精品解析：2026年山东省春季考试全程测试数学模拟试卷（一）

2026年山东省春季考试全程测试数学模拟试卷（一） 考试说明： 本试卷分卷Ⅰ（选择题）和卷Ⅱ（非选择题）两部分，满分120分，考试用时120分钟．考生请在答题卡上答题，考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 卷Ⅰ（选择题 共60分） 一、选择题：本大题共20小题，每小题3分，共60分．在每小题列出的四个选项中，只有一项符合题目要求． 1. 已知集合，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由集合交集的概念运算即可. 【详解】集合， 所以. 故选:C. 2. 已知复数，则（ ）． A. 25 B. 20 C. 15 D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】根据共轭复数的定义及复数的乘法运算求解即可. 【详解】因为，所以， 所以. 故选：A. 3. 已知，则不等式成立的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据不等式的性质即可求解. 【详解】对A，令，则，故A错误. 对B，令，则，故B错误. 对C，令，则，故C错误. 对D，因为不等式左右两边同时乘以一个负数，则不等号改变，所以，则， 由不等式的加法性质可得，若，则，故D正确. 故选：D. 4. 函数的定义域是（ ）． A. B. C. 且 D. 且 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数有意义，则二次根式被开方数为非负数，分式分母不为零即可求解. 【详解】由题意得，要使函数有意义，则，解得且. 所以函数的定义域是且. 故选：C. 5. 如图所示，在中，为边上的中线，E为的中点，则可以表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用向量的混合运算可求. 【详解】由题可知，因为E为的中点，则, ，，， 则； 故选：A. 6. 已知5件产品中有且只有2件是次品，现从这5件产品中任取2件，则恰有1件次品的概率为（ ）． A. 0.4 B. 0.5 C. 0.6 D. 0.8 【答案】C 【解析】 【分析】根据古典概型概率公式，分别计算总基本事件数与恰有1件次品包含的基本事件数，代入公式求解即可. 【详解】由题意可知，5件产品中有2件次品，3件正品. 从5件产品中任取2件，总的基本事件数为：， 恰有1件次品的事件，即从2件次品中取1件、从3件正品中取1件， 对应的基本事件数为：， 所以恰有1件次品的概率为：. 故选：. 7. 如图所示，在某几何体的三视图中，已知正视图和左视图都是边长为2的正方形，俯视图是圆，则该几何体的体积等于（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据三视图还原几何体，再结合圆柱的体积公式即可求解. 【详解】由三视图知，该几何体是圆柱， 其中圆柱的母线长为2，底面圆的直径为2， 所以底面圆半径为1， 所以该几何体的体积为. 故选：B. 8. 在等比数列中，若，，则该数列的公比等于（ ） A. 1或2 B. 或 C. 2或 D. 2或 【答案】D 【解析】 【分析】由等比数列的通项公式即可得解. 【详解】因为等比数列，，， 所以，即， 解得或. 故选：D. 9. 若，且是第四象限角，则（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据三角函数的诱导公式和同角三角函数的商数关系分析计算求解即可. 【详解】因为，所以， 因为是第四象限角，所以， 所以. 故选：A. 10. 过点，且与平行的直线是（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用两平行直线的一般式系数特征设出所求直线方程，代入已知点坐标求解参数，即可确定直线方程. 【详解】设与平行的直线方程为：， 因为所求直线过点，所以， 解得：，所以所求直线方程为：. 故选：B. 11. 某职业学校共有学生4000名，其中男生2100名，有关部门为了调查学生身体素质情况，拟采用分层抽样的方法从该校抽取200名学生进行调查，则应抽取的女生人数为（ ）． A. 95 B. 90 C. 105 D. 85 【答案】A 【解析】 【分析】先计算该校女生总人数，再根据分层抽样等比例抽取的性质计算应抽取的女生人数即可. 【详解】因为学校共有学生4000名，其中男生2100名， 所以该校女生有名， 因为抽取的样本容量为200，总体容量为4000，所以抽取比例为， 所以应抽取的女生人数为. 故选：A. 12. 已知函数是偶函数，且时，，则的单调递增区间是（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先判断时函数的单调性，再利用偶函数的性质，得到时的单调性，即可确定单调递增区间. 【详解】当时，，该一次函数的一次项系数， 所以在上单调递减；又因为是偶函数， 所以其图象关于轴对称，且在关于原点对称的区间上单调性相反， 所以在对称区间上单调递增， 综上，的单调递增区间是. 故选：D. 13. 在同一平面直角坐标系中画出函数与的图象，可能是（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据一次函数和对数函数的图象对进行分类讨论即可. 【详解】函数与， 当时，函数在上单调递增，且与轴的交点纵坐标在之间， 只有A选项符合题意，但不满足函数在上单调递减，故不成立； 直线的y轴截距小于 0，即a<0，对数底数不能小于 0，B 错。 当时，函数在上单调递增，且与轴的交点纵坐标大于，CD选项符合题意， 且函数在上单调递增，过定点， 故只有选项C，符合时两函数的图象. 故选：C. 14. 在的二项展开式中，二项式系数最大的项的系数是（ ）． A. 240 B. 160 C. 480 D. 384 【答案】B 【解析】 【分析】根据二项式展开的通项公式即可求解. 【详解】由题意得，二项式的通项公式为， 因为二项式系数在时最大，所以二项式系数最大的项是第四项， 则，即二项式系数最大的项的系数是. 故选：B. 15. 直线被圆截得的弦长等于（ ）． A. B. 2 C. D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】先确定圆的圆心和半径，再计算圆心到直线的距离，最后代入弦长公式求解即可. 【详解】因为圆的标准方程为：，所以圆心坐标为，半径， 所以圆心到直线的距离为：  ， 所以直线被圆截得的弦长.  故选：C. 16. 某文艺小组共有9人，其中4人只擅长跳舞，3人只擅长唱歌，2个人既擅长跳舞又擅长唱歌，现从该文艺小组随机推选擅长跳舞、唱歌的选手各1人参加表演，则共有（ ）种选法． A. 28 B. 32 C. 46 D. 52 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意进行分类讨论，结合分类计数原理及分步计数原理即可得解. 【详解】由题意可知， 当跳舞选手从只擅长跳舞的人选，唱歌选手从只擅长唱歌的人选，有种选法； 当从既擅长跳舞又擅长唱歌的人中选跳舞选手，唱歌选手从只擅长唱歌的人选，有种选法； 当从既擅长跳舞又擅长唱歌的人中选唱歌选手，跳舞选手从只擅长跳舞的人选，有种选法； 当从既擅长跳舞又擅长唱歌的人中选唱歌选手和跳舞选手，有种选法， 则共有种选法， 故选：. 17. 已知离散型随机变量的分布列： 0 1 2 0.5 则实数的值为（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意利用分布列的性质即可得解. 【详解】由分布列可知，， ，则或， 又因为且，解得， 所以， 故选：. 18. 若角的终边经过点，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据角终边所经过的点，求得角的余弦值后，结合二倍角公式，即可求解. 【详解】由题，角的终边经过点，即在第四象限， 故， 故. 故选：D. 19. 已知直线与抛物线交于，两点，，点在直线上，且，则抛物线的标准方程是（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意先求出直线的方程，再与抛物线方程联立，进而结合韦达定理求解. 【详解】点，，则直线的斜率， ， 又因为直线过点，代入点斜式方程， 得直线的方程为， 设， 联立直线方程和抛物线方程，得， 则， 由韦达定理得：， 因为， 又因为， 所以， 则抛物线的标准方程是， 故选：D. 20. 已知，是直线，是平面，给出以下四个命题： ①若，，则；②若，，则； ③若，，则；④若，，则． 其中，所有正确命题的序号是（ ）． A. ① B. ② C. ②③ D. ①④ 【答案】A 【解析】 【分析】根据线面垂直的性质即可求解. 【详解】对①，由线面垂直的性质可得，若，，则；故①正确. 对②，由线面垂直的性质可得，若，，则；故②错误. 对③，若，，则或；故③错误. 对④，若，，则或或相交；故④错误． 故选：A. 卷Ⅱ（非选择题共60分） 二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分． 21. 已知函数则________． 【答案】 【解析】 【分析】根据分段函数的解析式计算内层的值，再将所得结果代入解析式计算外层函数值即可. 【详解】，， 又，. 故答案为：. 22. 已知、是非零向量，，，且，则________． 【答案】 【解析】 【分析】将两边平方，利用平面向量的运算法则求出即可得解. 【详解】、是非零向量，，，且， 则， 解得， 因为，所以， 故答案为：. 23. 已知函数在上是减函数，则实数的取值范围是________ 【答案】 【解析】 【分析】根据题意结合二次函数的单调性即可得解. 【详解】函数，图像为开口向上的抛物线， 对称轴为， 因为函数在上是减函数， 则，解得， 所以实数的取值范围是， 故答案为：. 24. 在中，内角，，的对边分别是，，，若，，面积，则________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意利用三角形面积公式求出，代入余弦定理公式即可得解. 【详解】在中，内角，，的对边分别是，，，且，， 面积，则，解得， 由余弦定理可知，，则， 故答案为：. 25. 如图所示，已知双曲线的左、右焦点分别为，，过原点的直线与双曲线交于，两点，，的面积为，且是锐角，，则双曲线的离心率是________． 【答案】 【解析】 【分析】由双曲线定义得到，再结合双曲线的对称性及余弦定理，进而求解. 【详解】根据双曲线的定义，， 由双曲线的对称性可知：， 所以， 所以， ， 由对称性可知，， ， 所以离心率， 故答案为： 三、解答题：本大题共5小题，共40分． 26. 已知函数，且，， （1）求，的值； （2）判断并证明函数的奇偶性． 【答案】（1）， （2）奇函数，证明见解析. 【解析】 【分析】（1）将已知条件和代入函数解析式，得到关于的方程组，解之即可； （2）利用奇偶性定义：计算并与比较，结合已求出的值判断. 【小问1详解】 函数， 由，可得 由，可得 ，即 所以，. 【小问2详解】 函数为奇函数，证明如下： 由（1）得： ， 而， ， 是奇函数. 27. 在等差数列中，已知，前3项之和，求： （1）该数列的通项公式； （2）该数列前项和的最小值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由及可求出公差，再写出通项公式； （2）先求出等差数列的前项和，再结合二次函数的图象和性质求最值即可. 【小问1详解】 在等差数列中，设公差为， 则， 代入 ，， 可得，解得， 所以该数列的通项公式：； 【小问2详解】 该数列前项和， 这是开口向上的二次函数， 当时，取最小值， 因为为正整数， 当 时，， 当时，， 所以的最小值为，在或时取得. 28. 已知函数，. （1）求函数的最大值及取得最大值时x的集合； （2）若，且，求的值. 【答案】（1）2，； （2）或. 【解析】 【分析】（1）将已知三角函数化简，根据正弦型函数的性质即可求解； （2）已知三角函数值以及角的取值范围，代入即可求解. 【小问1详解】 ， 所以当时，函数的最大值为2. 此时，，解得，， 所以x的集合为. 【小问2详解】 若，则，， 所以，或，， 即，或，， 因为， 所以或. 29. 如图所示，在三棱锥中，已知，，点是的中点，点，且．求证： （1）； （2）平面平面． 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）由  且  为  中点，得 ，由  且  为  中点，得 ，故  平面 ，从而 ； （2）由（1）知  平面 ，故 ，又 ，故  平面 ，因  平面 ，所以平面  平面 . 【小问1详解】 证明：因为，是的中点， 所以. 因为，是的中点， 所以 . 因为，平面，平面， 所以平面. 因为平面 ， 所以. 【小问2详解】 证明：由（1）可知平面， 因为平面 ， 所以. 又因为，，平面 ， 平面 ， 所以平面. 因为平面 ， 所以平面平面 . 30. 如图所示，已知椭圆的离心率为，焦距为，以，，为三边的三角形的面积为，过椭圆右焦点的直线交椭圆于，两点，过椭圆右焦点且垂直于的直线交椭圆于，两点． （1）求椭圆的标准方程； （2）若四边形的面积为，求直线的方程． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（）根据题意利用离心率公式得出，，结合椭圆的性质及直角三角形面积公式求出值即可得解. （）当直线斜率不存在时，求出，，代入四边形面积公式即可得解；当直线斜率存在时，设出直线方程，根据垂直关系求出直线方程，分别将直线方程代入到椭圆方程中，利用韦达定理及弦长公式求出，，利用四边形面积公式即可得解. 【小问1详解】 已知椭圆的离心率为，则， 由椭圆的性质，可得， 以，，为三边的三角形为直角三角形，其面积为， 则，解得，则，， 所以椭圆方程为. 【小问2详解】 由（）可知，椭圆的右焦点坐标， 当直线斜率不存在时，此时直线方程为， 代入椭圆方程中，解得， 则，， 此时四边形的面积为，不符合题意； 当直线斜率存在时，设直线方程为，则直线方程为， 将代入椭圆方程中得， 设， 由韦达定理可知，，， ， 同理可知，， 四边形的面积， 化简得， 解得， 所以直线方程为或. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年山东省春季考试全程测试数学模拟试卷（一） 考试说明： 本试卷分卷Ⅰ（选择题）和卷Ⅱ（非选择题）两部分，满分120分，考试用时120分钟．考生请在答题卡上答题，考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 卷Ⅰ（选择题 共60分） 一、选择题：本大题共20小题，每小题3分，共60分．在每小题列出的四个选项中，只有一项符合题目要求． 1. 已知集合，则等于（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数，则（ ）． A. 25 B. 20 C. 15 D. 5 3. 已知，则不等式成立的是（ ）． A. B. C. D. 4. 函数的定义域是（ ）． A. B. C. 且 D. 且 5. 如图所示，在中，为边上的中线，E为的中点，则可以表示为（ ） A. B. C. D. 6. 已知5件产品中有且只有2件是次品，现从这5件产品中任取2件，则恰有1件次品的概率为（ ）． A. 0.4 B. 0.5 C. 0.6 D. 0.8 7. 如图所示，在某几何体的三视图中，已知正视图和左视图都是边长为2的正方形，俯视图是圆，则该几何体的体积等于（ ）． A. B. C. D. 8. 在等比数列中，若，，则该数列的公比等于（ ） A. 1或2 B. 或 C. 2或 D. 2或 9. 若，且是第四象限角，则（ ）． A. B. C. D. 10. 过点，且与平行的直线是（ ）． A. B. C. D. 11. 某职业学校共有学生4000名，其中男生2100名，有关部门为了调查学生身体素质情况，拟采用分层抽样的方法从该校抽取200名学生进行调查，则应抽取的女生人数为（ ）． A. 95 B. 90 C. 105 D. 85 12. 已知函数是偶函数，且时，，则的单调递增区间是（ ）． A. B. C. D. 13. 在同一平面直角坐标系中画出函数与的图象，可能是（ ）． A. B. C. D. 14. 在的二项展开式中，二项式系数最大的项的系数是（ ）． A. 240 B. 160 C. 480 D. 384 15. 直线被圆截得的弦长等于（ ）． A. B. 2 C. D. 1 16. 某文艺小组共有9人，其中4人只擅长跳舞，3人只擅长唱歌，2个人既擅长跳舞又擅长唱歌，现从该文艺小组随机推选擅长跳舞、唱歌的选手各1人参加表演，则共有（ ）种选法． A. 28 B. 32 C. 46 D. 52 17. 已知离散型随机变量的分布列： 0 1 2 0.5 则实数的值为（ ）． A. B. C. D. 18. 若角的终边经过点，则等于（ ） A. B. C. D. 19. 已知直线与抛物线交于，两点，，点在直线上，且，则抛物线的标准方程是（ ）． A. B. C. D. 20. 已知，是直线，是平面，给出以下四个命题： ①若，，则；②若，，则； ③若，，则；④若，，则． 其中，所有正确命题的序号是（ ）． A. ① B. ② C. ②③ D. ①④ 卷Ⅱ（非选择题共60分） 二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分． 21. 已知函数则________． 22. 已知、是非零向量，，，且，则________． 23. 已知函数在上是减函数，则实数的取值范围是________ 24. 在中，内角，，的对边分别是，，，若，，面积，则________． 25. 如图所示，已知双曲线的左、右焦点分别为，，过原点的直线与双曲线交于，两点，，的面积为，且是锐角，，则双曲线的离心率是________． 三、解答题：本大题共5小题，共40分． 26. 已知函数，且，， （1）求，的值； （2）判断并证明函数的奇偶性． 27. 在等差数列中，已知，前3项之和，求： （1）该数列的通项公式； （2）该数列前项和的最小值． 28. 已知函数，. （1）求函数的最大值及取得最大值时x的集合； （2）若，且，求的值. 29. 如图所示，在三棱锥中，已知，，点是的中点，点，且．求证： （1）； （2）平面平面． 30. 如图所示，已知椭圆的离心率为，焦距为，以，，为三边的三角形的面积为，过椭圆右焦点的直线交椭圆于，两点，过椭圆右焦点且垂直于的直线交椭圆于，两点． （1）求椭圆的标准方程； （2）若四边形的面积为，求直线的方程． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $