第三章 微专题1 放缩法证明不等式 课件-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习课件聚焦放缩法证明不等式专题，覆盖基本不等式、指数对数函数、三角函数三大核心考点，对接高考评价体系，通过例题解析与规律方法梳理，明确导数不等式证明中放缩技巧的高频考查权重，归纳构造函数、不等式转化等常考题型，体现备考针对性。 课件亮点在于“考点突破+题型训练+素养提升”策略，如例2利用e^x≥x+1放缩结合导数证明恒成立问题，培养数学思维与推理能力，强化训练通过分步转化、函数构造等技巧解析，帮助学生掌握放缩逻辑，教师可据此系统开展专题复习，提升学生解题效率与得分率。

微专题　放缩法证明不等式 　　放缩法主要应用于不等式的证明问题中，函数与导数不等式中的放缩 问题主要涉及利用基本不等式进行放缩，与ex、ln x有关的放缩及与三角函数 sin x、 cos x、tan x有关的放缩等. 利用基本不等式进行放缩 设f（x）＝ln（x＋1）＋ －1，求证：当x∈（0，2）时，f （x）＜ . 高中总复习·数学 证明：由基本不等式，当x＞0时， ＜ ，∴ ＜ ＋1. ∴f（x）＝ln（x＋1）＋ －1＜ln（x＋1）＋ . 记h（x）＝ln（x＋1）＋ － ， 则h'（x）＝ ＋ － ＝ . 当0＜x＜2时，h'（x）＜0，∴h（x）在（0，2）上单调递减，故h （x）＜h（0）＝0. ∴ln（x＋1）＋ ＜ .从而f（x）＜ . 高中总复习·数学 　　将符合如a2＋b2≥2ab（a，b∈R），a＋b≥2 （a≥0，b≥0） 的式子，利用基本不等式进行放缩后，构造函数，从而证明不等式. 高中总复习·数学 与ex，ln x有关的放缩 已知函数f（x）＝ex－x－1. （1）求证：f（x）≥0； 证明： f'（x）＝ex－1，当x＞0时，f'（x）＞0，f（x）单调递增，当x ＜0时，f'（x）＜0，f（x）单调递减， 所以f（x）min＝f（0）＝0，所以f（x）≥0. 高中总复习·数学 （2）当m≤1时，求证：不等式ex－mx＋ cos x－2≥0在x∈[0，＋∞）上 恒成立. 证明：令g（x）＝ex－mx＋ cos x－2，则g'（x）＝ex－m－ sin x， 由（1）可得ex－x－1≥0，即ex≥x＋1， 又m≤1，所以g'（x）≥x＋1－1－ sin x＝x－ sin x. 令h（x）＝x－ sin x， 则h'（x）＝1－ cos x， 当x≥0时，h'（x）≥0， 所以h（x）在[0，＋∞）上单调递增， 所以当x∈[0，＋∞）时，h（x）≥h（0）＝0， 则g'（x）≥0，g（x）在[0，＋∞）上单调递增， 当x∈[0，＋∞）时，g（x）≥g（0）＝0，即ex－mx＋ cos x－2≥0， 所以当m≤1时，不等式ex－mx＋ cos x－2≥0在x∈[0，＋∞）上恒成立. 高中总复习·数学 1. 指数放缩 （1）放缩成一次函数：ex≥x＋1，ex＞x，ex≥ex； （2）放缩成类反比例函数：ex≤ （x＜1），ex＜－ （x＜0）. 2. 对数放缩 （1）放缩成一次函数：ln x≤x－1，ln（1＋x）≤x； （2）放缩成类反比例函数：ln x≥1－ ，ln（1＋x）≥ . 高中总复习·数学 与 sin x， cos x，tan x有关的放缩 已知函数f（x）＝ax－ sin x. （1）若函数f（x）为增函数，求实数a的取值范围； 解： 因为f（x）＝ax－ sin x，所以f'（x）＝a－ cos x， 由函数f（x）为增函数，则f'（x）＝a－ cos x≥0恒成立，即a≥ cos x在 R上恒成立. 因为y＝ cos x∈[－1，1]，所以a≥1，即实数a的取值范围是[1，＋ ∞）. 高中总复习·数学 （2）求证：当x＞0时，ex＞2 sin x. 解：证明：由（1）知，当a＝1时，f（x）＝x－ sin x为增函数， 当x＞0时，f（x）＞f（0）＝0⇒x＞ sin x， 要证当x＞0时，ex＞2 sin x， 只需证当x＞0时，ex＞2x， 即证ex－2x＞0在（0，＋∞）上恒成立. 设g（x）＝ex－2x（x＞0），则g'（x）＝ex－2， 令g'（x）＝0，解得x＝ln 2，所以g（x）在（0，ln 2）上单调递减，在 （ln 2，＋∞）上单调递增， 所以g（x）min＝g（ln 2）＝eln 2－2ln 2＝2（1－ln 2）＞0，所以g（x） ≥g（ln 2）＞0，所以ex＞2x成立，故当x＞0时，ex＞2 sin x. 高中总复习·数学 常见的三角函数放缩 　　 sin x＜x（x＞0），x＜tan x（0＜x＜ ）， sin x≥x－ x2，1－ x2≤ cos x≤1－ sin 2x. 高中总复习·数学 1. 已知函数f（x）＝ ，g（x）＝ ，证明：f（x）＞2g（x）－1. 证明：要证f（x）＞2g（x）－1，即证 ＞ －1， 因为当x＞0时ex＞x＋1＞0，即 ＞ ，也即 ＞ ， －1＞ －1. 故要证原不等式成立， 只需证 ≥ －1，即证xln x≥x－1. 令m（x）＝xln x－x＋1，则m'（x）＝ln x， 高中总复习·数学 所以当x∈（0，1）时，m'（x）＜0；当x∈（1，＋∞）时，m'（x） ＞0， 所以m（x）在（0，1）上单调递减，在（1，＋∞）上单调递增， 所以m（x）min＝m（1）＝0，即m（x）≥0， 所以xln x≥x－1，则f（x）＞2g（x）－1得证. 高中总复习·数学 2. 求证：ex＋ln x＞ cos x＋ . 证明：要证ex＋ln x＞ cos x＋ ，当x＞0时，由－1≤ cos x≤1，x＞ sin x，及ex＞x＋1， 得ex＋ln x＞x＋1＋ln x， cos x＋ ＜1＋1－ ＝2－ ， 故要证原不等式成立， 只需证x＋1＋ln x＞2－ ， 即证x2－x＋1＋xln x＞0. 高中总复习·数学 令f（x）＝xln x，则f'（x）＝ln x＋1，当x∈（0， ）时，f'（x）＜0， 当x∈（ ，＋∞）时，f'（x）＞0，所以f（x）在（0， ）上单调递 减，在（ ，＋∞）上单调递增，所以f（x）≥f（x）min＝f（ ）＝－ . 令g（x）＝x2－x＋1＝（x－ ）2＋ ，所以g（x）≥g（x）min＝g （ ）＝ ，因为两函数不同时取最小值. 所以f（x）＋g（x）＝x2－x＋1＋xln x＞ － ＞0，则原不等式成立. 高中总复习·数学 3. 已知函数f（x）＝ －x. （1）求f（x）的最大值； 解： f（x）的定义域为（0，＋∞），f'（x）＝ －1＝ . 令g（x）＝1－x2－ln x，x＞0，则g'（x）＝－2x－ ＜0， ∴g（x）在（0，＋∞）上单调递减，∵g（1）＝0， ∴当x∈（0，1）时，g（x）＞0，f'（x）＞0，f（x）单调递增； 当x∈（1，＋∞）时，g（x）＜0，f'（x）＜0，f（x）单调递减， ∴f（x）max＝f（1）＝－1. 高中总复习·数学 （2）求证：ln（n＋1）＜ ＋ ＋…＋ ，n∈N*. 解： 证明：由（1）知f（x）＝ －x≤－1，即ln x≤x（x－1）， 即ln（x＋1）≤x（x＋1），当且仅当x＝0时，等号成立. 令x＝ ，∵n∈N*，∴ln（ ＋1）＜ （ ＋1）＝ ，即ln ＜ ， ∴ ＋ ＋…＋ ＞ln 2＋ln ＋…＋ln ＝ln（n＋1），即ln（n＋1） ＜ ＋ ＋…＋ ，n∈N*. 高中总复习·数学 $