专题27圆的方程（讲义）-2027年广东省（“3+证书”考试）《数学一轮讲练测》（原卷版+解析版）

编写说明：2027年广东省“3+证书”考试《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 027版广东省（“3+证书”考试） 《数学一轮讲练测》复习讲义 专题27 圆的方程 【复习目标】 1.掌握圆的标准方程和一般方程； 2.理解直线和圆的位置关系； 3.了解直线与圆相切在实际中的应用； 【考点1 圆的标准方程】 1.圆的定义 平面内到一定点的距离等于定长的点的轨迹是圆，其中定点是圆心，定长是半径. 2.圆的标准方程 圆心是C(a，b)，半径为r 的圆的标准方程为 特别地，当圆心在坐标原点，半径为r时，圆的标准方程为 【即时训练】 一、单选题 1．已知圆心坐标是，圆的半径，则圆的标准方程是（    ）. A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据已知的圆心坐标和半径,即可写出圆的标准方程. 【详解】因为圆心坐标是，圆的半径， 所以圆的标准方程为. 故选：B. 2．已知圆心为的圆经过原点，则该圆的标准方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据两点之间的距离公式求出半径，再结合圆心坐标列出圆的标准方程即可解得. 【详解】已知圆心且圆经过原点， 所以半径， 所以该圆的标准方程是． 故选：A． 3．以点为圆心，且经过点的圆的方程为（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求解圆的半径，再由圆心和半径求解圆的标准方程即可. 【详解】∵以点为圆心，且经过点， ∴圆的半径， ∴圆的方程为. 故选：B. 4．若圆心，半径为2，则圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用圆的圆心与半径即可求得圆的标准方程，从而得解. 【详解】因为圆的圆心，半径为2， 所以圆的标准方程为. 故选：C. 5．圆心在 轴上，且过点 的圆与 轴相切，则该圆的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设圆心坐标，得到圆的标准方程，代入点坐标，即可求解. 【详解】设圆心坐标为，又圆与相切，所以圆的半径为， 即圆的标准方程为，代入点， 得到，整理得，解得， 所以圆的方程为，即， 故选：B. 6．已知过原点的圆，其圆心为 ，则该圆的标准方程是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据圆心到原点的距离写出半径，再由圆心和半径写出圆的标准方程即可解得. 【详解】∵此圆过原点，圆心为 ， ∴， 所以该圆的标准方程是. 故选：A 7．过点 ，，且圆心在直线 上的圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意设出圆心坐标，结合圆经过点、列出式子，计算得到圆的标准方程. 【详解】已知圆心在直线上，设圆心为， 又圆经过点、，则， 故， 解得，圆心坐标为，圆的半径为， 故圆的标准方程为， 故选：B. 8．过，，三点圆的标准方程为（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设圆的方程为，将三点代入计算即可. 【详解】设所求圆的方程为， 因为，，三点在圆上， 可得，由得，解得， 将代入可得，解得， 故所求标准方程为. 故选：D. 9．过三点的圆的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设圆的一般方程为，由已知点代入，解方程组可求解. 【详解】设圆的一般方程为，由已知点代入，可得 ，解得. 所以圆的一般方程为， 即为所求. 故选：C. 二、填空题 10．已知圆心在轴上的圆过点且与轴相切，则该圆的标准方程为_____________. 【答案】 【分析】设圆心坐标为，根据轴相切，则，再将点代入圆的方程即可. 【详解】圆心在轴上的圆，可设圆心坐标为， 因为所求圆与轴相切，则， 所以圆的标准方程为，将点代入， 可得，解得， 则该圆的标准方程为. 故答案为：. 11．已知圆心为的圆与x轴相切，则该圆的标准方程为________． 【答案】 【分析】根据与x轴相切则半径为圆心的纵坐标的绝对值，再由圆的标准方程求解即可. 【详解】圆心为的圆与x轴相切，则点到x轴的距离是圆的半径，即， ∴圆的标准方程为． 故答案为：． 12．若圆与轴相切，且经过点，圆心在轴上，则圆的方程是__________. 【答案】 【分析】根据题意，结合圆心的位置及与x轴之间的关系，即可设出圆的标准方程，将已知点代入即可求得参数a的值，继而求解. 【详解】因为圆与轴相切，且经过点，圆心在轴上， 可设， 因为经过点，代入上式可得， 即，解得， 于是圆的方程是， 故答案为：. 13．已知三角形的三个顶点坐标分别为，，，则三角形的外接圆的标准方程为_________________. 【答案】 【分析】先设出三角形外接圆的标准方程，再将三个顶点坐标代入方程，联立方程组求解出圆心坐标和半径，进而得到外接圆的标准方程. 【详解】设三角形的外接圆的标准方程为，其中为半径， 将点代入圆的方程可得： ①， 将点代入圆的方程可得： ②， 将点代入圆的方程可得： ③， 用①式减去②式可得：，即， 把代入①式和③式可得： ，即 ④， ，即 ⑤， 用④式减去⑤式可得：，即， 把，代入①式可得：，即，解得， 所以三角形的外接圆的标准方程为. 故答案为：. 三、解答题 14．已知的三个顶点的坐标为，，，求 (1)求的面积； (2)求的外接圆的标准方程. 【答案】(1)20 (2) 【分析】（1）根据点点距离公式可判断三角形为等腰三角形，即可根据面积公式求解， （2）根据直角三角形的性质确定外接圆圆心和半径，即可求解方程. 【详解】（1），，， 由于, 所以为以为斜边的等腰直角三角形，可得中点， 所以，故的面积为20. （2）由（1）知. 所以外接圆圆心恰好为中点，半径, 所以三角形外接圆标准方程为. 【考点2 圆的一般方程】 1.圆的一般方程 圆的一般方程为 把圆的一般方程配方化为标准方程得 (1)当 时，方程表示圆.此时圆心坐标为 半径 (2)当 时，方程表示一个点，这个点的坐标是 (3)当 时，方程不表示任何图形. 2.点与圆的位置关系 对于点 P(x₀,y₀)和圆 或 点 P 到圆心的距离记作d. (1)点 P 在圆内⇔ r. (2)点 P 在圆上⇔ r. (3)点 P 在圆外⇔ r. 【即时训练】 一、单选题 1．已知圆的方程为，则圆心坐标和半径分别为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，将圆的一般式方程转化为标准方程，即可求得圆心坐标和半径. 【详解】因为圆的方程为，化为标准式方程得， 所以圆心坐标为，半径. 故选：D. 2．已知圆的面积为，则该圆的圆心坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据圆的面积公式求出半径，再将圆的一般式方程转化为标准方程，根据等量关系列出方程求出值即可得解. 【详解】由圆的面积为可知，则，解得，所以圆的半径为3． 圆，化为标准方程， ，解得或（舍）， 圆的标准方程可整理为，则圆的圆心坐标为， 故选：. 3．若圆，则（    ）． A．圆心，半径 B．圆心，半径 C．圆心，半径 D．圆心，半径 【答案】A 【分析】将圆的一般方程化为标准方程，得到圆心和半径即可. 【详解】圆可化为， 其圆心，半径. 故选：A. 4．已知圆的方程为，其半径为（    ） A．2 B．4 C．8 D．16 【答案】B 【分析】将圆化为标准方程，再求解即可. 【详解】圆的方程为化为标准方程为 . 所以圆的半径为. 故选：B. 5．圆的圆心为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将圆的一般方程转化为标准方程即可求解圆心坐标. 【详解】，则圆心为． 故选：A. 6．已知圆的半径为1，则的值为（    ） A．7 B．9 C．10 D．16 【答案】C 【分析】先将圆的方程化为标准式，即可得到圆的半径，求得参数. 【详解】圆化为标准式为， 则圆的半径为，解得， 故选：C. 7．圆的圆心坐标和半径分别为（    ）. A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】将圆的一般式方程通过配方转化为标准方程，即可找到圆心和半径. 【详解】将配方得， ∴圆心坐标为，圆的半径为5． 故选：. 8．若圆过坐标原点，则实数的值为（   ） A．2或1 B．或 C．2 D．1 【答案】C 【分析】根据题意结合圆的一般式方程成立得条件即可得解. 【详解】圆 则， 化简可得：，即，解得， 又因为圆过坐标原点，则， 解得（舍去）或 于是， 故选：C. 9．点与圆的位置关系是（    ） A．点在圆内 B．点在圆外 C．点在圆上 D．无法确定 【答案】B 【分析】计算点到圆心的距离，再与圆的半径比较大小，从而判断点与圆的位置关系. 【详解】圆的圆心为，半径为. 点到圆心的距离为. 所以点与圆的位置关系是点在圆外. 故选：B. 10．点与圆的位置关系是（    ） A．点在圆上 B．点在圆内 C．点在圆外 D．无法判定 【答案】A 【分析】由点到圆心的距离和圆半径的大小关系进行判断. 【详解】圆半径，圆心 因为点到圆心距离：， 所以点在圆上， 故选：A. 11．过点与圆相切的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先判断点与圆的位置关系，再求切线方程. 【详解】圆，圆心，半径. 点到圆心的距离，所以点在圆上. 圆心与点连线的斜率，则切线斜率不存在，则切线方程为. 故选：A. 二、填空题 12．已知圆的面积为，则__________. 【答案】0 【分析】由圆的面积为，可得圆的半径为2，把圆的方程化为标准方程即可求解. 由圆的面积为，可得圆的半径为2， 把圆的方程化为标准方程为，所以，解得. 故答案为：0. 13．若方程表示圆，则k的取值范围是________．（用区间表示） 【答案】 【分析】根据二元二次方程表示圆的方程满足的条件求解即可. 【详解】若方程表示圆， 则，解得， 所以k的取值范围为. 故答案为：. 14．若方程表示的曲线是一个圆，则实数a的取值范围是__________． 【答案】 【分析】由二元二次方程表示圆的条件求解即可. 【详解】当方程表示的曲线是一个圆， 由圆的一般方程满足，可得 ，解得． 故实数a的取值范围是. 故答案为：. 15．已知O为坐标原点，点P在圆上，则的最小值为______． 【答案】2 【分析】首先由点和圆的位置关系得出O在圆外，设圆心为，再根据圆的标准方程确定圆的圆心半径，再由的最小值为即可得出结果. 【详解】已知圆， 由，可知O在圆外， 设圆心为，则有，， 则点O到圆心的距离为， 所以的最小值为. 故答案为：2. 三、解答题 16．在平面直角坐标系中，，，． (1)求点到直线的距离； (2)求经过三点的圆的方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，根据两点的坐标先求出直线的斜率，继而求出直线的方程，结合点到直线的距离公式，即可求解； （2）根据题意，可设圆的一般式方程，将已知点的坐标代入，即可求解. 【详解】（1）因为，， 所以直线的斜率为， 所以直线的方程为，即， 所以点到直线的距离为． （2）由题意，设所求圆的方程为，， 将三点坐标代入圆的方程得 得,解得， 代入③得，解得， 又， 所以经过三点的圆的方程为． 1.（2023·广东·真题T15）设与轴相切的圆，经过点，且圆心在轴上，则这个圆的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据圆位置特点，设标准方程，再代入点求方程. 【详解】因为圆与轴相切，且圆心在轴上， 故设圆的方程为 代入点得解得，所以， 圆的方程为， 故选:B. 2.（2022·广东·真题T10）已知圆的面积为4，则（ ） A.1 B. C.2 D.4 【答案】C 【分析】本题主要考查了圆的半径公式和面积公式 【详解】圆的面积为4，圆的半径，由半径公式可知 解得，因为，所以 故选：C 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2027年广东省“3+证书”考试《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027版广东省（“3+证书”考试） 《数学一轮讲练测》复习讲义 专题27 圆的方程 【复习目标】 1.掌握圆的标准方程和一般方程； 2.理解直线和圆的位置关系； 3.了解直线与圆相切在实际中的应用； 【考点1 圆的标准方程】 1.圆的定义 平面内到一定点的距离等于定长的点的轨迹是圆，其中定点是圆心，定长是半径. 2.圆的标准方程 圆心是C(a，b)，半径为r 的圆的标准方程为 。 特别地，当圆心在坐标原点，半径为r时，圆的标准方程为 。 【即时训练】 一、单选题 1．已知圆心坐标是，圆的半径，则圆的标准方程是（    ）. A． B． C． D． 2．已知圆心为的圆经过原点，则该圆的标准方程是（   ） A． B． C． D． 3．以点为圆心，且经过点的圆的方程为（   ）． A． B． C． D． 4．若圆心，半径为2，则圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 5．圆心在 轴上，且过点 的圆与 轴相切，则该圆的方程是（    ） A． B． C． D． 6．已知过原点的圆，其圆心为 ，则该圆的标准方程是（ ） A． B． C． D． 7．过点 ，，且圆心在直线 上的圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 8．过，，三点圆的标准方程为（    ）． A． B． C． D． 9．过三点的圆的方程是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 10．已知圆心在轴上的圆过点且与轴相切，则该圆的标准方程为_____________. 11．已知圆心为的圆与x轴相切，则该圆的标准方程为________． 12．若圆与轴相切，且经过点，圆心在轴上，则圆的方程是__________. 13．已知三角形的三个顶点坐标分别为，，，则三角形的外接圆的标准方程为_________________. 三、解答题 14．已知的三个顶点的坐标为，，，求 (1)求的面积； (2)求的外接圆的标准方程. 【考点2 圆的一般方程】 1.圆的一般方程 圆的一般方程为 把圆的一般方程配方化为标准方程得 。 (1)当 时，方程表示圆.此时圆心坐标为 半径 (2)当 时，方程表示一个点，这个点的坐标是 (3)当 时，方程不表示任何图形. 2.点与圆的位置关系 对于点 P(x₀,y₀)和圆 或 点 P 到圆心的距离记作d. (1)点 P 在圆内⇔ r. (2)点 P 在圆上⇔ (3)点 P 在圆外⇔ 【即时训练】 一、单选题 1．已知圆的方程为，则圆心坐标和半径分别为（    ） A． B． C． D． 2．已知圆的面积为，则该圆的圆心坐标为（   ） A． B． C． D． 3．若圆，则（    ）． A．圆心，半径 B．圆心，半径 C．圆心，半径 D．圆心，半径 4．已知圆的方程为，其半径为（    ） A．2 B．4 C．8 D．16 5．圆的圆心为（   ） A． B． C． D． 6．已知圆的半径为1，则的值为（    ） A．7 B．9 C．10 D．16 7．圆的圆心坐标和半径分别为（    ）. A．， B．， C．， D．， 8．若圆过坐标原点，则实数的值为（   ） A．2或1 B．或 C．2 D．1 9．点与圆的位置关系是（    ） A．点在圆内 B．点在圆外 C．点在圆上 D．无法确定 10．点与圆的位置关系是（    ） A．点在圆上 B．点在圆内 C．点在圆外 D．无法判定 11．过点与圆相切的直线方程为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 12．已知圆的面积为，则__________. 13．若方程表示圆，则k的取值范围是________．（用区间表示） 14．若方程表示的曲线是一个圆，则实数a的取值范围是__________． 15．已知O为坐标原点，点P在圆上，则的最小值为______． 三、解答题 16．在平面直角坐标系中，，，． (1)求点到直线的距离； (2)求经过三点的圆的方程． 1.（2023·广东·真题T15）设与轴相切的圆，经过点，且圆心在轴上，则这个圆的方程为（ ） A. B. C. D. 2.（2022·广东·真题T10）已知圆的面积为4，则（ ） A.1 B. C.2 D.4 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $