第23章 解直角三角形 单元测试卷-2026-2027学年沪科版数学九年级上册

**基本信息** 第23章锐角三角函数单元卷，覆盖基础概念到综合应用，适配单元复习，通过真实情境与梯度设计，培养运算能力、几何直观及模型意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/40|cos60°值、解直角三角形、计算器使用|基础概念辨析，如第3题结合计算器操作| |填空题|4/20|sinA计算、非负性与三角函数、人字梯高度变化|第13题以生活工具考动态三角函数| |解答题|9/100|俯角应用、规律探究、防洪堤改造、综合实践|第17题用楼高俯角考解直角三角形，第23题综合旋转与面积计算，体现几何直观与推理意识|

第23章 单元测试 (班级：______　姓名：______) 一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，满分40分) 每小题都给出A，B，C，D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的． 1．cos 60°的值为（D） A. B. C. D. 2．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝α，AC＝3，则AB的长可以表示为（A） A. B. C．3sin α D．3cos α 3．某10 m高的天桥一侧修建了40 m长的斜道，我们可以借助科学计算器求这条斜道倾斜角的度数，具体按键顺序是（A） A. B. C. D. 4．若α为锐角，且tan α＝，则（C） A．0°＜α＜30° B．30°＜α＜45° C．45°＜α＜60° D．60°＜α＜90° 5．在Rt△ABC中，∠C＝90°，cos A＝，则tan B的值为（B） A. B. C. D. 6．若sin(70°－α)＝cos 50°，则α的度数是（C） A．50° B．40° C．30° D．20° 7．如图，点A(x，4)在第一象限，OA与x轴所夹的锐角为α，cos α＝，则tan α的值为（A） A. B. C. D. 8．如图，在6×6网格中，△ABC是格点三角形(顶点是网格线的交点)，则tan∠BAC的值是（B） A. B. C. D. 9．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝32 cm，AB的垂直平分线MN交AC于点D，连接BD，若BC＝8 cm，则sin ∠CBD的值是（A） A. B. C. D. 10．如图，一块厚度不计的矩形薄木板ABCD斜靠在互相垂直的墙角MON处，已知AB＝6，AD＝2，∠ABO＝60°，则点D到ON的距离为（B） A．1＋ B．1＋3 C．3＋ D．3 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分) 11．在Rt△ABC中，∠C＝90°，sin A＝，BC＝2，则AC＝4. 12．在△ABC中，若角A，B满足＋(1－tan B)2＝0，则∠C的大小是105°. 13．如图，“人字梯”放在水平的地面上，AB＝AC，当梯子的一边与地面所夹的锐角α为60°时，两梯脚之间的距离BC的长为2 m．周日小明帮助妈妈整理换季衣服，先使α为60°，后又调整α为45°，则梯子顶端A离地面的高度下降了－m.(结果保留根号) 14．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝10，BC＝5，D为AB边上一动点． (1)sin A的值为； (2)若CD＝2，则tan ∠ACD的值为2. 【解析】(2)过点D作DE⊥AC于点E，易得tan A＝＝＝，设DE＝x，则AE＝2x，CE＝，∴＝10－2x，解得x＝4，得AE＝8，CE＝2，∴tan ∠ACD＝2. 三、(本大题共2小题，每小题8分，满分16分) 15．在△ABC中，∠C＝90°，sin A＝，BC＝20，求△ABC的周长和面积． 解：由题意，得AB＝＝25，由勾股定理得AC＝15， 则C△ABC＝60，S△ABC＝BC·AC＝×20×15＝150. 16．计算： (1)sin 60°·cos 30°－1； 解：原式＝×－1 ＝－1 ＝－.　 (2)2sin 30°＋3cos 60°－4tan 45°. 解：原式＝2×＋3×－4×1 ＝1＋－4 ＝－. 四、(本大题共2小题，每小题8分，满分16分) 17．如图，小刚同学从楼顶A处看楼下公园的湖边D处的俯角为65°，看另一边B处的俯角为25°，楼高AC为25 m，求楼下公园的湖宽BD.(结果精确到1 m，参考数据：sin 25°≈0.42，tan 25°≈0.47，sin 65°≈0.91，tan 65°≈2.14) 解：由题意，得∠ADC＝65°，∠ABC＝25°， 在Rt△ADC中，AC＝25 m， ∴CD＝≈≈11.68(m)， 在Rt△ACB中， BC＝≈≈53.19 m， ∴BD＝BC－CD≈42(m)． 答：湖宽BD约为42 m. 18．观察下列等式：①sin 30°＝，cos 60°＝；②sin 45°＝，cos 45°＝；③sin 60°＝，cos 30°＝. (1)根据上述规律，计算：sin2α＋sin2(90°－α)＝1； (2)计算：sin21°＋sin22°＋sin23°＋…＋sin289°. 解：(2)原式＝(sin21°＋sin289°)＋(sin22°＋sin288°)＋…＋sin245° ＝1＋1＋…＋1＋＝44＋＝. 五、(本大题共2小题，每小题10分，满分20分) 19．如图，在平面直角坐标系中，OB＝4，sin ∠AOB＝，点A的坐标为(3，0)． (1)点B的坐标为(，3)； (2)求sin ∠OAB的值． 解：(2)过点B作BC⊥OA于点C，∵点A的坐标为(3，0)， ∴OA＝3，∴AC＝2， ∴AB＝，∴sin ∠OAB＝＝. 20．如图是一防洪堤背水坡的横截面图，斜坡AB的长为18 m，它的坡角为45°，为了提高该堤的防洪能力，现将背水坡改造成坡度为1∶ 的斜坡AD，在CB方向距点B 9 m处有一座房屋．(参考数据：≈2.45，≈1.414) (1)∠DAB的度数为15°； (2)在背水坡改造的施工过程中，此处房屋是否需要拆除？ 解：(2)∵AB＝18 m， ∠BAC＝∠ABC＝45°， ∴BC＝AC＝×18＝9， ∴＝＝，解得DC＝9， 故DB＝DC－BC＝9－9≈9.324(m)， ∵9.324＞9， ∴在背水坡改造的施工过程中，此处房屋需要拆除． 六、(本题满分12分) 21．如图，在△ABC中，AD是边BC上的高，E为边AC的中点，BC＝14，AD＝12，sin B＝. (1)求线段DC的长； (2)求tan ∠EDC的值． 解：(1)在Rt△ABD中， ∵sin B＝，AD＝12，∴AB＝15， ∴BD＝＝9. 又∵BC＝14，∴CD＝BC－BD＝5. (2)在Rt△ACD中，∵E为斜边AC的中点，∴ED＝EC＝AC， ∴∠C＝∠EDC，∴tan∠EDC＝tan C＝＝. 七、(本题满分12分) 22．如图，某工程队从A处沿正北方向铺设了184 m轨道到达B处．某同学在博物馆C测得A处在博物馆C的南偏东27°方向，B处在博物馆C的东南方向． (1)请计算博物馆C到B处的距离；(结果保留根号) (2)博物馆C周围若干米内因有绿地不能铺设轨道．某同学通过计算后发现，轨道线路铺设到B处时，只需沿北偏东15°的BE方向继续铺设，就能使轨道线路恰好避开绿地．请计算博物馆C周围至少多少米内不能铺设轨道？(结果精确到个位，参考数据：sin 27°≈0.45，cos 27°≈0.90，tan 27°≈0.50，≈2.45) 解：(1)过点C作CG⊥AB交AB的延长线于点G， ∴△BCG是等腰直角三角形， 设CG＝BG＝x m，则BC＝x m， 在Rt△ACG中，∠CAG＝27°，tan ∠CAG＝≈0.50， ∴AG≈2CG＝2x m，∴2x≈184＋x，解得x≈184， ∴BC＝x≈184(m)． 答：博物馆C到B处的距离约为184 m. (2)过点C作CH⊥BE于点H，由题意得∠CBG＝45°，∠DBE＝15°， ∴∠CBE＝∠CBG＋∠DBE＝60°，由(1)可知BC≈184 m， 在Rt△CBH中，CH＝BC·sin 60°≈184×＝92≈225(m)． 答：博物馆C周围至少225 m内不能铺设轨道． 八、(本题满分14分) 23．(综合与实践) 【问题情境】如图①，将等腰Rt△ABC的AB边绕点B顺时针旋转90°得到线段DB，∠ACB＝90°，AC＝1，连接DC，过点D作DE⊥CB交CB延长线于点E. 【问题探究】 (1)在图①中，易知△ABC与△DBE全等，则△DBC的面积为，sin∠DBE＝； 【拓展延伸】 (2)如图②，若△ABC为任意直角三角形，∠ACB＝90°，BC，AC，AB分别用a，b，c表示．将AB边绕点B顺时针旋转90°，得到DB，过点D作DE′⊥BC交CB延长线于点E′； ①判断△ABC与△DBE′是否全等，并说明理由； ②求sin∠DBE′的值；(用a，b，c表示) (3)如图③，在△ABC中，AB＝AC，AB⊥DB，AB＝10，BC＝12，DB＝5，连接DC. ①△ABC的面积为48； ②点P是BC边的高上的一点，当AP＝时，PD＋PB有最小值，为. 解：(2)①△ABC≌△BDE′. 理由：∵DE′⊥BC， ∴∠DE′B＝90°＝∠ACB， ∵∠DBE′＋∠ABC＝90°，∠ABC＋∠A＝90°， ∴∠DBE′＝∠A，∵BD＝AB，∴△BDE′≌△ABC(AAS)． ②∵∠A＝∠DBE′， ∴sin∠DBE′＝sin A＝. 学科网（北京）股份有限公司 $ 第23章 单元测试 (班级：______　姓名：______) 一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，满分40分) 每小题都给出A，B，C，D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的． 1．cos 60°的值为（） A. B. C. D. 2．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝α，AC＝3，则AB的长可以表示为（） A. B. C．3sin α D．3cos α 3．某10 m高的天桥一侧修建了40 m长的斜道，我们可以借助科学计算器求这条斜道倾斜角的度数，具体按键顺序是（） A. B. C. D. 4．若α为锐角，且tan α＝，则（） A．0°＜α＜30° B．30°＜α＜45° C．45°＜α＜60° D．60°＜α＜90° 5．在Rt△ABC中，∠C＝90°，cos A＝，则tan B的值为（） A. B. C. D. 6．若sin(70°－α)＝cos 50°，则α的度数是（） A．50° B．40° C．30° D．20° 7．如图，点A(x，4)在第一象限，OA与x轴所夹的锐角为α，cos α＝，则tan α的值为（） A. B. C. D. 8．如图，在6×6网格中，△ABC是格点三角形(顶点是网格线的交点)，则tan∠BAC的值是（） A. B. C. D. 9．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝32 cm，AB的垂直平分线MN交AC于点D，连接BD，若BC＝8 cm，则sin ∠CBD的值是（） A. B. C. D. 10．如图，一块厚度不计的矩形薄木板ABCD斜靠在互相垂直的墙角MON处，已知AB＝6，AD＝2，∠ABO＝60°，则点D到ON的距离为（） A．1＋ B．1＋3 C．3＋ D．3 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分) 11．在Rt△ABC中，∠C＝90°，sin A＝，BC＝2，则AC＝________. 12．在△ABC中，若角A，B满足＋(1－tan B)2＝0，则∠C的大小是__________. 13．如图，“人字梯”放在水平的地面上，AB＝AC，当梯子的一边与地面所夹的锐角α为60°时，两梯脚之间的距离BC的长为2 m．周日小明帮助妈妈整理换季衣服，先使α为60°，后又调整α为45°，则梯子顶端A离地面的高度下降了_________m.(结果保留根号) 14．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝10，BC＝5，D为AB边上一动点． (1)sin A的值为__________； (2)若CD＝2，则tan ∠ACD的值为_______. 三、(本大题共2小题，每小题8分，满分16分) 15．在△ABC中，∠C＝90°，sin A＝，BC＝20，求△ABC的周长和面积． 16．计算： (1)sin 60°·cos 30°－1； (2)2sin 30°＋3cos 60°－4tan 45°. 四、(本大题共2小题，每小题8分，满分16分) 17．如图，小刚同学从楼顶A处看楼下公园的湖边D处的俯角为65°，看另一边B处的俯角为25°，楼高AC为25 m，求楼下公园的湖宽BD.(结果精确到1 m，参考数据：sin 25°≈0.42，tan 25°≈0.47，sin 65°≈0.91，tan 65°≈2.14) 18．观察下列等式：①sin 30°＝，cos 60°＝；②sin 45°＝，cos 45°＝；③sin 60°＝，cos 30°＝. (1)根据上述规律，计算：sin2α＋sin2(90°－α)＝______； (2)计算：sin21°＋sin22°＋sin23°＋…＋sin289°. 五、(本大题共2小题，每小题10分，满分20分) 19．如图，在平面直角坐标系中，OB＝4，sin ∠AOB＝，点A的坐标为(3，0)． (1)点B的坐标为________； (2)求sin ∠OAB的值． 20．如图是一防洪堤背水坡的横截面图，斜坡AB的长为18 m，它的坡角为45°，为了提高该堤的防洪能力，现将背水坡改造成坡度为1∶ 的斜坡AD，在CB方向距点B 9 m处有一座房屋．(参考数据：≈2.45，≈1.414) (1)∠DAB的度数为_______； (2)在背水坡改造的施工过程中，此处房屋是否需要拆除？ 六、(本题满分12分) 21．如图，在△ABC中，AD是边BC上的高，E为边AC的中点，BC＝14，AD＝12，sin B＝. (1)求线段DC的长； (2)求tan ∠EDC的值． 七、(本题满分12分) 22．如图，某工程队从A处沿正北方向铺设了184 m轨道到达B处．某同学在博物馆C测得A处在博物馆C的南偏东27°方向，B处在博物馆C的东南方向． (1)请计算博物馆C到B处的距离；(结果保留根号) (2)博物馆C周围若干米内因有绿地不能铺设轨道．某同学通过计算后发现，轨道线路铺设到B处时，只需沿北偏东15°的BE方向继续铺设，就能使轨道线路恰好避开绿地．请计算博物馆C周围至少多少米内不能铺设轨道？(结果精确到个位，参考数据：sin 27°≈0.45，cos 27°≈0.90，tan 27°≈0.50，≈2.45) 八、(本题满分14分) 23．(综合与实践) 【问题情境】如图①，将等腰Rt△ABC的AB边绕点B顺时针旋转90°得到线段DB，∠ACB＝90°，AC＝1，连接DC，过点D作DE⊥CB交CB延长线于点E. 【问题探究】 (1)在图①中，易知△ABC与△DBE全等，则△DBC的面积为_______，sin∠DBE＝________； 【拓展延伸】 (2)如图②，若△ABC为任意直角三角形，∠ACB＝90°，BC，AC，AB分别用a，b，c表示．将AB边绕点B顺时针旋转90°，得到DB，过点D作DE′⊥BC交CB延长线于点E′； ①判断△ABC与△DBE′是否全等，并说明理由； ②求sin∠DBE′的值；(用a，b，c表示) (3)如图③，在△ABC中，AB＝AC，AB⊥DB，AB＝10，BC＝12，DB＝5，连接DC. ①△ABC的面积为______； ②点P是BC边的高上的一点，当AP＝____时，PD＋PB有最小值，为________. 学科网（北京）股份有限公司 $