期末教学质量检测卷（试题）2025-2026学年六年级下册数学北师大版

**基本信息** 2025-2026学年六年级下册数学北师大版期末卷，以圆柱圆锥、比例等核心知识为载体，通过莫比乌斯圈剪开、停车场智能杆旋转等创新情境，考查抽象能力、几何直观与模型意识，实现基础巩固与创新应用的统一。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|6题12分|圆锥形成、正反比例判断|结合莫比乌斯圈剪开实验考查空间观念| |填空题|10题20分|比例性质、圆柱体积转化|通过教学用品价格等量代换考查推理意识| |解答题|6题30分|行程问题、分段计费、瓶子容积|停车场智能杆旋转路程计算融合几何与实际应用，体现数学语言表达现实世界|

期末教学质量检测卷（试题）2025-2026学年六年级下册数学北师大版 考试时间：90分钟；满分：100分 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题 12分） 一、选择题（12分） 1．沿着直角三角形的一条直角边旋转一周，就得到一个（    ）。 A．圆柱 B．圆锥 C．长方体 D．正方体 2．m，n是两种相关联的量（m，n均不为0），下列各式中，m和n成反比例的是（    ）。 A． B． C． D． 3．将一个圆柱的底面半径扩大到原来的2倍，高缩小到原来的，这个圆柱的体积会（    ）。 A．不变 B．扩大到原来的2倍 C．缩小到原来的 D．扩大到原来的4倍 4．下面各题，两种量成正比例关系的是（    ）。 A．汽车的速度一定，行驶的时间和路程 B．圆的面积与它的半径 C．平行四边形面积一定，它的底和高 D．长方形周长一定，它的长和宽 5．把一张已画三等分线的长方形纸条做成一个莫比乌斯圈，然后沿它的三等分线剪开。下面说法正确的是（    ）。 A．需要剪2次（剪1次指沿等分线剪直至得到1个新纸环） B．可得到3个大小一样的纸环 C．可以得到2个大小一样的纸环 D．可以得到1个大纸环和1个小纸环 6．我国逐渐完善养老金制度，居民可自行缴纳养老金。甲、乙两人计划用相同的年数分别缴纳养老金18万元和12万元。甲计划每年比乙多缴纳保险金0.2万元。若乙每年缴纳保险金x万元，则根据题意可列出比例为（    ）。 A． B． C． D． 第II卷（非选择题 88分） 二、填空题（20分） 7．如果（m，n都不为0），那么( )∶( )。 8．在一个比例中，两个内项互为倒数，其中一个外项是最小的质数，则另一个外项是( )。 9．如果等底等高的圆柱和圆锥的体积相差31.4m3，则圆柱的体积是( )m3，圆锥的体积是( )m3。 10．一个五位数，从高位到低位依次是最小的质数，最小的自然数，最小的合数，3的最小倍数，6的最大因数。这个数是( )。 11．在比例尺为1∶10000000的地图上量得上海到宝鸡的距离是15cm，宝鸡到上海的实际距离约是__________km，宝鸡支援上海的医护人员乘坐动车以240km/h的速度行进，__________时后到达上海。 12．小乐买春节贺卡，到商店后发现商场打七五折，同样的钱可以比计划多买12张，他现在可以买( )张。 13．如果（、均不为0），那么( )，和成( )比例关系。 14．如下图所示，第二小组在探究圆柱体积时将圆柱转化为长方体翻转一下摆放。这样翻转摆放的长方体的底面积等于圆柱( )，高等于圆柱( )，因此，圆柱体积还可以这样计算：( )。根据这一发现，如果一个圆柱的侧面积是100平方分米，底面半径是4分米，这个圆柱的体积是( )立方分米。 15．小敏购买4种教学用品：计算器、圆规、三角板、量角器的件数和用钱总数如下表： 品名 件数 计算器 圆规 三角板 量角器 总钱数 第一次购买件数 1 3 4 5 78 第二次购买件数 1 5 7 9 98 则4种教学用品各买一件共需要( )元。 16．如果规定，那么( )。 三、判断题（12分） 17．“立竿见影”用数学的眼光来看，这是运用了正比例关系。( ) 18．圆锥的体积等于圆柱体积的。( ) 19．18只小鸟飞进4个笼子，总有1个笼子至少飞进了5只小鸟。( ) 20．某汽车行驶的路程一定，行驶的速度和所需要的时间成正比例。( ) 21．如果a×＝ b×（a、b都不为0），那么a∶b＝8∶9。( ) 22．0是最小的自然数，也是正数与负数的分界点。( ) 四、计算题（26分） 23．求未知数x。 6＋x＝21    x－6＝12 50%x－25%x＝10    x∶3.5＝6∶0.5 24．计算。 （1）750÷25＋16    （2）（3.2＋1.8）×6.5    （3）0.4×1.83×2.5 （4）÷[×（－）] （5）18∶x＝∶（解比例）    （6）12×（＋） 25．解方程或比例。            五、解答题（30分） 26．如图表示斑马和长颈鹿的奔跑情况。 （1）斑马的奔跑路程与奔跑时间是否成正比例关系？ （填“成”或“不成”） （2）从图像上看，斑马与长颈鹿比，谁跑得快？请说明理由。 27．6个矿泉水空瓶可以换2包糖，用27个矿泉水空瓶可以换多少包糖？（用比例解） 28．六一儿童节这天，爸爸送给福福一个圆锥形玩具。（如图） （1）这个玩具的体积是多少立方厘米？ （2）如果礼物是用一个长方体盒子包装的，那么这个盒子的容积至少是多少立方厘米？ 29．一台碾米机碾米情况如下表： （1）把上表中相对应的点描在下图中，再顺次连接。 工作时间（时） 0 1 2 3 4 5 加工数量（吨） 0 0.5 1 1.5 2 2.5 （2）工作时间与加工数量成什么比例？为什么？ （3）现在碾米8吨，需要几小时？ 30．上街丹尼斯的停车场采用智能升降杆控制车辆的进出。当车辆进或出时，智能杆自动升起，车辆经过后，智能杆自动下落，实现一车一杆，有序进出。 （1）车在出口时智能控制杆上升时，杆绕点（    ）按（    ）方向旋转90°。 （2）如图，点O2到点A的长度为3米，丹尼斯商场的停车场，六一儿童节那天进来了60辆车，这些车辆进入停车场，A点一共走过的路程是多少米？ （3）如表是丹尼斯小型汽车停车场收费标准： 时间段 收费标准 8：00～18：00 5元/时 18.00～次日8：00 4元/时 不足一元按1小时计算 李叔叔共缴费23元，停车时间5小时，李叔叔开车进入停车场时，看了看表，这时候时间正是整时，李叔叔开车进入和离开停车场的时间分别是多少？ 31．一个盖着瓶盖的瓶子里面装着一些水（如图所示），请你根据图中标明的数据，计算瓶子的容积。 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《期末教学质量检测卷（试题）2025-2026学年六年级下册数学北师大版》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 答案 B D A A D B 1．B 【分析】根据圆锥的认识，为轴的那条直角边是旋转后的圆锥的高，另一条直角边是旋转后的圆锥的底面半径，据此解答。 【详解】沿着直角三角形的一条直角边旋转一周，就得到一个圆锥。 故答案为：B 2．D 【分析】两种相关联的量，若它们的比值一定，两种量成正比例关系；若它们的乘积一定，两种量成反比例关系。 【详解】A．m和n的比值一定，m和n成正比例关系。 B．根据＝m，得＝2，比值一定，m和n成正比例关系。 C．根据＝，得＝，比值一定，m和n成正比例关系。 D．根据＝8，得mn＝，乘积一定，m和n成反比例关系。 故答案为：D 【点睛】辨识两种量成正比例还是成反比例，就看两种量的比值一定还是乘积一定。 3．A 【分析】假设原来圆柱的底面半径是1，高是4，现将底面半径扩大到原来的2倍，变为1×2＝2，高缩小到原来的，变为4×＝1；根据圆柱的体积公式分别计算出原来圆柱和变化后圆柱的体积，最后用变化后圆柱体积除以原来圆柱体积，据此解答。 【详解】假设原来圆柱的底面半径是1，高是4， 1×2＝2 4×＝1 （3.14×22×1）÷（3.14×12×4） ＝（3.14×4×1）÷（3.14×1×4） ＝12.56÷12.56 ＝1 因此，这个圆柱的体积不变。 故答案为：A 4．A 【分析】A．根据反比例的意义，两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，两种相关联的量中相对应的两个数的乘积一定，这两种相关联的成反比例，据此判断； B．根据圆的面积公式：S＝πr2，因为圆周率一定，所以圆的面积与半径的平方成正比例，圆的面积与半径不成比例。据此判断； C．根据平行四边形的面积公式：S＝ah，平行四边形面积一定，它的底和高成反比例。据此判断； D．根据长方形的周长＝（长＋宽）×2，所以长方形的周长一定，长和宽不成比例，据此判断。 【详解】A．汽车的速度一定，行驶的时间和路程成正比例； B．圆的面积与半径不成比例； C．平行四边形面积一定，它的底和高成反比例； D．长方形的周长一定，长和宽不成比例。 故答案为：A 【点睛】此题考查的目的是理解掌握正反比例的意义及应用。 5．D 【分析】通过动手进行实际操作，取一条长方形纸条，沿平行于长的方向画2条三等分线，将纸条的两端粘上，做成一个莫比乌斯带。沿莫比乌斯带的2条三等分线剪开，即可得出答案。 【详解】通过动手操作，发现：沿着莫比乌斯环3等分处剪开，会在剪完2个圈后又回到原点，形成一大一小相互套连的两个环；沿它的三等分线剪开，因为两条线粘结成莫比乌斯带的时候一条线的尾部和第二条线的头是接上的，第二条线的尾部也是和第一条线的头是接上的，所以就成了一条线。 故答案为：D 【点睛】本题考查图形的剪拼的问题，同时考查学生的动手和操作能力，做此类题目，亲自动手做一做最直观。 6．B 【分析】设乙每年缴纳养老保险为x万元，则甲每年缴纳养老保险金为（x＋0.2）万元，根据甲、乙两人计划用相同的年数分别缴纳养老保险金18万元和12万元可知，18比上（x＋0.2）万元等于12比上x万元。 【详解】根据题意可列出比例为。 故答案为：B 7． 7 6 【分析】根据比例的基本性质：在比例里，两个外项的积等于两个内项的积。已知（m，n都不为0），可得6m＝7n。再将6m＝7n改写成比例形式m∶n，即m和6是外项，n和7是内项。 【详解】（m，n都不为0） 6m＝7n m和6是外项，n和7是内项。 所以m∶n＝7∶6。 8． 【分析】根据比例的基本性质，在比例里，两个内项的积等于两个外项的积。互为倒数的两个数乘积是1，因此两个外项的积也是1。已知最小的质数是2，即其中一个外项是2，用积除以已知外项即可求出另一个外项。 【详解】因为两个内项互为倒数，所以两个内项的积是1。 则两个外项的积也是1。 因为最小的质数是2，所以其中一个外项是2。 另一个外项为： 9． 47.1 15.7 【分析】等底等高的圆柱体积是圆锥体积的3倍，根据差倍问题的解题方法，圆柱和圆锥的体积差÷（倍数－1）＝1倍数，即圆锥体积，圆锥体积×3＝圆柱体积。 【详解】圆锥体积：31.4÷（3－1） ＝31.4÷2 ＝15.7（m3） 圆柱体积：15.7×3＝47.1（m3） 10．20436 【分析】质数是只有1和它本身两个因数的自然数，最小的质数是2； 最小的自然数是0； 合数是除了1和它本身还有其他因数的数，一位数中最小的合数是4； 3的最小倍数是3； 6的最大因数是6；据此解答。 【详解】根据分析可得：一个五位数，从高位到低位依次是最小的质数，最小的自然数，最小的合数，3的最小倍数，6的最大因数。这个数是20436。 11． 1500 6.25/6/ 【分析】比例尺为1∶10000000，表示图上1cm代表实际距离10000000cm，即100km。已知上海到宝鸡的图上距离是15cm，用15乘100即可求出宝鸡到上海的实际距离。 时间＝路程÷速度，据此用宝鸡到上海的实际距离除以240即可求出几时后到达上海。 【详解】10000000厘米＝100千米 15×100＝1500（km） 1500÷240＝6.25（时） 则宝鸡到上海的实际距离约是1500km；宝鸡支援上海的医护人员6.25时后到达上海。 【点睛】本题考查了比例尺和行程问题的应用。掌握比例尺的意义是解题的关键。 12．48 【分析】七五折表示原价是现价的75%，即，所以原单价与现单价的比为4∶3，因为总价＝单价×数量，总价相同（乘积一定），所以单价和数量成反比，即原数量和现数量的比是3∶4，份数差1份对应12张，再用12张乘现数量的份数，求出现在可购买的数量。 【详解】七五折＝75%＝ 则原单价∶现单价＝4∶3，原数量∶现数量＝3∶4。 12÷（4－3） ＝12÷1 ＝12（张） 12×4＝48（张） 13． 正 【分析】先根据比例的基本性质，把乘积等式改写成比例式确定x与y的比，再把比例转化为x除以y的形式，根据比值是否固定，判断两个量成正比例还是反比例。 【详解】因为8x＝7y 所以x∶y＝7∶8＝ 即＝ 比值一定，所以x和y成正比例。 14． 侧面积的一半 底面半径 侧面积的一半×半径 200 【分析】观察探究过程的图形可以发现：将圆柱分割然后拼成一个近似长方体（第二个图），这个长方体的底面积就等于圆柱的底面积，这个圆柱的侧面积等于长方体的前面面积与后面面积之和，其中前面面积等于后面面积。 所以第三个图把长方体后翻转一下摆放，长方体的底面积等于圆柱侧面积的一半，长方体的高等于圆柱的半径，长方体的体积＝底面积×高，所以圆柱的体积＝侧面积的一半×半径，据此分析即可。 【详解】长方体的底面积等于圆柱侧面积的一半；高等于圆柱底面半径； 圆柱体积＝侧面积的一半×半径； 100÷2×4 ＝50×4 ＝200（立方分米） 所以如图所示：第二小组在探究圆柱体积时将圆柱转化为长方体后翻转一下摆放。这样翻转摆放的长方体的底面积等于圆柱侧面积的一半，高等于圆柱底面半径，因此，圆柱体积还可以这样计算：侧面积的一半×半径。根据这一发现，如果一个圆柱的侧面积是100平方分米，底面半径是4分米，这个圆柱的体积是200立方分米。 15．58 【分析】根据题意可知，计算器×1＋圆规×3＋三角板×4＋量角器×5＝78元；计算器×1＋圆规×5＋三角板×7＋量角器×9＝98元；据此可知，圆规×（5－3）＋三角板×（7－4）＋量角器×（9－5）＝圆规×2＋三角板×3＋量角器×4＝（98－78）元，再用78－（98－78）即可求出计算器×1＋圆规×1＋三角板×1＋量角器×1。 【详解】98－78＝20（元） 78－20＝58（元） 4种教学用品各买一件共需要58元。 【点睛】本题主要考查了等量代换，通过等式间数量上的加减找到对应要求的数量。 16．15 【分析】根据题意可知，，也就是5；据此可知，，据此计算出结果即可。 【详解】 如果规定，那么。 17．√ 【详解】同一时刻，物高和影长的比值是不变的，所以同一时刻，物高和影长成正比例关系，原题说法正确。 故答案为：√ 18．× 【分析】等底等高的圆柱和圆锥，圆柱体积是圆锥体积的3倍，据此解答。 【详解】圆柱和圆锥等底等高时，圆锥的体积等于圆柱体积的，原题说法错误。 故答案为：× 19．√ 【分析】小鸟的总数是18只，笼子的总数是4个，将鸟的只数进行平均分配后，如果还有剩余只数，那么剩余的鸟无论飞进哪个鸟窝，则至少有一个鸟笼中飞进鸟的只数都比平均分配的只数多一只，据此解答。 【详解】18÷4＝4（只）……2（只） 4＋1＝5（只） 18只小鸟飞进4个笼子，总有1个笼子至少飞进了5只小鸟。 原题干说法正确。 故答案为：√ 20．× 【分析】根据关系式路程＝速度×时间判断即可。 【详解】路程＝速度×时间，汽车行驶的路程一定，即速度与时间的乘积一定，所以行驶的速度和所需要的时间成反比例；原题说法错误。 故答案为：× 【点睛】两种相关联的量，若其比值一定，两种量成正比例；若其乘积一定，两种量成反比例；若既不是比值一定也不是乘积一定，两种量不成比例。 21．√ 【分析】将a×看成比例的两个外项，b×看成比例的两个内项，根据比例的基本性质写出比例并化简即可。 【详解】根据比例的基本性质可得：如果a×＝ b×（a、b都不为0），那么a∶b＝∶＝8∶9，原说法正确。 故答案为：√ 【点睛】本题主要考查比例的基本性质的灵活运用。 22．√ 【详解】自然数包含和正整数，因此为最小自然数；而在正负数分类中，作为基准，既不是正数也不是负数，是正数与负数的分界点。原题说法正确。 故答案为：√ 23．x＝15；x＝27 x＝40；x＝42 【分析】（1）根据等式的性质，方程的两边同时减去6求解； （2）根据等式的性质，方程的两边同时加上6，然后方程的两边同时除以求解； （3）先计算50%x－25%x＝0.25x，根据等式的性质，方程的两边同时除以0.25求解； （4）根据比例的基本性质的性质，把原式化为0.5x＝3.5×6，然后方程的两边同时除以0.5求解。 【详解】（1）6＋x＝21 解：6＋x－6＝21－6 x＝15 （2）x－6＝12 解：x－6＋6＝12＋6 x＝18 x÷＝18÷ x＝27 （3）50%x－25%x＝10 解：0.25x＝10 0.25x÷0.25＝10÷0.25 x＝40 （4）x∶3.5＝6∶0.5 0.5x＝3.5×6 0.5x÷0.5＝3.5×6÷0.5 x＝42 24．（1）46；（2）32.5；（3）1.83 （4）5；（5）x＝30；（6）11 【分析】（1）先算除法，再算加法； （2）先算小括号内的加法，再算括号外的乘法； （3）利用乘法交换律先计算； （4）先算小括号的减法，再算中括号的乘法，最后算括号外的除法。 （5）根据比例的基本性质，两内项积等于两外项积，原式变为，计算后根据等式的基本性质，两边同时乘解答即可。 （6）利用乘法分配律进行计算。 【详解】（1） （2） （3） （4） ＝ ＝ （5） 解： （6） 25．； 【分析】（1）方程两边先同时加上，把方程变成，然后方程两边先同时减去，再同时除以，求出方程的解； （2）先根据比例的基本性质将比例方程改写成，然后方程两边同时除以，求出方程的解。 【详解】 解： 解： 26．（1）成 （2）12＞8；从图像上看，斑马跑得快，因为10分钟斑马跑了12千米，长颈鹿跑了8千米。 【分析】（1）判断两种量成正比例还是成反比例时，关键看这两种相关联的量中相对应的两个数是比值一定还是乘积一定。如果比值一定，就成正比例；如果乘积一定，就成反比例；如果比值和乘积都不是定量，就不成比例。 （2）观察统计图，横轴表示时间，纵轴表示路程，观察10分钟时斑马和长颈鹿分别跑的路程，路程多的就跑得快。 【详解】（1）路程÷时间＝速度，速度一定，所以斑马的奔跑路程与奔跑时间成正比例关系； （2）略 27．9包 【分析】根据题意可知，糖的数量∶矿泉水空瓶数量＝一个矿泉水空瓶可以换糖的数量（一定），比值一定，则糖的数量与矿泉水空瓶数量成正比例关系，据此列出正比例方程，并求解。 【详解】解：设用27个矿泉水空瓶可以换包糖。 ∶27＝2∶6 6＝27×2 6＝54 ＝54÷6 ＝9 答：用27个矿泉水空瓶可以换9包糖。 28．（1）94.2立方厘米 （2）360立方厘米 【分析】（1）根据题意，求这个玩具的体积，根据圆锥体的体积公式：底面积×高×，代入数据即可解答； （2）根据题意，长方体的长等于圆锥底面的直径，宽等于圆锥底面的直径，高等于圆锥的高，根据长方体体积公式：长×宽×高，求出这个盒子的容积。 【详解】（1）3.14×（6÷2）2×10× ＝3.14×9×10× ＝28.26×10× ＝282.6× ＝94.2（立方厘米） 答：这个玩具的体积是94.2立方厘米。 （2）长方体的长是6厘米，宽是6厘米，高是10厘米 体积：6×6×10 ＝36×10 ＝360（立方厘米） 答：这个盒子的容积至少是360立方厘米。 【点睛】本题考查圆锥的体积公式、长方体体积公式的应用，关键是长方体的长和宽等于圆锥底面直径。 29．（1）如图： （2）正比例；工作时间与加工数量的比值一定 （3）16小时 【分析】（1）根据画折线统计图的方法，把表中相对应的点描在图中，再顺次连接即可。 （2）算出工作时间与加工数量的比，如果比值一定，则成正比例，据此解答。 （3）根据1小时碾米0.5吨，用8÷0.5即可。 【详解】（1）如图： （2）1∶0.5＝2∶1＝3∶1.5＝4∶2＝5∶2.5＝2 工作时间与加工数量的比值一定，工作时间与加工数量成正比例。 （3）8÷0.5＝16（时） 答：碾米8吨，需要16小时。 【点睛】此题考查了学生根据信息分析问题、解决问题的能力。 30．（1）O1；顺 （2）565.2米 （3）进入15：00；离开20：00 【分析】（1）在平面内，把一个图形围绕某一固定点按顺时针或逆时针方向转动一定的角度的过程，称为旋转。根据出口处智能杆自动升起的方向确定旋转中心和旋转方向。 （2）根据题意，每进来一辆车，智能杆自动升起一次，再自动下落一次，A点走过的路程相当于半径为3米的圆周长的一半，再乘60，即可求出60辆车进入时A点一共走过的路程，根据圆的周长公式C＝2πr解答。 （3）已知李叔叔共缴费23元，停车时间5小时，且进入停车场的时间是整时；如果停车的5小时只在8：00～18：00或只在18.00～次日8：00，则得不到整点时刻，不符合题意；所以停车的5小时在这两个时间段都有。 可以设在8：00～18：00这个时间段停车小时，则在18.00～次日8：00这个时间段停车（5－）小时；根据“单价×数量＝总价”列出方程，并求解；进而求出李叔叔开车进入停车场和离开停车场的时刻。 【详解】（1）车在出口时智能控制杆上升时，杆绕点O1按顺时针方向旋转90°。 （2）2×3.14×3÷2×60 ＝9.42×60 ＝565.2（米） 答：A点一共走过的路程是565.2米。 （3）解：设在8：00～18：00这个时间段停车小时，则在18.00～次日8：00这个时间段停车（5－）小时。 5＋4（5－）＝23 5＋20－4＝23 ＋20＝23 ＋20－20＝23－20 ＝3 则在18.00～次日8：00这个时间段停车：5－3＝2（小时） 离开时刻：18时＋2小时＝20时 进入时刻：18时－3小时＝15时 答：李叔叔开车进入停车场是15：00，离开停车场是20：00。 【点睛】（1）考查旋转的意义，找出旋转中心、旋转方向和角度。 （2）考查圆的周长公式的运用，分析出每进来一辆车，A点所走过的路程相当于圆周长的一半是解题的关键。 （3）考查分段计费问题，弄清楚停车收费的时间段和每段的收费标准，然后根据单价、数量、总价之间的关系列方程解答。 31．60毫升 【分析】根据题意，正放和倒放水的体积和无水部分的体积不变。右图水的体积＝左图水的体积，左图水的体积是标准的圆柱体体积，右图空的部分高是7－5＝2（厘米），右图空的部分体积是标准的圆柱体体积，那么瓶子的容积＝左图水的体积＋右图空的部分体积，相当于是两个圆柱体体积之和。，把数据代入圆柱体体积公式计算即可解答。 【详解】10×4＋10×（7－5） ＝10×4＋10×2 ＝40＋20 ＝60（立方厘米） 60立方厘米=60毫升 答：瓶子的容积的是60毫升。 【点睛】正放和倒放水的体积和无水部分的体积不变，把瓶子分为两个标准圆柱进行计算，瓶子的容积＝左图水的体积＋右图空的部分体积，相当于是两个圆柱体体积之和。 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $