专题01平面向量及其应用-2025-2026学年高一下学期数学期末专项训练（广东专用）

专题01 平面向量及其应用 一、题型一向量的线性运算 1．（25-26高一下·广东·期末）关于向量，，下列命题中，正确的是（    ） A．若，则 B．若，，则 C．若，则 D．若，则 2．（23-24高一下·广东江门·期末）已知两个非零向量，共线，则（     ） A．，或 B．与方向相同或相反 C．与平行 D．存在实数，使得 3．（24-25高一下·广东云浮·期末）（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高一下·广东佛山·期末）已知向量，是两个不共线的向量，，，且，则（   ） A． B． C．1 D．2 5．（24-25高一下·广东茂名·期末）已知，是同一平面内两个不共线的向量，则的是（   ） A．， B．， C．， D．， 二、题型二 用基底表示向量 6．（24-25高一下·广东汕尾·期末）如图，在中，是BC上靠近的一个三等分点，记，，则可以用，表示为（    ） A． B． C． D． 7．（25-26高一下·广东·期末）在△中，，为中点，设，，则（    ） A． B． C． D． 8．（24-25高一下·广东广州·期末）如图，向量 等于（     ） A． B． C． D． 9．（22-23高一下·广东揭阳·期末）已知的重心为点，点为上一点，且满足，记，则（    ） A． B． C． D． 10．（24-25高一下·广东揭阳·期末）如图，在平行四边形ABCD中，E，F分别是CD边上的两个三等分点，则下列选项正确的有（    ） A． B． C． D． 三、题型三 平面向量基本定理求参数 11．（22-23高一下·广东韶关·期末）.在中，点为边的中点，点为的中点，若，则（    ） A． B． C．1 D． 12．（23-24高一下·广东潮州·期末）如图，在中，，P是线段BD上一点，若，则实数m的值为（    ） A． B． C．2 D． 13．（22-23高一下·广东深圳·期末）在梯形中，若，且，则（    ） A． B． C． D． 14．（23-24高一下·广东汕尾·期末）在中，，点为的垂心，且满足，，则（    ） A． B．－1 C． D． 15．（23-24高一下·广东·期末）如图，点是的重心，点是边上一点，且，，则（    ） A． B． C． D． 16．（22-23高一下·重庆开州·阶段检测）如图，在中，为线段上的一点，，且，则______. 四、题型四 向量共线求参数 17．（23-24高一下·广东·期末）已知向量与向量平行，则（    ） A．1 B．0 C． D． 18．（23-24高一下·广东佛山·期末）已知向量不共线，若则（   ） A． B． C． D．2 19．（24-25高一下·广东广州·期末）已知，，则与向量方向相反的单位向量为（    ）． A． B． C． D． 20．（24-25高一下·广东梅州·期末）若三点，，在同一条直线上，则（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 21．（23-24高一下·广东深圳·期末）已知 中， ，若 ，且 三点共线， 则 （      ） A． B． C． D． 22．（23-24高一下·广东湛江·期末）已知向量，，，若点A，B，C能构成三角形，则实数m可以是（    ） A．0 B．1 C． D． 23．（24-25高一下·广东惠州·期末）如图，在△ABC中， 过点P的直线分别交直线AB ，AC于不同的两点M，N，设 其中m，n>0， 则 的最小值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 24．（24-25高一下·广东云浮·期末）已知向量，若，则__________. 25．（25-26高一上·广东广州·期末）设在一条直线上，在该直线外，已知，则等于___________． 26．（24-25高一下·广东云浮·期末）如图，在平行四边形中，，设. (1)用表示； (2)证明：三点共线. 五、题型五 向量的数量积 27．（24-25高一下·广东河源·期末）如图，在梯形中，，， ，则（    ） A． B． C． D． 28．（24-25高一下·广东潮州·期末）在中，已知，，，点M为上的点，且，则（） A． B． C． D． 29．（22-23高一下·广东阳江·期末）已知，，若，则x等于（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 30．（22-23高一下·广东汕尾·期末）在平行四边形中，，，，则______. 31．（22-23高一下·广东梅州·期末）在边长为6的等边三角形中，若点D为的中点，点E满足，则 __________. 32．（24-25高一下·广东·期末）如图，在中，已知为线段上一点，，． (1)求实数，的值； (2)若，，且与的夹角为，求的值． 六、题型六 投影向量 33．（24-25高一下·广东潮州·期末）已知，，向量在上的投影向量的坐标为（    ） A． B． C． D． 34．（23-24高一下·广东江门·期末）已知向量，，则在方向上的投影向量为（     ） A． B． C． D． 35．（23-24高一下·广东汕尾·期末）已知向量，，则向量在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 36．（22-23高一下·广东佛山·期末）在平面直角坐标系中，，，则向量在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 37．（24-25高一下·广东揭阳·期末）已知，则在方向上的投影向量为__________． 38．（22-23高一下·广东广州·期末）已知向量，，且，则在方向上的投影向量的坐标为______. 39．（24-25高一下·广东河源·期末）已知向量，且的夹角为，则向量在上的投影向量的坐标为__________. 40．（24-25高一下·广东惠州·期末）已知向量与的夹角为则在方向上的投影向量的坐标为_____________. 七、题型七 向量的垂直关系 41．（24-25高一下·广东深圳·期末）和垂直的一个单位向量的坐标可以是（   ） A． B． C． D． 42．（24-25高一下·广东惠州·期末）已知，若，则实数（    ） A． B．2 C． D．1 43．（22-23高一下·广东广州·期末）已知向量，，若与垂直，则等于（    ） A．1 B．0 C． D． 44．（23-24高一下·广东深圳·期末）已知向量 ，若 ，则 （      ） A． B． C．1 D．2 45．（24-25高一下·广东肇庆·期末）已知向量，，且，则（   ） A．8 B． C． D． 46．（25-26高三上·广东深圳·期末）已知平面向量，若，则_________. 47．（15-16高一下·浙江湖州·期中）已知向量是同一平面内的三个向量，其中． (1)若，且，求向量的坐标; (2)若，且，求与的夹角θ． 48．（23-24高一下·广东湛江·期末）已知向量，． (1)求； (2)设，的夹角为，求的值； (3)若向量与互相垂直，求k的值． 八、题型八 向量夹角 49．（24-25高一下·广东梅州·期末）如图，在中，，，是边上靠近点的三等分点，是的中点，与交于点，（   ） A． B． C． D． 50．（23-24高一下·广东肇庆·期末）已知单位圆与轴正半轴交于点，点在第二象限且在单位圆上．若，劣弧的中点为，则（　　） A． B． C． D． 51．（22-23高一下·广东肇庆·期末）如图，在边长为1的正方形中，，分别为，的中点，以为圆心，为半径作圆，得到重叠部分为扇形.连接，，分别交弧于，.下列说法正确的是（    ） A． B． C．可作为一个基底 D． 52．（24-25高一下·云南临沧·期末）已知向量，则下列结论正确的是（  ） A． B． C．与的夹角为钝角 D．在上的投影向量的坐标为 53．（24-25高一下·广东茂名·期末）若，，则（   ） A． B． C．与的夹角为 D．在方向上的投影向量为 54．（23-24高一下·广东揭阳·期末）已知向量，则（    ） A． B． C．在上的投影向量的模为 D．与的夹角为钝角 55．（23-24高一下·广东梅州·期末）在平面直角坐标系中，已知为原点，点，则与夹角的余弦值______． 56．（23-24高一下·广东汕尾·期末）已知向量，． (1)证明： (2)求与的夹角． 57．（22-23高一下·广东珠海·期末）已知，，是同一平面内的三个向量，其中. (1)若，且，求坐标； (2)若为单位向量，且，求与的夹角. 58．（25-26高一上·广东广州·期末）已知向量与的夹角，且． (1)若与垂直，求 (2)求与的夹角的余弦值． 59．（22-23高一下·广东汕尾·期末）已知点，，. (1)若，是实数，且，求的值； (2)求与的夹角的余弦值. 九、题型九 向量的模长 60．（22-23高一下·广东东莞·期末）已知向量，，且，则（    ） A． B． C． D． 61．（24-25高一下·河北唐山·期中）已知平面向量与的夹角为，，，则（    ） A． B． C． D． 62．（23-24高一下·广东清远·期末）已知正方形的边长为2，，，，则（    ） A．0 B．8 C． D． 63．（23-24高一下·广东佛山·期末）已知四边形 中， ，则四边形 的面积为（      ） A．3 B．5 C．6 D．10 64．（22-23高一下·广东汕尾·期末）已知，，，则（    ） A． B． C． D．或 65．（23-24高一下·广东·期末）已知点在所在平面内，满足，且，，则边BC的长为___________． 66．（25-26高三上·广东珠海·阶段检测）平面向量，若，则______. 67．（23-24高一下·广东江门·期末）如图，已知、均为等边三角形，的边长为，、、分别为、、的中点． (1)用基底表示向量 (2)延长与交于点，延长与交于点，求 68．（22-23高一下·广东·期末）已知向量满足. (1)求； (2)若，求的最小值. 十、题型十 向量与三角函数 69．（24-25高一下·广东揭阳·期末）已知向量，函数，下列说法正确的是（   ） A．的最小正周期是 B．的图象关于点对称 C．的图象关于直线对称 D．的单调增区间为 70．（23-24高一下·浙江·期中）已知扇形的半径为13，以为原点建立如图所示的平面直角坐标系，，弧的中点为，则（    ） A． B． C． D． 71．（22-23高一下·广东·期末）已知为坐标原点，点，，，则（    ） A． B． C．若，则 D．若，则 72．（24-25高一下·广东佛山·期末）已知向量，，函数. (1)求的解析式； (2)求的最小正周期及单调递增区间； (3)若在区间上的值域为，求实数的取值范围. 73．（23-24高一下·广东湛江·期末）已知向量，，． (1)求在上的值域； (2)求函数图象的对称中心坐标和对称轴方程． 十一、题型十一 平面向量的几何应用 74．（24-25高一下·广东潮州·期末）平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，，，则实数（    ） A．2 B． C． D． 75．（23-24高一下·广东韶关·期末）已知点 O是平面直角坐标系的原点，点A的坐标为 ，点B的坐标为 ，作，垂足为D，则下列结论正确的是（    ） A． B．设 四边形OABP有可能是平行四边形 C．将绕 O逆时针旋转得到向量 则的坐标为 D． 76．（21-22高一下·广东梅州·期末）在△ABC中，下列正确的是（    ） A．若，则△ABC为钝角三角形 B．若，则△ABC为直角三角形 C．若，则△ABC为等腰三角形 D．已知，且，则△ABC为等边三角形 77．（22-23高一下·广东江门·期末）下列说法正确的是（    ） A．中，D为BC的中点，则 B．向量，可以作为平面向量的一组基底 C．若非零向量与满足，则为等腰三角形 D．已知点，，点P是线段AB的三等分点，则点P的坐标可以为 78．（24-25高一下·广东揭阳·期末）已知三个点． (1)求证：； (2)要使四边形为矩形，求点C的坐标并求矩形两条对角线所成的锐角的正切值． 79．（22-23高一下·广东云浮·期末）已知点，，，且. (1)求点的坐标； (2)求的面积. 80．（22-23高一下·广东梅州·期末）在直角坐标系中，已知两点、，点C为x轴上一动点. (1)若是以为斜边的直角三角形，求点C的坐标； (2)已知点，问是否存在实数t，使得四边形为平行四边形？如果存在求出实数t的值；如果不存在，请说明理由. 81．（25-26高一上·广东深圳·期末）如图，在平行四边形中为的中点分别为的一个三等分点，点靠近点点靠近点记. (1)把▱放到平面直角坐标系中，若求点的坐标； (2)用表示； (3)若求. 82．（24-25高一下·广东梅州·期末）如图，圆的半径为2. (1)设为圆的一条弦，如图①，当时， （i）当取何值时，取得最小值，并求出此最小值； （ii）设是圆上的一动点，求的最大值； (2)设、为圆的两条弦，如图②，已知，求的最大值. 十二、题型十二 平面向量的坐标表示的综合 83．（22-23高一下·广东广州·期末）已知，，是同一平面内的三个向量，则（    ） A．若，，则 B．若是非零向量，，则是的充要条件 C．若，，，则可以作为基底 D．若，，两两的夹角相等，且，，，则 84．（23-24高一下·广东·期末）已知向量，则下列说法中正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若向量的夹角为钝角，则m的取值范围是 85．（23-24高一下·广东云浮·期末）已知平面向量，则下列结论正确的是（    ） A．一定可以作为一个基底 B．一定有最小值 C．一定存在一个实数，使得 D．若，则在上的投影向量的坐标为 86．（22-23高一下·广东珠海·期末）下列说法正确的有（    ） A．已知，，若，则 B．已知，若，，则 C．若，则一定不与共线 D．若，，为钝角，则实数的范围是 87．（24-25高一下·广东佛山·期末）若物体在共点力，的作用下产生位移，则合力对物体所做的功为__________. 十三、题型十三 向量的最值与取值范围 88．（24-25高一下·广东佛山·期末）已知，，则的最小值为（   ） A．1 B． C．2 D．4 89．（24-25高一下·江苏·期末）已知△ABC是边长为2的等边三角形，M是△ABC内一点，且，若，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 90．（22-23高一下·广东韶关·期末）在直角中，，若点是所在平面内一点，且，则当取到最大值时，（    ） A．1 B． C． D．2 91．（22-23高一下·广东梅州·期末）在直角坐标系中，已知，，若，恒成立，则（    ） A． B． C． D． 92．（25-26高一下·广东·期末）如图，在△中，，，点满足，为中点，点在线段上移动（包括端点），则的取值范围是__ ． 93．（24-25高一下·广东汕头·期末）已知为直角三角形，，，，为的中点.若点在射线上运动，则的最小值为_____________. 94．（23-24高一下·广东广州·期末）如图，已知，，且点是的重心.过点的直线与线段、分别交于点、.设，（，）.    (1)求的值，并判断是否为定值，若是则求出定值，若不是请说明理由； (2)若的周长为，的周长为.设，记，求的取值范围. 95．（24-25高一下·广东揭阳·期末）已知是坐标原点． (1)若点A，B，M三点共线，求t的值； (2)当t取何值时，取到最小值？并求出最小值． (3)若为线段（含端点）上的动点，求的取值范围． 96．（24-25高一下·广东惠州·期末）将所有平面向量组成的集合记作.如果对于向量. ，存在唯一的向量 与之对应，其中坐标、由、确定，则把这种对应关系记为. 或者 简记为.例如就是一种对应关系.若在的条件下有最大值，则称此最大值为对应关系的模，并把的模记作；若存在非零向量及实数使得，则称为的一个特征值， (1)如果，求； (2)如果，计算的特征值，并求相应的；（若符合条件的向量有多个，写出其中一个即可） (3)若，要使有唯一的特征值，实数、、、应满足什么条件?试找出一个对应关系，同时满足以下两个条件：①有唯一的特征值，②，并验证满足这两个条件. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 平面向量及其应用 一、题型一向量的线性运算 1．（25-26高一下·广东·期末）关于向量，，下列命题中，正确的是（    ） A．若，则 B．若，，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【详解】选项A，两个向量的模相等，但是方向不确定，所以不一定相等，A错误； 选项B，若，则与任意向量共线，而与的方向不确定，B错误； 选项C，两个向量不能比较大小，C错误； 选项D，若，两个向量方向相反、共线，故，D正确． 2．（23-24高一下·广东江门·期末）已知两个非零向量，共线，则（     ） A．，或 B．与方向相同或相反 C．与平行 D．存在实数，使得 【答案】BCD 【分析】根据向量共线的定义或向量共线定理即可逐一判断. 【详解】有共线向量的定义可知，共线向量是方向相同或相反的向量，模长不一定需要相等，故A错误，B正确， 共线向量又叫平行向量，故C正确；由向量共线定理可得，存在唯一实数，使得成立，故D正确； 故选：BCD. 3．（24-25高一下·广东云浮·期末）（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，利用向量的线性运算法则，准确运算，即可求解. 【详解】根据向量的线性运算法则，可得. 故选：A. 4．（24-25高一下·广东佛山·期末）已知向量，是两个不共线的向量，，，且，则（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】A 【分析】利用平面向量共线定理即可求解. 【详解】向量，是两个不共线的向量，， ，存在唯一实数使得，即， ，. 故选：A. 5．（24-25高一下·广东茂名·期末）已知，是同一平面内两个不共线的向量，则的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】根据，则，依次验证在每个选项的条件下，若，是否有解即可. 【详解】若，则， 选项A：若，则，解得，选项A正确； 选项B：若，则，无解，选项B错误； 选项C：若，则，无解，选项C错误； 选项D：若，则，无解，选项D错误. 故答案为：A. 二、题型二 用基底表示向量 6．（24-25高一下·广东汕尾·期末）如图，在中，是BC上靠近的一个三等分点，记，，则可以用，表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据向量的线性运算求解. 【详解】由题意：. 故选：C 7．（25-26高一下·广东·期末）在△中，，为中点，设，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】在△中，，则， 又为中点， 则. 8．（24-25高一下·广东广州·期末）如图，向量 等于（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据图像有，利用向量的减法和向量的线性运算即可求解. 【详解】由图可知：， 所以， 故选：B. 9．（22-23高一下·广东揭阳·期末）已知的重心为点，点为上一点，且满足，记，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意推出以及，根据向量的线性运算，即可求得答案. 【详解】由题意的重心为点，点为上一点，且满足， 则，    设D为的中点，则， 故， 故选：A 10．（24-25高一下·广东揭阳·期末）如图，在平行四边形ABCD中，E，F分别是CD边上的两个三等分点，则下列选项正确的有（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据向量的线性关系及加减法计算求解判断各个选项即可. 【详解】对于A，由题意知，E，F分别是边上的两个三等分点，且与方向相同，则，故A正确； 对于，，故B正确； 对于C，，故C错误； 对于，，所以，故D正确． 故选:ABD． 三、题型三 平面向量基本定理求参数 11．（22-23高一下·广东韶关·期末）.在中，点为边的中点，点为的中点，若，则（    ） A． B． C．1 D． 【答案】D 【分析】直接根据向量的线性运算以及三角形法则求解即可． 【详解】中，点为边的中点，点为的中点，如图所示，   ， 又，，. 故选：D 12．（23-24高一下·广东潮州·期末）如图，在中，，P是线段BD上一点，若，则实数m的值为（    ） A． B． C．2 D． 【答案】A 【分析】根据向量线性运算得，再利用三点共线的结论即可得到值. 【详解】根据题意，得， 又， 因为B，P，D三点共线，所以，即. 故选：A. 13．（22-23高一下·广东深圳·期末）在梯形中，若，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平面向量的基本定理化简，可得答案. 【详解】由题意，，化简得， 即，则， 故选：A. 14．（23-24高一下·广东汕尾·期末）在中，，点为的垂心，且满足，，则（    ） A． B．－1 C． D． 【答案】D 【分析】一方面：根据已知得出，另一方面：由三点共线的推论即可列式求解. 【详解】由题意可知是以A为顶角的等腰三角形， 如图所示：，，则， 在直角三角形中，，即. 设， 则， ， 所以，所以. 故选：D. 15．（23-24高一下·广东·期末）如图，点是的重心，点是边上一点，且，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】延长交于，根据题意，得到且，再由，可得是的四等分点，根据向量的运算法则，求得，求得的值，即可求解. 【详解】如图所示，延长交于， 由已知为的重心，则点为的中点，可得，且， 又由，可得是的四等分点， 则， 因为，所以，，所以． 故选：C. 16．（22-23高一下·重庆开州·阶段检测）如图，在中，为线段上的一点，，且，则______. 【答案】2 【分析】根据图形，利用平面向量的运算法则即可. 【详解】由题意，结合图形，根据平面向量的运算法则，由， 得，即，所以，. 所以. 故答案为：. 四、题型四 向量共线求参数 17．（23-24高一下·广东·期末）已知向量与向量平行，则（    ） A．1 B．0 C． D． 【答案】A 【分析】由向量平行的坐标运算求解即可. 【详解】因为向量与向量平行，所以，解得. 故选：A 18．（23-24高一下·广东佛山·期末）已知向量不共线，若则（   ） A． B． C． D．2 【答案】B 【分析】根据共线定理和平面向量基本定理求解可得. 【详解】因为， 所以存在，使得， 又不共线，所以，解得. 故选：B 19．（24-25高一下·广东广州·期末）已知，，则与向量方向相反的单位向量为（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用向量的定义运算，结合相反向量和单位向量的概念即可求解. 【详解】由，，可得向量， 则与向量方向相反的单位向量为， 故选：C. 20．（24-25高一下·广东梅州·期末）若三点，，在同一条直线上，则（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】根据题意，结合，列出方程，即可求解. 【详解】由三点，，，可得， 因为三点共线，可得，可得，解得. 故选：B. 21．（23-24高一下·广东深圳·期末）已知 中， ，若 ，且 三点共线， 则 （      ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先应用平面向量基本定理，再根据三点共线的性质列式求参即可. 【详解】 因为所以， , 因为三点共线，所以, , 所以 . 故选：C. 22．（23-24高一下·广东湛江·期末）已知向量，，，若点A，B，C能构成三角形，则实数m可以是（    ） A．0 B．1 C． D． 【答案】BCD 【分析】根据题意分析可知不共线，结合向量共线的坐标表示运算求解. 【详解】因为，，， 则， 若点A，B，C能构成三角形，即A，B，C不共线，则不共线， 可得，即， 结合选项可知A错误；BCD正确. 故选：BCD. 23．（24-25高一下·广东惠州·期末）如图，在△ABC中， 过点P的直线分别交直线AB ，AC于不同的两点M，N，设 其中m，n>0， 则 的最小值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】利用向量基本定理得到，由共线定理的推论得到方程，求出，再利用乘“1”法即可得到答案. 【详解】， 因为，，所以， 又三点共线，所以，即，且， ， 当且仅当，即时等号成立. 故选：C 24．（24-25高一下·广东云浮·期末）已知向量，若，则__________. 【答案】 【分析】根据题意，利用向量共线的坐标表示，列出方程，即可求解. 【详解】由向量，因为，可得，解得. 故答案为：. 25．（25-26高一上·广东广州·期末）设在一条直线上，在该直线外，已知，则等于___________． 【答案】2 【分析】由三点共线可得两个向量共线，再结合平面向量基本定理可得. 【详解】因为共线，所以，， 因为向量不共线，且， 所以，解得. 故答案为：2 26．（24-25高一下·广东云浮·期末）如图，在平行四边形中，，设. (1)用表示； (2)证明：三点共线. 【答案】(1)， (2)证明见解析 【分析】（1）根据题意，结合和，即可求解； （2）根据题意，求得，，得到，即可得证. 【详解】（1）解：由题意知，向量可得， 又由，可得， 所以. （2）证明：因为，可得， 所以， 且，可得，所以三点共线. 五、题型五 向量的数量积 27．（24-25高一下·广东河源·期末）如图，在梯形中，，， ，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】采用坐标法建系，写出坐标，再用数量积的坐标运算求解即可. 【详解】 如图以为坐标原点建立平面直角坐标系，， ，， 设，，，解得， ，，. 故选：D. 28．（24-25高一下·广东潮州·期末）在中，已知，，，点M为上的点，且，则（） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】建立平面直角坐标示，求出相应的坐标，利用坐标运算求数量积即可. 【详解】建立如图所示的平面直角坐标系， 过点作点， ，，，， ，， ，，， ， 故选：B 29．（22-23高一下·广东阳江·期末）已知，，若，则x等于（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】C 【分析】由平面向量的坐标运算即可得出答案. 【详解】由题意，，，， ，解得：. 故选：C. 30．（22-23高一下·广东汕尾·期末）在平行四边形中，，，，则______. 【答案】24 【分析】根据向量的加法运算，以及向量的模长公式即可求解. 【详解】由于,所以， 故， 故答案为： 31．（22-23高一下·广东梅州·期末）在边长为6的等边三角形中，若点D为的中点，点E满足，则 __________. 【答案】 【分析】根据平面向量的加减法运算和数量积的运算律求解. 【详解】由题可得，, , 所以， 故答案为：. 32．（24-25高一下·广东·期末）如图，在中，已知为线段上一点，，． (1)求实数，的值； (2)若，，且与的夹角为，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】根据平面向量基本定理可得：，整理可得结果. 根据平面向量基本定理可得：．,根据数量积运算法则，代入模长和夹角，整理即可. 【详解】（1）由可得：. 整理得：. . . （2）由知；且，且与的夹角为. . 即. 六、题型六 投影向量 33．（24-25高一下·广东潮州·期末）已知，，向量在上的投影向量的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】直接根据投影向量的公式求解. 【详解】由题意，在上的投影向量的坐标为. 故选：C 34．（23-24高一下·广东江门·期末）已知向量，，则在方向上的投影向量为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用向量在向量上的投影向量的定义求解. 【详解】因为平面向量，，则， 所以向量在方向上的投影向量的坐标为： ， 故选：D. 35．（23-24高一下·广东汕尾·期末）已知向量，，则向量在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据投影向量的定义和公式求解即可. 【详解】，向量在向量上的投影向量为. 即，代入求值， . 故选：A. 36．（22-23高一下·广东佛山·期末）在平面直角坐标系中，，，则向量在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，求得，得到，结合投影向量的计算方法，即可求解. 【详解】由平面直角坐标系中，，，可得， 则， 所以向量在向量上的投影向量为. 故选：B. 37．（24-25高一下·广东揭阳·期末）已知，则在方向上的投影向量为__________． 【答案】 【分析】应用投影向量的定义求在方向上的投影向量. 【详解】在方向上的投影数列为， 所以投影向量为. 故答案为： 38．（22-23高一下·广东广州·期末）已知向量，，且，则在方向上的投影向量的坐标为______. 【答案】 【分析】首先求出的坐标，再根据向量垂直数量积为求出参数的值，再根据投影向量的定义计算可得. 【详解】因为，，所以， 又，所以，解得， 所以，则，， 所以在方向上的投影向量为. 故答案为： 39．（24-25高一下·广东河源·期末）已知向量，且的夹角为，则向量在上的投影向量的坐标为__________. 【答案】 【分析】利用向量数量积的定义可求得，利用，可求得量在上的投影向量的坐标. 【详解】因为，所以，又，且的夹角为， 所以， 所以向量在上的投影向量为. 所以向量在上的投影向量的坐标为. 故答案为：. 40．（24-25高一下·广东惠州·期末）已知向量与的夹角为则在方向上的投影向量的坐标为_____________. 【答案】 【分析】根据投影向量公式直接求解可得. 【详解】，， 由投影向量公式可得： . 故答案为：. 七、题型七 向量的垂直关系 41．（24-25高一下·广东深圳·期末）和垂直的一个单位向量的坐标可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设与向量垂直的单位向量是，由题意可得，，结合平面向量数量积的坐标运算可得出关于、的方程组，即可得解. 【详解】设与向量垂直的单位向量是，由题意可得，， 所以，解得或， 故或，结合选项可知选项B即为所求. 故选：B 42．（24-25高一下·广东惠州·期末）已知，若，则实数（    ） A． B．2 C． D．1 【答案】C 【分析】由向量坐标运算及垂直的坐标表示可求. 【详解】由题意，向量，则， 因为，可得，解得． 故选：C. 43．（22-23高一下·广东广州·期末）已知向量，，若与垂直，则等于（    ） A．1 B．0 C． D． 【答案】C 【分析】利用平面向量垂直的坐标表示即可得解. 【详解】因为，，所以， 因为与垂直，所以，则. 故选：C. 44．（23-24高一下·广东深圳·期末）已知向量 ，若 ，则 （      ） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【分析】根据向量坐标化运算和向量垂直的坐标表示即可得到方程，解出即可. 【详解】, 因为，则，即，于是 . 故选：B. 45．（24-25高一下·广东肇庆·期末）已知向量，，且，则（   ） A．8 B． C． D． 【答案】D 【分析】由向量垂直的坐标表示列方程求参数值，再由向量数量积的运算律及模长的坐标运算求结果. 【详解】由，得，所以． 故选：D 46．（25-26高三上·广东深圳·期末）已知平面向量，若，则_________. 【答案】 【分析】根据向量的坐标运算结合向量垂直可得，进而可得的坐标和模长. 【详解】因为向量，则， 若，则，解得， 则，所以. 故答案为：. 47．（15-16高一下·浙江湖州·期中）已知向量是同一平面内的三个向量，其中． (1)若，且，求向量的坐标; (2)若，且，求与的夹角θ． 【答案】(1)或； (2) 【分析】（1）设，根据向量平行关系和模长公式得到方程组，求出或； （2）根据向量垂直关系得到方程，求出，进而利用夹角余弦公式得到夹角. 【详解】（1）设，根据，可得， 又，解得或， 当时，，当时，， 故或； （2）， ，故，即， 故， ，故， 故与的夹角. 48．（23-24高一下·广东湛江·期末）已知向量，． (1)求； (2)设，的夹角为，求的值； (3)若向量与互相垂直，求k的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）直接利用向量的坐标运算求解即可； （2）利用向量夹角的坐标公式求解即可； （3）利用向量垂直的坐标运算列式求解即可. 【详解】（1）因为，，所以； （2）； （3）因为，，所以，， 由向量与互相垂直得，， 所以，化简得，解得. 八、题型八 向量夹角 49．（24-25高一下·广东梅州·期末）如图，在中，，，是边上靠近点的三等分点，是的中点，与交于点，（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】建立适当的平面直角坐标系，求出，结合计算即可. 【详解】由题意，建立如图所示的平面直角坐标系， 而，从而， 所以. 故选：A. 50．（23-24高一下·广东肇庆·期末）已知单位圆与轴正半轴交于点，点在第二象限且在单位圆上．若，劣弧的中点为，则（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】通过单位圆、点坐标及，得，设与正半轴的夹角为，则，求出即可. 【详解】由题意可知，，则， 在第二象限且在单位圆上，设，且，则， 因为，所以，即，故. 设与正半轴的夹角为，则， 因为，且，则，所以， 所以点坐标为，故. 故选：A. 51．（22-23高一下·广东肇庆·期末）如图，在边长为1的正方形中，，分别为，的中点，以为圆心，为半径作圆，得到重叠部分为扇形.连接，，分别交弧于，.下列说法正确的是（    ） A． B． C．可作为一个基底 D． 【答案】ABD 【分析】根据单位向量，诱导公式、二倍角公式、基底等知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】A选项，表示方向上的单位向量，， 且与方向相同，所以，所以A选项正确. B选项，， 所以， 所以 ，B选项正确. C选项，连接， 由于，所以， 由于分别是的中点，所以， 所以，故不能作为一个基底，C选项错误. D选项， ，所以D选项正确. 故选：ABD 52．（24-25高一下·云南临沧·期末）已知向量，则下列结论正确的是（  ） A． B． C．与的夹角为钝角 D．在上的投影向量的坐标为 【答案】ABD 【分析】借助向量数量积的坐标形式、模长公式及投影向量定义计算即可得. 【详解】对A：，故A正确； 对B：，故B正确； 对C：由，故与的夹角为锐角，故C错误； 对D：，故D正确. 故选：ABD. 53．（24-25高一下·广东茂名·期末）若，，则（   ） A． B． C．与的夹角为 D．在方向上的投影向量为 【答案】AC 【分析】选项A：根据向量数量积的坐标表示进行计算即可；选项B：根据向量加减法的坐标表示计算出和，再结合两向量垂直，数量积为0判断即可；选项C：根据向量夹角的公式进行计算即可；选项D：根据向量的投影向量公式计算即可. 【详解】对于选项A，，故选项A正确； 对于选项B，，，，故选项B错误； 对于选项C，，结合与的夹角范围为，故与的夹角为，选项C正确； 对于选项D，在方向上的投影向量为，故选项D错误. 故答案为：AC. 54．（23-24高一下·广东揭阳·期末）已知向量，则（    ） A． B． C．在上的投影向量的模为 D．与的夹角为钝角 【答案】AC 【分析】由模长的计算可得A正确；由向量垂直的坐标表示可得B错误；由投影向量的模的计算可得C正确；由向量的夹角公式可得D错误. 【详解】A：由题意可得，故A正确； B：因为， 所以，故B错误； C：在上的投影向量的模为，故C正确； D：与的夹角的余弦值为，所以夹角不是钝角，故D错误； 故选：AC. 55．（23-24高一下·广东梅州·期末）在平面直角坐标系中，已知为原点，点，则与夹角的余弦值______． 【答案】/ 【分析】利用向量夹角余弦公式进行求解. 【详解】. 故答案为： 56．（23-24高一下·广东汕尾·期末）已知向量，． (1)证明： (2)求与的夹角． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由向量的加法、数量积的坐标运算即可得证； （2）直接由向量夹角的坐标运算计算即可求解. 【详解】（1）因为，， 所以， 所以，所以. （2）因为，， 所以，． 又， 所以． 又，所以与的夹角为． 57．（22-23高一下·广东珠海·期末）已知，，是同一平面内的三个向量，其中. (1)若，且，求坐标； (2)若为单位向量，且，求与的夹角. 【答案】(1)或者 (2) 【分析】（1）设，由已知条件，列方程组求未知数； （2）由，求出，可得与的夹角. 【详解】（1）设，由已知可得， 解得或， 所以或者. （2）由已知，. 由得， 即，即，所以， 所以. 因为，，故. 58．（25-26高一上·广东广州·期末）已知向量与的夹角，且． (1)若与垂直，求 (2)求与的夹角的余弦值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据数量积的定义和向量垂直进行求解； （2）利用平面向量夹角公式求解. 【详解】（1）由已知，得， 由与垂直，则，则； （2）， 设与的夹角为， 则， 与的夹角的余弦值为. 59．（22-23高一下·广东汕尾·期末）已知点，，. (1)若，是实数，且，求的值； (2)求与的夹角的余弦值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求出的坐标，利用数量积为0，列出关于的方程，解出即可得结果； （2）直接根据向量夹角公式即可得结果. 【详解】（1）∵，，， ∴，，，故 ∵ ∴ 解得 （2）∵，，， ∴， 故与的夹角的余弦值为. 九、题型九 向量的模长 60．（22-23高一下·广东东莞·期末）已知向量，，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据向量共线的坐标表示求出，从而求出的坐标，即可求出其模. 【详解】因为，，且， 所以，解得，所以， 所以，所以. 故选：C 61．（24-25高一下·河北唐山·期中）已知平面向量与的夹角为，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由向量的模长公式代入计算，即可得到结果. 【详解】因为，所以，， 则 ． 62．（23-24高一下·广东清远·期末）已知正方形的边长为2，，，，则（    ） A．0 B．8 C． D． 【答案】D 【分析】如图，以为原点，建立平面直角坐标系，根据题意表示出的坐标，从而可求出，进而可求出其模. 【详解】如图，以为原点，建立平面直角坐标系， 则， 所以，，， 所以， 所以. 故选：D 63．（23-24高一下·广东佛山·期末）已知四边形 中， ，则四边形 的面积为（      ） A．3 B．5 C．6 D．10 【答案】B 【分析】先判断，然后求向量的模代入公式可得. 【详解】因为，所以， 又， 所以四边形 的面积. 故选：B 64．（22-23高一下·广东汕尾·期末）已知，，，则（    ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】依题意设，根据向量模的坐标表示得到方程，解得即可. 【详解】因为，，故设，又， 所以，解得， 所以或. 故选：D 65．（23-24高一下·广东·期末）已知点在所在平面内，满足，且，，则边BC的长为___________． 【答案】 【分析】取的中点，先证明点为的重心，易得点为的外心，将用表示，再根据数量积的几何意义结合求出，再根据求出，进而可得出答案. 【详解】取的中点，则， 因为，所以， 所以，又为公共端点，所以三点共线， 所以点在边的中线上，且， 同理点在边的中线上，即点为的重心， 故， 因为， 所以点为的外心，即为为中垂线的交点， 故， 则， 所以， 而，所以， 即， 所以，所以， 所以. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：根据数量积的几何意义结合求出，是解决本题的关键. 66．（25-26高三上·广东珠海·阶段检测）平面向量，若，则______. 【答案】 【分析】先由向量垂直得出，再由坐标运算及模长公式计算求解. 【详解】由，得，解得. 则，. 故答案为：. 67．（23-24高一下·广东江门·期末）如图，已知、均为等边三角形，的边长为，、、分别为、、的中点． (1)用基底表示向量 (2)延长与交于点，延长与交于点，求 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据平面向量基本定理结合题意求解即可； （2）由，，三点共线，可设，则，再由，，三点共线，可求出，再利用向量的加减法将用表示，由，，三点共线，可设，则，由，，三点共线，可求出，则将用表示，从而可求出 【详解】（1）因为、均为等边三角形，且、、分别为、、的中点， 所以 ， 所以，所以． （2）由已知，，三点共线，可设，则， 又，，三点共线，所以，得， 所以， 由已知，，三点共线，可设，则 又，，三点共线，所以，得，故， 所以，所以 68．（22-23高一下·广东·期末）已知向量满足. (1)求； (2)若，求的最小值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先根据向量的线性运算求出，再根据向量的夹角公式计算可得结果； （2）因为平行求出，再根据向量的数量积求出模长，最后应用二次函数的最值求出模长最值. 【详解】（1）由，得， 同相减得，， 代入中，得. 所以， 所以. （2）因为，所以， 所以 当时，取最小值. 十、题型十 向量与三角函数 69．（24-25高一下·广东揭阳·期末）已知向量，函数，下列说法正确的是（   ） A．的最小正周期是 B．的图象关于点对称 C．的图象关于直线对称 D．的单调增区间为 【答案】AB 【分析】应用向量数量积的坐标运算及辅助角公式得，再根据正弦型函数的性质依次判断各项的正误. 【详解】由题意得，． 的最小正周期，故A正确； 由，知的图象关于点对称，故B正确； 由，知的图象不关于直线对称，故C错． 由，得，， 所以的单调增区间为，故D错； 故选：AB 70．（23-24高一下·浙江·期中）已知扇形的半径为13，以为原点建立如图所示的平面直角坐标系，，弧的中点为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出，利用半角公式得到，从而得到，得到答案. 【详解】因为， 故， 故， 故，故. 故选：B 71．（22-23高一下·广东·期末）已知为坐标原点，点，，，则（    ） A． B． C．若，则 D．若，则 【答案】ACD 【分析】利用诱导公式化简、，即可表示出，，，，再根据平面向量坐标运算及和（差）角公式一一判断即可. 【详解】，，，， ，，，， 因为，，所以，故A正确； 因为，故B错误； 若，则， 即，所以，故C正确； 若，则， 即，故D正确. 故选：ACD. 72．（24-25高一下·广东佛山·期末）已知向量，，函数. (1)求的解析式； (2)求的最小正周期及单调递增区间； (3)若在区间上的值域为，求实数的取值范围. 【答案】(1)； (2)最小正周期为， (3). 【分析】（1）利用数量积的坐标表示，结合二倍角公式、辅助角公式求解. （2）由（1）的结论，利用正弦函数的周期公式及单调性求解. （3）求出，由函数在区间上的值域为，结合正弦函数的性质得到不等式，求出范围. 【详解】（1）由向量，得 ； （2）函数的最小正周期， 由，得， 所以的单调递增区间为. （3）由（1）知，， 当时，，由在上的值域为， 得，解得， 所以实数的取值范围是. 73．（23-24高一下·广东湛江·期末）已知向量，，． (1)求在上的值域； (2)求函数图象的对称中心坐标和对称轴方程． 【答案】(1)； (2)对称中心，对称轴. 【分析】（1）利用数量积的坐标表示，结合二倍角的余弦公式及辅助角公式化简求得，再求出值域. （2）由（1）中函数式，结合正弦函数性质求出对称中心及对称轴. 【详解】（1）依题意，， 当时，，则， 所以的值域为. （2）由，得， 所以函数图象的对称中心坐标为； 由，得， 所以函数图象的对称轴方程为. 十一、题型十一 平面向量的几何应用 74．（24-25高一下·广东潮州·期末）平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，，，则实数（    ） A．2 B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意可知，列出方程求解即可. 【详解】因为，，，所以， 因为，所以，解得， 故选：A 75．（23-24高一下·广东韶关·期末）已知点 O是平面直角坐标系的原点，点A的坐标为 ，点B的坐标为 ，作，垂足为D，则下列结论正确的是（    ） A． B．设 四边形OABP有可能是平行四边形 C．将绕 O逆时针旋转得到向量 则的坐标为 D． 【答案】BCD 【分析】对于A：根据向量的模长公式运算求解；对于D：根据向量的线性运算结合向量相等运算求解即可；对于C：根据三角函数值的定义结合诱导公式运算求解；对于D：结合向量投影运算求解. 【详解】由题意可得：， 对于选项A：可得，故A错误； 对于选项B：因为， 若四边形OABP是平行四边形，则， 可得，解得， 所以四边形OABP有可能是平行四边形，故B正确； 对于选项C：设， 则，即， 可知， 则， ， 所以的坐标为，故C正确； 对于选项D：由题意可知：在方向上的投影为， 所以，故D正确； 故选：BCD. 76．（21-22高一下·广东梅州·期末）在△ABC中，下列正确的是（    ） A．若，则△ABC为钝角三角形 B．若，则△ABC为直角三角形 C．若，则△ABC为等腰三角形 D．已知，且，则△ABC为等边三角形 【答案】BCD 【分析】对A，根据向量的数量积运算分析即可； 对B，对两边平方判断即可； 对C，根据平面向量数量积的运算求解即可； 对D，根据，结合数量积的运算可得，进而得到判断即可 【详解】对A，即，即，可得，不能证明△ABC为钝角三角形，故A错误； 对B，即，解得，故，故B正确； 对C，若，则，故，故△ABC为等腰三角形，故C正确； 对D，因为，故，即，又，所以，故，故，同理，结合可得，故△ABC为等边三角形，故D正确； 故选：BCD 77．（22-23高一下·广东江门·期末）下列说法正确的是（    ） A．中，D为BC的中点，则 B．向量，可以作为平面向量的一组基底 C．若非零向量与满足，则为等腰三角形 D．已知点，，点P是线段AB的三等分点，则点P的坐标可以为 【答案】AC 【分析】对于A，根据平面向量的运算即可判断；对于B，根据平面向量的基本定理即可判断；对于C，根据平面向量的运算及三角形性质即可判断；对于D，根据平面向量的运算即可判断. 【详解】对于A，在中，因为D为BC的中点，所以， 所以， 故选项A正确； 对于B，因为向量，，所以， 可知与共线，不能作为平面向量的一组基底，故选项B错误； 对于C，因为和分别表示与向量和同向的单位向量， 所以以和为邻边的平行四边形是菱形， 根据平行四边形法则可知在的平分线上， 又因为，所以的平分线垂直于，所以， 即为等腰三角形，故选项C正确； 对于D，若点P是线段AB的三等分点，则或， 因为，，所以， 所以或， 即点P的坐标可以为或，故选项D错误. 故选：AC. 78．（24-25高一下·广东揭阳·期末）已知三个点． (1)求证：； (2)要使四边形为矩形，求点C的坐标并求矩形两条对角线所成的锐角的正切值． 【答案】(1)证明见解析； (2)，正切值为. 【分析】（1）应用向量数量积的坐标运算求得，即可证； （2）设C点坐标为，结合的坐标表示求得，再应用向量夹角的坐标运算求与夹角的余弦值，进而求其正弦值. 【详解】（1）由，则， 又，即，则. （2），四边形为矩形，． 设C点坐标为，则， ，解得，故点坐标为， 由于，故， 又，设与的夹角为，则，                ， 所以矩形的两条对角线所成的锐角的正切值为． 79．（22-23高一下·广东云浮·期末）已知点，，，且. (1)求点的坐标； (2)求的面积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设，表示出、的坐标，根据对应坐标相等得到方程组，解得即可； （2）根据点的坐标的特征，直接求出三角形的面积. 【详解】（1）因为，，， 所以，设，则， 又，所以，解得，即. （2）因为，且轴，到的距离为，    所以. 80．（22-23高一下·广东梅州·期末）在直角坐标系中，已知两点、，点C为x轴上一动点. (1)若是以为斜边的直角三角形，求点C的坐标； (2)已知点，问是否存在实数t，使得四边形为平行四边形？如果存在求出实数t的值；如果不存在，请说明理由. 【答案】(1)或； (2)存在； 【分析】（1）设点，根据是以为斜边的直角三角形，可得，结合向量垂直的坐标表示，列式计算，即得答案. （2）假设存在实数t，使得四边形为平行四边形，根据平行四边形性质可得向量的相等即， 根据向量的坐标运算，即可求得答案. 【详解】（1）设点，则， 因为是以为斜边的直角三角形，故， 故，解得或， 故点C的坐标为或； （2）假设存在实数t，使得四边形为平行四边形，设， 则， 因为四边形为平行四边形，故，即， 故，解得， 即存在实数，使得四边形为平行四边形. 81．（25-26高一上·广东深圳·期末）如图，在平行四边形中为的中点分别为的一个三等分点，点靠近点点靠近点记. (1)把▱放到平面直角坐标系中，若求点的坐标； (2)用表示； (3)若求. 【答案】(1) (2)， (3) 【分析】（1）利用建立方程组计算可得； （2）由向量三角形法则求解即可； （3）由向量的模长公式求解即可. 【详解】（1）设， 由题意得，，， 所以，解得， 即点的坐标为. （2）由题意得， ， ， 所以， . （3）由题意得，， 所以． , 所以 , 所以 所以 = 82．（24-25高一下·广东梅州·期末）如图，圆的半径为2. (1)设为圆的一条弦，如图①，当时， （i）当取何值时，取得最小值，并求出此最小值； （ii）设是圆上的一动点，求的最大值； (2)设、为圆的两条弦，如图②，已知，求的最大值. 【答案】(1)（ⅰ）当时，取得最小值，最小值为；（ⅱ）； (2). 【分析】（1）（ⅰ）设，即有为直线上某一点，则，从而可得时，使取得最小值；（ⅱ）点作于点，则，从而可求解； （2）过点作于点，则得，则当，共线时，取得最大值，从而可求解. 【详解】（1）（ⅰ）设，即有为直线上某一点， ， 要使取得最小值，即最小，则此时只需， 过点作于点，有，即， 而因为，因此， 故当时，取得最小值，其最小值为. （ⅱ）因为，， 过点作于点， ， 而或， 要使的最大，则需，同向，且最大，此时与圆相切， 平移的垂线至，使圆相切， 此时有，，所以， . （2）过点作于点， ，，而， 所以 ， 因为，所以，，，， 所以， 因此，当，共线时，取得最大值，. 十二、题型十二 平面向量的坐标表示的综合 83．（22-23高一下·广东广州·期末）已知，，是同一平面内的三个向量，则（    ） A．若，，则 B．若是非零向量，，则是的充要条件 C．若，，，则可以作为基底 D．若，，两两的夹角相等，且，，，则 【答案】B 【分析】取可判断A；由可判断B；求得，则共线，可判断C；两两的夹角为或，根据模长公式及数量积运算可判断D． 【详解】对于A，取，则，，但的方向不能确定，∴不一定成立，故A错误； 对于B，若是非零向量，，则，则B正确； 对于C，∵，∴共线，∴不可以作为基底，故C错误； 对于D，， 因为两两的夹角相等，所以夹角有两种情况， 当夹角为时，； 当夹角为时，． 故D错误. 故选：B. 84．（23-24高一下·广东·期末）已知向量，则下列说法中正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若向量的夹角为钝角，则m的取值范围是 【答案】BC 【分析】A选项，计算出，利用模长公式列出方程，求出，A错误；B选项，根据模长公式列出方程，求出答案；C选项，根据平行关系列出方程，求出；D选项，得到且不反向共线，得到不等式，求出答案. 【详解】A选项，，故，解得，A错误； B选项，，即，解得，B正确； C选项，由题意得，解得，C正确； D选项，若向量的夹角为钝角，则且不反向共线， 故且，解得且，D错误. 故选：BC 85．（23-24高一下·广东云浮·期末）已知平面向量，则下列结论正确的是（    ） A．一定可以作为一个基底 B．一定有最小值 C．一定存在一个实数，使得 D．若，则在上的投影向量的坐标为 【答案】BCD 【分析】对A，借助基底的定义与向量共线定理计算即可得；对B，借助模长定义计算即可得；对C，根据数量积的运算律得到，计算即可得；对D，由投影向量的定义求解即可得. 【详解】对于A，当时，，不能作为平面向量的一个基底，A错误； 对于B，由，得，所以有最小值，B正确； 对于C，由，两边同时平方得，解得，C正确； 对于D，当时，，则，D正确. 故选：BCD. 86．（22-23高一下·广东珠海·期末）下列说法正确的有（    ） A．已知，，若，则 B．已知，若，，则 C．若，则一定不与共线 D．若，，为钝角，则实数的范围是 【答案】AB 【分析】根据向量垂直的坐标表示、共线的条件以及数量积的坐标表示逐一判断各选项. 【详解】对于A，根据向量垂直的充要条件，解得，故A正确； 对于B，因为有条件，若，，则根据两个向量的共线定理，当或时，显然成立；当且时，则存在唯一的实数，使得，，则，所以.故B正确 对于C，，没有限制两个向量的方向，所以可以共线，故C错误； 对于D，为钝角，则，且与不反向，即，且，得且.故D错误. 故选：AB. 87．（24-25高一下·广东佛山·期末）若物体在共点力，的作用下产生位移，则合力对物体所做的功为__________. 【答案】13 【分析】先求出合力，再根据向量数量积的坐标表示及功的计算式计算即可. 【详解】已知共点力， 则合力为， 又已知位移为， 所以合力对物体所做的功. 故答案为：13 十三、题型十三 向量的最值与取值范围 88．（24-25高一下·广东佛山·期末）已知，，则的最小值为（   ） A．1 B． C．2 D．4 【答案】C 【分析】应用已知条件设坐标，再应用数量积公式及模长公式计算求解. 【详解】因为，， 设 ，则 ， 当时，的最小值为2. 故选：C. 89．（24-25高一下·江苏·期末）已知△ABC是边长为2的等边三角形，M是△ABC内一点，且，若，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】建立如图所示的平面直角坐标系，得到点及的坐标，进而得到向量坐标，由建立等式，得到点中的表达式，由点M在△ABC内部，得到及的范围，借助的范围把转化成关于的二次函数的最值问题求解即可. 【详解】取 的中点 ，以 为坐标原点， 所在的直线分别为 轴、 轴建立平面直角坐标系 则 . 设 ， 则 . 因为 ，且 ，所以 )，且 ， 即 可得 因为点 在 内部， 所以 可得 ，所以 . 因为 ， 所以 ， 所以当 时， 取最小值 . 故选：C 　 90．（22-23高一下·广东韶关·期末）在直角中，，若点是所在平面内一点，且，则当取到最大值时，（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】B 【分析】建立平面直角坐标系，根据题意条件确定P点坐标，即可利用数量积的坐标表示求得的表达式，结合基本不等式即可求得答案. 【详解】如图，以为轴建立平面直角坐标系，    由于，则， 则， 而，即有, 故， 因为，，当且仅当，即时取等号， 故当时，取到最大值， 故选：B 91．（22-23高一下·广东梅州·期末）在直角坐标系中，已知，，若，恒成立，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据，恒成立，将该不等式两边平方可得到恒成立，结合二次函数的最值，即可得，从而可得答案. 【详解】由题意可得，，， 若，恒成立， 则，恒成立， 即恒成立， 即恒成立， 而，时等号成立， 故，即， 故选：D 92．（25-26高一下·广东·期末）如图，在△中，，，点满足，为中点，点在线段上移动（包括端点），则的取值范围是__ ． 【答案】 【分析】建立平面直角坐标系，设， ，由得 ，，.设，，则，即可求解. 【详解】建立如图所示平面直角坐标系， 设，，， 因为，，所以， 则，， 由，可得，解得， 所以，则， 由，可得， 解得，则， 因为为中点，所以， 设，，则，， 所以， 又，所以当时，可得， 当时，可得， 则的取值范围是． 93．（24-25高一下·广东汕头·期末）已知为直角三角形，，，，为的中点.若点在射线上运动，则的最小值为_____________. 【答案】 【分析】以点为原点，建立平面直接坐标系，得直线的方程为，设点，利用数量积的坐标运算得，最后由二次函数即可求解. 【详解】由题意：以点为原点，建立平面直接坐标系，则， 所以直线的方程为，设点， 所以， 所以， 当时，的最小值为：. 故答案为：. 94．（23-24高一下·广东广州·期末）如图，已知，，且点是的重心.过点的直线与线段、分别交于点、.设，（，）.    (1)求的值，并判断是否为定值，若是则求出定值，若不是请说明理由； (2)若的周长为，的周长为.设，记，求的取值范围. 【答案】(1)，是定值，理由见详解 (2) 【分析】（1）根据题意可得，变形可得，根据三点共线，即可得的值； （2）根据题意可得，，故得的表达式，根据的范围，利用函数性质，即可得答案. 【详解】（1）已知，，所以， 所以， 因为，，则，， 因为点是的重心，所以， 因为在直线上，所以. （2）， 所以， 设，由（1）得，所以 所以 因为，，又因为，则， 因为，所以， 因为，所以当时，的最小值为：，当或时，的最大值为：，所以， 因为的对称轴为，所以在上单调递增，又因为在上也是单调递增，所以在上单调递增， 所以当时，，当时，， 所以的取值范围为 【点睛】本题的关键在于利用小问（1）所得的结论，结合根据三点共线确定，将双变量函数化为单变量函数，结合函数的定义域求函数的值域. 95．（24-25高一下·广东揭阳·期末）已知是坐标原点． (1)若点A，B，M三点共线，求t的值； (2)当t取何值时，取到最小值？并求出最小值． (3)若为线段（含端点）上的动点，求的取值范围． 【答案】(1) (2)当时，的最小值为 (3) 【分析】（1）根据向量减法运算再根据共线计算求参即可； （2） 先得出向量坐标，再根据数量积公式结合二次函数值域求解； （3）根据向量加法及模长公式结合二次函数值域求解. 【详解】（1），               ，              三点共线，与共线，即，             ，            解得：． （2），               ，            ∴当时，                     取得最小值． （3）由题意，设，                 则，所以，             ，            因为，所以当时有最小值， 当时有最大值20，所以的取值范围为， 故的取值范围为． 96．（24-25高一下·广东惠州·期末）将所有平面向量组成的集合记作.如果对于向量. ，存在唯一的向量 与之对应，其中坐标、由、确定，则把这种对应关系记为. 或者 简记为.例如就是一种对应关系.若在的条件下有最大值，则称此最大值为对应关系的模，并把的模记作；若存在非零向量及实数使得，则称为的一个特征值， (1)如果，求； (2)如果，计算的特征值，并求相应的；（若符合条件的向量有多个，写出其中一个即可） (3)若，要使有唯一的特征值，实数、、、应满足什么条件?试找出一个对应关系，同时满足以下两个条件：①有唯一的特征值，②，并验证满足这两个条件. 【答案】(1) (2)的特征值为，，其中且 (3)，答案见解析 【分析】（1）利用向量的坐标运算可得，可求得，可求得； （2）利用向量相等的条件可得，进而可求得，进而可得其中且； （3）利用，可得，进而可得，进而可证明当时，有唯一的特征值，且． 【详解】（1）由题意，所以，当时，，最大值也为，所以． （2）由，可得：， 上述两个 相加得，解得． 当时，解方程组，此时这两个方程是同一个方程， 所以此时方程有无穷多个解，为（写出一个即可），其中且． （3）由，可得． 因为、都不为，从而向量与平行， 所以存在实数满足，即． 要使存在且唯一，则、、、应满足：． 当时，有唯一的特征值，且．具体证明为： 由的定义可知：，所以为特征值． 此时，，，满足：，所以有唯一的特征值． 在的条件下，从而有． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $