广东惠州市光正实验学校2025-2026学年高一下学期期末复习数学试题1

**基本信息** 覆盖统计、立体几何、解三角形等核心模块，通过基础题与综合题梯度设计，考查数学抽象、空间观念及运算推理能力，适配高一下学期期末复习需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|平均数、斜二测画法、复数虚部|基础概念辨析，如第2题结合直观图考查空间观念| |多选题|3/18|概率事件关系、复数方程|选项分层，如第9题区分互斥与独立事件的推理能力| |填空题|3/15|随机数表抽样、楼高测量|情境化设计，第13题通过仰角测量体现数学应用| |解答题|5/77|四棱锥证明、频率分布直方图、解三角形综合|多模块融合，如第16题结合频率分布考查数据意识，第18题综合正余弦定理与面积运算|

2025-2026学年惠州光正高一下学期期末复习数学试题1 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。 1.样本数据，，，，的平均数为(    ) A. B. C. D. 2.一个水平放置的平面图形，用斜二测画法画出了它的直观图，如图所示，此直观图恰好是一个边长为的正方形，则原平面图形的面积为(    ) A. B. C. D. 3.已知中，角，，所对的边分别是，，，若，且，那么是(    ) A. 直角三角形 B. 等腰三角形 C. 等边三角形 D. 等腰直角三角形 4.设复数满足，则复数的虚部为(    ) A. B. C. D. 5.已知非零向量，满足，若，则与的夹角为(    ) A. B. C. D. 6.数据，，，，的方差为，则数据，，，，的方差为(    ) A. B. C. D. 7.已知向量，，且，则在方向上的投影向量的坐标为(    ) A. B. C. D. 8.正四面体中，，分别是和的中点，则异面直线和所成角的余弦值为(    ) A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.已知事件，，且，，则下列结论正确的是(    ) A. 如果，那么， B. 如果与互斥，那么， C. 如果与相互独立，那么， D. 如果与相互独立，那么， 10.关于的方程的复数解为，，则(    ) A. B. 与互为共轭复数 C. 若，则满足的复数在复平面内对应的点在第二象限 D. 若，则的最小值是 11.若的内角，，所对的边分别为，，，且满足，则下列结论正确的是(    ) A. 角一定为锐角 B. C. D. 的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.总体由编号为，，，，的个个体组成，利用下面的随机数表选取个个体，选取方法是从随机数表第行的第列和第列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第个个体的编号为__________． 13.为测量某大厦的高度，小张选取了大厦的一个最高点，点在大厦底部的射影为点，两个测量基点，与在同一水平面上，他测得，，在点处测得点的仰角为，在点处测得点的仰角为，则该大厦的高度           14.已知长方体的三条棱长分别为，，，则该长方体外接球的表面积为          结果用含的式子表示 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题分 四棱锥中，底面是正方形，面垂足为点，，点是的中点． 求证：平面； 求证：平面； 求四面体的体积． 16.本小题分 某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取份作为样本，将样本的成绩满分分，成绩均为不低于分的整数分成六段：得到如图所示的频率分布直方图．    求频率分布直方图中的值； 求样本成绩的上四分位数； 已知落在的平均成绩是，方差是，落在的平均成绩为，方差是，求两组成绩的总平均数和总方差． 17.本小题分 在矩形中，点是边上的中点，点在边上． 若点是上靠近的四等分点，设，求的值 若，，当时，求的长． 18.本小题分 已知，，分别为三个内角，，的对边，且． 求； 若，则的面积为，求的周长． 19.本小题分 如图，在三棱锥中，，底面，求证： 平面面； 若，是的中点，求与平面所成角的正弦值． 2025-2026学年惠州光正高一下学期期末复习数学试题1解析 1、 单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。 1.样本数据，，，，的平均数为(    ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】解：样本平均数为． 2.一个水平放置的平面图形，用斜二测画法画出了它的直观图，如图所示，此直观图恰好是一个边长为的正方形，则原平面图形的面积为(    ) A. B. C. D. 【答案】D  解：由题意正方形的边长为，它是水平放置的一个平面图形的直观图，所以，对应原图形平行四边形的高为：，所以原图形的面积为：． 3.已知中，角，，所对的边分别是，，，若，且，那么是(    ) A. 直角三角形 B. 等腰三角形 C. 等边三角形 D. 等腰直角三角形 【答案】D 【解析】解：由，得， 整理得，故C， 又，由正弦定理与余弦定理得，化简得， 所以为等腰直角三角形． 4.设复数满足，则复数的虚部为(    ) A. B. C. D. 【答案】B 【详解】由，得，所以复数的虚部为． 5.已知非零向量，满足，若，则与的夹角为(    ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】解：因为，且，所以， 所以，所以，又，所以． 6.数据，，，，的方差为，则数据，，，，的方差为(    ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】解：因为数据，，，，的方差为， 所以数据，，，，的方差为：． 7.已知向量，，且，则在方向上的投影向量的坐标为(    ) A. B. C. D. 【答案】C 【详解】因为向量，，所以，解得， 则，则， 所以在方向上的投影向量为． 8.正四面体中，，分别是和的中点，则异面直线和所成角的余弦值为(    ) A. B. C. D. 【答案】C  解：连接，取的中点，连接，， 因为为的中点，是的中点，所以， 所以或其补角为异面直线和所成角， 设正四面体的棱长为，则， 则， 所以， 所以在中，由余弦定理得 ， 所以异面直线和所成角的余弦值为， 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.已知事件，，且，，则下列结论正确的是(    ) A. 如果，那么， B. 如果与互斥，那么， C. 如果与相互独立，那么， D. 如果与相互独立，那么， 【答案】BD 解：因为，． 选项A：如果，那么，，故A错误； 选项B：如果与互斥，说明事件与不可能同时发生，那么，，故B正确； 选项C：如果与相互独立，说明事件的发生与否与事件的发生与否互不影响， 那么， ，故C错误； 选项D：如果与相互独立，说明事件的发生与否与事件的发生与否互不影响， 那么，，故D正确． 10.关于的方程的复数解为，，则(    ) A. B. 与互为共轭复数 C. 若，则满足的复数在复平面内对应的点在第二象限 D. 若，则的最小值是 【答案】BD 解：由，得，不妨取，， 对于、，故A错误；对于、与互为共轭复数，故B正确； 对于、，在复数在复平面内对应的点为，在第四象限，故C错误； 对于、，故D正确． 故选：． 11.若的内角，，所对的边分别为，，，且满足，则下列结论正确的是(    ) A. 角一定为锐角 B. C. D. 的最小值为 【答案】BC 【解析】解：对于，由可得， 在中，，代入整理可得：，则，角为钝角，故A错误；对于，由选项可知，利用正弦定理可得， 又， 代入上式整理可得， 即，显然，，两边同时除以， 可得，因，则成立，故B正确； 对于，由选项知，由余弦定理可得， 化简得：，即，故C正确； 对于，由选项，，为钝角，所以为锐角，即， 在中，， 当且仅当，即时等号成立， 此时取得最大值为，故D错误． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.总体由编号为，，，，的个个体组成，利用下面的随机数表选取个个体，选取方法是从随机数表第行的第列和第列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第个个体的编号为__________． 【答案】  解：从随机数表第行的第列和第列数字开始，由左到右依次选取两个数字中， 小于的编号依次为，，，，，，，，， 去除重复项，且属于总体的对应的数值为，，，，，，则第个个体的编号为． 13.为测量某大厦的高度，小张选取了大厦的一个最高点，点在大厦底部的射影为点，两个测量基点，与在同一水平面上，他测得，，在点处测得点的仰角为，在点处测得点的仰角为，则该大厦的高度           【答案】 【解析】解：设，因为在点处测得点的仰角为，所以，即．因为在点处测得点的仰角为，所以，即． 在中，由余弦定理可得，，即，解得，即． 14.已知长方体的三条棱长分别为，，，则该长方体外接球的表面积为          结果用含的式子表示 【答案】 【解析】【详解】由题意得，长方体的体对角线即为外接球直径，设外接球半径为，则，则外接球的表面积为． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题分 四棱锥中，底面是正方形，面垂足为点，，点是的中点． 求证：平面； 求证：平面； 求四面体的体积． 【答案】证明：连接，，记与的交点为，连接． 点，分别是，的中点， ． 又面，面， 面； 面， 面，， 底面是正方形， ， 又，，面， 面； ，且， ．  16.本小题分 某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取份作为样本，将样本的成绩满分分，成绩均为不低于分的整数分成六段：得到如图所示的频率分布直方图．    求频率分布直方图中的值； 求样本成绩的上四分位数； 已知落在的平均成绩是，方差是，落在的平均成绩为，方差是，求两组成绩的总平均数和总方差． 【答案】因为每组小矩形的面积之和为， 所以，则； 成绩落在内的频率为， 落在内的频率为， 设上四分位数为，由，得， 故上四分位数为； 成绩在的市民人数为， 成绩在的市民人数为， 故这两组成绩的总平均数为， 由样本方差计算总体方差公式可得总方差为 ． 17.本小题分 在矩形中，点是边上的中点，点在边上． 若点是上靠近的四等分点，设，求的值 若，，当时，求的长． 【答案】解：如图：由题意，， 因为是边的中点，点是上靠近的四等分点， 所以， 在矩形中，， 所以，，则； 设， 则，，，又， 所以， 解得，所以的长为  18.本小题分 已知，，分别为三个内角，，的对边，且． 求； 若，则的面积为，求的周长． 【答案】解：由正弦定理得， 其中， 故， 因为，所以，故， 即，所以， 因为，所以，故，解得； 由三角形面积公式得， 故， 由余弦定理得， 解得， 故，解得， 故，周长为． 19.本小题分 如图，在三棱锥中，，底面，求证： 平面面； 若，是的中点，求与平面所成角的正弦值． 【答案】解：证明：底面，底面，． ，． ，平面，平面， 又面， 所以平面面； 解：取中点，连接． ，， 由平面平面，平面平面，面， 平面， 连接，则就是与平面所成角． ，所以，， 所以， 所以，，， ， 与平面所成角的正弦值是． 1 学科网（北京）股份有限公司 $