期末复习：动能定理的初步应用、动能定理的综合应用 专项训练-2025-2026学年高一下学期物理人教版必修第二册

**基本信息** 以动能定理应用为核心，构建从初步到综合的递进式方法体系，通过标准化步骤与典型场景例题，培养能量观念与科学推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |初步应用|3例+3变式|六步标准解题（确定对象→受力分析→功的计算→总功→列方程→求解），适用于直线单一过程|从公式内涵、正负规则到适用条件，建立基础应用逻辑| |综合应用|3例+3变式|分类解题步骤（单物体多过程全程列式/系统动能定理内外力功分析），适用于曲线、变力、系统问题|拓展至复杂场景，形成“原理-步骤-综合应用”递进链|

期末复习：动能定理的初步应用、动能定理的综合应用专项训练 期末复习：动能定理的初步应用、动能定理的综合应用专项训练 考点目录 动能定理的初步应用 动能定理的综合应用 考点一 动能定理的初步应用 一、解题原理 1. 公式： 1. 内涵：合外力对物体做的总功，等于物体动能的变化量； 1. 正负规则：外力做正功动能增加，外力做负功动能减少； 1. 适用条件：直线运动、单一过程、受力简单（重力、拉力、摩擦力），无需分析中间加速度、时间，只看初末速度与全程做功。 二、标准解题步骤 1. 确定研究对象与运动全过程，标出初速度、末速度； 1. 对物体受力分析，找出所有做功的力，不做功的力直接忽略； 1. 逐个写出每个力做功表达式： 恒力做功；重力；摩擦力； 1. 求总功； 1. 列动能定理方程：； 1. 代入已知量，求解速度、位移、力、高度等未知物理量。 例1．（25-26高一下·重庆沙坪坝·期中）如图所示，竖直面内有一光滑圆弧轨道，其最低点与水平面平滑连接。圆弧轨道半径，圆心角为。水平面上点左侧光滑、右侧粗糙。一根轻弹簧置于水平面上，其左端固定在挡板上，右端自由伸长至点。现将质量的物块放在水平面上，向左压缩弹簧至点后由静止释放。物块被弹开后，恰好不滑离圆弧轨道。已知物块与段间的动摩擦因数为0.5，段长度也为，重力加速度，物块视为质点。求： (1)物块运动到圆弧轨道点时，轨道对物块的支持力大小； (2)物块在位置时弹簧的弹性势能； (3)物块停止运动时距点的距离。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）物块从到过程，轨道光滑，根据动能定理 在点，根据牛顿第二定律 代入数据得 （2）从释放到的过程，初末动能均为，弹性势能等于克服摩擦力做功与重力势能增加量之和 代入数据 （3）物块从滑回水平面，设物块从向左运动的总路程为，根据动能定理 代入数据得 长度恰好为，物块刚好停在点，因此停止位置距点的距离为 例2．（25-26高二下·广东深圳·期中）如图（a）所示，明朝出版的《天工开物》被称为“中国17世纪的工艺百科全书”，书中详细描述了古法榨油的方法，其过程简化为石块撞击木楔，挤压胚饼，重复撞击，榨出油来。现有一长度l=5m的绳子，上端固定于屋梁，下端悬挂一质量m= 200kg的石块，可视为质点。将石块拉至绳子与竖直方向的夹角的位置由静止释放，如图（b）所示。重力加速度g取10m/s2。（，，取2.2）求： (1)撞击前，石块在最低点对绳子的拉力大小T； (2)石块在最低点，与木楔撞击后，石块的反弹速度v=1m/s，撞击时间t=0.1s，石块对木楔平均撞击力大小F； (3)假设石块每次在最低点撞击木楔，木楔得到的动能是石块撞击前动能的10% ，木楔所受的阻力与它的位移的关系如图（c）所示。当石块撞击1次时，木楔移动的位移x。 【答案】(1)2800N (2) (3) 【详解】（1）石块运动到最低点过程，根据动能定理有 解得 根据牛顿第二定律有 解得 （2）对石块进行分析，根据动量定理有 根据牛顿第三定律，石块对木楔的平均撞击力 解得 （3）根据木楔的阻力与位移图像关系有 木楔克服阻力做的功 根据动能定理有 联立可得 解得 例3．（25-26高一下·广东·阶段检测）我国早在3000年前就发明了辘轳，其简化模型如下图所示，辘轳的卷筒可绕水平轻轴转动，卷筒质量为、厚度不计。某人转动卷筒通过细绳从井里吊起装满水的薄壁柱状水桶，水桶的高为，空桶质量为，桶中装满水的质量为。井中水面与井口的高度差为，重力加速度为，已知水桶从刚浸入到完全浸入水中的过程中，所受浮力大小与浸入水中的深度成正比，不计辐条的质量和转动轴处的摩擦。 (1)若人以恒定功率转动卷筒，装满水的水桶到达井口前已做匀速运动，求水桶上升过程中的最大速度； (2)空桶从桶口位于井口处由静止释放并带动卷筒自由转动，求水桶底部刚落到水面时的速度大小； (3)水桶从图示位置（此时水桶的上表面刚好与水面持平）缓慢上升高度，忽略提水过程中水面的高度变化及水桶中水的溢出情况，求此过程中人做的功。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）设水桶做匀速运动时受到细绳的拉力为，则有 水桶上升过程中到最大速度时有 解得 （2）水桶由静止下落的过程中，由动能定理有 解得 （3）设水桶开始时在水中受到的浮力为，则 由题意可知水桶提出水面的过程中，浮力的平均值为，桶口运动到井口的过程中，由动能定理得 解得 变式1．（25-26高一下·广西南宁·期中）如图所示，是一种大型机械车间运输货物的吊车。吊车通过钢索竖直悬挂货物，现将一质量为的货物（可视为质点）由静止开始沿着与水平方向成角斜向上做匀加速直线运动，货物在内向斜上方移动了的距离，空气阻力不计，重力加速度取。求： (1)10 s末货物的速度； (2)10 s末重力的瞬时功率； (3)10 s内钢索对货物的拉力做功。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）根据匀变速直线运动的位移公式 解得加速度为 根据速度公式，末的速度为 （2）速度在竖直方向的分量 根据瞬时功率公式 （3）对于整个运动过程，货物受到钢索拉力和竖直向下的重力，根据动能定理 解得 变式2．（25-26高一下·江苏常州·阶段检测）如图所示，光滑曲面轨道AB、光滑竖直圆轨道、水平轨道BD、水平传送带DE各部分平滑连接，圆轨道最低点B处的入、出口靠近但相互错开。现将一质量为m=0.5kg的滑块从AB轨道上某一位置由静止释放，若已知圆轨道半径R=0.8m，水平轨道BD的长度x=1m，传送带足够长，滑块始终不脱离圆轨道，且与水平轨道BD和传送带间的动摩擦因数均为μ=0.2，传送带以恒定速度=10m/s顺时针转动，g取10m/s2。 (1)若h=0.8m，求滑块运动至B点时对圆轨道的压力大小F； (2)若滑块恰能通过最高点C点，求滑块释放高度h1； (3)若h=3.4m，滑块从滑上传送带到与传送带共速时，求电动机多消耗的电能 E。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）滑块从A到B过程，根据动能定理有 解得 在B点有 联立解得 根据牛顿第三定律可知，滑块运动至B点时对圆轨道的压力大小F=15N （2）若滑块恰能通过最高点C点，则有 滑块从A到C过程，根据动能定理有 联立解得 （3）滑块从A到D过程，根据动能定理有 解得 则滑块从滑上传送带到与传送带共速用时 其中 联立解得 根据能量守恒可知，电动机多消耗的电能 联立解得 变式3．（25-26高一下·江苏盐城·阶段检测）如图所示，小明用与水平方向的轻绳拉木箱，绳的拉力为F，使木箱由静止开始沿水平地面向右移动了一段距离Lm，木箱质量为m，木箱受到地面的阻力f，求： (1)绳的拉力及地面的阻力分别对木箱做的功； (2)木箱前进16m时的动能； (3)木箱前进16m时绳的拉力瞬时功率。 【答案】(1)； (2) (3) 【详解】（1）绳的拉力做功 解得 阻力做功 解得 （2）根据动能定理有 解得 （3）根据动能公式 可求得 瞬时功率为 解得 考点二 动能定理的综合应用 一、解题原理 1. 拓展适用场景：曲线运动、多段往复运动、变力做功、含弹簧弹力、抛体、圆周、板块模型、多物体系统； 1. 变力处理：弹簧弹力、空气阻力等变力，无法用，依靠动能定理避开复杂变力积分； 1. 系统动能定理：系统所有外力做功+系统内力做功之和=系统总动能变化； 1. 优势：多段运动不用分段列运动学方程，可全程整体列式简化计算。 二、标准解题步骤 （1）单物体多过程/变力题型 1. 选取全程为研究过程，确定全过程初、末状态速度； 1. 区分恒力、变力，分别计算各力全程总功；弹簧弹力做功看形变量变化； 1. 总功叠加，列整体动能定理方程； 1. 求解未知量；若中间有临界状态（圆周最高点），结合临界速度约束联立。 （2）系统动能定理题型 1. 划定系统，区分外力、内力；摩擦力、弹簧弹力属于系统内力； 1. 计算所有外力做功、所有内力做功（滑动摩擦力一对内力总功为）； 1. 等式左侧：全部外力功+全部内力功；右侧：系统末总动能系统初总动能； 1. 联立方程求解速度、相对位移、摩擦生热等。 例1．（25-26高一下·安徽黄山·期中）如图所示，装置由光滑的四分之一圆弧轨道、水平传送带组成，圆弧轨道和传送带在点平滑连接。一质量为的滑块在圆弧轨道上距离点高度为的某处由静止释放，经过传送带，最后落地。已知滑块与传送带的动摩擦因数为，传送带长，圆弧轨道半径为，传送带一直向右做匀速运动，速度大小为，端距地面的高度。（传送带的轮子半径很小，滑块可视为质点，其余阻力不计，取） (1)若小滑块从处静止释放通过传送带，求物体到达C点时的速度； (2)若每隔从高处由静止连续释放小滑块，求传送带的电动机多消耗的功率； (3)若滑块始终从点释放，传送带的长度可以在0到足够大之间调节（点位置不变，点位置可以左右调节），其他条件不变，求滑块落地点至点的水平距离与传送带长度之间的关系。（注：滑块运行期间传送带长度是不变的） 【答案】(1)3m/s (2)3.6W (3)当，；当， 【详解】（1）根据动能定理有 解得 根据牛顿第二定律可得 解得 滑块在传送带上加速到与传送带共速 所以滑块在传送带上先匀加速再匀速，所以物块到达C点时的速度 （2）滑块在传送带加速时间 传送带上总是有n个滑块加速 所以传送带的电动机多消耗的功率 （3）滑块始终从A点释放，到达B点的速度为 解得 经过分析，当传送带长度小于等于时，滑块全程减速，否则为先减速后以匀速 则 解得 故当， 当， 又因为 解得 综上，当， 当， 例2．（25-26高一下·江苏·阶段检测）如图所示，在竖直平面内固定有两个很靠近的同心圆形轨道。一质量的小球从轨道的最低点，以初速度向右运动，经过一段时间小球到达最高点，内轨道对小球的支持力。球的尺寸略小于两圆间距，球运动的半径，取。求： (1)小球经过最高点的速度的大小； (2)小球在这段时间内克服摩擦力做的功。 【答案】(1)6m/s (2)16J 【详解】（1）在最高点，小球受到重力和内轨道向下的支持力，二者合力提供向心力，则有 解得 （2）从最低点A到最高点，重力势能增加，动能减少。根据能量守恒，可知减少的动能等于重力势能增加量与克服摩擦力做功之和，根据动能定理 其中合外力做功包括重力做功和摩擦力做功，则有 代入数据解得 例3．（25-26高一下·云南楚雄·期中）图所示，质量的小物块以一定的初速度水平向右抛出，恰好从A点沿着圆弧的切线方向进入圆弧轨道。圆弧轨道的半径，B点是圆弧轨道的最低点，圆弧轨道与粗糙水平轨道BD平滑连接，A与圆心O的连线与竖直方向成角，小物块与BD间的动摩擦因数，且，轨道其他部分光滑，最右侧是一个半径为的光滑半圆弧轨道，C点是半圆弧轨道的最高点，半圆弧轨道与水平轨道BD在D点平滑连接。已知小物块恰好能到达半圆弧轨道的最高点C点，重力加速度取，，。 (1)求小物块在C点时的速度大小； (2)求小物块经过D点时对轨道的压力大小； (3)求小物块经过A点时的速度大小与小物块平抛时距A点的水平距离。 【答案】(1) (2) (3)；1.2m 【详解】（1）小物块刚好能通过点，由牛顿第二定律得 解得 （2）从到，由动能定理有 在点有 解得 又由牛顿第三定律可知，小物块经过点时对轨道的压力大小 （3）从到，由动能定理有 解得 又小物块从点沿切线方向进入圆弧轨道，则， 则 变式1．（25-26高一下·山东济南·期中）某科技小组参加了过山车游戏项目研究，如图甲所示，为了研究其中的物理规律，科技组成员设计出如图乙所示的装置。为弹性发射装置，为倾角的倾斜轨道，为水平轨道，为竖直圆轨道，为足够长的倾斜轨道，各段轨道均平滑连接。以点为坐标原点，水平向右为轴正方向，竖直向上为轴正方向建立平面直角坐标系。已知滑块质量为，圆轨道半径，长为，、段动摩擦因数均为，其余各段轨道均光滑。现滑块从弹射装置弹出的速度为，且恰好从点沿方向进入轨道，滑块可视为质点。重力加速度，，。求： (1)求滑块从弹射装置弹出时的坐标值； (2)若滑块恰好能通过点，求轨道的长度； (3)若滑块能进入圆轨道且不脱轨，求轨道的长度。 【答案】(1) (2) (3)或 【详解】（1）对滑块由到的运动，根据平抛规律有 在平抛运动的竖直方向有 解得 运动时间 则 即弹出时位置的坐标值为。 （2）滑块恰好能通过点，在最高点有 从到圆轨道最高点，由动能定理得 联立解得 （3）滑块刚好不脱离轨道，有两种临界情况，一是刚好在圆轨道最高点压力为零时，二是刚好到达与圆轨道圆心等高的地方。 由上问知，滑块刚好能够到达圆轨道最高点时 滑块刚好到达与圆轨道圆心等高的地方时，从到与圆心等高的位置，由动能定理得 解得 滑块从点进入后不脱离轨道时的长度应满足或。 变式2．（25-26高一下·湖北鄂州·阶段检测）如图所示，一过山车的简易模型由固定水平轨道和固定在竖直平面内半径R=2.5m的光滑圆形轨道组成，B、C分别是圆形轨道的最低点和最高点，水平轨道上的右端D点竖直固定一弹性挡板。一质量m=1kg的物块（视为质点）从水平轨道上的左端A点向右运动，恰好能通过圆形轨道的最高点，与挡板碰撞后恰好不会在沿圆形轨道上滑行过程中脱离圆形轨道。A、B两点间的距离L=3.8m，物块与水平轨道间的动摩擦因数μ=0.25，取重力加速度大小g=10m/s2，圆形轨道间不相互重叠，物块与挡板碰撞过程中没有能量损失。求： (1)物块通过C点时的速度大小v； (2)物块在A点时的速度大小v0； (3)B、D两点间的距离d，以及物块最后停下的位置到B点的距离x。 【答案】(1)5m/s (2)12m/s (3)7.5m，5m 【详解】（1）物块通过C点时，重力完全充当向心力 解得 （2）设物块通过B点时的速度大小为，根据动能定理有 对物块从A点运动到B点的过程，根据动能定理有 解得 （3）对物块从C点到恰好不会在沿圆形轨道上滑行过程中脱离圆形轨道的过程，根据动能定理有 解得 设物块在B点右侧水平轨道上滑行的总路程为，根据动能定理有 解得 根据几何关系可知 变式3．（25-26高一下·湖北襄阳·期中）如图所示，在竖直平面内，粗糙的斜面轨道的下端与光滑的圆弧轨道相切于点，点是最低点，圆心角，与圆心等高，圆弧轨道半径，现有一个质量为且可视为质点的小物体，从点的正上方点处自由下落，物体恰好到达斜面顶端处。已知距离，物体与斜面之间的动摩擦因数，取，，，忽略空气阻力，求： (1)物体第一次到达点时的速度大小和受到的支持力大小； (2)物体第一次到达点时的速度大小；（结果可含根号） (3)斜面的长度。 【答案】(1)10m/s，22N (2) (3)4.8m 【详解】（1）物体从到由动能定理，得 代入数据解得 在点，由牛顿第二定律得 解得轨道对物体的支持力大小为 （2）从到，由动能定理得 代入数据解得物体第一次到达点时的速度大小 （3）从到，由动能定理得 代入数据解得 2 学科网（北京）股份有限公司 $期末复习：动能定理的初步应用、动能定理的综合应用专项训练 期末复习：动能定理的初步应用、动能定理的综合应用专项训练 考点目录 动能定理的初步应用 动能定理的综合应用 考点一 动能定理的初步应用 一、解题原理 1. 公式： 1. 内涵：合外力对物体做的总功，等于物体动能的变化量； 1. 正负规则：外力做正功动能增加，外力做负功动能减少； 1. 适用条件：直线运动、单一过程、受力简单（重力、拉力、摩擦力），无需分析中间加速度、时间，只看初末速度与全程做功。 二、标准解题步骤 1. 确定研究对象与运动全过程，标出初速度、末速度； 1. 对物体受力分析，找出所有做功的力，不做功的力直接忽略； 1. 逐个写出每个力做功表达式： 恒力做功；重力；摩擦力； 1. 求总功； 1. 列动能定理方程：； 1. 代入已知量，求解速度、位移、力、高度等未知物理量。 例1．（25-26高一下·重庆沙坪坝·期中）如图所示，竖直面内有一光滑圆弧轨道，其最低点与水平面平滑连接。圆弧轨道半径，圆心角为。水平面上点左侧光滑、右侧粗糙。一根轻弹簧置于水平面上，其左端固定在挡板上，右端自由伸长至点。现将质量的物块放在水平面上，向左压缩弹簧至点后由静止释放。物块被弹开后，恰好不滑离圆弧轨道。已知物块与段间的动摩擦因数为0.5，段长度也为，重力加速度，物块视为质点。求： (1)物块运动到圆弧轨道点时，轨道对物块的支持力大小； (2)物块在位置时弹簧的弹性势能； (3)物块停止运动时距点的距离。 例2．（25-26高二下·广东深圳·期中）如图（a）所示，明朝出版的《天工开物》被称为“中国17世纪的工艺百科全书”，书中详细描述了古法榨油的方法，其过程简化为石块撞击木楔，挤压胚饼，重复撞击，榨出油来。现有一长度l=5m的绳子，上端固定于屋梁，下端悬挂一质量m= 200kg的石块，可视为质点。将石块拉至绳子与竖直方向的夹角的位置由静止释放，如图（b）所示。重力加速度g取10m/s2。（，，取2.2）求： (1)撞击前，石块在最低点对绳子的拉力大小T； (2)石块在最低点，与木楔撞击后，石块的反弹速度v=1m/s，撞击时间t=0.1s，石块对木楔平均撞击力大小F； (3)假设石块每次在最低点撞击木楔，木楔得到的动能是石块撞击前动能的10% ，木楔所受的阻力与它的位移的关系如图（c）所示。当石块撞击1次时，木楔移动的位移x。 例3．（25-26高一下·广东·阶段检测）我国早在3000年前就发明了辘轳，其简化模型如下图所示，辘轳的卷筒可绕水平轻轴转动，卷筒质量为、厚度不计。某人转动卷筒通过细绳从井里吊起装满水的薄壁柱状水桶，水桶的高为，空桶质量为，桶中装满水的质量为。井中水面与井口的高度差为，重力加速度为，已知水桶从刚浸入到完全浸入水中的过程中，所受浮力大小与浸入水中的深度成正比，不计辐条的质量和转动轴处的摩擦。 (1)若人以恒定功率转动卷筒，装满水的水桶到达井口前已做匀速运动，求水桶上升过程中的最大速度； (2)空桶从桶口位于井口处由静止释放并带动卷筒自由转动，求水桶底部刚落到水面时的速度大小； (3)水桶从图示位置（此时水桶的上表面刚好与水面持平）缓慢上升高度，忽略提水过程中水面的高度变化及水桶中水的溢出情况，求此过程中人做的功。 变式1．（25-26高一下·广西南宁·期中）如图所示，是一种大型机械车间运输货物的吊车。吊车通过钢索竖直悬挂货物，现将一质量为的货物（可视为质点）由静止开始沿着与水平方向成角斜向上做匀加速直线运动，货物在内向斜上方移动了的距离，空气阻力不计，重力加速度取。求： (1)10 s末货物的速度； (2)10 s末重力的瞬时功率； (3)10 s内钢索对货物的拉力做功。 变式2．（25-26高一下·江苏常州·阶段检测）如图所示，光滑曲面轨道AB、光滑竖直圆轨道、水平轨道BD、水平传送带DE各部分平滑连接，圆轨道最低点B处的入、出口靠近但相互错开。现将一质量为m=0.5kg的滑块从AB轨道上某一位置由静止释放，若已知圆轨道半径R=0.8m，水平轨道BD的长度x=1m，传送带足够长，滑块始终不脱离圆轨道，且与水平轨道BD和传送带间的动摩擦因数均为μ=0.2，传送带以恒定速度=10m/s顺时针转动，g取10m/s2。 (1)若h=0.8m，求滑块运动至B点时对圆轨道的压力大小F； (2)若滑块恰能通过最高点C点，求滑块释放高度h1； (3)若h=3.4m，滑块从滑上传送带到与传送带共速时，求电动机多消耗的电能 E。 变式3．（25-26高一下·江苏盐城·阶段检测）如图所示，小明用与水平方向的轻绳拉木箱，绳的拉力为F，使木箱由静止开始沿水平地面向右移动了一段距离Lm，木箱质量为m，木箱受到地面的阻力f，求： (1)绳的拉力及地面的阻力分别对木箱做的功； (2)木箱前进16m时的动能； (3)木箱前进16m时绳的拉力瞬时功率。 考点二 动能定理的综合应用 一、解题原理 1. 拓展适用场景：曲线运动、多段往复运动、变力做功、含弹簧弹力、抛体、圆周、板块模型、多物体系统； 1. 变力处理：弹簧弹力、空气阻力等变力，无法用，依靠动能定理避开复杂变力积分； 1. 系统动能定理：系统所有外力做功+系统内力做功之和=系统总动能变化； 1. 优势：多段运动不用分段列运动学方程，可全程整体列式简化计算。 二、标准解题步骤 （1）单物体多过程/变力题型 1. 选取全程为研究过程，确定全过程初、末状态速度； 1. 区分恒力、变力，分别计算各力全程总功；弹簧弹力做功看形变量变化； 1. 总功叠加，列整体动能定理方程； 1. 求解未知量；若中间有临界状态（圆周最高点），结合临界速度约束联立。 （2）系统动能定理题型 1. 划定系统，区分外力、内力；摩擦力、弹簧弹力属于系统内力； 1. 计算所有外力做功、所有内力做功（滑动摩擦力一对内力总功为）； 1. 等式左侧：全部外力功+全部内力功；右侧：系统末总动能系统初总动能； 1. 联立方程求解速度、相对位移、摩擦生热等。 例1．（25-26高一下·安徽黄山·期中）如图所示，装置由光滑的四分之一圆弧轨道、水平传送带组成，圆弧轨道和传送带在点平滑连接。一质量为的滑块在圆弧轨道上距离点高度为的某处由静止释放，经过传送带，最后落地。已知滑块与传送带的动摩擦因数为，传送带长，圆弧轨道半径为，传送带一直向右做匀速运动，速度大小为，端距地面的高度。（传送带的轮子半径很小，滑块可视为质点，其余阻力不计，取） (1)若小滑块从处静止释放通过传送带，求物体到达C点时的速度； (2)若每隔从高处由静止连续释放小滑块，求传送带的电动机多消耗的功率； (3)若滑块始终从点释放，传送带的长度可以在0到足够大之间调节（点位置不变，点位置可以左右调节），其他条件不变，求滑块落地点至点的水平距离与传送带长度之间的关系。（注：滑块运行期间传送带长度是不变的） 例2．（25-26高一下·江苏·阶段检测）如图所示，在竖直平面内固定有两个很靠近的同心圆形轨道。一质量的小球从轨道的最低点，以初速度向右运动，经过一段时间小球到达最高点，内轨道对小球的支持力。球的尺寸略小于两圆间距，球运动的半径，取。求： (1)小球经过最高点的速度的大小； (2)小球在这段时间内克服摩擦力做的功。 例3．（25-26高一下·云南楚雄·期中）图所示，质量的小物块以一定的初速度水平向右抛出，恰好从A点沿着圆弧的切线方向进入圆弧轨道。圆弧轨道的半径，B点是圆弧轨道的最低点，圆弧轨道与粗糙水平轨道BD平滑连接，A与圆心O的连线与竖直方向成角，小物块与BD间的动摩擦因数，且，轨道其他部分光滑，最右侧是一个半径为的光滑半圆弧轨道，C点是半圆弧轨道的最高点，半圆弧轨道与水平轨道BD在D点平滑连接。已知小物块恰好能到达半圆弧轨道的最高点C点，重力加速度取，，。 (1)求小物块在C点时的速度大小； (2)求小物块经过D点时对轨道的压力大小； (3)求小物块经过A点时的速度大小与小物块平抛时距A点的水平距离。 变式1．（25-26高一下·山东济南·期中）某科技小组参加了过山车游戏项目研究，如图甲所示，为了研究其中的物理规律，科技组成员设计出如图乙所示的装置。为弹性发射装置，为倾角的倾斜轨道，为水平轨道，为竖直圆轨道，为足够长的倾斜轨道，各段轨道均平滑连接。以点为坐标原点，水平向右为轴正方向，竖直向上为轴正方向建立平面直角坐标系。已知滑块质量为，圆轨道半径，长为，、段动摩擦因数均为，其余各段轨道均光滑。现滑块从弹射装置弹出的速度为，且恰好从点沿方向进入轨道，滑块可视为质点。重力加速度，，。求： (1)求滑块从弹射装置弹出时的坐标值； (2)若滑块恰好能通过点，求轨道的长度； (3)若滑块能进入圆轨道且不脱轨，求轨道的长度。 变式2．（25-26高一下·湖北鄂州·阶段检测）如图所示，一过山车的简易模型由固定水平轨道和固定在竖直平面内半径R=2.5m的光滑圆形轨道组成，B、C分别是圆形轨道的最低点和最高点，水平轨道上的右端D点竖直固定一弹性挡板。一质量m=1kg的物块（视为质点）从水平轨道上的左端A点向右运动，恰好能通过圆形轨道的最高点，与挡板碰撞后恰好不会在沿圆形轨道上滑行过程中脱离圆形轨道。A、B两点间的距离L=3.8m，物块与水平轨道间的动摩擦因数μ=0.25，取重力加速度大小g=10m/s2，圆形轨道间不相互重叠，物块与挡板碰撞过程中没有能量损失。求： (1)物块通过C点时的速度大小v； (2)物块在A点时的速度大小v0； (3)B、D两点间的距离d，以及物块最后停下的位置到B点的距离x。 变式3．（25-26高一下·湖北襄阳·期中）如图所示，在竖直平面内，粗糙的斜面轨道的下端与光滑的圆弧轨道相切于点，点是最低点，圆心角，与圆心等高，圆弧轨道半径，现有一个质量为且可视为质点的小物体，从点的正上方点处自由下落，物体恰好到达斜面顶端处。已知距离，物体与斜面之间的动摩擦因数，取，，，忽略空气阻力，求： (1)物体第一次到达点时的速度大小和受到的支持力大小； (2)物体第一次到达点时的速度大小；（结果可含根号） (3)斜面的长度。 2 学科网（北京）股份有限公司 $