专题33 两直线的位置关系与距离公式（讲义）-2027年浙江省（单独招生考试）《数学一轮讲练测》（原卷版+解析版）

编写说明：2027年浙江省（单独招生考试）《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年浙江省单独招生考试 《数学一轮讲练测》复习讲义 专题33 两直线的位置关系与距离公式 【复习目标】 1.熟记相交、平行、重合、垂直4 种位置关系判定条件，分斜率存在与斜率不存在（竖直线、水平线）两类讨论； 2.熟练用斜截式一般式判断平行、垂直，分清平行≠重合易错点。 3.会联立直线方程组求交点坐标：一解相交、无解平行、无穷多解重合，能通过方程组解的个数判断位置关系。 4.掌握并会求点到直线的距离公式、两点间的距离公式以及平行线间的距离公式. 1、 【知识清单】 1.两条直线平行与垂直的判定 （1）两条直线平行与斜率的关系 设两条不重合的直线，倾斜角分别为，斜率存在时斜率分别为.则对应关系如下： 前提条件 α1＝α2≠90° α1＝α2＝90° 对应关系 l1∥l2⇔k1＝k2 l1∥l2⇔两直线斜率都不存在 图示 （2）两条直线垂直与斜率的关系 对应关系 l1与l2的斜率都存在，分别为k1，k2，则l1⊥l2⇔k1·k2＝－1 l1与l2中的一条斜率不存在，另一条斜率为零，则l1与l2的位置关系是l1⊥l2 图示 2.线段的中点坐标公式 若点坐标分别为，设是线段的中点， 则 ， 3.两直线交点与两点间距离 （1）两条直线的交点 已知两直线.若两直线方程组成的方程组 有惟一解则两直线相交，交点坐标为 （2）两点间的距离 (1)平面上的两点)间的距离公式 (2)两点间距离的特殊情况 ①原点O(0,0)与任一点P(x，y)的距离|OP|＝ . ②当∥轴()时， ③当∥y轴()时， 4.两平行直线间距离 （1）点到直线的距离 ①概念：过一点向直线作垂线，则该点与 垂足 之间的距离，就是该点到直线的距离． ②公式：点到直线的距离 （2）两条平行直线间的距离 ①概念：夹在两条平行直线间的 共垂线段 长度就是两条平行直线间的距离． ②求法：两条平行直线间的距离转化为 点到直线 的距离． ③公式：两条平行直线与之间的距离 d＝ . 二、【技巧归纳】 1.直线位置判断“三步法” （1） 先看斜率是否存在（竖线单独判） （2）有斜率：算→ 平行、垂直或相交 （3）一般式：算与 2. 平行、垂直直线方程速写 （1）平行于：设（） （2）垂直于：设（） （3）平行于 ：设 （4）垂直于：设 3. 距离计算“标准化” (1)点到直线：先化一般式，再代公式 (2)平行线距离：先统一 系数，再套公式 4. 速记口诀 · 平行：等截不等，系等常数异 · 垂直：斜率积，系数和为 · 距离：点线一般式，平行线同系数 三、【考点清单】 考点1 直线平行与垂直的判定 【典例1】（2026届浙江省职教高考研究联合体适应性考试）直线与直线的位置关系是（   ） A．相交但不垂直 B．垂直 C．平行 D．重合 【答案】B 【知识点】由斜率判断两条直线垂直 【分析】由两直线的位置关系即可判断. 【详解】∵ ∴直线与直线互相垂直. 故选：B. 【即时训练】 1.（2025届浙江省丽水、衢州、湖州市中职学校高三质量检测）直线与直线的位置关系是（   ） A．平行 B．垂直 C．重合 D．相交但不垂直 【答案】D 【知识点】直线的一般式方程及辨析、直线的斜截式方程及辨析、由斜率判断两条直线垂直、由斜率判断两条直线平行 【分析】通过两条直线的斜率判断两条直线的位置关系. 【详解】因为直线的斜率，直线的斜率， 则，又，所以这两条直线是相交但不垂直． 故选：D． 2.（2022届浙江省嘉兴市高三高职考第一次模拟考试）下列四组直线中，互相平行的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】D 【知识点】由斜率判断两条直线平行 【分析】根据两直线平行的条件可知，A、B、C错误；D选项中的两条直线斜率相等，且纵截距不相等，故它们互相平行. 【详解】解：对于A，直线的斜率，直线的斜率，，故两直线不平行； 对于B，直线的斜率，直线的斜率，，故两直线不平行； 对于C，直线的斜率，直线的斜率，，故两直线不平行； 对于D，直线的斜率，直线的斜率，，且两直线的纵截距不相等，故两直线平行. 故选：D. 3. 直线与的位置关系为（    ） A．平行 B．重合 C．相交且不垂直 D．垂直 【答案】A 【知识点】由斜率判断两条直线平行 【分析】根据直线方程的斜率与截距即可求解. 【详解】由题意得，等价于， 则，所以. 故选：A. 4. 下列各组直线互相垂直的是（    ）． A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】D 【知识点】由斜率判断两条直线垂直 【分析】当两直线斜率存在时，利用斜率判断两直线垂直；当其中一直线不存在时，由一条直线垂直轴，另一直线垂直轴判断两直线垂直. 【详解】A项，，斜率；，斜率． ∵，∴两条直线不垂直，故A项错误. B项，，斜率；，斜率． ∵，∴两条直线不垂直，故B项错误． C项，与，两直线斜率都不存在，故两直线均与x轴垂直， ∴两条直线平行，故C项错误． D项，，斜率；，斜率． ∵，∴两条直线垂直，故D项正确． 故选：D. 考点2 求倾斜角、斜率与直线方程 【典例2】（2025届浙江省职教高考高三第五次模拟考试）已知直线l与直线平行，则直线l的斜率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】直线的一般式方程及辨析、由斜率判断两条直线平行 【分析】根据题意，将直线的一般式方程，化为斜截式方程，求出直线的斜率，根据两直线平行斜率相等，即可求解. 【详解】因为直线化为斜截式方程为， 所以直线的斜率为， 又直线l与直线平行， 所以直线l的斜率为. 故选：D. 【即时训练】 5.（2025届浙江省中职单独考试温州市二模）若直线与直线平行，则直线的斜率为（    ） A． B． C． D．3 【答案】D 【知识点】已知直线平行求参数 【分析】根据直线平行斜率相等即可求解. 【详解】直线的斜率为， 又直线与直线平行，所以直线的斜率为， 故选：D. 6.（2026届浙江省温州市高三中职单独考试一模）已知直线过点，且与直线垂直，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】由两条直线垂直求方程 【分析】首先设与直线垂直的直线方程为，再将点代入求出的值即可. 【详解】设与直线垂直的直线方程为， 将点代入得， 解得，所以直线的方程为， 故选：B. 7.（2026届浙江省宁波市职教高考高三第一次模拟考试）与直线平行且过点的直线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】由两条直线平行求方程 【分析】由两直线平行可设所求直线为，再将点代入计算即可. 【详解】由题意可设，与直线平行的直线方程为， 又该直线过点，可得，解得， 故所求直线方程为. 故选：B. 8.（2022届浙江省职教高考研究联合体第五次联合考试）已知直线与平行，则直线的倾斜角大小为______. 【答案】135° 【知识点】由斜率判断两条直线平行、斜率与倾斜角的变化关系 【分析】根据两条直线平行斜率相等. 【详解】因为的斜率. 所以直线的斜率为,倾斜角为. 故答案为：. 考点3 由位置关系求参数 【典例3】（2026届浙江省衢州、丽水、湖州市高职三模）若直线与平行，则实数a的值为（    ）. A．2 B．6 C．2或 D． 【答案】D 【知识点】已知直线平行求参数 【分析】根据题意结合两条直线平行的性质即可得解. 【详解】直线与平行， 则，，即，解得或， 当时，，符合题意； 当时，，不符合题意， 所以， 故选：. 【即时训练】 9.（2025届浙江省职教高考复习高三第二次模拟考试）已知经过点和的直线与直线平行，则的值为（    ） A． B．5 C． D． 【答案】A 【知识点】已知直线平行求参数、已知两点求斜率 【分析】若直线斜率存在，由两直线平行时斜率相等求解即可. 【详解】因为经过点和的直线与直线平行， 所以，解得． 故选：A． 10.（2025届浙江省职教高考复习高三摸底考试）已知直线与直线平行，则的值为（    ） A． B． C． D．2 【答案】A 【知识点】已知直线平行求参数 【分析】根据两条直线平行的条件列方程求解即可. 【详解】已知直线与直线平行， 则，解得. 故选：A. 11.（2025届浙江省宁波市职教高考高三第一次模拟）已知直线和互相平行，则实数m只能是（   ） A．或 B． C． D． 【答案】B 【知识点】已知直线平行求参数 【分析】根据两直线平行列出等式求出参数即可解得. 【详解】由题，直线和平行， 当时，易知两直线不平行； 当时，， 解得. 故选：B. 12.（2026届浙江省职教高考研究联合体第五次联考）已知直线与直线垂直，则实数（   ） A．0.8 B．1.2 C． D． 【答案】D 【知识点】已知直线垂直求参数 【分析】根据两条直线垂直的性质列出方程即可得解. 【详解】∵直线与直线垂直， ，解得， 故选：. 13.（2026届浙江省新昌技师学院（挂新昌职业高级中学牌子）高三高职单独考试模拟）直线与相互垂直，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】已知直线垂直求参数、二倍角的正弦公式 【分析】利用直线垂直的性质得到关于的三角函数等式，再利用三角函数的倍角公式即可得解. 【详解】因为直线与相互垂直， 所以，得， 则. 故选：C. 14.（2023届浙江省职教高考研究联合体适应性考试）若直线与直线平行，则___________. 【答案】 【知识点】已知直线平行求参数 【分析】根据两直线平行求解即可. 【详解】在斜率均存在的情况下，若两直线平行，则斜率相等， 设直线的斜率为，直线的斜率为， 所以. 故答案为：. 15.（2022届浙江省高职考试研究联合体第四次调研）已知点A的坐标为，点B的坐标为，直线l：为线段的中垂线，则____________. 【答案】 【知识点】已知直线垂直求参数 【分析】由线段中点的坐标,中垂线的定义,直线倾斜角与斜率的关系即可求解. 【详解】 如图所示: 令线段AB的中点. 由点,点则. ,. 所以点. 根据中垂线的定义:经过一条线段的中点并且垂直与这条线段的直线，叫做这条线段的中垂线. 直线过，则. . 由图像可知线段轴,则直线平行于轴,倾斜角为,故. 所以:. 则:. 故答案为:. 考点4 重合与相交 【典例4】1.（2026届浙江省温州市中职单独招生单独考试第二次模拟）若直线与直线有公共点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】已知直线平行求参数 【分析】根据题意求出两条直线平行时的值，即可得解. 【详解】当直线与直线平行时， 则，解得， 当两条直线不平行时，就会有公共点， 所以直线与直线有公共点，则的取值范围是， 故选：. 【即时训练】 16.（2023届浙江省绍兴市柯桥区职教高三高考模拟）方程表示的图形是（   ） A．两条相交直线 B．两条平行直线 C．一个圆 D．一个点 【答案】A 【知识点】两直线相交 【分析】化简方程得到，可以判断图形. 【详解】由方程得到 可得或， 两个方程代表的两条直线，且相交于原点， 故其图形是两条相交的直线. 故选：A. 17.（2026届浙江省职教高考研究联合体第五次联考）已知直线与直线的交点在轴的上方，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】由直线的交点坐标或交点坐标个数求参数或方程 【分析】先求出两直线的交点坐标，再根据交点在轴上方这一条件确定的取值范围. 【详解】已知直线与直线相交， 将代入中，可得交点的纵坐标， 所以两直线的交点坐标为， 因为交点在轴的上方，所以，解得， 所以实数的取值范围是. 故选：B. 18.（2023届浙江省单招单考高三考前适应性练习）无论取任何实数，直线恒过定点（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】直线交点系方程及应用 【分析】将直线进行整理即可求解定点. 【详解】直线， 所以直线恒过定点. 故选：A. 19. 直线与直线的位置关系是（   ） A．重合 B．相交但不垂直 C．垂直 D．平行 【答案】B 【知识点】由斜截式方程判断直线的垂直、由斜截式方程判断直线的平行、两直线相交、两直线重合 【分析】根据两条直线的方程分别求解出两直线的斜率，然后根据两直线的斜率关系判断两直线的位置关系. 【详解】直线的斜截式方程为:,所以其斜率为:, 直线的斜截式方程为：,所以其斜率为：, 因为,且, 所以两直线的位置关系为:相交但不垂直. 故选:B 20. 两直线和的位置关系是（    ） A．平行 B．垂直 C．相交但不垂直 D．不确定 【答案】C 【知识点】两直线相交、由斜率判断两条直线垂直、由斜率判断两条直线平行 【分析】由两条直线的斜率之间的关系判断两直线的位置关系即可. 【详解】已知直线的斜率. 直线的斜率. 则有，且， 所以两条直线相交但不垂直. 故选：C. 21. 已知直线的倾斜角为，直线经过点、，则直线、的位置关系是（ ） A．平行或重合 B．平行 C．垂直 D．重合 【答案】A 【知识点】两直线重合、由斜率判断两条直线平行、已知两点求斜率、直线斜率的定义 【分析】根据倾斜角和直线上的两点求解斜率，根据斜率即可判断位置关系. 【详解】由题意可知直线的斜率， 直线的斜率． 因为，所以，或、重合． 故选：A. 22. 若关于，的方程组无解，则实数为（ ） A． B．3 C．3或 D．1或 【答案】B 【知识点】方程组的解、两直线重合 【分析】将方程组进行消元，再对消元后的方程的解进行讨论可得所求值. 易知当时，方程组有解，不满足题意； 当时，方程组消去y得，， 当时，方程无解，所以原方程组无解，符合题意； 当时，方程的解集为，此时原方程组有无数多组解，不符合题意，故. 故选：B. 23. 若两条直线与重合，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】两直线重合 【分析】根据两直线重合需满足的条件即可列式求解. 【详解】两条直线与重合， 即直线与重合， 当时，即时，两直线，不重合，故不符合题意； 同理时，不满足题意， 所以，则，解得， 经检验，满足题意， 综上所述，. 故选：C. 24. 知两条直线，，若与相交，则实数a满足的条件是_______. 【答案】 【知识点】两直线相交 【分析】在同一个平面内两条直线不平行就相交，由两条直线的斜率关系得到答案. 【详解】直线的斜率为，直线的斜率为. 因为与相交，所以，即. 故答案为：. 考点5 中点公式与两点间距离公式 【典例5】（2024届浙江省单独招生考试文化考试三市（临海、温岭、玉环）联合模拟考试）已知直线：与两坐标轴交于，两点，则（    ） A．1 B． C．2 D．5 【答案】B 【知识点】求平面直角坐标系中两点间的距离、直线的一般式方程及辨析 【分析】利用直线的一般式方程化为截距式，求出点，的坐标，再利用两点间的距离公式求解. 【详解】直线的截距式为. 故选：B. 【即时训练】 25.（2023届浙江省单招单考高三考前适应性练习）点和点关于下列哪条直线对称（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】线段中点的坐标、由两条直线垂直求方程、直线的一般式方程及辨析、已知两点求斜率 【分析】先求出直线AB的方程，再根据垂直平分线即可求解. 【详解】已知点和点， 则，中点为，即， 所以直线AB的方程为，整理得， 若点和点关于某条直线对称， 则此直线必为直线AB的垂直平分线， 可知此直线的斜率为，且过点， 又，整理得， 所以点和点关于直线对称. 故选：C. 26.（2024届浙江省嘉兴市中等职业学校高三第一次模拟）的三个顶点为，，，则边上的中线的长度为（    ） A．2 B．4 C． D．8 【答案】C 【知识点】线段中点的坐标、求平面直角坐标系中两点间的距离 【分析】先求中点坐标,再根据两点间距离公式易得答案. 【详解】由题意得边上的中点坐标,即, 边上的中线的长度为. 故选:C. 27. 已知点，则线段的垂直平分线一定过点（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】线段中点的坐标、由两条直线垂直求方程、已知两点求斜率 【分析】求出线段的垂直平分线的方程，再根据选项代入验证即可. 【详解】因为点，所以的中点坐标，直线的斜率为， 所以垂直平分线方程：，即， 选项A，当时，，不符， 选项B，当时，，符合， 选项C，当时，，不符， 选项D，当时，，不符. 故选：B. 28. 若点关于直线对称的点坐标，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】线段中点的坐标、直线的点斜式方程及辨析、已知直线垂直求参数、已知两点求斜率 【分析】根据题意，直线过两对称点的中点，且垂直于两点所在的直线，结合中点坐标公式，及两直线垂直，斜率乘积为，利用点斜式方程，即可求解. 【详解】由题意，设点关于直线对称的点坐标为， 所以点的中点坐标为，即， 又直线的斜率， 所以直线的斜率， 所以直线的方程为，即. 故选：D. 29. 已知点的距离为5，则a等于（    ） A． B．7 C．1 D．或7 【答案】D 【知识点】由距离求参数或点的坐标 【分析】由已知，根据两点间的距离公式，列式可求解. 【详解】由已知，根据两点间的距离公式，可得 ，解得或. 故选：D. 30. 若点和点关于点对称，则点到原点的距离是（    ） A． B．2 C． D．3 【答案】A 【知识点】线段中点的坐标、求平面直角坐标系中两点间的距离 【分析】根据中点坐标公式求出的值，再利用两点之间距离公式求解. 【详解】由题意可知，点是的中点，于是, 解得，则点的坐标为， 因此，点到原点的距离为. 故选：A. 31.（2026届浙江省新昌技师学院高考第一次模拟测试）已知的三个顶点为，分别是的中点．求： (1)的长； (2)的面积. 【答案】(1) (2) 【知识点】求点到直线的距离、求平面直角坐标系中两点间的距离、直线的点斜式方程及辨析 【分析】（1）利用两点间距离求出，然后由求出结果. （2）求出直线的方程及点直线的距离，利用三角形面积公式求出答案. 【详解】（1）已知，，所以. 因为分别是的中点， 所以. （2）已知，， 则直线的斜率为， 则直线的方程为，即， 点直线的距离， 所以. 考点6 点到直线距离与平行线间距离 【典例6】（2025届浙江省温州市三模）直线l：，动点P到直线l的距离始终为2，则点P的轨迹方程为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【知识点】已知点到直线距离求参数 【分析】设点P的坐标为，再由点到直线的距离公式列方程即可. 【详解】设点P的坐标为， 已知直线l：， 由点P到直线l的距离始终为2， 可得，即， 则或 所以点P的轨迹方程为或. 故选：C. 【典例7】（2024届浙江省职教高考嘉兴、宁波地区高三第三次模拟考试）已知正方形的一组对边所在的直线方程为和，另一组对边所在的直线方程为和，则______． 【答案】 【知识点】求平行线间的距离 【分析】利用正方形的性质结合两条平行直线间的距离公式，列式即可求得. 【详解】正方形的一组对边所在的直线方程分别为和， 另一组对边所在的直线方程分别为和，   根据正方形的两组对边间的距离相等，可得，所以. 故答案为：. 【即时训练】 32.（2024届浙江省职教高考研究联合体高三第四次联合考试数）若点到直线的距离为，则实数（    ） A．或1 B．或 C．1 D． 【答案】A 【知识点】已知点到直线距离求参数 【分析】根据点到直线的距离公式即可求解. 【详解】由题意得，，解得. 故选：A. 33.（2025届浙江省职教高考高三第五次模拟考试）若直线是圆的一条对称轴，则圆心到直线的距离为（   ） A． B． C．3 D．4 【答案】C 【知识点】由直线与圆的位置关系求参数、求点到直线的距离 【分析】将圆心代入直线求出圆心坐标，再由点到直线距离求解即可. 【详解】直线是圆的一条对称轴， 即圆心在直线上，圆的圆心坐标为， 可得，解得， 所以圆心到直线的距离为. 故选：C. 34.（2023届浙江省职教高考联合体第一次联合考试数学试题）坐标原点到直线的距离为（    ） A．0 B．5 C． D． 【答案】D 【知识点】求点到直线的距离 【分析】利用点到直线的距离公式计算即可． 【详解】坐标原点到直线的距离为． 故选：D． 35.（2026届浙江职教高考嘉兴、宁波第三次模拟考试）已知直线过，直线过，且，则和间的距离最大值为（   ） A．1 B． C．2 D．3 【答案】B 【知识点】求平行线间的距离 【分析】根据题意结合两点间距离公式即可得解. 【详解】直线过，直线过，且， 当两条平行线与连接和的直线垂直时，两条平行线的距离最大， 此时的最大距离为， 故选：. 36.（2025届浙江省职教高考嘉兴、宁波地区第三次模拟考试）已知点在直线上，点在直线上，则两点间的最小距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求平行线间的距离 【分析】由已知可得，两直线平行，求出两平行线之间的距离即可. 【详解】直线，得， 直线，得， 则， 综上所述，， 两条平行线之间的距离， 因为点在直线上，点在直线上， 则两点间的最小距离即为两平行线之间的距离. 故选：B 37.（2025届浙江省职教高考高三第三次模拟考试）直线与直线的距离是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【知识点】求平行线间的距离、直线的一般式方程及辨析、由斜率判断两条直线平行 【分析】判断出两条直线平行，代入平行线间的距离公式即可得解. 【详解】直线与直线满足， 所以两条直线平行，则两条平行线之间距离为． 故选：B． 38.（2024届浙江省温州市普通高职单独考试统一摸底测试）已知实数满足，则的最小值为（    ） A． B． C．5 D．10 【答案】B 【知识点】求平行线间的距离 【分析】利用数形结合思想，可将视为点到点的距离，又点在直线上，点在直线，两直线平行，两直线间的距离即为的最小值. 【详解】设直线为，直线为， 为直线上的动点，为直线上的动点, 则， 又因为直线，平行， 所以的最小值为两平行线之间的距离， 由两平行线距离公式可得， 所以的最小值为. 故选：B. 39.（2021届浙江省湖州市高三高职复习一模试卷）已知平行线，，则这两条直线间距离是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】求平行线间的距离 【分析】先将直线化简为同系数的情况，再利用两平行直线间的距离公式计算. 【详解】∵直线，平行， 可化为， 则这两条直线间距离是. 故选：D. 40.（2023届浙江省高职考二三轮系统性考试高三第一次模拟考试）已知直线和互相平行，则它们之间的距离为______． 【答案】 【知识点】求平行线间的距离、已知直线平行求参数 【分析】根据两直线平行满足条件，即可求出m的值，结合两平行线间的距离公式，即可求解. 【详解】因为直线和互相平行， 所以， 解得． 所以直线为， 又直线等价于， 因此两条平行直线间的距离． 故答案为：. 41.（2021届 浙江省高职考单招单考嘉兴市第二次模拟考试）原点O到直线的距离为 _______． 【答案】2 【知识点】求点到直线的距离 【分析】根据点到直线的距离公式、结合同角三角函数的基本关系即可求解. 【详解】原点到直线的距离为. 故答案为：2. 42.（2023届浙江省职教高考研究联合体适应性考试数学试题）已知两个定点，点P为x轴上的动点，则的最小值为___________. 【答案】 【知识点】求点关于直线的对称点、求平面直角坐标系中两点间的距离 【分析】先求出点关于x轴的对称点的坐标，再用两点间距离公式求解即可， 【详解】因为点的坐标为，所以点关于轴对称的点， 因为点的坐标为，所以， 所以的最小值为. 故答案为：. 43. 两条直线与平行，则它们之间的距离为________. 【答案】 【知识点】求平行线间的距离、由两条直线平行求方程 【分析】由两直线平行的条件列式求出，进而利用两直线平行的距离公式即可得解. 【详解】因为两条直线与平行， 所以，解得， 即直线为， 将直线化为， 则它们之间的距离为. 故答案为：. 44. 若直线l与直线的距离为2，则直线l的一般式方程为___． 【答案】或. 【知识点】由距离求已知直线的平行线、由两条直线平行求方程 【分析】根据题意可知两直线位置关系为平行，则可设直线，利用平行线间的距离公式构建等量关系，即可求解. 【详解】若直线l与直线的距离为2，则直线l与直线平行， 设直线，， 根据两条平行线间的距离公式， 即，∴或. ∴直线l的一般式方程为或. 故答案为：或. 45. 已知点，直线：. (1)求过点A且与直线平行的直线方程； (2)根据（1）的结论，求两条平行线间的距离. 【答案】(1) (2) 【知识点】求平行线间的距离、由两条直线平行求方程 【分析】（1）设所求直线方程为，代入点，求得即可； （2）利用两平行线间的距离公式求解. 【详解】（1）由题意，设所求直线方程为， 代入点，得，解得， 故所求直线方程为. （2）两直线分别为，， 故两平行线间的距离为：. 46. 已知两条直线；和，当时，求的值并求此时两平行线之间的距离. 【答案】；答案见解析 【知识点】求平行线间的距离、由两条直线平行求方程 【分析】根据直线的平行关系求出k的值，再根据平行线的距离公式求出其距离即可. 【详解】直线，直线， 因为，所以，， 所以. 当时，直线，直线， 两平行线之间的距离； 当时，直线，直线， 两平行线之间的距离； 综上所述：， 当时，两平行线之间的距离， 当时，两平行线之间的距离. 一、【真题溯源】 1. （2025年浙江，12）点，，若过点的直线l平行直线，则直线l的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据点A与点B的坐标求解出直线的斜率，再根据直线平行斜率相等，结合直线的点斜式即可求解直线l的方程 【详解】∵点，，直线l平行直线， ∴， ∴由点斜式方程，得直线l的方程为， 即. 故选：A. 2.（2024年浙江，6）若点到直线的距离为2，则实数（ ） A. 1 B. C. 1或 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】根据点到直线的距离公式列方程求解即可. 【详解】已知点到直线的距离为2， 则，即， 则或 解得或. 故选：C. 3. （2023年浙江，25）求过点，且与直线平行的直线方程是_____. 【答案】 【解析】 【分析】根据直线与直线平行的性质，即可求解. 【详解】由题与直线平行的直线方程， 即斜率相同，可设直线方程为， 因为经过点，代入可得， 解得，故直线方程为. 故答案为：. 4. （2022年浙江，9）两条平行直线与之间的距离为（ ） A. B. C. 5 D. 10 【答案】B 【解析】 【分析】在直线上任取一点,点到直线的距离为两平行直线的距离. 【详解】在直线上取一点, 点到直线的距离为， 即两平行直线的距离. 故选：B. 5. （2021年浙江，9）直线与坐标轴相交于，两点，则线段的长为（ ） A. B. C. 4 D. 8 【答案】A 【解析】 【分析】分别令、可求得直线与坐标轴的交点坐标，再根据两点间的距离公式可求解. 【详解】在直线中， 令，可得， 令，可得， 所以直线与坐标轴的交点坐标为. 故线段的长为. 故选：A 二、【考向感知】 1.命题总体定位 难度：纯基础与简单题，几乎不出现难题 考纲变化：2026起取消旧考纲，按中职课标命题，但直线部分考点、题型、难度基本不变 2. 题型分布：客观题绝对主力 选择题（必出1题）：3分 最爱考：垂直求参数、平行求参数、点到直线距离 填空题（0–1题）：4分 最爱考：平行线距离、点线距、平行直线方程 解答题：极少单独考，常嵌入直线与圆综合（作为第一小问） 3.高频易错点 （1）平行忘验重合（只看k相等） （2）点线距不化一般式直接代公式 （3）平行线距离系数不统一 漏讨论斜率不存在（竖线） 4.命题趋势 以基础题为主，中档题少量，无难题 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2027年浙江省（单独招生考试）《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年浙江省单独招生考试 《数学一轮讲练测》复习讲义 专题33 两直线的位置关系与距离公式 【复习目标】 1.熟记相交、平行、重合、垂直4 种位置关系判定条件，分斜率存在与斜率不存在（竖直线、水平线）两类讨论； 2.熟练用斜截式一般式判断平行、垂直，分清平行≠重合易错点。 3.会联立直线方程组求交点坐标：一解相交、无解平行、无穷多解重合，能通过方程组解的个数判断位置关系。 4.掌握并会求点到直线的距离公式、两点间的距离公式以及平行线间的距离公式. 1、 【知识清单】 1.两条直线平行与垂直的判定 （1）两条直线平行与斜率的关系 设两条不重合的直线，倾斜角分别为，斜率存在时斜率分别为.则对应关系如下： 前提条件 α1＝α2≠90° α1＝α2＝90° 对应关系 l1∥l2⇔ ⇔两直线斜率都不存在 图示 （2）两条直线垂直与斜率的关系 对应关系 l1与l2的斜率都存在，分别为k1，k2，则l1⊥l2⇔ l1与l2中的一条斜率不存在，另一条斜率为零，则l1与l2的位置关系是 图示 2.线段的中点坐标公式 若点坐标分别为，设是线段的中点， 则 ， 3.两直线交点与两点间距离 （1）两条直线的交点 已知两直线.若两直线方程组成的方程组 有惟一解则两直线相交，交点坐标为 （2）两点间的距离 (1)平面上的两点)间的距离公式 (2)两点间距离的特殊情况 ①原点O(0,0)与任一点P(x，y)的距离|OP|＝ ②当∥轴()时， ③当∥y轴()时， 4.两平行直线间距离 （1）点到直线的距离 ①概念：过一点向直线作垂线，则该点与 之间的距离，就是该点到直线的距离． ②公式：点到直线的距离 （2）两条平行直线间的距离 1 概念：夹在两条平行直线间的 长度就是两条平行直线间的距离． 2 求法：两条平行直线间的距离转化为 的距离． 3 公式：两条平行直线与之间的距离 d＝ . 二、【技巧归纳】 1.直线位置判断“三步法” （1） 先看斜率是否存在（竖线单独判） （2）有斜率：算→ 平行、垂直或相交 （3）一般式：算与 2. 平行、垂直直线方程速写 （1）平行于：设（） （2）垂直于：设（） （3）平行于 ：设 （4）垂直于：设 3. 距离计算“标准化” (1)点到直线：先化一般式，再代公式 (2)平行线距离：先统一 系数，再套公式 4. 速记口诀 · 平行：等截不等，系等常数异 · 垂直：斜率积，系数和为 · 距离：点线一般式，平行线同系数 三、【考点清单】 考点1 直线平行与垂直的判定 【典例1】（2026届浙江省职教高考研究联合体适应性考试）直线与直线的位置关系是（   ） A．相交但不垂直 B．垂直 C．平行 D．重合 【即时训练】 1.（2025届浙江省丽水、衢州、湖州市中职学校高三质量检测）直线与直线的位置关系是（   ） A．平行 B．垂直 C．重合 D．相交但不垂直 2.（2022届浙江省嘉兴市高三高职考第一次模拟考试）下列四组直线中，互相平行的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 3. 直线与的位置关系为（    ） A．平行 B．重合 C．相交且不垂直 D．垂直 4. 下列各组直线互相垂直的是（    ）． A．与 B．与 C．与 D．与 考点2 求倾斜角、斜率与直线方程 【典例2】（2025届浙江省职教高考高三第五次模拟考试）已知直线l与直线平行，则直线l的斜率为（   ） A． B． C． D． 【即时训练】 5.（2025届浙江省中职单独考试温州市二模）若直线与直线平行，则直线的斜率为（    ） A． B． C． D．3 6.（2026届浙江省温州市高三中职单独考试一模）已知直线过点，且与直线垂直，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 7.（2026届浙江省宁波市职教高考高三第一次模拟考试）与直线平行且过点的直线方程为（   ） A． B． C． D． 8.（2022届浙江省职教高考研究联合体第五次联合考试）已知直线与平行，则直线的倾斜角大小为______. 考点3 由位置关系求参数 【典例3】（2026届浙江省衢州、丽水、湖州市高职三模）若直线与平行，则实数a的值为（    ）. A．2 B．6 C．2或 D． 【即时训练】 9.（2025届浙江省职教高考复习高三第二次模拟考试）已知经过点和的直线与直线平行，则的值为（    ） A． B．5 C． D． 10.（2025届浙江省职教高考复习高三摸底考试）已知直线与直线平行，则的值为（    ） A． B． C． D．2 11.（2025届浙江省宁波市职教高考高三第一次模拟）已知直线和互相平行，则实数m只能是（   ） A．或 B． C． D． 12.（2026届浙江省职教高考研究联合体第五次联考）已知直线与直线垂直，则实数（   ） A．0.8 B．1.2 C． D． 13.（2026届浙江省新昌技师学院（挂新昌职业高级中学牌子）高三高职单独考试模拟）直线与相互垂直，则（    ） A． B． C． D． 14.（2023届浙江省职教高考研究联合体适应性考试）若直线与直线平行，则___________. 15.（2022届浙江省高职考试研究联合体第四次调研）已知点A的坐标为，点B的坐标为，直线l：为线段的中垂线，则____________. 考点4 重合与相交 【典例4】1.（2026届浙江省温州市中职单独招生单独考试第二次模拟）若直线与直线有公共点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【即时训练】 16.（2023届浙江省绍兴市柯桥区职教高三高考模拟）方程表示的图形是（   ） A．两条相交直线 B．两条平行直线 C．一个圆 D．一个点 17.（2026届浙江省职教高考研究联合体第五次联考）已知直线与直线的交点在轴的上方，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 18.（2023届浙江省单招单考高三考前适应性练习）无论取任何实数，直线恒过定点（   ） A． B． C． D． 19. 直线与直线的位置关系是（   ） A．重合 B．相交但不垂直 C．垂直 D．平行 20. 两直线和的位置关系是（    ） A．平行 B．垂直 C．相交但不垂直 D．不确定 21. 已知直线的倾斜角为，直线经过点、，则直线、的位置关系是（ ） A．平行或重合 B．平行 C．垂直 D．重合 22. 若关于，的方程组无解，则实数为（ ） A． B．3 C．3或 D．1或 23. 若两条直线与重合，则（ ） A． B． C． D． 24. 知两条直线，，若与相交，则实数a满足的条件是_______. 考点5 中点公式与两点间距离公式 【典例5】（2024届浙江省单独招生考试文化考试三市（临海、温岭、玉环）联合模拟考试）已知直线：与两坐标轴交于，两点，则（    ） A．1 B． C．2 D．5 【即时训练】 25.（2023届浙江省单招单考高三考前适应性练习）点和点关于下列哪条直线对称（    ） A． B． C． D． 26.（2024届浙江省嘉兴市中等职业学校高三第一次模拟）的三个顶点为，，，则边上的中线的长度为（    ） A．2 B．4 C． D．8 27. 已知点，则线段的垂直平分线一定过点（    ） A． B． C． D． 28. 若点关于直线对称的点坐标，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 29. 已知点的距离为5，则a等于（    ） A． B．7 C．1 D．或7 30. 若点和点关于点对称，则点到原点的距离是（    ） A． B．2 C． D．3 31.（2026届浙江省新昌技师学院高考第一次模拟测试）已知的三个顶点为，分别是的中点．求： (1)的长； (2)的面积. 考点6 点到直线距离与平行线间距离 【典例6】（2025届浙江省温州市三模）直线l：，动点P到直线l的距离始终为2，则点P的轨迹方程为（    ） A． B． C．或 D．或 【典例7】（2024届浙江省职教高考嘉兴、宁波地区高三第三次模拟考试）已知正方形的一组对边所在的直线方程为和，另一组对边所在的直线方程为和，则______． 【即时训练】 32.（2024届浙江省职教高考研究联合体高三第四次联合考试数）若点到直线的距离为，则实数（    ） A．或1 B．或 C．1 D． 33.（2025届浙江省职教高考高三第五次模拟考试）若直线是圆的一条对称轴，则圆心到直线的距离为（   ） A． B． C．3 D．4 34.（2023届浙江省职教高考联合体第一次联合考试数学试题）坐标原点到直线的距离为（    ） A．0 B．5 C． D． 35.（2026届浙江职教高考嘉兴、宁波第三次模拟考试）已知直线过，直线过，且，则和间的距离最大值为（   ） A．1 B． C．2 D．3 36.（2025届浙江省职教高考嘉兴、宁波地区第三次模拟考试）已知点在直线上，点在直线上，则两点间的最小距离为（   ） A． B． C． D． 37.（2025届浙江省职教高考高三第三次模拟考试）直线与直线的距离是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 38.（2024届浙江省温州市普通高职单独考试统一摸底测试）已知实数满足，则的最小值为（    ） A． B． C．5 D．10 39.（2021届浙江省湖州市高三高职复习一模试卷）已知平行线，，则这两条直线间距离是（    ） A． B． C． D． 40.（2023届浙江省高职考二三轮系统性考试高三第一次模拟考试）已知直线和互相平行，则它们之间的距离为______． 41.（2021届 浙江省高职考单招单考嘉兴市第二次模拟考试）原点O到直线的距离为 _______． 42.（2023届浙江省职教高考研究联合体适应性考试数学试题）已知两个定点，点P为x轴上的动点，则的最小值为___________. 43. 两条直线与平行，则它们之间的距离为________. 44. 若直线l与直线的距离为2，则直线l的一般式方程为___． 45. 已知点，直线：. (1)求过点A且与直线平行的直线方程； (2)根据（1）的结论，求两条平行线间的距离. 46. 已知两条直线；和，当时，求的值并求此时两平行线之间的距离. 一、【真题溯源】 1. （2025年浙江，12）点，，若过点的直线l平行直线，则直线l的方程为（ ） A. B. C. D. 2.（2024年浙江，6）若点到直线的距离为2，则实数（ ） A. 1 B. C. 1或 D. 或 3. （2023年浙江，25）求过点，且与直线平行的直线方程是_____. 4. （2022年浙江，9）两条平行直线与之间的距离为（ ） A. B. C. 5 D. 10 5. （2021年浙江，9）直线与坐标轴相交于，两点，则线段的长为（ ） A. B. C. 4 D. 8 二、【考向感知】 1.命题总体定位 难度：纯基础与简单题，几乎不出现难题 考纲变化：2026起取消旧考纲，按中职课标命题，但直线部分考点、题型、难度基本不变 2. 题型分布：客观题绝对主力 选择题（必出1题）：3分 最爱考：垂直求参数、平行求参数、点到直线距离 填空题（0–1题）：4分 最爱考：平行线距离、点线距、平行直线方程 解答题：极少单独考，常嵌入直线与圆综合（作为第一小问） 3.高频易错点 （1）平行忘验重合（只看k相等） （2）点线距不化一般式直接代公式 （3）平行线距离系数不统一 漏讨论斜率不存在（竖线） 4.命题趋势 以基础题为主，中档题少量，无难题 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $