2026年中考数学冲刺训练（二）（江苏适用）

**基本信息** 2026年江苏中考数学冲刺卷，以地方文化与现实情境为载体，通过梯度化题型覆盖代数、几何、统计核心知识，强化数学应用与创新探究能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|6题|统计量、运算、函数性质|以“苏超”联赛进球统计、风力发电机叶片转动为情境，考查抽象能力与空间观念| |填空题|10题|科学记数法、图形规律、几何折叠|结合泰兴GDP数据、立方体堆叠问题，体现数据意识与几何直观| |解答题|11题|函数综合、几何证明、实践应用|含江苏学政衙署影长计算、二次函数位似探究，突出模型意识与创新思维，贴合中考命题趋势|

2026年中考数学冲刺训练（二）（江苏适用） 一、单选题 1．（2026·江苏徐州·二模）在2025赛季“苏超”联赛中，徐州队每场比赛的进球数统计如下：1，1，2，1，1，0，2，2，3，0，1，1关于这组数据，下列说法错误的是（     ） A．中位数是1 B．众数是1和2 C．平均数是 D．极差是3 2．（2026·江苏徐州·二模）下列运算正确的是（     ） A． B． C． D． 3．（2026·江苏泰州·二模）函数的部分图象如图所示，则关于函数的图象与性质的描述正确的是（     ） A．函数值y随自变量x的增大而增大 B．函数值y有最小值为1 C．该函数图象与y轴的交点为 D．函数图象不经过第二象限 4．（2026·江苏泰州·二模）如图，在中，为上一点，、分别平分、．下列说法错误的是（     ） A． B． C． D． 5．（2026·江苏盐城·二模）如图，潜望镜中的两面镜子与互相平行放置，光线经过镜子反射时，，．若入射光线与镜面的夹角，则的度数是（     ） A． B． C． D． 6．（2026·江苏盐城·一模）盐城是长三角地区首个“千万千瓦级”新能源基地，广袤的黄海滩涂上遍布着巨大的风力发电机．某风力发电机有三个底端重合、两两成角的叶片．如图以三个叶片的重合点为原点，水平方向为x轴建立平面直角坐标系，点A的坐标为，在一段时间内，叶片每秒绕原点O顺时针转动，则第2026秒时，点A的对应点的坐标为（     ） A． B． C． D． 二、填空题 7．（2026·江苏泰州·二模）已知，则整数n的值可以是________（填一个值即可）． 8．（2026·江苏泰州·二模）将一个样本的40个数据分成5个组，其中第组数据的频数分别是6、4、8、10，则第5组的频率为________． 9．（2026·江苏泰州·二模）2025年泰兴市地区生产总值()约为亿元，位居泰州第一．将亿用科学记数法表示为________． 10．（2026·江苏徐州·二模）观察下列由边长为1的小正方形组成的图形规律，照此规律，第个图形中，未被涂上阴影的小正方形个数可表示为______． 11．（2026·江苏常州·一模）如图，将边沿过点A的直线折叠，使落在边上，折痕为，展开纸片，再次折叠使点A与点D重合，折痕为，展开后连接、，测得，，当是直角三角形时，的长为______ 12．（2026·江苏泰州·二模）已知等腰中，，．点D为射线上一点，作点D关于直线的对称点E，再作点E关于直线的对称点F．若与的面积相等，则________． 13．（2026·江苏宿迁·二模）如图，点、分别是轴的正半轴、轴的负半轴上的两个点，且．过作，垂足为．反比例函数的图象经过点，与边另一个交点为．若，则的值为_______． 14．（2026·江苏连云港·二模）如图是7个完全相同的立方体积木堆叠成的立体图形，若拿走图中一块积木后图形的主视图保持不变，则拿走的积木是________．（填“甲”“乙”“丙”“丁”） 15．（2026·江苏徐州·二模）如图，在中，是的弦，与相切于点，连接交于点，连接并延长交于点．若，，则_________． 16．（2026·江苏淮安·二模）如图，在中，，点在线段上（不与，重合），，交于点，过点作，垂足为，交的延长线于点，若，（为常数），则_____．（用含的代数式表示）． 三、解答题 17．（2026·江苏宿迁·二模）计算：． 18．（2026·江苏苏州·二模）先化简，再求值：，其中． 19．（2026·江苏泰州·二模）甲、乙2名学生各自随机选择到A、B、C三个书店购书． (1)甲在A书店购书的概率为 ； (2)用列表或画树状图的方法，求甲、乙2名学生不在同一书店购书的概率． 20．（2026·江苏徐州·二模）如图，已知． (1)请在图中完成作图（要求，用无刻度的直尺和圆规作图，保留作图痕迹，写出必要的文字说明）； ①作的高，垂足为D； ②在上求作点E，使； (2)在（1）的条件下，若，，，求的长． 21．（2026·江苏苏州·一模）学校对所有学生的项目化学习成果进行了评分（满分为100分，得分用表示）．按照得分情况分为四个等级：A．；B．；C．；D．．为了解开展成效，王老师从九年级甲、乙两班各随机选取20名学生，并对评分数据进行整理，描述和分析，下面给出了部分信息： （1）甲班20名学生的得分为：65，70，70，72，80，80，82，83，84，90，92，92，94，95，95，98，98，100，100，100． （2）乙班20名学生的得分在B等级中的数据为：82，83，84，85，87，88，88． （3）乙班20名学生各得分等级人数扇形统计图如下： （4）甲、乙两个班级学生得分统计表： 班级 平均数 众数 中位数 方差 甲班 87 91 111 乙班 87 95 119.8 根据以上信息，解答下列问题： (1)上述图表中的__________，__________，__________； (2)根据以上数据分析，你认为哪个班级的项目化学习成效更好？请说明理由； (3)该校九年级共有700名学生，请估计九年级学生中项目化学习等级达到A．的共有多少人？ 22．（2026·江苏苏州·三模）如图，是的弦，交于点，过点的直线交的延长线于点，且． (1)求证：是的切线； (2)若的半径为4，，设的面积是，的面积是，且，求的正切值． 23．（2026·江苏盐城·二模）如图，一次函数的图象与反比例函数 的图象交于，两点，为常数． (1)求一次函数和反比例函数的解析式； (2)根据图象直接写出不等式 的解集为 ； (3)点为轴上一点，若的面积为，求出点的坐标． 24．（2026·江苏宿迁·一模）某体育用品商店购进一批同型号的足球，这批足球每只进价为20元，出于营销考虑，要求每只足球的售价(销售单价)不低于20元且不高于28元．在销售过程中发现，这种型号足球每周的销售量(只)与该足球的销售单价(元)之间满足一次函数关系，当销售单价为22元时，每周的销售量为36只；当销售单价为24元时，每周的销售量为32只． (1)请求出与之间的函数表达式； (2)当该体育用品商店销售这种足球每周获得的利润为150元时，问该型号足球的销售单价是多少元？ (3)当该足球销售单价定为多少元时，才能使得销售该足球每周所获利润最大？每周获得的最大利润是多少？ 25．（2026·江苏无锡·二模）某班数学兴趣小组来到江苏学政衙署仪门（图）开展实践活动．通过查阅资料得到：夏至时，正午影子最短；冬至时，正午影子最长；秋分时，正午影长，恰好等于夏至、冬至正午影长的算术平均值． 如图，为江苏学政衙署仪门，垂直于水平地面．已知夏至时正午太阳光线与水平地面的夹角，冬至时正午太阳光线与水平地面的夹角解决下列问题：（结果精确到）（参考数据：，，，，，） (1)已知冬至时，正午影长为，求仪门的高度； (2)根据题目条件，求秋分正午时，仪门的正午影长． 26．（2026·江苏扬州·三模）【综合与实践】如图，在中，点D是斜边上的动点（点D与点A不重合），连接，以为直角边在的右侧构造，，连接． 【特例感知】 (1)如图1，若，，与之间的位置关系是______，数量关系是______； 【类比迁移】 (2)如图2，若，猜想与之间的位置关系和数量关系，并证明猜想； 【拓展应用】 (3)在（1）的条件下，点F与点C关于对称，连接．四边形的对角线与交于点M，如图3．已知，设，四边形的面积为y，求y与x的函数表达式，并求出y的最小值． 27．（2026·江苏盐城·二模）“沙漏”初探，位似寻踪——二次函数图象的相似探究 数学社团开展二次函数图象探究活动中，胡老师带领同学们在绘制图象时，发现：过原点的两条正比例函数图象，与二次函数图象交于，，，四点，这四点与原点连线构成的图形形似“沙漏”（如图1）．通过对线段长度与夹角的测量分析，猜想：，结合，可以得到． (1)如图2，二次函数的表达式分别为和，过点作直线，交函数图象于，两点．试求的值． 【一般探究】 (2)如图3，若二次函数的表达式分别为（，为常数）和（，为常数），过点任意作直线，分别交二次函数图象于，两点．若直线绕点旋转，的值是否变化？请说明理由． 【归纳结论】 (3)二次函数的图象均可通过几何变换，化为顶点在坐标原点的形式．结合位似的定义以及探究过程可知：上述图象为位似图形，位似中心为坐标原点，位似比为某一常数．换言之，任意两个二次函数的图象都________．（填“相似”或“全等”） 【迁移拓展】 (4)若二次函数，以点为位似中心将二次函数图象按放大，直接写出放大后新的二次函数图象的表达式． 第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页 第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页 学科网（北京）股份有限公司 《2026年中考数学冲刺训练（二）（江苏适用）》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 答案 B C D C D B 1．B 【分析】先将数据排序整理，再依次计算各统计量，即可判断出错误的说法． 【详解】解：将原数据从小到大排序得：0，0，1，1，1，1，1，1，2，2，2，3，共个数据． A、第、个数据均为，故中位数为，本选项说法正确． B、数据出现次数最多，故众数只有，本选项说法错误． C、平均数为，本选项说法正确． D、这组数据最大值为，最小值为，极差为，本选项说法正确． 2．C 【分析】利用合并同类项、幂的乘方、同底数幂的除法、单项式乘单项式运算法则判断即可. 【详解】解：选项A，∵与不是同类项，不能合并， ∴计算错误，不符合题意； 选项B，， 计算错误，不符合题意； 选项C，， 计算正确，符合题意； 选项D，， 计算错误，不符合题意. 3．D 【分析】此题考查了从函数图象获取信息．根据解析式求得自变量的取值范围，进而判断C,D选项，进而得出，即可判断B选项，选取特殊值求得函数值，进而判断A选项，即可求解． 【详解】解：函数 ∴ ∴，则函数图象在的右侧； C. 该函数图象与y轴没有交点，故该选项不正确，不符合题意；     D.函数图象不经过第二象限，故该选项正确，符合题意； ∵， ∴ B. 函数值y有最小值不为1，故该选项不正确，不符合题意； 当时， 当时，， 当时， A. 函数值y随自变量x的增大，不是一直增大的，故该选项不正确，不符合题意． 4．C 【分析】由平行线的性质推出，由角平分线的定义得到，由三角形内角和定理求出，由平行线的性质和角平分线的定义得到，推出，同理，由平行四边形的性质推出，，得到，由题意得不到． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ， ． 、分别平分、， ，， ， ． 故D不符合题意； 平分， ． ， ， ， ， 同理：． 故A不符合题意， ∵四边形是平行四边形， ，， ， ， ． 故B不符合题意； 由题意得不到， 故C符合题意． 5．D 【分析】由，得，然后通过，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴的度数是． 6．B 【分析】根据旋转的性质画出图形，找到规律，进而得出第2026秒时，点的对应点的坐标即可． 【详解】解：如图， 叶片每秒绕原点顺时针转动， ， ∴， 在第一象限的角平分线上， ，，，，，，， 叶片每秒绕原点顺时针转动， 点的坐标以每8秒为一个周期依次循环， ， 第2026秒时，点A的对应点的坐标与相同，为． 7．5（答案不唯一） 【分析】先求得的取值范围，再根据为整数，选取一个符合条件的值即可． 【详解】解：， ，即， 为整数， 可取中任意一个． 8． 【分析】根据各小组频数之和等于样本容量，先求出第5组的频数，再根据频率等于频数除以样本容量，计算得到第5组的频率． 【详解】解：由题意得，样本容量为．前4组的频数和为． 第5组的频数为． 则第5组的频率为． 9． 【详解】解：亿 亿 10． 【详解】解：第1个图形中，未被涂上阴影的小正方形个数为1； 第2个图形中，未被涂上阴影的小正方形个数为； 第3个图形中，未被涂上阴影的小正方形个数为； 第4个图形中，未被涂上阴影的小正方形个数为； …… 第n个图形中，未被涂上阴影的小正方形个数为． 11．或 【分析】先根据折叠证明四边形是菱形，然后分类讨论，根据平行证明，再通过相似三角形的性质设未知数，结合勾股定理求解即可． 【详解】解：由折叠的性质可知， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形， ∴， 当时，如图： ∵， ∴， ∴， ∴， 设，，则， ∴， 解得， ∴，， ∵， ∴； 当时，如图： 同理，， ∵， ∴， 综上：当是直角三角形时，的长为或． 12．或 【分析】先求出，，，然后分点D在线段上和线段延长线，根据对称的性质以及三角形面积公式建立方程求解． 【详解】解：∵等腰中，，， ∴，，， 当点D在线段上时，设交于点，延长交于点，如图： 由对称可得，， ∵， ∴， 由对称可得，， ∴，， ∵， ∴， ∴点三点共线， ∴， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴设，则，， ∴， 解得， ∴， ∴； 当点在线段的延长线上时， 同理可得，点三点共线， ∴， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴设，则，， ∴ 解得（舍）， ∴， ∴； 综上：或． 13． 【分析】过点作,根据正切值以及勾股定理可知，根据点坐标可知反比例函数为，根据正切值可知点，进而可知直线的解析式为：，然后可知，根据勾股定理即可求解． 【详解】解：过点作, ∴, ∵ ∴， ∴, ∴ ∵， ∴， ∴ ∴, ∴ ∴, ∴点, 将点代入反比例函数， 得， 解得， 则反比例函数为， , ∴, ∴, 则点, 设直线的解析式为：， 将点，代入得：， 解得： 则直线的解析式为：， ∵直线与反比例函数交于， 则， 解得， 当，则 当，， 则点， 则， , ∴． 14．甲 【分析】由前向后观察物体的视图，叫做主视图；注意根据积木的块数，判断积木甲后侧是否存在被遮挡的积木． 【详解】图为7个完全相同的立方体积木堆叠成的立体图形，可知积木甲后侧有一块积木被遮挡，拿走积木甲，主视图保持不变． 15． 【分析】连接，由切线的性质可得，由圆周角定理可得，从而证明，根据平行线的性质结合三角形外角的性质求解的度数即可． 【详解】解：如图，连接， 是的切线， ， ， ， ， ， ． 16． 【分析】设，则，得出，进而得出．作，交于点J，交于点K，根据求出，得出，再证明，得出，证明，得出，设，则，解方程求出结论即可． 【详解】解：， 设，则， 在中，， ， ， ， ， ， ． 作，交于点J，交于点K， ，，， ， ， ， ， ， ， ， ，即， ， ， ，即， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 设，则， 解得：（不合题意舍去）， 故． 17． 【分析】先利用负整数次幂、特殊角的三角函数值、绝对值、零次幂化简，然后再计算即可． 【详解】解： ． 18．化简结果为，值为． 【分析】根据分式的运算法则先化简原式，再把代入，然后通过分母有理化计算出最终结果． 【详解】解： ， 将代入得， 原式 ． 19．(1) (2) 【分析】（1）根据甲学生到书店购书有3种选择，到A书店的概率即可求得； （2）列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，再将符合题意的结果除以所有结果，即可解答． 【详解】（1）解：甲学生到书店购书有A、B、C，3种选择，故到A书店的概率为． （2）解：画树状图， 如图共有9种等可能性结果．甲、乙2名学生不在同一书店购书的结果有6种， ∴甲、乙2名学生不在同一书店购书的概率为． 20．(1)①②见解析 (2) 【分析】（1）①根据作垂线的尺规作图方法作图即可；②作的垂直平分线，交于点F，以F为圆心，为半径作，交于点E，连接，则， （2）先证明，则，据此求出，然后对运用勾股定理求解，即可求解． 【详解】（1）解：①如图，即为所求； ②解：如图，点E即为所求； （2）解：∵为直径， ∴， ∵ ∴ ∴ ∴ ∵， ∴ ∴（舍负） ∵， ∴ ∴． 21．(1)；； (2)甲班级的项目化学习成效更好，理由见解析 (3)350 【分析】（1）根据众数，中位数的定义可求，先计算出乙班得分B等级的占比，再用1减去A，B，D的比例即可求； （2）根据众数、中位数及方差判断即可； （3）利用样本估计总体数量即可． 【详解】（1）解：甲班20名学生的得分中100出现次数最多， ； 乙班A组有(人)，组有7人， 乙班中位数落在组， 又乙班等级B的学生测评成绩为：82，83，84，85，87，88，88， 中位数； 乙班20名学生的得分在B等级的有7人，占， ， ； （2）解：甲班级的项目化学习成效更好. 理由：甲、乙两班学生的得分的平均数相同，从众数，中位数来看， 甲班学生的得分比乙班学生得分高， 从方差来看，甲班学生的得分比乙班学生得分更稳定， 甲班级的项目化学习成效更好； （3）解：(人)， 答：估计九年级学生中项目化学习等级达到()的共有350人． 22．(1)证明：连接，如图所示： ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即， ∴是的切线； (2)3 【分析】（1）连接，等腰三角形两底角相等，证明即可； （2）过C点作，等角的正切值相等，得到 ，利用面积之比得出，进行联立求出即可． 【详解】（1）略 （2）过C点作，如图所示， 由题可知， ∵，， ∴， ∵的面积是， ∴， ∵的面积是， ∴， ∵， ∴， ∴， 由（1）知：， ∴， 即， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∴． 【点睛】证明圆的切线，连接切点与圆心，角的正切值一定在直角三角形中进行求解． 23．(1)反比例函数的解析式为；一次函数的解析式为 (2)或 (3)点或 【分析】（1）利用点坐标确定反比例函数解析式，进而求出点坐标，再结合待定系数法求出一次函数解析式； （2）通过观察图象，找出一次函数图象位于反比例函数图象下方的区间，直接写出不等式的解集； （3）通过求出直线与轴的交点，将动点的坐标设为利用割补法表示出的面积并建立方程求解，从而确定点的坐标． 【详解】（1）解：将点代入之中得， 反比例函数的解析式为， 将代入反比例函数，得， 点的坐标为， 将点，代入之中得， 解得， 一次函数的解析式为． （2）解：如下图可知：或 （3）解：设直线与轴交于点，连接、，则点 设点 ∵ ∴ 解得：或 ∴点或． 24．(1) (2)25 (3)当该足球销售单价定为28元时，才能使得销售该足球每周所获利润最大，每周获得的最大利润是192元 【分析】（1）用待定系数法列方程组求一次函数解析式． （2）根据（1）中解析式，列一元二次方程求解． （3）总利润=单件利润销售量，得到二次函数，先配方，求出最值即可解答． 【详解】（1）解：设y与x的函数关系式为． 把与代入，得 解得， ∴． （2）设当体育用品商店每周销售这种足球获得150元的利润时，每个足球的销售单价是x元，根据题意，得： ． 解得． ∵， ∴， 答：每个足球的销售单价是25元． （3）解：设销售足球每周的利润是w元，由题意得 ． ∵售价不低于20元且不高于28元，当时，随x的增大而增大， ∴当时，(元)． 答：该足球销售单价定为28元时，才能使得销售该足球每周所获利润最大，最大利润是192元． 25．(1) (2) 【分析】本题考查了解直角三角形的实际应用（仰角俯角问题），熟练运用三角函数的定义及算术平均值的计算方法是解答本题的关键． （1）利用冬至时的影长与太阳光线夹角，通过正切函数求出仪门的高度； （2）先利用仪门高度与夏至时的太阳光线夹角，求出夏至时的影长，再根据秋分影长为夏至、冬至影长的算术平均值，计算出秋分正午的影长． 【详解】（1）解：由题意得，冬至正午影长，， 为直角三角形，， 在中，， ； （2）解：夏至正午影长为， 在中，，， ， 由题意得，秋分正午影长为夏至、冬至正午影长的算术平均值： ． 26．(1)， (2)，证明如下： ∵， ∴，即， 又∵， ∴， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴，即． (3)y与x的函数表达式，，其最小值为8 【分析】（1）证明，得到，再证明，即； （2）先证明，再根据相似三角形的性质即可解答； （3）在（1）的条件下， ，，，，即可得到，，，再由对称证明四边形是正方形，最后根据求解析式和最小值即可． 【详解】（1）解：∵，，， ∴，，即， ∴， ∴， ∴，即， ∴与之间的位置关系是，数量关系是；． （2）略 （3）解：在（1）的条件下，，，， ∵， ∴，， 由（1）可得，， ∵， ∴，， ∴， ∵点与点关于对称， ∴垂直平分， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是正方形， ∴， ∵， ∴当时，有最小值，其最小值为8． 27．(1) (2)解：不变，理由如下： 联立与得：， 解得（舍去）， 即 同理可得 如图，作轴交y轴于M，作轴交y轴于N， ∵， ∴ ∴， ∵是与无关的常数， ∴的值不随直线旋转变化； (3)相似 (4) 或 【分析】（1）联立与求出，同理可得，根据勾股定理求出，，即可求出的值； （2）同（1）得，，作轴交y轴于M，作轴交y轴于N，证明，得到，可知的值不随直线旋转变化； （3）根据位似图形一定是相似图形作答即可； （4）设放大后新坐标为，根据位似的性质可知，或，，分别代入计算即可． 【详解】（1）解：联立与得：， 解得：（舍去）， ∴， 同理可得 ∴，， ∴； （2）略 （3）解：位似图形一定是相似图形， 因此任意两个二次函数的图象都相似； （4）解：设放大后新坐标为， ∵以点为位似中心将二次函数图象按放大， ∴，或， 当，时，， 代入得， 即， 可知放大后新的二次函数图象的表达式为； 当，时，同理可得放大后新的二次函数图象的表达式为； 综上所述，放大后新的二次函数图象的表达式为 或． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $