. 5．不等式的解集是（   ） A． B． C．或 D． 【答案】D 【分析】根据一元二次不等式的求解方法求解即可. 【详解】因为不等式， 所以， 解得. 所以不等式的解集为. 故选：D. 6．若不等式的解集为，则b的值为（    ）． A．4 B．5 C．6 D．3 【答案】B 【分析】根据一元二次不等式的解集求解参数即可. 【详解】因为不等式的解集为. 所以是方程的解. 所以. 故选：B. 7．设，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】由充分、必要条件结合一元二次不等式解法判断即可. 【详解】由，可解得， 因为，不能推出， 而，可以推出， 所以设，则“”是“”的必要不充分条件. 故选：B. 二、填空题 8．若，则_______．（用“>”或“<”或“=”填空） 【答案】 【分析】根据不等式的性质即可得解. 【详解】因为，则， 故答案为：. 9．不等式的解集是________________． 【答案】 【分析】根据一元二次不等式的解法，以及判别式确定解集即可. 【详解】不等式可化为， 方程中的 ， 故不等式解集为. 故答案为：. 10．已知关于x的不等式的解集为，则实数m的取值范围是______． 【答案】 【分析】先将不等式化简，再根据解集为空集，分析求参数. 【详解】将不等式化简，得到， 进一步化简，. . 因为， 若不等式解集为，则，得到. 故答案为： 11．已知集合，集合，则______. 【答案】 【分析】先由一元二次不等式的解法可得，再结合交集的运算即可得解. 【详解】解不等式得，即 又，则， 故答案为：. 12．若函数，则不等式的解集为______. 【答案】 【分析】先由分段函数求出，再按分段函数的定义域分类讨论，解不等式即可. 【详解】由函数可得， ， 当时，由，可得， 即，解得或， 因为，所以或； 当时，由，可得， 解得，因为，所以； 综上，不等式的解集为. 故答案为：. 13．不等式的解集用区间表示是________________． 【答案】 【分析】根据一元二次不等式的解法求解. 【详解】不等式可化为， 即，解得或， 故不等式的解集为． 故答案为：． 三、解答题 14．比较与的大小. 【答案】 【分析】利用作差法比较代数式的大小. 【详解】因为, 所以. 15．若关于x的一元二次方程没有实数根，求实数k的取值范围． 【答案】． 【分析】根据二次函数开口方向和实数根个数易得答案. 【详解】由题意得根的判别式，     解得． 故所求实数k的取值范围是． 16．已知函数． (1)当时，求关于x的不等式的解集； (2)求关于x的不等式的解集； 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）根据题意，将代入函数解析式，结合二次不等式的解法，即可求解； （2）根据题意，结合含参数的二次不等式的解法，分类讨论a和1 的大小关系，即可求解； 【详解】（1）因为， 当时，， 所以或， 即时，不等式的解集为； （2）由题意得， 即， 当时，，不等式的解集为； 当时，不等式为，故不等式的解集为； 当时，，不等式的解集为； 即当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 17．计算不等式： （1） （2） 【答案】 (2) 【分析】根据一元二次不等式基本解法，即可求解. 【详解】（1）， 整理得，解得， 所以不等式的解集为. （2）因为在方程中， 所以方程无解，所以方程与x轴没有交点， 又函数的图像为开口向上的抛物线， 所以不等式的解集为. 【考点2 含绝对值的不等式】 |ax＋b|≤c(c>0)和|ax＋b|≥c(c>0)型不等式的解法 ①|ax＋b|≤c⇔－c≤ax＋b≤c； ②|ax＋b|≥c⇔ax＋b≥c或ax＋b≤－c. 【即时训练】 一、单选题 1．已知关于的不等式的解集为，则的值为（    ） A．3 B．1 C．4 D．2 【答案】B 【分析】根据绝对值不等式的解法求解即可. 【详解】不等式，等价于，解得. 因为解集为，所以，解得， 所以. 故选：B. 2．设甲：，乙：，则（ ） A．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B．甲是乙的必要条件但不是充分条件 C．甲是乙的充要条件 D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 【答案】A 【分析】解含绝对值的不等式结合充分条件与必要条件的定义即可得解. 【详解】，解得或， 则当时，成立，故甲是乙充分条件； 当时，则或，故甲不是乙的必要条件， 所以甲是乙的充分条件但不是必要条件， 故选：. 3．不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由绝对值不等式直接求解即可. 【详解】因为，又因为，所以，即， 所以不等式的解集是. 故选：C. 4．“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．既不充分也不必要条件 D．充要条件 【答案】D 【分析】根据绝对值不等式和一元二次不等式的解法，以及充要条件的定义判断即可. 【详解】由可得：或， 由可得：：或， 则“”是“”的充要条件. 故选：D. 5．不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由含绝对值不等式的解法即可得解. 【详解】可化为或， 解得或，故此不等式的解集为. 故选：C. 二、填空题 6．不等式的解集是_____（用区间表示）. 【答案】 【分析】根据含有绝对值的不等式的解法求解即可. 【详解】由已知得或，解得或， 所以不等式的解集是. 故答案为：. 7．不等式的解集为，则_____. 【答案】1 【分析】根据题意，结合绝对值不等式的解法，即可求解. 【详解】因为不等式的解集不是， 所以， 所以，即， 又因为不等式的解集为， 所以. 故答案为：1. 8．不等式的解集是__________ 【答案】 【分析】由题意知，利用不等式的可乘方性，两边同时平方，将绝对值不等式转化为关于的一元二次不等式求解即可. 由题意可知， 将不等式两边同时平方可得， 整理可得，即. 解得. 所以原不等式的解集为. 故答案为： 9．是的___________条件. 【答案】充分但不必要 【分析】根据题意，结合绝对值不等式的解法，及充分性、必要性的概念，即可求解. 【详解】若，则一定成立，故充分性成立； 若，则或，故必要性不成立； 故是的充分但不必要条件. 故答案为：充分但不必要. 10．不等式组的解集为________. 【答案】 【分析】利用含绝对值以及一元一次不等式的解法，求解即可. 【详解】不等式组， 所以不等式组的解集为. 故答案为：. 三、计算题 11．解下列不等式 (1) (2) 【答案】(1)或. (2). 【分析】（1）根据一元二次不等式的解法求解. （2）根据不含参数的绝对值不等式求解. 【详解】（1）， 即或. （2）可转化为， 解得. 12．设全集，集合．求： (1)； (2)． 【答案】(1)或 (2)或 【分析】根据集合的运算性质结合数轴即可求解 【详解】（1）全集， 集合 ， 则， 结合数轴可得：或； （2） 或， 得或 则或， 结合数轴可得：或. 13．解下列不等式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据一元二次不等式的解法求解； （2）根据绝对值不等式的解法求解． 【详解】（1）方程中， 方程的根分别为， 故不等式的解集为． （2）不等式化简为，即， 解得， 故不等式的解集为． 14．设全集为R，，求． 【答案】或， 【分析】利用一元二次不等式及含有绝对值不等式的解法求出集合A，集合B，再利用集合的基本运算即可求出答案． 【详解】∵全集为R， ，，，集合， ，，或，集合或， ∴或， ，. 15．已知的解集为，求的解集. 【答案】 【分析】根据一元二次方程和一元二次不等式之间的关系求出、的值，然后再带入含绝对值的不等式计算. 【详解】因为不等式的解集为, 所以、为方程的解, 即和,解得,. 因为,代入为,即 所以或,解得或, 即不等式的解集为 16．设，，若，求a的取值范围. 【答案】 【分析】解一元二次不等式将集合，化简，结合题意列出不等式即可得解. 【详解】由题意知或， ， 因为， 所以，则. 1．（2025湖南对口升学考试第4题）已知，则“”是“”的（　　） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据题意，结合不等式的性质，及充分性和必要性的概念，即可判断求解. 【详解】若，又，那么一定成立，即充分性成立； 若，又恒成立，所以，即必要性成立. 所以“”是“”的充要条件. 故选：A. 2．（2023湖南对口升学考试第2题）不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由一元二次不等式解法直接求解即可. 【详解】不等式，即， 解得， 所以的解集是. 故选：A 3．（2022湖南对口升学考试第7题）不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】解含绝对值的不等式. 【详解】， 即或， 解得或. 故选：B. 4．（2021湖南对口升学考试第6题）不等式的解集是（    ） A． B． C． D．或 【答案】C 【分析】根据绝对值的几何意义去绝对值即可求解. 【详解】由可得：，解得：， 所以原不等式的解集为：， 故选：C. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $