期末特训 运用5的倍数特征与分离常数法解决纸盒方案问题 讲义-2025-2026学年浙教版七年级数学下学期期末复习

期末特训 运用5的倍数特征与分离常数法解决纸盒方案问题（二元一次方程组的应用） 目录 题型一、运用5的倍数特征 1 题型二、分离常数法 4 考场练兵 11 题型一、运用5的倍数特征 1．用如图1中的长方形和正方形纸板作侧面和底面，做成如图2的竖式和横式（左右侧面为正方形）的两种无盖纸盒，仓库里现有2026张长方形纸板和张正方形纸板，如果做两种纸盒若干个，恰好使库存的纸板用完，则的值可能是（     ） A．510 B．512 C．514 D．516 2．用如图①中的长方形和正方形纸板作侧面和底面，做成如图②的竖式和横式（左右侧面为正方形）的两种无盖纸盒．仓库里现有2025张正方形纸板和张长方形纸板，如果做两种纸盒若干个，恰好使库存的纸板用完，则的值可能是（    ） A．4042 B．4040 C．4038 D．4036 3．用如图1中的长方形和正方形纸板作侧面和底面，做成如图2的竖式和横式两种无盖纸盒，现在仓库里有1000张正方形纸板和m张长方形纸板，如果做两种纸盒若干个，恰好使库存的纸板用完，则的值可能（   ） A．2024 B．2025 C．2026 D．2027 4．用如图①中的长方形和正方形纸板作侧面和底面，做成如图②的竖式和横式的两种无盖纸盒、现有m张正方形纸板和n张长方形纸板，如果做两种纸盒若干个，恰好将纸板用完，则的值可能是（     ） A．2025 B．2024 C．2023 D．2022 5．用图①中的长方形和正方形纸板作侧面和底面，做成图②中的竖式和横式两种无盖纸盒．现有张正方形纸板和张长方形纸板，若做两种纸盒若干个，恰好将纸板用完，则的值可能是（    ）． A．2020 B．2021 C．2022 D．2023 题型二、分离常数法 6．综合与实践：设计制作纸盒方案 素材一：如图1，现将300张纸板裁剪成材料，1张纸板可以裁成4个正方形或3个长方形，并用这些材料制作两种无盖纸盒（如图2），横式无盖纸盒需要2个正方形和3个长方形，竖式无盖纸盒需要1个正方形和4个长方形． 素材二：①所有纸板都要裁剪，且每张纸板只能裁剪一种材料． ②制作纸盒后没有剩余材料． 问题解决： 为方便解决问题，设制作了横式无盖纸盒个，竖式无盖纸盒个． 问题一：初探材料用量 纸盒类型 正方形（张数） 长方形（张数） 个横式无盖纸盒 个竖式无盖纸盒 问题二：再探关系 需裁成正方形的纸板数（张） 需裁成长方形的纸板数（张） 合计 ________ ________ 300 (1)请完善上述表格，并写出、之间满足的关系式：________； 方案选择： (2)能否用这300张纸板制作这两种纸盒，使得到的竖式无盖纸盒的数量为横式无盖纸盒的数量的三倍，且材料没有剩余，如果可以，请设计你的分配方案；如果不能，请说明理由． 7．某铁件加工厂用图1的长方形和正方形铁片（长方形的宽与正方形的边长相等）可以加工成图2的竖式与横式两种无盖的长方体容器（加工时接缝材料不计）． (1)根据题意可列出以下表格： 1个竖式无盖容器 1个横式无盖容器 长方形铁片的数量 4张 a张 正方形铁片的数量 b张 2张 则_________，_________； (2)若现有170张长方形铁片和80张正方形铁片，用于加工图2的竖式容器和横式容器时，两种铁片刚好全部用完，则可以加工出无盖竖式容器和无盖横式容器各多少个？ (3)已知该铁件加工厂加工出的此竖式容器费用为50元/个，此横式容器的费用为60元/个．若五金店老板计划支付800元用于采购一批竖式容器和横式容器（两种容器都要有），则有哪几种方案可供选择？ 8．用如图1的长方形和正方形铁片（长方形的宽与正方形的边长相等）作侧面和底面，做成如图2的竖式和横式的两种无盖的长方体容器．    (1)根据题意可列出以下表格： 1个竖式无盖容器 1个横式无盖容器 长方形铁片的数量 4张 张 正方形铁片的数量 张 2张 则________，________； (2)现有长方形铁片240张，正方形铁片110张，如果两种铁片刚好全部用完，那么可加工成竖式和横式长方体容器各有几个？ (3)已知此竖式容器的售价为50元/个，横式容器的售价为60元/个．若五金店老板计划支付1000元用于采购一批竖式容器和横式容器（两种容器都要），则有哪几种方案可供选择？ 9．综合与实践：设计纸盒制作方案． 素材1：某实践小组欲制作尺寸如图1所示的横式和竖式两种无盖纸盒．    素材2：如图2，现有长，宽的纸板60张．需要对该纸板进行裁切做成的正方形和的长方形，裁切时不计损耗但不浪费纸板． 问题1：用1张纸板能裁切正方形纸板和长方形纸板各多少张？ 问题2：若制作后无材料剩余，设制作横式无盖纸盒个，竖式无盖纸盒个． ①用，的代数式分别表示正方形和长方形的总数量． ②确定纸盒的所有制作方案，求出，的值． 考场练兵 10．用如图①中的长方形和正方形纸板作侧面和底面，做成如图②的竖式和横式的两种无盖纸盒现在仓库里有m张正方形纸板和n张长方形纸板，如果做两种纸盒若干个，恰好使库存的纸板用完，则的值可能是（  ）    A．123 B．124 C．125 D．126 11．用如图1中的长方形和正方形纸板作侧面和底面，做成如图2的竖式和横式的两种无盖纸盒．现有m 张正方形纸板和n张长方形纸板，如果做两种纸盒若干个，恰好将纸板用完，则的值可能是（    ） A．200 B．201 C．202 D．203 12．用如图1所示的若干张长方形和正方形纸板，制作成如图2所示的竖式和横式两款长方体形状的无盖纸盒． （1）若制作两款纸盒各一个，则共需长方形纸板______张． （2）正方形纸板有20张，长方形纸板有张，做成上述两款纸盒，且两款纸板恰好用完．若，则最多能做______个竖式纸盒． 13．某包装生产企业承接了一批礼品盒制作业务，为了确保质量，该企业进行试生产．他们购得规格是的标准板材作为原材料，每张标准板材再按照裁法一或裁法二裁下型与型两种板材．如图所示，单位：    (1)列出方程组，求出图甲中与的值； (2)在试生产阶段，若将张标准板材用裁法一裁剪，张标准板材用裁法二裁剪，再将得到的型与型板材做侧面和底面，做成图乙横式无盖礼品盒． ①两种裁法共产生型板材______张，型板材______张用、的代数式表示； ②当时，所裁得的型板材和型板材恰好用完，做成的横式无盖礼品盒可能是______ 个． 14．杭州某公司准备安装完成5700辆如图所示款共享单车投入市场．由于抽调不出足够熟练工人，公司准备招聘一批新工人．生产开始后发现： 1名熟练工人和2名新工人每天共安装28辆共享单车；2名熟练工人每天装的共享单车数与3名新工人每天安装的共享单车数一样多． （1）求每名熟练工人和新工人每天分别可以安装多少辆共享单车？ （2）若公司原有熟练工a人，现招聘n名新工人（a＞n），使得最后能刚好一个月（30天）完成安装任务，已知工人们安装的共享单车中不能正常投入运营的占5%，求n的值． 试卷第1页，共3页 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 期末特训 运用5的倍数特征与分离常数法解决纸盒方案问题（二元一次方程组的应用） 目录 题型一、运用5的倍数特征 1 题型二、分离常数法 4 考场练兵 11 题型一、运用5的倍数特征 1．用如图1中的长方形和正方形纸板作侧面和底面，做成如图2的竖式和横式（左右侧面为正方形）的两种无盖纸盒，仓库里现有2026张长方形纸板和张正方形纸板，如果做两种纸盒若干个，恰好使库存的纸板用完，则的值可能是（    ） A．510 B．512 C．514 D．516 【答案】C 【分析】设可以做成x个横式无盖纸盒，做成个竖式无盖纸盒，根据两种纸盒所需长方形和正方形纸板的数量及恰好使库存的纸板用完，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之可得出，再结合为5的倍数，即可得出结论． 【详解】解：设可以做成x个横式无盖纸盒，做成个竖式无盖纸盒， 根据题意得：， 得：， 即， 可知为5的倍数， ∵x为正整数， ∴n的个位数字为4或9． 观察四个选项，只有选项C符合题意． 2．用如图①中的长方形和正方形纸板作侧面和底面，做成如图②的竖式和横式（左右侧面为正方形）的两种无盖纸盒．仓库里现有2025张正方形纸板和张长方形纸板，如果做两种纸盒若干个，恰好使库存的纸板用完，则的值可能是（   ） A．4042 B．4040 C．4038 D．4036 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用．设可做成x个竖式无盖纸盒，y个横式无盖纸盒，列出方程组，结合x，y，n是正整数求解即可． 【详解】解：设可做成x个竖式无盖纸盒，y个横式无盖纸盒， 依题意，得：， ，得：，即， ∵y为正整数， ∴n的个位数字为0或5． 观察四个选项，选项B符合题意， 故选：B． 3．用如图1中的长方形和正方形纸板作侧面和底面，做成如图2的竖式和横式两种无盖纸盒，现在仓库里有1000张正方形纸板和m张长方形纸板，如果做两种纸盒若干个，恰好使库存的纸板用完，则的值可能（   ） A．2024 B．2025 C．2026 D．2027 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设做竖式和横式的两种无盖纸盒分别为x个、y个，然后根据所需长方形纸板和正方形纸板的张数列出方程组，再根据x、y的系数表示出并判断为5的倍数，然后选择答案即可． 【详解】解：设做竖式和横式的两种无盖纸盒分别为x个、y个， 根据题意得：， 两式相加得，， ∵x、y都是正整数， ∴是5的倍数， ∴m是5的倍数， ∵2024、2025、2026、2027四个数中只有2025是5的倍数， ∴的值可能是2025． 故选：B． 4．用如图①中的长方形和正方形纸板作侧面和底面，做成如图②的竖式和横式的两种无盖纸盒、现有m张正方形纸板和n张长方形纸板，如果做两种纸盒若干个，恰好将纸板用完，则的值可能是（    ） A．2025 B．2024 C．2023 D．2022 【答案】A 【分析】观察图②，可知竖式纸盒需要正方形纸板1块，长方形纸板4块，横式纸盒需要正方形纸板2块，长方形纸板3块，根据题意列方程组，再求的值． 【详解】解：设可以做竖式纸盒x个，横式纸盒y个， 由题意可得： ∴， 由于x，y均为整数，故为5的倍数， 选项中只有2025是5的倍数． 故选A． 【点睛】本题考查二元一次方程组的应用，解决本题的关键是正确列出方程组，并根据题意求值． 5．用图①中的长方形和正方形纸板作侧面和底面，做成图②中的竖式和横式两种无盖纸盒．现有张正方形纸板和张长方形纸板，若做两种纸盒若干个，恰好将纸板用完，则的值可能是（    ）． A．2020 B．2021 C．2022 D．2023 【答案】A 【分析】设可以做个竖式纸盒，个横式纸盒，根据有张正方形纸板和张长方形纸板，列出方程组进行求解即可． 【详解】解：设可以做个竖式纸盒，个横式纸盒，由题意，得 ， ，得， ∴的值是5的倍数， 故的值可能是2020． 题型二、分离常数法 6．综合与实践：设计制作纸盒方案 素材一：如图1，现将300张纸板裁剪成材料，1张纸板可以裁成4个正方形或3个长方形，并用这些材料制作两种无盖纸盒（如图2），横式无盖纸盒需要2个正方形和3个长方形，竖式无盖纸盒需要1个正方形和4个长方形． 素材二：①所有纸板都要裁剪，且每张纸板只能裁剪一种材料． ②制作纸盒后没有剩余材料． 问题解决： 为方便解决问题，设制作了横式无盖纸盒个，竖式无盖纸盒个． 问题一：初探材料用量 纸盒类型 正方形（张数） 长方形（张数） 个横式无盖纸盒 个竖式无盖纸盒 问题二：再探关系 需裁成正方形的纸板数（张） 需裁成长方形的纸板数（张） 合计 ________ ________ 300 (1)请完善上述表格，并写出、之间满足的关系式：________； 方案选择： (2)能否用这300张纸板制作这两种纸盒，使得到的竖式无盖纸盒的数量为横式无盖纸盒的数量的三倍，且材料没有剩余，如果可以，请设计你的分配方案；如果不能，请说明理由． 【答案】(1)，，； (2)可以得到竖式无盖纸盒的数量为横式无盖纸盒的数量的三倍，此时60张纸板裁成正方形，240张纸板裁成长方形． 【分析】（1）根据题意，用正方形和长方形的所需张数除以1张纸板可裁剪的数量，即可表示；再根据纸板的总数量列式整理即可； （2）假设可以得到竖式无盖纸盒的数量为横式无盖纸盒的数量的三倍，根据题意得到二元一次方程组，求出、的值，满足题意，再代入（1）所得代数式求解即可． 【详解】（1）解：由题意可知，需裁成正方形的纸板数为张，需裁成长方形的纸板数为张， 则， 整理得：； （2）解：假设可以得到竖式无盖纸盒的数量为横式无盖纸盒的数量的三倍， 由题意可得， 解得：，满足、为正整数，符合题意， 则（张），（张）， 即可以得到竖式无盖纸盒的数量为横式无盖纸盒的数量的三倍，此时60张纸板裁成正方形，240张纸板裁成长方形． 7．某铁件加工厂用图1的长方形和正方形铁片（长方形的宽与正方形的边长相等）可以加工成图2的竖式与横式两种无盖的长方体容器（加工时接缝材料不计）． (1)根据题意可列出以下表格： 1个竖式无盖容器 1个横式无盖容器 长方形铁片的数量 4张 a张 正方形铁片的数量 b张 2张 则_________，_________； (2)若现有170张长方形铁片和80张正方形铁片，用于加工图2的竖式容器和横式容器时，两种铁片刚好全部用完，则可以加工出无盖竖式容器和无盖横式容器各多少个？ (3)已知该铁件加工厂加工出的此竖式容器费用为50元/个，此横式容器的费用为60元/个．若五金店老板计划支付800元用于采购一批竖式容器和横式容器（两种容器都要有），则有哪几种方案可供选择？ 【答案】(1)3，1 (2)可以加工出20个无盖竖式容器，30个无盖横式容器 (3)共有2种方案可供选择，详见解析 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，熟练掌握1个竖式无盖容器需要长方形铁片张数和正方形铁片张数， 1个横式无盖容器需要长方形铁片张数和正方形铁片张数，总价与单价和数量的关系，正确列出二元次方程组（或二元一次方程）是解题的关键． （1）根据“制作1个竖式无盖容器需要4张长方形铁片、1张正方形铁片，制作1个横式无盖容器需要3张长方形铁片、2张正方形铁片”，即可得出结论； （2）设可以加工出x个无盖竖式容器，y个无盖横式容器，根据加工两种容器共用了170张长方形铁片和80张正方形铁片，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （3）设采购m个竖式容器，n个横式容器，利用总价=单价×数量，可列出关于m，n的二元一次方程，结合m，n均为正整数，即可得出各采购方案． 【详解】（1）解：制作1个竖式无盖容器需要4张长方形铁片、1张正方形铁片，制作1个横式无盖容器需要3张长方形铁片、2张正方形铁片， ． 故答案为：3，1； （2）解：设可以加工出x个无盖竖式容器，y个无盖横式容器， 根据题意得：， 解得： 答：可以加工出20个无盖竖式容器，30个无盖横式容器； （3）解：设采购m个竖式容器，n个横式容器， 根据题意得：， ， 又m，n均为正整数， 或， ∴共有2种方案可供选择， 方案1：采购10个竖式容器，5个横式容器； 方案2：采购4个竖式容器，10个横式容器． 8．用如图1的长方形和正方形铁片（长方形的宽与正方形的边长相等）作侧面和底面，做成如图2的竖式和横式的两种无盖的长方体容器．    (1)根据题意可列出以下表格： 1个竖式无盖容器 1个横式无盖容器 长方形铁片的数量 4张 张 正方形铁片的数量 张 2张 则________，________； (2)现有长方形铁片240张，正方形铁片110张，如果两种铁片刚好全部用完，那么可加工成竖式和横式长方体容器各有几个？ (3)已知此竖式容器的售价为50元/个，横式容器的售价为60元/个．若五金店老板计划支付1000元用于采购一批竖式容器和横式容器（两种容器都要），则有哪几种方案可供选择？ 【答案】(1)， (2)可加工成竖式长方形容器30个，横式长方体容器40个 (3)方案1：采购14个竖式容器，5个横式容器；方案2：采购8个竖式容器，10个横式容器；方案3：采购2个竖式容器，15个横式容器 【分析】（1）观察两种无盖容器的结构，分别数出制作1个容器所需的长方形、正方形铁片数量，直接得出、的值； （2）设竖式、横式容器的数量为未知数，根据长方形和正方形铁片的总数量列二元一次方程组，解方程组得到结果； （3）设两种容器的采购数量为未知数，根据总费用列二元一次方程，结合正整数的条件求出所有符合的解，得到采购方案． 【详解】（1）解：，； 1个横式无盖容器：个正方形侧面个长方形面（前后+底面），故； 1个竖式无盖容器：个正方形底面个长方形侧面，故； （2）解：设可加工成竖式长方形容器个，横式长方体容器个． 可以列出方程组，     解得．     答：可加工成竖式长方形容器30个，横式长方体容器40个． （3）解：设采购个竖式容器，个横式容器， 根据题意得：，     解得， 又因为，均为正整数， 所以或或， 故共有3种方案可供选择： 方案1：采购14个竖式容器，5个横式容器； 方案2：采购8个竖式容器，10个横式容器； 方案3：采购2个竖式容器，15个横式容器． 9．综合与实践：设计纸盒制作方案． 素材1：某实践小组欲制作尺寸如图1所示的横式和竖式两种无盖纸盒．    素材2：如图2，现有长，宽的纸板60张．需要对该纸板进行裁切做成的正方形和的长方形，裁切时不计损耗但不浪费纸板． 问题1：用1张纸板能裁切正方形纸板和长方形纸板各多少张？ 问题2：若制作后无材料剩余，设制作横式无盖纸盒个，竖式无盖纸盒个． ①用，的代数式分别表示正方形和长方形的总数量． ②确定纸盒的所有制作方案，求出，的值． 【答案】问题1：方法一：正方形5张，长方形0张；方法二：正方形1张，长方形3张．问题2：①正方形纸板：．长方形纸板：．②方案一：横式无盖纸盒12个，竖式无盖纸盒36个；方案二：横式无盖纸盒31个，竖式无盖纸盒18个． 【分析】本题考查了列代数式、二元一次方程组的应用，理解题意，正确列出代数式和二元一次方程组是解此题的关键． 问题1：设正方形张，长方形张，根据题意列出二元一次方程，方程即可得出答案； 问题2：①根据题意列出代数式即可；②设方法一用了张纸板，方法二用了张，根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可得出答案． 【详解】解：问题1：设正方形张，长方形张． 由题意得：，即， 化简得 当时，； 当时，． 答：方法一：正方形5张，长方形0张；方法二：正方形1张，长方形3张． 问题2：①由题意得：正方形纸板：．长方形纸板：． ②设方法一用了张纸板，方法二用了张． 列方程组得，， 解得， 当时，，， 当时，，， 答：方案一：横式无盖纸盒12个，竖式无盖纸盒36个；方案二：横式无盖纸盒31个，竖式无盖纸盒18个． 考场练兵 10．用如图①中的长方形和正方形纸板作侧面和底面，做成如图②的竖式和横式的两种无盖纸盒现在仓库里有m张正方形纸板和n张长方形纸板，如果做两种纸盒若干个，恰好使库存的纸板用完，则的值可能是（  ）    A．123 B．124 C．125 D．126 【答案】C 【分析】设做竖式和横式的两种无盖纸盒分别为x个、y个，根据所需长方形纸板和正方形纸板的张数列出方程组，再根据x、y的系数表示出，并判断为5的倍数，然即可解决问题． 【详解】解：设做竖式和横式的两种无盖纸盒分别为x个、y个， 根据题意得：， 整理得：， ∵x、y都是正整数， ∴是5的倍数， ∵123、124、125、126四个数中只有125是5的倍数， ∴的值可能是125． 故选：C． 【点睛】本题考查了二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 11．用如图1中的长方形和正方形纸板作侧面和底面，做成如图2的竖式和横式的两种无盖纸盒．现有m 张正方形纸板和n张长方形纸板，如果做两种纸盒若干个，恰好将纸板用完，则的值可能是（    ） A．200 B．201 C．202 D．203 【答案】A 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．设可以做成x个竖式的无盖纸盒，y个横式的无盖纸盒，根据恰好将纸板用完，即可得出关于x，y的二元一次方程组，两方程相加后可得出，结合x，y均为整数可得出为5的倍数，再对照四个选项即可得出结论． 【详解】解：设做竖式和横式的两种无盖纸盒分别为x个、y个． 根据题意，得 两式相加，得． ∵x，y 都是正整数， ∴是5的倍数． ∵200，201，202，203四个数中只有200是5的倍数， ∴ 的值可能是200． 故选 A． 12．用如图1所示的若干张长方形和正方形纸板，制作成如图2所示的竖式和横式两款长方体形状的无盖纸盒． （1）若制作两款纸盒各一个，则共需长方形纸板______张． （2）正方形纸板有20张，长方形纸板有张，做成上述两款纸盒，且两款纸板恰好用完．若，则最多能做______个竖式纸盒． 【答案】 【分析】本题考查的是二元一次方程组的应用，一元一次不等式组的应用，将现实生活中的事件与数学思想联系起来，读懂题列出关系式即可求解． （1）直接列式计算即可． （2）由x个竖式需要正方形纸板x张，长方形纸板横4x张；y个横式需要正方形纸板2y张，长方形纸板横3y张，可列出方程组，再根据a的取值范围求出x的取值范围即可． 【详解】解：（1）制作两款纸盒各一个，则共需长方形纸板； 故答案为： （2）设生产竖式纸盒x个，则生产横式纸盒y个． 由题意得 解得：； 即； ∵， ∴， 解得：； ∵x是整数， ∴的最大整数为． ∴最多能做个竖式纸盒． 故答案为： 13．某包装生产企业承接了一批礼品盒制作业务，为了确保质量，该企业进行试生产．他们购得规格是的标准板材作为原材料，每张标准板材再按照裁法一或裁法二裁下型与型两种板材．如图所示，单位：    (1)列出方程组，求出图甲中与的值； (2)在试生产阶段，若将张标准板材用裁法一裁剪，张标准板材用裁法二裁剪，再将得到的型与型板材做侧面和底面，做成图乙横式无盖礼品盒． ①两种裁法共产生型板材______张，型板材______张用、的代数式表示； ②当时，所裁得的型板材和型板材恰好用完，做成的横式无盖礼品盒可能是______ 个． 【答案】(1)、 (2)①，；②15或18或21 【分析】本题考查的知识点是二元一次方程组的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程组． （1）由图示利用板材的长列出关于、的二元一次方程组求解； （2）①根据已知和图示计算出两种裁法共产生A型板材和B型板材的张数； ②根据横式无盖礼品盒所需要的A、B两种型号板材的张数列出关于m、n的二元一次方程，然后讨论求解即可． 【详解】（1）解：由题意得：， 解得：， 答：图甲中与的值分别为：、； （2）1张标准板材用裁法一裁剪，会产生2张型板材，1张型板材， 张标准板材用裁法一裁剪，会产生张型板材，张型板材， 1张标准板材用裁法二裁剪，会产生1张型板材，2张型板材， 张标准板材用裁法二裁剪，会产生张型板材，张型板材， 综上所述，张标准板材用裁法一裁剪，张标准板材用裁法二裁剪，共产生张型板材，张型板材， 故答案为：，； 由图可知，做一个横式无盖礼品盒需A型板材3张，B型板材2张． ∵所裁得的板材恰好用完， ∴，化简得． ∵n，m皆为整数， ∴m为4的整数倍， 又∵， ∴m可取20，24，28， 此时，n分别为5，6，7，可做成的礼品盒个数分别为15，18，21． 答：做成的横式无盖礼品盒可能是15或18或21个． 14．杭州某公司准备安装完成5700辆如图所示款共享单车投入市场．由于抽调不出足够熟练工人，公司准备招聘一批新工人．生产开始后发现： 1名熟练工人和2名新工人每天共安装28辆共享单车；2名熟练工人每天装的共享单车数与3名新工人每天安装的共享单车数一样多． （1）求每名熟练工人和新工人每天分别可以安装多少辆共享单车？ （2）若公司原有熟练工a人，现招聘n名新工人（a＞n），使得最后能刚好一个月（30天）完成安装任务，已知工人们安装的共享单车中不能正常投入运营的占5%，求n的值． 【答案】（1）每名熟练工人每天可以安装12辆共享单车，每名新工人每天可以安装8辆共享单车；（2）n的值为1或4或7． 【分析】（1）设每名熟练工人每天可以安装x辆共享单车，每名新工人每天可以安装y辆共享单车，根据“1名熟练工人和2名新工人每天共安装28辆共享单车；2名熟练工人每天安装的共享单车数与3名新工人每天安装的共享单车数一样多”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设抽调a名熟练工人，由工作总量＝工作效率×工作时间，即可得出关于n，a的二元一次方程，再根据n，a均为正整数且n＜a，即可求出n的值． 【详解】解：（1）设每名熟练工人每天可以安装x辆共享单车，每名新工人每天可以安装y辆共享单车， 根据题意得：， 解得：． 答：每名熟练工人每天可以安装12辆共享单车，每名新工人每天可以安装8辆共享单车． （2）根据题意得：30×（8n+12a）×（1﹣5%）＝5700， 整理得：n＝25﹣a， ∵n，a均为正整数，且n＜a， ∴，，． ∴n的值为1或4或7． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出二元一次方程． 试卷第1页，共3页 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $期末特训运用5的倍数特征与分离常数法解决纸盒方案问题 (二元一次方程组的应用) 目录 题型一、运用5的倍数特征， .1 题型二、分离常数法…2 考场练兵… ...6 题型一、运用5的倍数特征 1.用如图1中的长方形和正方形纸板作侧面和底面，做成如图2的竖式和横式（左右侧面 为正方形)的两种无盖纸盒，仓库里现有2026张长方形纸板和张正方形纸板，如果做两 种纸盒若干个，恰好使库存的纸板用完，则的值可能是() 正方形 图1 图2 A.510 B.512 C.514 D.516 2.用如图①中的长方形和正方形纸板作侧面和底面，做成如图②的竖式和横式（左右侧面 为正方形)的两种无盖纸盒.仓库里现有2025张正方形纸板和张长方形纸板，如果做两 种纸盒若干个，恰好使库存的纸板用完，则的值可能是() 正方形 图1 图2 A.4042 B.4040 C.4038 D.4036 3.用如图1中的长方形和正方形纸板作侧面和底面，做成如图2的竖式和横式两种无盖纸 盒，现在仓库里有1000张正方形纸板和m张长方形纸板，如果做两种纸盒若干个，恰好使 库存的纸板用完，则的值可能() 1/8 图1 图2 A.2024 B.2025 C.2026 D.2027 4.用如图①中的长方形和正方形纸板作侧面和底面，做成如图②的竖式和横式的两种无盖 纸盒、现有m张正方形纸板和张长方形纸板，如果做两种纸盒若干个，恰好将纸板用完， 则m+n的值可能是() 图① 图② A.2025 B.2024 C.2023 D.2022 5.用图①中的长方形和正方形纸板作侧面和底面，做成图②中的竖式和横式两种无盖纸 盒.现有m张正方形纸板和n张长方形纸板，若做两种纸盒若干个，恰好将纸板用完，则+n 的值可能是(). 图① 图② A.2020 B.2021 C.2022 D.2023 题型二、分离常数法 6.综合与实践：设计制作纸盒方案 素材一：如图1，现将300张纸板裁剪成材料，1张纸板可以裁成4个正方形或3个长方形， 并用这些材料制作两种无盖纸盒（如图2），横式无盖纸盒需要2个正方形和3个长方形， 竖式无盖纸盒需要1个正方形和4个长方形 2/8 横式无盖纸盒 竖式无盖纸盒 图1 图2 素材二：①所有纸板都要裁剪，且每张纸板只能裁剪一种材料. ②制作纸盒后没有剩余材料. 问题解决： 为方便解决问题，设制作了横式无盖纸盒m个，竖式无盖纸盒n个， 问题一：初探材料用量 纸盒类型 正方形（张数） 长方形（张数） m个横式无盖纸盒 2m 3m n个竖式无盖纸盒 n 4n 问题二：再探关系 需裁成正方形的纸板 需裁成长方形的纸板 合计 数（张） 数（张） 300 (1)请完善上述表格，并写出m、n之间满足的关系式： 方案选择： (2)能否用这300张纸板制作这两种纸盒，使得到的竖式无盖纸盒的数量为横式无盖纸盒的 数量的三倍，且材料没有剩余，如果可以，请设计你的分配方案：如果不能，请说明理由， 3/8 7.某铁件加工厂用图1的长方形和正方形铁片（长方形的宽与正方形的边长相等）可以加 工成图2的竖式与横式两种无盖的长方体容器（加工时接缝材料不计）. 横式 竖式→ 图1 图2 (1)根据题意可列出以下表格： 1个竖式无盖容 1个横式无盖容 器 器 长方形铁片的数 4张 a张 量 正方形铁片的数 b张 2张 量 则a= b= (2)若现有170张长方形铁片和80张正方形铁片，用于加工图2的竖式容器和横式容器时， 两种铁片刚好全部用完，则可以加工出无盖竖式容器和无盖横式容器各多少个？ (3)已知该铁件加工厂加工出的此竖式容器费用为50元/个，此横式容器的费用为60元/个.若 五金店老板计划支付800元用于采购一批竖式容器和横式容器（两种容器都要有），则有哪 几种方案可供选择？ 4/8 8.用如图1的长方形和正方形铁片（长方形的宽与正方形的边长相等）作侧面和底面，做 成如图2的竖式和横式的两种无盖的长方体容器. 横式 图1 图2 (1)根据题意可列出以下表格： 1个竖式无盖容器 1个横式无盖容器 长方形铁片的数量 4张 a张 正方形铁片的数量 b张 2张 则a= ,b= (2)现有长方形铁片240张，正方形铁片110张，如果两种铁片刚好全部用完，那么可加工 成竖式和横式长方体容器各有几个？ (3)已知此竖式容器的售价为50元/个，横式容器的售价为60元/个.若五金店老板计划支付 1000元用于采购一批竖式容器和横式容器（两种容器都要），则有哪几种方案可供选择？ 5/8 9.综合与实践：设计纸盒制作方案 素材1：某实践小组欲制作尺寸如图1所的横式和竖式两种无盖纸盒. 40cm 30cm 30cm 30cm 30cm 150cm 40cm 30cm 图1 图2 素材2：如图2，现有长150cn,宽30cn的纸板60张.需要对该纸板进行裁切做成30cm×30cm 的正方形和30cm×40cm的长方形，裁切时不计损耗但不浪费纸板， 问题1：用1张150cm×30cm纸板能裁切正方形纸板和长方形纸板各多少张？ 问题2：若制作后无材料剩余，设制作横式无盖纸盒x(x>0)个，竖式无盖纸盒y(y>0)个. ①用x,y的代数式分别表示正方形和长方形的总数量 ②确定纸盒的所有制作方案，求出x,y的值. 考场练兵 10.用如图①中的长方形和正方形纸板作侧面和底面，做成如图②的竖式和横式的两种无盖 纸盒现在仓库里有m张正方形纸板和张长方形纸板，如果做两种纸盒若干个，恰好使库 存的纸板用完，则+n的值可能是() 图① 图② A.123 B.124 C.125 D.126 6/8 11.用如图1中的长方形和正方形纸板作侧面和底面，做成如图2的竖式和横式的两种无盖 纸盒.现有m张正方形纸板和张长方形纸板，如果做两种纸盒若干个，恰好将纸板用完， 则l+n的值可能是() 图1 图2 A.200 B.201 C.202 D.203 12.用如图1所示的若干张长方形和正方形纸板，制作成如图2所示的竖式和横式两款长方 体形状的无盖纸盒 长方形纸板正方形纸板竖式纸盒 横式纸盒 图1 图2 （1)若制作两款纸盒各一个，则共需长方形纸板张. (2)正方形纸板有20张，长方形纸板有α张，做成上述两款纸盒，且两款纸板恰好用完.若 a≤55，则最多能做 个竖式纸盒， 13.某包装生产企业承接了一批礼品盒制作业务，为了确保质量，该企业进行试生产，他们 购得规格是170cm×40cm的标准板材作为原材料，每张标准板材再按照裁法一或裁法二裁下 A型与B型两种板材.·如图所示，（单位：c) 10 30 a b A A 40 A B 40 170 170 (裁法一) (裁法二) 图甲 图乙 (1)列出方程（组），求出图甲中a与b的值； (2)在试生产阶段，若将张标准板材用裁法一裁剪，n张标准板材用裁法二裁剪，再将得 到的A型与B型板材做侧面和底面，做成图乙横式无盖礼品盒 ①两种裁法共产生A型板材 张，B型板材 张（用m、n的代数式表示）； 7/8 ②当20≤≤30时，所裁得的A型板材和B型板材恰好用完，做成的横式无盖礼品盒可能是 个 14.杭州某公司准备安装完成5700辆如图所示款共享单车投入市场.由于抽调不出足够熟 练工人，公司准备招聘一批新工人.生产开始后发现： 1名熟练工人和2名新工人每天共安装28辆共享单车：2名熟练工人每天装的共享单车数与 3名新工人每天安装的共享单车数一样多. (1)求每名熟练工人和新工人每天分别可以安装多少辆共享单车？ (2)若公司原有熟练工a人，现招聘n名新工人(a>),使得最后能刚好一个月(30天) 完成安装任务，已知工人们安装的共享单车中不能正常投入运营的占5%，求n的值. 8/8