专题18 同角三角函数的基本关系（讲义）-2027年湖北省（技能高考）《数学一轮讲练测》（原卷版+解析版）

编写说明：2027年湖北省（技能高考）《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年湖北省技能高考 《数学一轮讲练测》复习讲义 专题18 同角三角函数的基本关系 【复习目标】 理解同角三角函数的基本关系式：1，。 【考点 同角三角函数的基本关系】 一、平方关系 同一个角的正弦、余弦的平方和等于1，即：_______________ 常用变形：，， ， ，用于正、余弦互化. 适用范围：任意角 二、商数关系 同一个角的正弦、余弦的比值等于该角的正切，即：_____________ 适用范围：（保证，有意义） 常用变形：，用于弦、切互化. 三、核心解题结论与技巧 1. 知一求二：已知中任意一个值，结合角的象限可求出另外两个值； 2. 符号判定：三角函数值的符号由角所在象限决定，平方关系开方必须判断符号； 3. 齐次式化简：分式中分子分母为齐次式，可上下同除以或，转化为求解； 4. 含题型，利用完全平方公式整体代换求解. 四、常见易错点 1. 忽略正切函数的定义域，默认所有角都满足商数关系； 2. 利用平方关系开方时，未根据角的象限判断正负号； 3. 混淆“同角”概念，公式仅适用于同一个角，不可用于不同角的三角函数. 【即时训练】 一、单项选择题 1. 已知，且为第一象限角，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知，为第二象限角，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知，则（ ） A. 3 B. -3 C. 2 D. -2 二、多项选择题 4. 关于同角三角函数基本关系，下列说法正确的是（ ） A. B. 对任意角成立 C. 若为第三象限角，则 D. 若为第四象限角，则 三、填空题 5. 已知，为第四象限角，则______，______. 6. 已知，且为第一象限角，则______，______. 四、解答题 7. 已知，. （1）求的值；（2）求的值. 8. 已知. （1）求的值；（2）求的值. 1.（2026年湖北省技能高考第27题）若 ，，则 _______. 2.（2025年湖北省技能高考第27题）若 ，则 ________. 3.（2024年湖北省技能高考第25题）（多选题）在 中，若 ，则 （ ） A.    B.    C.    D. 4.（2014年湖北省高职统考第19题第1小题）设 ，求 的值. 5.（2012年湖北省技能高考第33题第1小题）设 ，求 的值. 6.（2012年湖北省高职统考第16题第2小题）已知 ，求 的值. 7.（2011年湖北省高职统考第16题第1小题）设 ，求 的值. 8.（2006年湖北省高职统考第17题第1小题）已知为第二象限角，且，求 的值. 9.（2000年湖北省高职统考第23题第1小题）证明恒等式：. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2027年湖北省（技能高考）《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年湖北省技能高考 《数学一轮讲练测》复习讲义 专题18 同角三角函数的基本关系 【复习目标】 理解同角三角函数的基本关系式：1，。 【考点 同角三角函数的基本关系】 一、平方关系 同一个角的正弦、余弦的平方和等于1，即： 常用变形：，， ， ，用于正、余弦互化. 适用范围：任意角 二、商数关系 同一个角的正弦、余弦的比值等于该角的正切，即： 适用范围：（保证，有意义） 常用变形：，用于弦、切互化. 三、核心解题结论与技巧 1. 知一求二：已知中任意一个值，结合角的象限可求出另外两个值； 2. 符号判定：三角函数值的符号由角所在象限决定，平方关系开方必须判断符号； 3. 齐次式化简：分式中分子分母为齐次式，可上下同除以或，转化为求解； 4. 含题型，利用完全平方公式整体代换求解. 四、常见易错点 1. 忽略正切函数的定义域，默认所有角都满足商数关系； 2. 利用平方关系开方时，未根据角的象限判断正负号； 3. 混淆“同角”概念，公式仅适用于同一个角，不可用于不同角的三角函数. 【即时训练】 一、单项选择题 1. 已知，且为第一象限角，则（ ） A. B. C. D. 【考点】同角三角函数平方关系、象限角三角函数符号判定 【答案】A 【解析】由同角三角函数平方关系，可得. 代入，计算得. 又因为为第一象限角，第一象限余弦值为正，故. 2. 已知，为第二象限角，则（ ） A. B. C. D. 【考点】同角三角函数平方关系、商数关系综合应用 【答案】B 【解析】先由平方关系求正弦值： ∵为第二象限角，∴，∴， 再由商数关系，代入值得. 3. 已知，则（ ） A. 3 B. -3 C. 2 D. -2 【考点】同角三角函数齐次式化简、商数关系变形应用 【答案】A 【解析】式子为一次齐次式，分子分母同时除以， 原式变形为.代入，得原式. 二、多项选择题 4. 关于同角三角函数基本关系，下列说法正确的是（ ） A. B. 对任意角成立 C. 若为第三象限角，则 D. 若为第四象限角，则 【考点】同角三角函数基本关系定义、定义域、象限符号 【答案】ACD 【解析】A选项：平方关系适用于任意角，代入成立，正确；B选项：商数关系仅适用于，并非任意角，错误；C选项：第三象限正弦值均为负，正确；D选项：第四象限余弦值均为正，正确. 三、填空题 5. 已知，为第四象限角，则______，______. 【考点】同角三角函数平方关系、商数关系综合计算 【答案】； 【解析】∵为第四象限角，∴，由平方关系得 ；由商数关系得. 6. 已知，且为第一象限角，则______，______. 【考点】同角三角函数的基本关系知一求二综合运算 【答案】； 【解析】由，得，代入平方关系，得，解得.因为第一象限角，故，. 四、解答题 7. 已知，. （1）求的值；（2）求的值. 【考点】同角三角函数基本关系 【答案】（1）；（2） 【解析】（1）由，得. 又，为第三象限角，正弦值为负，故. （2）由商数关系，代入值得：. 8. 已知. （1）求的值；（2）求的值. 【考点】同角三角函数齐次式化简、整体代入求值 【答案】（1）；（2） 【解析】（1）原式为一次齐次式，分子分母同除以，代入 得 原式. （2）原式为二次齐次式，补分母，分子分母同除以，代入得， 原式. 1.（2026年湖北省技能高考第27题）若 ，，则 ________. 【考点】同角三角函数基本关系、特殊角三角函数值 【答案】 【解析】由 ，且 为锐角：, . 2.（2025年湖北省技能高考第27题）若 ，则 ________. 【考点】同角三角函数的基本关系 【答案】 【解析】由 ，得 ，因此 . 3.（2024年湖北省技能高考第25题）在 中，若 ，则 （ ） A.    B.    C.    D. 【考点】同角三角函数的基本关系，三角函数符号判断 【答案】CD 【解析】已知 ，两边平方得： 由 ，代入得： 则 . 又 为三角形内角，，.由 ，知 ， 故 ，此时 . 联立方程组： 或 解得： 或 因此，当时，；当时，. 选 CD. 4.（2014年湖北省高职统考第19题第1小题）设 ，求 的值. 【考点】同角三角函数的基本关系，分式化简 【答案】 【解析】原式 由已知 ，两边平方：，∴ 所以，原式. 5.（2012年湖北省技能高考第33题第1小题）设 ，求 的值. 【考点】同角三角函数的基本关系，齐次分式求值 【答案】 【解析】分子分母同除以 （），得 原式 代入 ，得 原式. 6.（2012年湖北省高职统考第16题第2小题）已知 ，求 的值. 【考点】同角三角函数的基本关系，分式通分化简 【答案】 【解析】 由得 ，代入，得 即，所以，原式. 7.（2011年湖北省高职统考第16题第1小题）设 ，求 的值. 【考点】同角三角函数的基本关系，因式分解与整体代换 【答案】 【解析】 由已知 ，两边平方：，∴ 因此原式的值为 . 8.（2006年湖北省高职统考第17题第1小题）已知为第二象限角，且，求 的值. 【考点】同角三角函数的基本关系，三角函数符号判断 【答案】 【解析】由同角三角函数的平方关系：，代入 得 又 为第二象限角，第二象限内余弦值为负，故：. 9.（2000年湖北省高职统考第23题第1小题）证明恒等式：. 【考点】同角三角函数的基本关系，三角恒等式证明 【证明】方法一：交叉相乘法（利用 ） 等式两边交叉相乘，需证： 右边展开： 与左边相等，故原等式成立. 方法二：分子有理化法 对左边分子分母同乘 ： 与右边相等，故原等式成立. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $