专题28直线与圆的位置关系（讲义）-2027年广东省（“3+证书”考试）《数学一轮讲练测》（原卷版+解析版）

编写说明：2027年广东省“3+证书”考试《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027版广东省（“3+证书”考试） 《数学一轮讲练测》复习讲义 专题28 直线与圆的位置关系 【复习目标】 1.理解直线和圆的位置关系； 2.了解直线与圆相切在实际中的应用。 【考点1 直线与圆的位置关系】 1.直线与圆的位置关系 直线 Ax+ By+C=0与圆( 的位置关系的判别方法 (1)代数法 可根据方程组 得到关于x 或y 的一元二次方程 ①△>0⇔圆与直线有两个公共点⇔直线与圆相交； ②△=0⇔ ⇔ ； ③△<0⇔ ⇔ . 说明：上述△为直线方程与圆的方程联立及消元后所得一元二次方程的判别式. (2)几何法 设圆心到直线的距离为d，圆的半径为r.如图8-1所示. ①d<r⇔ ； ②d=r⇔ ； ③d>r⇔ . 【即时训练】 一、单选题 1．直线与圆的位置关系是（    ）． A．相交 B．相切 C．相离 D．无法确定 2．直线 与圆 的位置关系是（　　） A．相交 B．相切 C．相离 D．无法确定 3．直线与圆的位置关系是（    ） A．相交 B．相离 C．相切 D．相交或相切 4．直线与圆的位置关系（    ）. A．相交 B．相离 C．相切 D．无法判断 5．若圆与直线相切，则（　　） A． B． C． D． 6．已知直线：与圆相交，则m的取值范围为（    ）. A． B． C． D． 二、填空题 7．若直线与圆相切，则实数的值为________ 8．圆上的点到直线的最大距离与最小距离的差是______． 9．已知点和点，则以线段的中点为圆心，且与直线相切的圆的标准方程是__________. 三、解答题 10．如图所示，点是圆上一点，且，，，．求： (1)点的坐标； (2)阴影部分的面积． 【考点2 圆的切线】 1.圆的切线方程 (1)过圆上一点 P的切线方程为 特别地，过圆上一点P(，)的切线方程为 。 (2)过圆外一点的圆的切线一定有两条，如果用直线的斜率来求只有一条时，说明另一条直线斜率不存在，为 ； (3)求过圆外一点与圆相切的切线长，常用该点、圆心、切点三点构成的 来求. 【即时训练】 一、单选题 1．过点且与圆相切的直线的方程为（     ） A． B． C． D． 2．已知圆C的方程为，过点作圆C的切线，则切线方程为（    ） A． B． C． D．或 3．圆在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 4．已知圆，点，过点P作圆C的切线方程是（    ） A． B． C． D． 5．过点作圆的切线，则切线的方程为（ ） A． B． C．或 D．或 6．已知圆的方程为，过点且与圆相切的直线方程（    ） A． B．或 C．或 D．或 二、填空题 7．从圆外一点向这个圆引切线,则切线长为____． 8．过点的直线与圆相切，则直线的方程为___________. 三、解答题 9．已知圆，求： (1)圆C的圆心坐标和半径； (2)经过点的圆C的切线方程． 【考点3 弦长公式】 1.直线与圆相交的弦长 (1)半径r的平方等于弦心距d(圆心到直线的距离)与弦长的一半的平方和，即 或 (2)先求出直线与圆的两个交点(，)，(，)，再用两点间距离公式求出弦长或直接用弦长公式：弦长 (其中k为直线斜率)来确定. 【即时训练】 一、单选题 1．已知直线与圆相交于A、B两点，则（    ） A． B．2 C． D． 2．已知直线与圆 交于A、B两点，则线段AB的距离为（    ）. A． B．2 C．3 D．8 3．已知斜率为1，在y轴上的截距为3的直线与圆相交于两点，则（    ） A． B． C． D．5 4．已知圆心为的圆被直线截得的弦长为4，则该圆的标准方程为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 5．直线被圆所截得的线段长为__________. 6．直线被圆 截得的弦长为，则m的值为____. 7．直线被圆截得的弦长为__________. 8．在平面直角坐标系中，直线被圆截得的弦长为__________． 9．以点为圆心的圆与x轴相交于A，B两点，若为正三角形，则该圆的标准方程为___________. 10．若直线被圆所截得的线段长为2，则圆的面积为______. 1.（2026·广东·真题T13）以为圆心，且与直线相切的圆的方程是（ ） A. B. C. D. 2.（2025·广东·真题T19）已知直线与圆相交于A，B两点，则 . 3.（2024·广东·真题T15）过点且与圆相切的直线的方程为（     ） A． B． C． D． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2027年广东省“3+证书”考试《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027版广东省（“3+证书”考试） 《数学一轮讲练测》复习讲义 专题28 直线与圆的位置关系 【复习目标】 1.理解直线和圆的位置关系； 2.了解直线与圆相切在实际中的应用。 【考点1 直线与圆的位置关系】 1.直线与圆的位置关系 直线 Ax+ By+C=0与圆( 的位置关系的判别方法 (1)代数法 可根据方程组 得到关于x 或y 的一元二次方程 ①△>0⇔圆与直线有两个公共点⇔直线与圆相交； ②△=0⇔圆与直线有一个公共点⇔直线与圆相切； ③△<0⇔圆与直线没有公共点⇔直线与圆相离. 说明：上述△为直线方程与圆的方程联立及消元后所得一元二次方程的判别式. (2)几何法 设圆心到直线的距离为d，圆的半径为r.如图8-1所示. ①d<r⇔直线与圆相交； ②d=r⇔直线与圆相切； ③d>r⇔直线与圆相离. 【即时训练】 一、单选题 1．直线与圆的位置关系是（    ）． A．相交 B．相切 C．相离 D．无法确定 【答案】A 【分析】由圆心到直线的距离与半径比较即可判断位置关系. 【详解】圆的圆心，半径为1， 则圆心到直线的距离， 所以直线与圆的位置关系为相交. 故选：A. 2．直线 与圆 的位置关系是（　　） A．相交 B．相切 C．相离 D．无法确定 【答案】B 【分析】先根据圆的标准方程，求出圆心的坐标与半径，再根据点到直线的距离公式，求出圆心到直线l的距离d，再根据距离d与半径r的大小关系，判断直线与圆的位置关系. 【详解】已知圆 ， 其中圆心坐标为，半径， 又由直线 ， 可得圆心到直线l的距离， 则有， 所以直线l与圆C相切， 故选：B. 3．直线与圆的位置关系是（    ） A．相交 B．相离 C．相切 D．相交或相切 【答案】B 【分析】由圆心到直线的距离与半径比较即可得出结论. 【详解】易知圆的圆心坐标为，半径为1． 因为圆心到直线的距离为， 所以直线与圆相离． 故选：B． 4．直线与圆的位置关系（    ）. A．相交 B．相离 C．相切 D．无法判断 【答案】B 【分析】根据题意，将圆的一般方程化为标准方程，求得圆心坐标和半径，结合圆心到直线的距离与半径的大小关系，即可求解. 【详解】因为圆，化为标准方程得， 所以圆心坐标为，半径， 所以圆心到直线的距离， 所以，故直线与圆相离. 故选：B. 5．若圆与直线相切，则（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据圆与直线相切，则圆心到直线的距离等于半径即可解得. 【详解】由题可知圆， 则圆心，半径， 又知圆与直线相切， 则圆心到直线的距离， 即，， 解得， 故选：A 6．已知直线：与圆相交，则m的取值范围为（    ）. A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据直线与圆的相交条件：圆心到直线的距离小于圆的半径，列式求解即可. 【详解】圆，圆心为，半径， 直线：到圆的距离， 因为直线与圆相交，所以，解得：， 所以m的取值范围为. 故选：B. 二、填空题 7．若直线与圆相切，则实数的值为________ 【答案】3或 【分析】通过圆心到直线距离等于半径来求解. 【详解】圆的圆心坐标为，半径为， 因为直线与圆相切，则圆心到直线的距离等于半径， 即，即，解得或. 故答案为：3或. 8．圆上的点到直线的最大距离与最小距离的差是______． 【答案】 【分析】先求出圆心到直线的距离，进而求出最大距离、最小距离，作差即可求解. 【详解】由题意圆心为，半径， 圆心到直线的距离， 显然，则直线与圆相离， 所以圆上的点到直线的最大距离为， 最小距离为， 所以圆上的点到直线的最大距离与最小距离的差是， 故答案为：. 9．已知点和点，则以线段的中点为圆心，且与直线相切的圆的标准方程是__________. 【答案】 【分析】首先根据中点坐标公式先求出圆心坐标，再由圆心到切线的距离等于半径，可得半径，即可求解. 【详解】因为点和点，所以的中点为， 又直线与圆相切， 圆心到直线的距离等于半径， 即， 故圆的标准方程为. 故答案为：. 三、解答题 10．如图所示，点是圆上一点，且，，，．求： (1)点的坐标； (2)阴影部分的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）结合图形做辅助线求得坐标. （2）根据图像结合梯形、扇形面积公式求解. 【详解】（1）过点作交于点，， 所以，， 所以点的坐标为. （2）由（1）知，， ， ， 所以. 【考点2 圆的切线】 1.圆的切线方程 (1)过圆上一点 P的切线方程为 特别地，过圆上一点P(，)的切线方程为 (2)过圆外一点的圆的切线一定有两条，如果用直线的斜率来求只有一条时，说明另一条直线斜率不存在，为； (3)求过圆外一点与圆相切的切线长，常用该点、圆心、切点三点构成的直角三角形来求. 【即时训练】 一、单选题 1．过点且与圆相切的直线的方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先代点入圆的方程判断出点在圆上，再求切点和圆心连线的斜率，由连线与切线垂直求出切线斜率，由切点和切线斜率求切线方程即可. 【详解】因为，所以点A在圆上， 因为切点与圆心连线的斜率为，且切点与圆心所在直线与切线垂直， 所以切线的斜率为， 所以切线方程为，即. 故选：D. 2．已知圆C的方程为，过点作圆C的切线，则切线方程为（    ） A． B． C． D．或 【答案】C 【分析】先判断点在圆上，圆C圆心，半径，再由圆到直线的距离等于半径列方程求解即可 【详解】已知圆C的方程为， 则圆C圆心，半径， 将代入， 所以在圆上， 当斜率不存在时，直线方程为，到圆心的距离为不符合题意， 当斜率存在时，设直线方程为，即， 则圆心到切线的距离为， 即，整理得， 解得，直线方程为， 整理得. 故选：C. 3．圆在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先由圆的标准方程得到其圆心，同时判断得点在该圆上，再利用切线的性质与两点斜率公式求得切线斜率，进而利用直线的点斜式即可得解. 【详解】因为，圆心， 又，即点在圆上，切点， 则，设切线的斜率为， 则，即，解得， 所以切线方程为，即. 故选：A. 4．已知圆，点，过点P作圆C的切线方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据圆的方程求出圆心坐标，再带入两点求出的斜率，进而求出切线斜率，带入点斜式即可求解. 【详解】经验算点在圆上，圆心坐标为， 则圆心与点P连线斜率为， 过点P作圆C的切线，切线与垂直， 故切线方程的斜率为， 由点斜式可得， 即./ 故选：C. 5．过点作圆的切线，则切线的方程为（ ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】根据圆心到切线的距离与半径相等可求解. 【详解】由于圆的圆心为原点，半径为1， ①当切线的斜率不存在时，即直线的方程为，不与圆相切， ②当切线的斜率存在时，设切线的方程为，即， 由，可得，解得或， 所以切线的方程为或. 故选：C 6．已知圆的方程为，过点且与圆相切的直线方程（    ） A． B．或 C．或 D．或 【答案】C 【分析】根据圆与直线相切的位置关系求解. 【详解】若斜率存在， ∵直线过点， ∴设直线方程， 整理得， ∵圆的方程为的圆心为，半径为，且直线与圆相切， 故圆心到直线的距离， 解得：， 故方程为， 若斜率不存在，直线与轴平行，方程为，圆与直线相切， 故与圆相切，且过点的直线为或. 故选:C. 二、填空题 7．从圆外一点向这个圆引切线,则切线长为____． 【答案】 【分析】先将圆化为标准方程，分析直线与圆的位置关系，求出切线长. 【详解】圆 的圆心为， 半径1，如图，设，，    切线长， 故答案为：2. 8．过点的直线与圆相切，则直线的方程为___________. 【答案】或 【分析】先得到圆心坐标和半径，分析直线斜率存在与否，结合圆与直线的位置关系分情况讨论，求解即可. 【详解】圆的圆心为坐标为，半径为， 当直线斜率不存在时，因为直线过点， 所以直线方程为，与圆相切，符合题意； 当直线斜率存在时，设直线的斜率为， 则直线的方程为，即， 因为直线与圆相切，圆心，半径， 所以圆心到直线的距离， 解得：，所以直线方程为：， 即， 综上直线的方程为或. 故答案为：或. 三、解答题 9．已知圆，求： (1)圆C的圆心坐标和半径； (2)经过点的圆C的切线方程． 【答案】(1)圆心为，半径为 (2) 【分析】（1）根据圆的方程确定圆的圆心和半径即可. （2）首先判断点与圆的关系，再由直线和切线垂直，求出切线的斜率，再将斜率和点代入点斜式并化为一般方程即可. 【详解】（1）已知圆， 则圆心为，半径为. （2）已知点， 则点到圆心的距离为， 所以点在圆上，则直线和切线垂直， 设切线的斜率为，即， 由得，， 所以切线方程为，即. 【考点3 弦长公式】 1.直线与圆相交的弦长 (1)半径r的平方等于弦心距d(圆心到直线的距离)与弦长的一半的平方和，即 或 (2)先求出直线与圆的两个交点(，)，(，)，再用两点间距离公式求出弦长或直接用弦长公式：弦长 (其中k为直线斜率)来确定. 【即时训练】 一、单选题 1．已知直线与圆相交于A、B两点，则（    ） A． B．2 C． D． 【答案】D 【分析】根据圆的弦长公式即可求解． 【详解】如图：    取弦的中点为C，连接，则， ， ∴， 故选：D． 2．已知直线与圆 交于A、B两点，则线段AB的距离为（    ）. A． B．2 C．3 D．8 【答案】D 【分析】根据弦长公式求解即可. 【详解】圆 的圆心为，半径为. 圆心到直线距离为， 所以线段AB的距离为。 故选：D. 3．已知斜率为1，在y轴上的截距为3的直线与圆相交于两点，则（    ） A． B． C． D．5 【答案】B 【分析】先求解直线方程、圆的半径、圆心坐标，然后利用圆的半径、弦心距与弦长三者之间的关系，即可求解. 【详解】由题意得直线方程是，圆心是，圆的半径， 则圆心到直线的距离， ∴. 故选：B. 4．已知圆心为的圆被直线截得的弦长为4，则该圆的标准方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先计算圆心到直线的距离，再利用垂径定理和勾股定理求半径，最后得出圆的标准方程. 【详解】圆心到直线的距离为， 由于圆心为的圆被直线截得的弦长为， 所以，即， 即圆的半径， 根据圆心和半径，得到圆的标准方程为， 故选：A. 二、填空题 5．直线被圆所截得的线段长为__________. 【答案】8 【分析】根据圆的标准方程求出圆心坐标与半径，结合点到直线的距离公式及弦长公式即可得解. 【详解】因为圆的圆心坐标为，半径， 所以圆心到直线的距离， 所以直线被圆所截得的线段长为. 故答案为：. 6．直线被圆 截得的弦长为，则m的值为____. 【答案】1或9 【分析】利用点到直线距离公式，结合圆中弦长公式求解. 【详解】因为圆， 即， 所以圆心为，半径为. 因为直线， 所以圆心C到直线l的距离为. 因为直线l被圆C截得的弦长为， 所以， 解得或. 故答案为：1或9. 7．直线被圆截得的弦长为__________. 【答案】 【分析】利用点到直线的距离，构造直角三角形求解即可. 【详解】由题意可知圆的圆心为，半径为， 所以圆心到直线的距离， 所以弦长为. 故答案为：. 8．在平面直角坐标系中，直线被圆截得的弦长为__________． 【答案】 【分析】求出已知圆的圆心，半径．利用点到直线的距离公式，算出圆心到直线的距离，由垂径定理加以计算，可得弦长． 【详解】由圆知圆心为，半径为， 因为圆心到直线的距离， 根据垂径定理，所以弦长为. 故答案为： 9．以点为圆心的圆与x轴相交于A，B两点，若为正三角形，则该圆的标准方程为___________. 【答案】 【分析】利用正三角形的性质求出半径，据此写出圆的标准方程. 【详解】 因为圆以为圆心，与x轴交于A、B两点，为正三角形（如图）， 所以圆心M到x轴的距离， 在正三角形中， (r为圆的半径)，即 ，解得 ， 所以圆的标准方程为 . 故答案为： 10．若直线被圆所截得的线段长为2，则圆的面积为______. 【答案】 【分析】将圆的一般式化为标准式找到圆心半径，根据直线被圆所截的弦长公式求出半径，再求面积即可. 【详解】圆即， 则圆心到直线的距离为：， 则直线被圆截得弦长为：，解得， 则圆的半径为，则圆的面积为. 故答案为：. 1.（2026·广东·真题T13）以为圆心，且与直线相切的圆的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由直线与圆相切时，圆心到直线的距离等于半径即可得解. 【详解】圆心到直线的距离为 ， 因为圆与直线相切，所以， 所以圆的方程是. 故选：A. 2.（2025·广东·真题T19）已知直线与圆相交于A，B两点，则 . 【答案】 【分析】先根据点到直线距离公式求出圆心到直线的距离，再利用半径，圆心到直线的距离与弦长之间的关系，代入求解即可. 【详解】由圆的方程可知圆心，半径， 所以圆心到直线的距离， 所以， 故答案为：. 3.（2024·广东·真题T15）过点且与圆相切的直线的方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先代点入圆的方程判断出点在圆上，再求切点和圆心连线的斜率，由连线与切线垂直求出切线斜率，由切点和切线斜率求切线方程即可. 【详解】因为，所以点A在圆上， 因为切点与圆心连线的斜率为，且切点与圆心所在直线与切线垂直， 所以切线的斜率为， 所以切线方程为，即. 故选：D. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $