第15章 轴对称图形与等腰三角形【章末复习】 课件 -2026-2027学年沪科版数学八年级上册

该初中数学课件系统梳理了轴对称图形与等腰三角形的核心知识，以“轴对称”为线索串联图形对称、坐标对称、线段垂直平分线、角平分线及等腰三角形等内容，通过知识框架图和双向定理对比表构建完整的几何推理体系。 其亮点在于结合“易错汇总”和“压轴模型”设计复习活动，如通过角平分线性质构造辅助线证明线段相等培养推理能力，跨学科题强化数学眼光。分层例题覆盖基础到综合，助力学生巩固知识，教师可精准把握复习重点。

沪科版数学八年级上册培优精做课件 授课教师： . 班 级： 8年级（ ）班 . 时 间： . 2026年6月11日 章末复习 第15章 轴对称图形与等腰三角形 第15章 轴对称图形 小结与复习（沪科版八年级上册） 本章核心体系：本章围绕「轴对称」展开，从图形对称→坐标对称→线段垂直平分线→角平分线→等腰（等边）三角形，形成整套几何变换与特殊三角形推理体系，是八上几何期末必考重难点。 一、15.1 轴对称与坐标轴对称 1. 轴对称图形 vs 两个图形轴对称 （1）轴对称图形：一个图形沿一条直线折叠，直线两旁部分能完全重合。 （2）两个图形轴对称：两个图形沿一条直线折叠后能完全重合。 共同点：对应边相等、对应角相等、图形全等。 易错：全等图形不一定轴对称，轴对称图形一定全等。 2. 平面直角坐标系中的对称规律（必考） 设点坐标为 $$P(x,y)$$ ① 关于x轴对称：横不变、纵变号 → $$P_1(x,-y)$$ ② 关于y轴对称：纵不变、横变号 → $$P_2(-x,y)$$ 二、15.2 线段的垂直平分线 1. 定义 垂直并且平分一条线段的直线，叫做线段的垂直平分线。 2. 性质定理（由垂直平分线→得边相等） 线段垂直平分线上的点，到线段两个端点的距离相等。 3. 判定定理（由距离相等→得垂直平分线） 到线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。 4. 尺规作图（必考操作） 分别以线段两端点为圆心，大于线段一半长为半径画弧，上下各交于一点，两点连线即为垂直平分线。 作图原理：两点确定一条直线 + 垂直平分线判定。 三、15.3 角平分线 1. 尺规作图 顶点为圆心画弧交两边，再以交点为圆心画弧，内部交点与顶点连线即为角平分线（原理：SSS全等）。 2. 性质定理（知平分线→得距离相等） 角平分线上的点，到角两边的垂直距离相等。 关键前提：必须是垂线段，斜线段不成立！ 3. 判定定理（知距离相等→得平分线） 角内部到角两边垂直距离相等的点，在这个角的平分线上。 四、15.4 等腰三角形与特殊直角三角形 1. 等腰三角形性质（边→角） ① 等边对等角：两腰相等 ⇒ 两底角相等。 ② 三线合一（超级考点）：等腰三角形中，顶角平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合。 易错禁区：三线合一只针对底边和顶角，腰上的高/中线不适用！ 2. 等腰三角形判定（角→边） 等角对等边：三角形两角相等 ⇒ 对边相等 ⇒ 等腰三角形。 3. 等边三角形推论 ① 三角相等的三角形是等边三角形； ②有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形。 4. 含30°角的直角三角形性质（期末计算高频） 正向定理：Rt△中，30°锐角所对的直角边 = 斜边的一半。 逆定理：Rt△中，一条直角边等于斜边一半 ⇒ 该边所对锐角为30°。 适用前提：必须是直角三角形！ 五、本章必考「双向定理」对比（背诵重点） 类型 性质（已知条件→结论） 判定（结论→证明条件） 线段垂直平分线 在垂直平分线上 ⇒ 到两端距离相等 到两端距离相等 ⇒ 在垂直平分线上 角平分线 在平分线上 ⇒ 到两边距离相等 到两边距离相等 ⇒ 在平分线上 等腰三角形 边相等 ⇒ 角相等（等边对等角） 角相等 ⇒ 边相等（等角对等边） 六、本章高频易错汇总（扣分点专治） 1. 对称轴是直线，不是线段、不是射线。 2. 角平分线性质必须用垂线段，斜线段不能用定理。 3. 三线合一只用于等腰三角形底边，腰不适用。 4. 30°直角三角形定理仅限Rt△，普通三角形不成立。 5. 坐标对称不要记反：x轴纵变号、y轴横变号。 6. 轴对称一定全等，全等不一定轴对称。 七、章节综合压轴模型（期末必考） 1. 垂直平分线：转化线段长度、求三角形周长； 2. 角平分线+垂直：证线段相等、角度相等； 3. 等腰三角形+三线合一：简化垂直、平分、角度证明； 4. 120°等腰三角形+30°Rt△：4倍边长关系经典压轴。 1.轴对称图形： 如果一个平面图形沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形就叫作轴对称图形，这条直线叫作它的对称轴. 2.轴对称： 平面内两个图形在一条直线的两旁，如果沿这条直线折叠，这两个图形重合，那么称这两个图形成轴对称，这条直线就是对称轴. 一、轴对称图形与轴对称 3. 轴对称图形和轴对称的区别与联系 轴对称图形 轴对称 区别 联系 图形 轴对称图形是指( )个具有特殊形状的图形，只对( ) 个图形而言 轴对称是指( )个全等 图形的位置关系，必须涉及( )个图形 如果把轴对称图形沿对称轴 分成两部分，那么这两个图形 就关于这条直线成轴对称 如果把两个成轴对称的图形 看成一个整体，那么整个图形就是一个轴对称图形 一 一 两 两 4. 轴对称的性质： ① 如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线； ② 反过来，成轴对称的两个图形中，对应点的连线被对称轴垂直平分. 1. 线段中垂线的性质定理： 线段垂直平分线上的点和线段两端的距离相等. 2. 逆定理： 到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上. 二、线段的中垂线 1. 定理①： 等腰三角形的两个底角相等.（等边对等角） 2.性质②： 等腰三角形的顶角的平分线垂直平分底边. （三线合一）. 推论： 等边三角形的三个角相等，每个内角都等于 60°. 三、等腰（边）三角形 3.等腰(边)三角形的判定及含 30° 角的直角三角形的性质： 判定定理： 有两个角相等的三角形是等腰三角形(等角对等边). 推论①：三个角都相等的三角形是等边三角形. 推论②：有一个角是 60° 的等腰三角形是等边三角形. 定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于 30° ，那么它所对的直角边等于斜边的一半. 1. 性质定理： 角平分线上的点到角两边的距离相等. 2. 判定定理： 角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上. 四、角平分线的性质与判定 例1 如图，△ABC 和△A′B′C′ 关于直线 MN 对称，△A″B″C″ 和△A′B′C′ 关于直线 EF 对称. (1) 画直线 EF; (2) 直线 MN 与 EF 相交于点 O，试探究∠BOB″ 与直线 MN，EF 所夹锐角 α 的数量关系. A B C A′ B′ C′ A″ B″ C″ M N 【分析】连接△A′B′C′ 和△A″B″C″中的任意一对对应点，作所得线段的垂直平分线即为直线 EF，根据轴对称的性质可求角的数量关系. 考点一 轴对称图形与轴对称 A B C A′ B′ C′ A″ B″ C″ 解：（1）如图，连接 B′B″，作线段 B′B″ 的垂直平分线EF，则直线 EF 是△A′B′C′ 和△A″B″C″ 的对称轴； （2）连接 B″O，B′O，BO. 因为 △ABC 和△A′B′C′ 关于直线 MN 对称， 所以∠BOM =∠B′OM. 因为△A″B″C″ 和△A′B′C′ 关于直线 EF 对称， 所以∠B′OE =∠B″OE. 所以∠BOB″ = 2(∠B′OM + ∠B′OE) = 2α. F E O M N 例2 如图，AD 是 BC 的垂直平分线，点 C 在 AE 的垂直平分线上，AB，AC，CE 的长度有什么关系？ AB + BD 与 DE 有什么关系？ 【分析】运用线段的垂直平分线的性质进行线段之间的转化即可. A B C D E 解：∵ AD 是 BC 的垂直平分线， ∴ AB = AC，BD = CD. ∵ 点 C 在 AE 的垂直平分线上， ∴ AC = CE，∴AB = AC = CE. ∴ AB + BD = DE. 考点二 线段的垂直平分线 例3 如图所示，在△ABC中，AB = AC，BD⊥AC 于 D.求证： ∠BAC = 2∠DBC. A B C D ) ) 1 2 E 【分析】根据等腰三角形“三线合一”的性质，可作顶角∠BAC 的平分线，来获取角的数量关系. 考点三 等腰（等边）三角形的性质与判定 证明：作∠BAC 的平分线 AE，交 BC 于点 E，如图， 则 ∵ AB = AC，∴ AE⊥BC. ∴∠2 +∠C = 90°. ∵ BD⊥AC，∴∠DBC +∠C = 90°. ∴∠2 =∠DBC. ∴∠BAC = 2∠DBC. A B C D ) ) 1 2 E 分析：由角平分线的性质易想到过点 P 向∠ABC 的两边作垂线段 PE、PF，构造角平分线模型. 例4 如图，∠1 =∠2，点 P 为 BN 上的一点，∠PCB + ∠BAP = 180°. 求证：PA = PC. B A C N ) ) 1 2 P E F 考点四 角平分线的性质与判定 证明：过点 P 作 PE⊥BA，PF⊥BC，垂足分别为 E，F. 又∵∠1 =∠2，∴ PE = PF，∠PEA =∠PFC = 90°. ∵∠PCB + ∠BAP = 180°，∠BAP +∠EAP = 180°， ∴∠EAP = ∠PCB. 在△APE 和△CPF 中， ∠PEA =∠PFC = 90°， ∠EAP =∠FCP， PE = PF， ∴△APE≌△CPF (AAS). ∴ AP = CP. B A C N ) ) 1 2 P E F 两个概念 概念1　轴对称图形 1. 下列四种化学仪器的示意图中，是轴对称图形的是(　　) A 　　 B　　 C　 　D 返回 C 概念2　轴对称 2.观察图①～④中的左右两个图形，它们是否成轴对称？如果是，请画出其对称轴. 【解】题图①②③中的左右两个图形成轴对称，题图④中的左右两个图形不成轴对称.题图①②③中成轴对称的两个图形的对称轴如图所示. 返回 六个性质 性质1　轴对称的性质 3.如图，△ABC和△ADE关于直线l对称，连 接BE，CD，CE，有下列结论： ①l垂直平分CE；②∠BAE＝∠DAC；③△BCE≌△DEC； ④直线BC，DE的交点一定在l上，其中正确的个数为　　. (第3题) 4 返回 性质2　线段垂直平分线的性质 4.如图，在△ABC中，∠BAC＝70°，∠C＝40°，分别以点 A和点C为圆心，大于AC的长为半径画弧，两弧相交于点 M，N，作直线MN交BC于点D，连接AD，则∠BAD的大小为　　　. (第4题) 30° 返回 性质3　角平分线的性质 5.［2026朔州期末］如图，AP为△ABC的角平分线，∠C＝90°，＝，BC＝6，D为AB上一动点，连接PD，则PD的 最小值为　　. (第5题) 【点拨】如图，过点P作PE⊥AB于点E，∵AP 为△ABC的角平分线，∠C＝90°，∴PC＝PE， ∴＝＝＝.∵＝＝，∴＝.设PC＝5k，则PB＝13k，∵PC＋PB＝BC＝6，∴5k＋13k＝6，解得k＝，∴PE＝PC＝.∵D为AB上一动点，∴当PD⊥AB时，PD有最小值，此时点D与点E重合，∴PD的最小值为. 返回 性质4　等腰三角形的性质 6.［2026西安期末］如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点E，F分别是边AB，AC上的动点，将△ABC沿EF折叠，使点A落在直角边BC上的D点处，如果折叠后△CDF与△BDE均为等腰三角形，那么∠B＝　　　 　. (第6题) 45°或30° 【点拨】连接AD，∵在△CDF中，∠ACB＝90°， 且△CDF是等腰三角形， ∴CF＝CD，∴∠CFD＝∠CDF＝45°，设∠DAE ＝x°，由对称性可知，AF＝FD，AE＝DE， ∴∠FDA＝∠CAD＝∠CFD＝22.5°，∠DEB＝2x°. ①如图①，当DE＝DB时，∠B＝∠DEB＝2x°， 由∠CDE＝∠DEB＋∠B，得45°＋22.5°＋x°＝4x°，解得x＝22.5.∴∠B＝2x°＝45°. ②如图②，当BD＝BE时，∠B＝(180－4x)°，∠CAD＝22.5°.由∠CDE＝∠DEB＋∠B得，45°＋22.5°＋x°＝2x°＋180°－4x°，解得x＝37.5，∴∠B＝(180－4x)°＝30°.③当DE＝BE时，则∠B＝(180－2x)°，由∠CDE＝∠DEB＋∠B得，45°＋22.5°＋x°＝2x°＋(180－2x)°，此方程无解.∴DE＝BE不成立.综上所述，∠B＝45°或30°. 返回 性质5　等边三角形的性质 7.如图，木工师傅从边长为90 cm的正三角形木板上锯出一个正六边形木板，那么正六边形木板的边长为　　　　. (第7题) 30 cm 返回 性质6　含30 °角的直角三角形的性质 8.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝ 60°，BC＝3 cm，CD＝BC，动点E以1 cm/s的速 度从A点出发，沿着A→B→A的方向运动.设E点的运动时间为t s(0＜t＜10)，连接DE，当△BDE是直角三角形时，t的值为　　　　. (第8题) 2或5或7 【点拨】∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝60°，∴∠A＝90°－∠ABC＝30°.∵BC＝3 cm，∴AB＝2BC＝6 cm. ∵CD＝BC，∴BD＝BC＝2 cm.∵点E以1 cm/s的速度从A点 出发，沿着A→B→A的方向运动，∴点E从A点运动到B点所需 的时间为＝6 s，则分以下两种情况： ①当0＜t≤6时，AE＝t cm，BE＝AB－AE＝(6－t) cm，当∠EDB＝90°时，如图①， ∵∠ABC＝60°，∴∠DEB＝90°－∠ABC＝30°，∴BE＝2BD，即6－t＝2×2，解得t＝2，符合题设； 当∠DEB＝90°时，如图②，∵∠ABC＝60°，∴∠EDB＝90°－∠ABC＝30°，∴BD＝2BE，∴2＝2(6－t)，解得t＝5，符合题设；②当6＜t＜10时，BE＝t－AB＝(t－6)cm， 当∠EDB＝90°时，如图③，∵∠ABC＝60°，∴∠DEB＝90°－∠ABC＝30°，∴BE＝2BD，∴t－6＝2×2，解得t＝10，不符合题设，舍去；当∠DEB＝90°时，如图④，∵∠ABC＝60°，∴∠EDB＝30°，∴BD＝2BE，即2＝2(t－6)，解得t＝7，符合题设.综上所述，t的值为2或5或7. 返回 四个判定 判定1　线段垂直平分线的判定 9.如图，AD为△ABC的角平分线，DE⊥AC于点E，DF⊥AB于点F，EF交AD于点M.求证：AD垂直平分EF. 【证明】∵AD为△ABC的角平分线，DE⊥AC，DF⊥AB， ∴∠FAD＝∠EAD，DE＝DF. ∴点D在线段EF的垂直平分线上. 返回 在△AFD和△AED中，∵∠AFD＝∠AED＝90°，∠FAD＝∠EAD，AD＝AD， ∴△AFD≌△AED(AAS).∴AF＝AE. ∴点A在线段EF的垂直平分线上. ∴AD垂直平分EF. 判定2　角平分线的判定 10.如图，在△ABC中，AB＝AC，BE⊥AC于点E，CD⊥AB于点D，BE，CD相交于点F，连接AF.求证：AF平分∠BAC. 【证明】∵BE⊥AC，CD⊥AB，∴∠AEB＝∠ADC＝90°. 在△AEB和△ADC中，∵ ∴△AEB≌△ADC(AAS).∴AE＝AD. 在Rt△AEF和Rt△ADF中，∵ ∴Rt△AEF≌Rt△ADF(HL).∴∠EAF＝∠DAF， ∴AF平分∠BAC. 返回 线段的垂 直平分线 轴 对 称 角平分线 等腰三角形 轴 对 称 图 形 线段 角 性 质 及 判 定 课堂小结 等腰三角形 等腰三角形的判定：等角对等边. 等边三角形的判定：三个角都相等的三角形是等边三角形；有一个角是 60° 的等腰三角形是等边三角形. 在直角三角形中，如果一个锐角等于 30° ，那么它所对的直角边等于斜边的一半. 课堂小结 $