2026年中考数学冲刺训练（一）（江苏适用）

**基本信息** 融合科技热点（如神舟火箭模型、模块化建筑）与文化传承（如“哪吒战夜叉”古算题），梯度设计考查抽象能力、运算能力及模型意识，适配江苏中考冲刺需求。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |选择题|6|实数比较、科学记数法、中心对称|结合足球联赛等生活情境，基础概念与图像辨析结合| |填空题|10|函数意义、等腰三角形性质、反比例函数|融入蓄电池电流计算等真实问题，考查几何直观与数据意识| |解答题|10|方程不等式、几何动态探究、统计分析|含无人机高度函数、矩形折叠综合题，分层设计（如21题分4问），突出逻辑推理与创新应用|

2026年中考数学冲刺训练（一）（江苏适用） 一、单选题 1．（2026·江苏苏州·二模）下列各数中，最小的数是（    ）． A．-2025 B． C． D． 2．（2026·江苏徐州·二模）2026年全国两会聚焦“民生优先”，徐州市持续推进公共文化免费开放．徐州汉画像石艺术馆2025年全年接待游客约人次，数字用科学记数法表示为（     ） A． B． C． D． 3．（2026·江苏徐州·二模）2026年4月18日江苏省城市足球联赛第七场比赛在徐州举行．下列与足球运动相关的图标中，是中心对称图形的是（     ） A．足球图案 B．足球场 C．助威旗帜 D．战术箭头 4．（2026·湖南岳阳·二模）已知方程的一根为，则方程的另一根为（     ） A． B． C． D．3 5．（2026·湖南株洲·模拟预测）2025年中国国际服务贸易交易会展示了新型模块化建筑材料，其中正方形模块A类（边长为）、B类（边长为）和长方形模块C类（长宽）可组合成不同规格的墙体．如图，如果要拼一个长为，宽为的大长方形，则需要C类卡片张数为（    ） A．8 B．9 C．10 D．11 6．（2026·贵州贵阳·一模）二次函数（）的部分图象如图所示，图象经过点，对称轴为直线，有下列结论： ①； ②方程的一个解为； ③若，两点都在（）的图象上，则； 其中结论正确的个数是（    ） A．0个 B．3个 C．2个 D．1个 二、填空题 7．（2026·安徽合肥·三模）若在实数范围内有意义，则的取值范围是_________． 8．（2026·湖南岳阳·二模）点在函数的图像上，则代数式的值等于_______． 9．（2026·山东临沂·二模）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围为________． 10．（2026·湖南岳阳·二模）已知是等腰底边上的高，若点到直线的距离为3，则点到直线的距离为______． 11．（2026·辽宁阜新·二模）蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流（单位：）与电阻（单位：）是反比例函数关系，图象如图所示．当电阻时，电流的取值范围是________． 12．（2026·河北沧州·二模）如图1是圆规实物图，图2是其示意图，其中，以A为支撑点铅笔芯端点B绕点A旋转做出圆．若，则该圆的半径可能是______．（写出一个即可） 13．（2026·贵州铜仁·一模）如图，在矩形中，点E、F分别在边、上，连接、、，若、分别平分和．已知，则的值为______． 14．（2026·陕西西安·三模）如图，是的直径，点，在上，连接，，，若，则的度数是__________． 15．（2026·河北沧州·二模）在我国古代数学名著《九章算法比类大全》中记载有一则“哪吒战夜叉”的趣题．书中是这样叙述的：八臂一头号夜叉、三头六臂是哪吒．两处争强来斗胜，不相胜负正交加．三十六头齐出动，一百八手乱相抓，旁边看者殷勤问，几个哪吒几夜叉？这道题的意思是：夜叉有1个头8条胳膊，哪吒有3个头6条胳膊，哪吒与夜叉打得不可开交，只看见战场上有36个头108条胳膊在搏斗，旁边观看的人问：战场上有几个哪吒，几个夜叉？题目中夜叉的个数为________． 16．（2026·陕西西安·三模）神舟二十二号载人飞船已于年月日成功发射．小轩所在科技小组的同学们用形状大小相同的基本图形“”按照一定规律拼接得到火箭模型图，如图所示，按照此规律，第个模型图需要__________个基本图形“”． 三、解答题 17．（2026·安徽合肥·三模）解不等式：并在数轴上表示其解集． 18．（2026·江苏徐州·二模）计算： (1)； (2)． 19．（2026·江苏徐州·二模）解方程及不等式组 (1)解方程：； (2)解不等式组： 20．（2026·吉林长春·模拟预测）某中学举行校庆活动，使用了两架小型无人机进行现场拍摄，1号机所在高度与上升时间的函数图象如图所示；2号机从高度，以的速度上升，两架无人机同时起飞，设2号机所在高度为． (1)2号机所在高度与上升时间x之间的函数表达式为 ，并在图中画出该函数图象（描两点画图象）； (2)求1号机所在高度与上升时间x之间的函数表达式； (3)已知在某一时刻两架无人机能够位于同一高度，则此时两架无人机的高度为 ． 21．（2026·吉林长春·模拟预测）如图，在中，，，为锐角，且．动点P从点A出发，沿边向终点C运动，连接，将绕点P顺时针旋转得到线段． (1)点B到的距离为 ； (2)当时，求的长； (3)当点Q在内部时，求的长的取值范围； (4)点D是边上一点，且，当直线与的某一边垂直时，直接写出的长．（写出2个答案即可） 22．（2026·海南省直辖县级单位·二模）《中共中央关于制定国民经济和社会发展第十五个五年规划的建议》中指出要促进人口高质量发展，健全养老事业和产业协同发展政策机制，某社区积极响应“积极应对人口老龄化，关爱老年人健康”的号召，随机抽取了本社区150名60岁以上老年人，对其每日户外活动时间及主要活动类型进行问卷调查，调查的主要活动类型包括“A．散步、慢跑”、“B．广场舞、太极拳等集体活动”、“C．下棋、聊天等休闲活动”、“D．其他”，并将调查结果用统计图描述如下： 平均每日户外活动时间分为4组，分别是①；②；③；④． 根据以上信息，解答下列问题： (1)在这次调查活动中，采取的调查方式是________（填“全面调查”和“抽样调查”） (2)平均每日户外活动时间在的人数为________，活动时间大于等于1小时的人数占调查人数的百分比为________； (3)在扇形统计图中，类型B所占的圆心角为________度； (4)根据调查结果，请你为社区老年人活动中心提出一条活动安排建议． 23．（2026·山东临沂·二模）如图，是的直径，，是的两条弦，点与点在的两侧，是上一点（），连接，，且． (1)如图1，若，，求的半径； (2)如图2，若，求证：． 24．（2026·重庆武隆·一模）如图是一片重点考古区域的平面图，为四个勘探站点．已知位于的正东方向约处，位于的东北方向，且在的北偏东方向，在的正北方向，且在的北偏西方向．(参考数据：) (1)求的长度(结果保留小数点后一位)； (2)某天，考古队员甲、乙同时分别从出发沿进行勘探，勘探的平均速度都为．甲、乙都携带对讲机在途中交流勘探情况，由于对讲机信号受地下土层和地形遮挡而削弱，对讲机之间有效接收距离缩短至．在考古勘探过程中，甲、乙两个队员能否通过对讲机进行交流？若能，请求出在哪个时间段内可以进行交流；若不能，请说明理由． 25．（2026·海南省直辖县级单位·二模）在矩形中，，，E是线段上异于点B的一个动点，连接，把沿直线折叠，使点B落在点P处． 【初步感知】 (1)如图1，当E为的中点时，延长交于点F，连接， ①求证：；②求的面积； 【深入探究】 (2)如图2，点M在线段上，，点E在移动过程中，直接写出的最小值； 【拓展运用】 (3)如图2，点N在线段上，．点E在移动过程中，点P在矩形内部，当是以为斜边的直角三角形时，求的长． 26．（2026·吉林·一模）如图，抛物线的顶点，抛物线与轴负半轴交于点，与直线交于点，点为抛物线上点左侧一点，其横坐标为，连结，以为边作矩形，其中点在直线上．过点作轴的垂线交矩形的边于点，过点作轴的垂线交矩形的边于点． (1)求的值和点的坐标； (2)当点落在轴上时； ①_____； ②求的值； (3)将分矩形所得到的三角形面积记为．将分矩形所得到的三角形面积记为．当，中一个是另一个9倍时，直接写出的值． 第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页 第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页 学科网（北京）股份有限公司 《2026年中考数学冲刺训练（一）（江苏适用）》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 答案 A A B A D D 1．A 【详解】解：选项A为，是负数； 选项B：，是正数； 选项C：，是正数； 选项D：，是正数； 又∵有理数大小比较中，负数小于所有正数， ∴四个数中最小的数是． 2．A 【分析】本题考查科学记数法的表示方法，解题关键是掌握科学记数法的标准形式，其中要求，为整数，正确确定和的值即可求解. 【详解】解：， 故选：A. 3．B 【分析】根据中心对称图形的特征，分析每一个选项即可． 【详解】解：A，不是中心对称图形； B，是中心对称图形； C，不是中心对称图形； D，不是中心对称图形； 故选：B． 4．A 【分析】一元二次方程根与系数的关系：两根之积等于常数项与二次项系数的比，据此求解即可． 【详解】解：设方程的两根为， 由根与系数的关系得：， ∵， ∴， 因此方程的另一根为． 5．D 【分析】根据题意，大长方形的面积等于长与宽的乘积，同时也等于所有小模块面积之和．通过多项式乘法展开长与宽的积，其中项的系数即为C类卡片的张数． 【详解】解：大长方形的长为，宽为， 大长方形的面积为： ， A类卡片面积为，B类卡片面积为，C类卡片面积为， 需要A类卡片6张，B类卡片3张，C类卡片11张． 6．D 【分析】根据抛物线的开口方向、对称轴位置及与y轴交点位置判断a、b、c的符号，从而判断①；利用抛物线的对称性求出与x轴的另一个交点坐标，从而判断②；根据点离对称轴的距离及开口方向比较函数值大小，从而判断③． 【详解】解：∵抛物线开口向上， ∴； ∵对称轴为直线， ∴，即； ∵抛物线与轴交于负半轴， ∴； ∴，故①错误； ∵抛物线经过点，对称轴为直线， ∴抛物线与轴的另一个交点横坐标为，即； ∴方程的一个解为，故②正确； ∵点到对称轴的距离为，点到对称轴的距离为， 又∵抛物线开口向上， ∴离对称轴越远的点函数值越大， ∴，故③错误； 综上，正确的结论只有②，共1个． 7． 【分析】根据二次根式有意义的条件和分式有意义的条件，被开方数非负，分式分母不为零，列不等式求解即可． 【详解】解：在实数范围内有意义， 则被开方数， 且分母， 因此可得. ∵分子， ∴分母， 解不等式得：． 8．0 【分析】把点代入，得到与的关系式，再将其变形代入所求代数式计算． 【详解】解：∵点在函数的图象上， ∴， 整理得， 将代入 ， ． 9．且 【分析】先根据一元二次方程的定义确定二次项系数不为0. 再结合方程有两个不相等的实数根得到根的判别式大于0. 解不等式即可得到的取值范围． 【详解】解：方程是关于的一元二次方程， ， 又方程有两个不相等的实数根， 根的判别式，即， 解得， 综上，的取值范围为且． 10．3 【分析】根据等腰三角形三线合一得到是的角平分线，再利用角平分线的性质即可求解． 【详解】解：是等腰底边上的高， 是的角平分线， 又点到直线的距离为， 根据角平分线上的点到角两边的距离相等，可得点到直线的距离为． 11． 【分析】设该反比例函数解析式为，根据当时，，可得该反比例函数解析式为，再把代入，即可求出电流的取值范围． 【详解】解：设该反比例函数解析式为， 由题意可知，当时，， ， 解得：， 该反比例函数解析式为， 当时，， 电流的取值范围是． 12．（答案不唯一） 【详解】解：根据三角形的三边关系可知， 又∵，， ∴ 则该圆的半径可能是（答案不唯一）． 13．50 【分析】过点A作交于点G，根据角平分线的性质可知，．再证明，得到，，，则四边形是正方形，，设，，则，，，在中，根据勾股定理求得，进而可求解． 【详解】解：过点A作交于点G，如图所示． 根据角平分线的性质可知，，，． ∵四边形是矩形， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∴四边形是正方形，， 设，，则，，， 在中，根据勾股定理，得， 即， 整理，得， ∵， ∴． 14． 【分析】连接，构造出直角三角形，根据圆周角定理，同弧所对的圆周角相等，利用三角形内角和计算的度数． 【详解】解：连接， ， ∵是直径， ∴， ∵， ∴， ∴． 15． 【分析】设战场上有个夜叉，个哪吒，根据总头数与总胳膊数的数量关系列出二元一次方程组，解方程组即可得到夜叉的个数． 【详解】解：设战场上有个夜叉，个哪吒． 根据题意，可得方程组： ①，得③ ． ，得． 解得． 16． 【分析】根据前个火箭模型图所需要的基本图形的个数，得出个数规律为，进而可得答案． 【详解】解：第一个火箭模型图需要的基本图形的个数为个， 第二个火箭模型图需要的基本图形的个数为个， 第三个火箭模型图需要的基本图形的个数为个， …… ∴第个火箭模型图需要的基本图形的个数为个， ∴第个模型图需要的基本图形的个数为个． 17．， 【详解】解：， ∴， ∴， ∴， 解得：． 图略 18．(1) (2) 【分析】（1）先算绝对值、负整数指数幂、零次幂、算术平方根，最后算加减即可； （2）先算括号内的分式的减法，然后算分式的除法即可. 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 . 19．(1)， (2) 【详解】（1）解： 或 ∴，； （2）解： 由①得，； 由②得， ∴不等式组的解集为． 20．(1)； ∵当时，；当时，； ∴在直角坐标系中描点，， 函数图象为： (2) (3)9 【分析】（1）根据2号机的起飞高度以及速度求解函数表达式，并用两点法画出函数图象即可； （2）设出函数表达式，将点与点代入函数表达式求解即可； （3）根据图象得出两个函数的交点，即时，纵坐标的取值即可． 【详解】（1）解：∵2号机从高度，以的速度上升， ∴， 函数图象略； （2）解：设1号机所在高度与上升时间x之间的函数表达式为， 将点与点代入函数表达式， 则有，解得， ∴， 即1号机所在高度与上升时间x之间的函数表达式为； （3）解：令，解得 则两个函数的交点坐标为， 即当时，两架无人机能够位于同一高度， 则此时两架无人机的高度为． 21．(1)4 (2) (3) (4)9，10，（任选2个答案即可） 【分析】（1）过点作于点，解即可； （2）先由勾股定理求解，设，则，再对运用勾股定理建立方程求解即可； （3）找出两个临界位置，即点在和上，结合旋转的性质构造全等三角形，再解直角三角形求解即可； （4）分三种情况讨论：当时，垂足记为点；当时，当时，垂足记为点，分别画出符合题意的图形求解． 【详解】（1）解：过点作于点， 则， ∴点B到的距离为； （2）解：过点作于点， 则， 设，则 ∵ ∴， 解得 ∴的长为； （3）解：当点重合时，则，如图： 由旋转可得， ∴此时点在边上，此时； 当点在边上时，如图，过点作于点， ∴ ∵， ∴ ∵ ∴ ∴，， 设 ∵， ∴， ∴ ∴， ∵ ∴， 解得 此时， ∴点Q在内部时，的长的取值范围为； （4）解：当时，垂足记为点，过点作于点，连接， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵ ∴由三角形内角和定理可得， ∴， 设， ∵， ∴ ∵ ∴ ∴，， ∴， ∴， 解得， ∴； 当时，如图： 同理可得， ∴， ∴， ∴； 当时，垂足记为点，如图： 过点作于点，过点作于点， ∴ ∴此时四边形为矩形， ∴， ∵， ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴设，则 ∵四边形为矩形， ∴， ∴ ∴ ∴ ∴， 综上：当直线与的某一边垂直时，的长为10或9或． 22．(1)抽样调查 (2)45人， (3)144 (4)该社区有的老年人平均每日户外活动时间大于等于1小时，说明该社区老年人有较强的户外活动意愿，建议继续推广目前广受欢迎的活动，同时增加适合老年人的其他休闲活动类型，满足不同兴趣需求．（答案不唯一） 【分析】（1）根据抽样调查和全面调查的定义求解即可． （2）用抽取的总人数减去已知的3组的人数，即可求出活动时间的人数；用样本中活动时间大于等于1小时的人数除以样本容量即可得到百分比； （3）用类型B所占的百分比乘以即可； （4）根据（2）中求出的活动时间大于等于1小时的人数占调查人数的百分比给出合理的建议，答案不唯一． 【详解】（1）解：本次调查只随机抽取了部分老年人，没有调查所有对象， 因此调查方式是抽样调查． （2）解：活动时间的人数为：（人）； 活动时间大于等于1小时的人数占调查人数的百分比为； （3）解：类型B所占的圆心角为； （4）略 23．(1) (2)证明：过作于， ， ， ， 在和中， ， ， ． 【分析】（1）根据，结合同圆半径相等，推导与的位置关系，确定为直角三角形，利用勾股定理列方程求解即可； （2）过作于，利用垂径定理求出长，进而得到，证明，则，从而得出结论． 【详解】（1）解：， ， ， ，即， ， ， ， 解得：， 即的半径为； （2）略． 24．(1) (2)能，在出发后小时之间甲、乙能够通过对讲机进行交流 【分析】（1）过点作的垂线，交的延长线于点，可得是等腰直角三角形，设，解，再由建立方程求解即可； （2）过点作的垂线，垂足为点，由题意，设，解中， ．在等腰中， ，则，解得，那么．设小时时，甲、乙队员分别在位置，过点作于点，最后对运用勾股定理建立方程及其即可． 【详解】（1）解：如答图1，过点作的垂线，交的延长线于点． 由题意，． 设． 在中， ． 在等腰中，， 则， 解得， ． ； （2）解：能． 如答图2，过点作的垂线，垂足为点． 由题意，设， 在中， ． 在等腰中， ， ， 解得， ． 如答图2，设小时时，甲、乙队员分别在位置，过点作于点， ， ， ． 在中，由勾股定理列方程， 解得． 答：在出发后小时之间甲、乙能够通过对讲机进行交流． 25．(1)①证明：如图①， 由折叠的性质，得 ，，， ， 四边形为矩形， ， 为的中点， ， ， 在和中， ，， ； ② (2) (3)5 【分析】（1）①由折叠的性质结合矩形的性质，即可求证；②根据全到三角形的性质可得，设，则，利用勾股定理求出，即可求解； （2）根据题意得点在以为圆心，10为半径的的弧上． 连接，当点在线段上时，有最小值．根据勾股定理求出，即可求解； （3）过点作于，交于点，证明，可得，设，，根据勾股定理得到关于x的方程，可得到，．，，． 设，则，．在中，根据勾股定理求出，即可求解． 即的长为5． 【详解】（1）①略； ② . 设，则， 在中，， 解得， 的面积； （2）解：∵，点在移动过程中，不变． ∴点在以为圆心，10为半径的的弧上． 连接， 当点在线段上时，有最小值． ∵，，， ∴． ∴， ∴的最小值为． （3）解：过点作于，交于点， ∵， ∴， ∴． ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴． 设，， ∴，． ∵， ∴， ∵， ∴． ∴， 解得． ∴，．，，． 设，则，． 在中，， ∴． 解得，， 即的长为5． 26．(1)，； (2)①；②； (3)或 【分析】（1）利用待定系数法即可求出抛物线的解析式；再令抛物线，解方程即可得到点的坐标； （2）①由矩形的性质可得，即，当点落在轴上时，，即可解答；②由①知，即即两点重合，点在线段上，求出直线的解析式，得到，易证，利用正切的定义求出，，进而求出，即可解答； （3）分和两种情况讨论即可． 【详解】（1）解：把顶点代入抛物线得：，解得：， ∴抛物线解析式为， 令，则，解得或， ∵在轴负半轴， ∴； （2）解：①∵四边形是矩形， ∴点到点的水平距离等于点到点的水平距离， ∵点在直线上， ∴， ∵， ∴，即， ∵点落在轴上时， ∴， ∴； ②由①知，即， ∵， ∴两点重合，如图，则， ∴点在线段上， 设直线的解析式为，则，解得， ∴直线的解析式为， 将代入，则， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴，， ∴； （3）解：当时，即点在轴左侧的抛物线上，分矩形所得到的三角形为，分矩形所得到的三角形为，如图，此时，， 同理（2）②得， ∵， ∴， ∴， ∵，中一个是另一个9倍， 当时，则， ∴， 过点作轴的平行线交过点作轴的平行线于点，即， ∴， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即， 解得或（舍去）， ∴； 当时，则， ∴， 同理，得， ∴， ∴，即， 解得（舍去）或（舍去）， 当时，即点在轴右侧的抛物线上，分矩形所得到的三角形为，分矩形所得到的三角形为，如图，此时，， 同理得， ∴， ∵， ∴， ∵，中一个是另一个9倍， 当时，则， ∴， 过点作轴的平行线交过点作轴的平行线于点，即， ∴， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即， 解得或（舍去）， ∴； 当时，则， ∴， 同理得， ∴， ∴，即， 解得（舍去）或（舍去）， 综上，的值为或． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $