2026年高考数学真题完全解读（全国一卷）

该高中数学高考复习资料覆盖函数与导数、解析几何与立体几何、数列与三角函数、概率与统计等核心模块，按知识内在逻辑构建体系，通过考点细目梳理、解题方法指导、真题深度解读等环节，帮助学生突破基础概念理解、综合应用及创新探究难点，体现复习教学的系统性和针对性。 资料以情境化命题分析和跨模块知识整合为特色，如结合宁夏一百零八塔情境讲解等差数列，通过直线与三圆位置关系培养数学思维，设置基础巩固、能力提升、压轴突破分层练习。运用数学眼光挖掘问题本质，用数学语言规范表达，保障复习效率，助力学生提升应考能力，为教师把控复习节奏提供清晰指导。

2026年全国新高考一卷数学真题完全解读 试卷总评·考情分析·复习策略·真题解读 试题分析 2026年新高考全国I卷数学试题延续19题结构（单选8道、多选3道、填空3道、解答5道），总分150分。试卷整体难度适中偏上，以基础性考查为主轴，兼顾综合性、应用性和创新性。单选题前5题侧重基础概念与基本运算，第6题函数最值与第7题等差数列应用适当提升思维层次；第8题空间点集随机变量期望具有较强的抽象性。多选题第9题复数性质为基础题，第10题空间二面角与第11题直线与三圆位置关系综合程度较高，体现多选部分给分机制对知识盲区的零容忍。填空题第12题双曲线离心率、第13题三角函数性质为基础题，第14题数列最值问题需要构造与转化思想，区分度明显。解答题第15题立体几何证明与距离计算、第16题解三角形属于中档题；第17题概率分布列结合投篮情境，考查建模能力；第18题椭圆综合与第19题函数集合综合作为压轴题，计算量与思维量并重，尤其是第19题打破传统函数导数模式，融入集合论思想，探究性特征突出。整卷对数学运算、逻辑推理、直观想象等核心素养覆盖全面，第7题以宁夏一百零八塔为情境体现传统文化育人导向。 试题亮点 1. 传统文化情境深度融合，凸显学科育人价值：第7题以宁夏青铜峡市一百零八塔为命题情境，将等差数列与历史文化建筑格局有机结合，要求学生在理解塔群排列规律的基础上运用等差数列前n项和与分组思想求解。这种以中华优秀传统文化为载体的命题方式，既考查了数学建模能力，又增强了文化认同感，体现数学学科的文化育人功能。 2. 知识交汇度显著提升，突出综合分析能力：第11题将直线与三个等圆的位置关系、弦长公式、距离公式及导数求最值熔于一炉；第19题以函数和集合为载体，打破函数与导数、集合论等模块壁垒，设置证明、存在性与单调性三问，层层递进。第10题空间几何中二面角与线面垂直的综合判断，同样需要跨知识点的灵活迁移。 3. 能力层级分明，强化思维品质考查：第8题空间点集随机变量期望问题，需要学生从抽象的64个空间点中提炼概率模型，利用对称性简化期望计算，对数学抽象素养要求极高；第14题数列最值问题需要构造三项块和，通过分类讨论与不等式放缩求得上界；第6题函数最值虽为单选题，但四种解法从特值验证到严格求导，为不同思维层次的学生提供了解题路径。 命题趋势 一、基础题送分到位但概念理解要求更深，拒绝机械刷题：2026年新高考I卷单选前5题、填空前两题仍保持较低难度，但如第3题将集合运算与三角函数特殊角值结合，表面考查交集，实则要求准确记忆并运算特殊角的三角函数值；第4题切线方程并非简单套用公式，而是需要先正确求导再代入点斜式。未来命题将继续以基础题为基本盘，但会通过反套路设计和知识小交汇检验学生是否真正理解概念本质，而非仅靠题型记忆得分。 二、解析几何与立体几何持续作为区分主战场：近三年新高考I卷均保持19题结构，解析几何与立体几何合计分值稳定在50分左右。2026年试卷中第10题二面角与空间位置关系、第11题直线与三圆位置关系、第12题双曲线离心率、第15题立体几何证明与距离、第18题椭圆综合，五道题共52分，占比超过三分之一。其中第11题和多选第10题的部分给分机制持续对知识盲区零容忍，预计这一结构将稳定延续。 三、概率统计创新性与抽象性显著增强：第1题中位数为基础统计概念，第8题则以空间点集创设高度抽象的概率情境，要求学生从64个点的坐标特征中提炼对称性求期望；第17题以投篮练习为情境，考查离散型随机变量的分布列与条件概率证明。随着新课标对数学建模素养的强调，概率统计模块的分值和考查深度稳中有升，抽象化与创新化成为新趋势。 四、压轴题探究性特征明显，函数与集合综合成为新方向：第19题以函数和集合为载体，设置求解析式、证明集合包含关系及单调性三问，第(2)(3)问需要学生自主构造辅助条件、利用反证法与条件递推。这种打破传统函数导数压轴模式、融入集合论与抽象代数思想的设计，体现了未来压轴题将继续淡化复杂计算、强化思维过程与探究能力考查的命题方向。 考点细目表 题号 题型 分值 具体考点 关键能力 1 单选 5 概率与统计→数据分析→中位数的计算 数据分析 2 单选 5 平面向量与复数→平面向量→平面向量基本定理 数学运算 3 单选 5 集合与常用逻辑用语→集合运算→交集运算与特殊角三角函数值 数学运算 4 单选 5 函数与导数→导数的几何意义→求曲线的切线方程 数学运算 5 单选 5 解析几何→抛物线→抛物线的标准方程与焦点坐标 数学运算 6 单选 5 函数与导数→函数最值→利用导数研究函数最值 逻辑推理、数学运算 7 单选 5 数列→等差数列→等差数列在实际情境中的应用 数学建模、数学运算 8 单选 5 概率与统计→离散型随机变量→数学期望的计算 数学抽象、数学运算 9 多选 6 平面向量与复数→复数→复数的模、共轭复数与运算 数学运算 10 多选 6 立体几何→空间位置关系→二面角与线面垂直的综合 直观想象、逻辑推理 11 多选 6 解析几何→圆→直线与圆的位置关系与弦长问题 数学运算、逻辑推理 12 填空 5 解析几何→双曲线→双曲线的标准方程与离心率 数学运算 13 填空 5 三角函数与解三角形→三角函数性质→三角函数的周期性、奇偶性与单调性 数学运算、逻辑推理 14 填空 5 数列→等比数列→等比数列性质与数列最值问题 逻辑推理、数学运算 15 解答 13 立体几何→空间向量→线面平行的证明与点到平面的距离 直观想象、数学运算 16 解答 15 三角函数与解三角形→解三角形→余弦定理与解三角形综合应用 数学运算 17 解答 15 概率与统计→离散型随机变量→分布列与条件概率 数学建模、数据分析 18 解答 17 解析几何→椭圆→椭圆的标准方程与几何性质综合 数学运算、逻辑推理 19 解答 17 函数与导数→函数性质→函数单调性、奇偶性与集合论综合 数学抽象、逻辑推理 考点模块占比分析 基础知识模块（约11%，16分）：重点考查集合运算、平面向量基本定理与复数的基本性质，对应第2、3、9题。其中第3题将集合与三角函数特殊角值结合，体现基础知识的交汇考查，要求学生既准确掌握集合运算规则，又熟练记忆特殊角的三角函数值。 函数与导数模块（约18%，27分）：重点考查导数的几何意义、函数最值及函数性质综合，对应第4、6、19题。第4题直接考查导数的几何意义求切线方程；第6题通过分类讨论研究含参函数最值；第19题作为压轴题，将函数与集合论深度融合，体现极强的抽象性与探究性。 平面解析几何与立体几何模块（约35%，52分）：重点考查抛物线、双曲线、椭圆、直线与圆的位置关系及空间几何，对应第5、10、11、12、15、18题。本模块分值占比最高，其中第10题二面角与空间位置关系、第11题直线与三圆综合、第18题椭圆综合均为高区分度题目。 数列与三角函数模块（约20%，30分）：重点考查等差数列、等比数列及三角函数性质、解三角形，对应第7、13、14、16题。第7题以一百零八塔传统文化情境创设等差数列问题，体现文化育人导向；第14题数列最值需要构造三项块和利用不等式放缩求解。 概率与统计模块（约17%，25分）：重点考查中位数、数学期望、离散型随机变量分布列，对应第1、8、17题。第1题为基础统计概念；第8题以空间点集创设抽象概率情境，创新性显著；第17题以投篮练习为情境，考查分布列与条件概率的综合应用。 核心复习策略 1. 夯实基础，重视概念本质理解 （1）回归教材，深入理解集合、函数、向量、复数等核心概念的本质定义，建立清晰的知识网络。如第3题需准确记忆特殊角的三角函数值，第4题需理解导数的几何意义而非机械套用公式。 （2）通过变式训练检验概念理解的深度，避免仅靠题型记忆得分。关注不同模块知识点的内在联系，提高综合应用能力。 2. 强化解析几何与立体几何综合训练 （1）系统掌握直线与圆、圆锥曲线的定义与性质，熟练运用弦长公式、距离公式、韦达定理等核心工具。如第11题需将弦长关系转化为圆心到直线的距离关系。 （2）加强空间想象能力的培养，通过作图、模型辅助理解二面角、线面关系等空间问题。第10题和第15题均需要在空间中准确判断位置关系。 3. 提升概率统计与数列的创新解题能力 （1）关注概率统计中的新情境、新定义问题，培养从抽象情境中提取数学模型的能力。如第8题需从空间64个点中抽象出概率模型，利用对称性简化期望计算。 （2）数列复习中注重构造法、转化思想的训练，掌握等差等比数列的性质及与其他知识点的交汇。如第14题需构造三项块和，通过分类讨论与不等式放缩求最值。 避坑提醒（考试最易踩的雷） 忽视定义域与特殊情况：如第6题求函数最值时需先确定定义域，再对参数进行分类讨论，避免遗漏导致错选。 立体几何作图不规范导致逻辑混乱：第10、15题空间关系复杂，作图不清晰会影响后续推理，建议养成先作图再分析的习惯。 解析几何计算失误：第11、18题涉及大量代数运算，需养成分步检验的习惯，尤其在联立方程和利用韦达定理时注意符号。 ×表达不规范：步骤、依据、单位或答语缺失都会造成失分。 一、单选题 1．样本数据的中位数为（     ） A．5 B．6 C．8 D．9 命题透视 ►核心考点：中位数的概念与计算 ►命题分析： （1）情境创设：纯数学运算情境，直接给出样本数据，要求学生运用中位数的定义进行求解。 （2）问题设计：直接设问，考查中位数的定义与排序运算，属于基础概念题。四个选项设置常见的混淆值，检验学生是否理解中位数与平均数、众数的区别。 （3）考查目标：考查数据分析和数学运算素养，侧重基础概念的准确理解和基本计算能力。 答案与解析 【答案】B 【分析】结合中位数定义可得. 【详解】将已知数据从小到大排序为，则中位数为. 知识总结 ①核心概念：中位数是将一组数据按大小顺序排列后位于中间位置的数；当数据个数为偶数时，中位数为中间两个数的平均数。②解题要点：先排序再找中间位置，注意区分中位数、平均数与众数。③拓展关联：中位数反映数据的集中趋势，相比平均数不受极端值影响，在实际统计中常用于收入、房价等数据的描述。 2．已知平面向量，不共线，且，则（     ） A．， B．， C．， D．， 命题透视 ►核心考点：平面向量基本定理 ►命题分析： （1）情境创设：纯数学情境，以平面向量的线性表示为背景，考查向量基本定理的应用。 （2）问题设计：给出向量不共线及线性等式，要求确定系数，考查向量基本定理中系数唯一性。选项设置对称的系数组合，检验学生是否掌握向量分解的唯一性原理。 （3）考查目标：考查数学运算和逻辑推理素养，侧重平面向量基本定理的理解与代数运算能力。 答案与解析 【答案】A 【分析】由平面向量基本定理可得. 【详解】由题意可知平面向量不共线，且， 则. 知识总结 ①核心概念：平面向量基本定理指出，平面内任意向量都可由两个不共线向量唯一线性表示，即对于不共线的向量a,b，任意向量c存在唯一实数对(x,y)使c=xa+yb。②解题要点：将等式两边按同一组基底展开，利用系数对应相等列方程求解。③拓展关联：平面向量基本定理是空间向量基本定理的特例，也是解析几何中坐标法的基础。 3．已知集合，，则（     ） A． B． C． D． 命题透视 ►核心考点：集合的交集运算与特殊角的三角函数值 ►命题分析： （1）情境创设：纯数学情境，将集合运算与三角函数特殊角值相结合，考查两个知识点的综合应用。 （2）问题设计：以三角函数值为元素构造集合，要求求交集。题目将两个基础知识点交汇，表面简单但需准确计算多个特殊角的三角函数值。 （3）考查目标：考查数学运算素养，侧重特殊角三角函数值的准确记忆与集合交集运算的综合应用。 答案与解析 【答案】C 【详解】因为，，， 即集合，且集合，所以. 知识总结 ①核心概念：集合的交集是由同时属于两个集合的所有元素组成的集合；特殊角的三角函数值包括sin、cos、tan在0、pi/6、pi/4、pi/3、pi/2等角处的值。②解题要点：先分别求出两个集合的元素，再取公共元素。注意三角函数的诱导公式运用。③拓展关联：集合运算常与不等式、函数定义域、值域等结合考查，是高考基础题的重要载体。 4．曲线在点处的切线方程为（     ） A． B． C． D． 命题透视 ►核心考点：导数的几何意义——求曲线的切线方程 ►命题分析： （1）情境创设：纯数学情境，以对数函数与一次函数的复合函数为背景，考查导数的几何意义。 （2）问题设计：给出曲线方程和切点坐标，要求求切线方程。属于导数几何意义的直接应用，但涉及对数函数求导，需要准确运用求导法则。 （3）考查目标：考查数学运算素养，侧重导数计算和点斜式方程的熟练运用。 答案与解析 【答案】D 【详解】因为，则，当时，， 所以曲线在点处的切线方程为， 即. 知识总结 ①核心概念：函数在某点处的导数等于曲线在该点处切线的斜率；切线方程可用点斜式y-y0=f'(x0)(x-x0)表示。②解题要点：先求导得斜率，再代入点和斜率写点斜式，最后化为一般式或斜截式。③拓展关联：导数的几何意义还可拓展到求法线方程、两条曲线的公切线问题、切线不等式证明等。 5．已知抛物线（）和（）均经过点，则的焦点与的焦点之间的距离为（     ） A．12 B． C．6 D． 命题透视 ►核心考点：抛物线的标准方程与焦点坐标 ►命题分析： （1）情境创设：纯数学情境，以两条不同类型的抛物线为背景，考查抛物线标准方程与焦点坐标的综合应用。 （2）问题设计：给出两条抛物线均经过同一点，要求求两焦点之间的距离。需要先确定参数再求焦点坐标，最后计算距离，步骤清晰但需细心运算。 （3）考查目标：考查数学运算素养，侧重抛物线标准方程的求解和两点间距离公式的综合应用。 答案与解析 【答案】D 【分析】将已知点代入抛物线方程求解参数，再结合抛物线焦点坐标公式得到两个焦点坐标，最后代入距离公式计算即可. 【详解】∵ 抛物线经过点， ∴ 将代入的方程得，即，解得. ∴ 的焦点坐标为，即. ∵ 抛物线经过点， ∴ 将代入的方程得，即，解得. ∴ 的焦点坐标为，即. 根据两点间距离公式，与之间的距离为： . 知识总结 ①核心概念：抛物线y^2=2px的焦点坐标为(p/2,0)，抛物线x^2=2py的焦点坐标为(0,p/2)。②解题要点：将已知点代入抛物线方程求参数p，再写出焦点坐标，最后用距离公式计算。③拓展关联：抛物线的定义是平面内到定点（焦点）与定直线（准线）距离相等的点的轨迹，此定义在解决焦点弦问题时非常有效。 6．已知函数的最大值为1，则（     ） A． B．1 C． D．2 命题透视 ►核心考点：利用导数研究含参函数的最值 ►命题分析： （1）情境创设：纯数学情境，以对数型分式函数为载体，考查含参函数最值的求解方法。 （2）问题设计：已知函数最大值为1，求参数值。题目提供多种解法路径，从特值验证到严格求导，体现分层设问思想。选项设置引导学生从简单方法入手。 （3）考查目标：考查逻辑推理和数学运算素养，侧重分类讨论思想、导数应用和函数最值分析能力。 答案与解析 【答案】B 【详解】法1：（1）当时，由，解得， 故函数定义域为. ①当时，， 当，则，故不存在最大值，不合题意； ②当时，此时，， 故最大值不为，不合题意； ③当时，， 当，则，故不存在最大值，不合题意； （2）当时，则，则函数定义域为. 且由最大值为可知，， 即对任意恒成立，且等号能取到. 设，则， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 故，当且仅当时，， 由对任意恒成立，可知， 又当时，恒有，取不到等号，所以有， 故选：B. 法2：， 由选项知，则定义域为， 故最大值必在极值点处取到，不妨设此极值点为， 由， 则由，可得①， 且，即②， 联立①②解得. 验证：当时，， 则， 设，则， 当时，，则在上单调递增； 当时，，则在上单调递减； ，且， 且当，；当，； 作出函数的大致图象， 当时，，在上单调递增； 当时，，在上单调递减； 则，满足题意，故. 法3：由选项知，则定义域为， 由，解得. 同法2验证可得，故满足题意，由选项唯一可得.. 法4：由选项知，则定义域为， 由，解得. 验证：当时，由不等式可得， 故，当且仅当时等号成立， 故满足题意，由选项唯一可得. 知识总结 ①核心概念：函数最值可通过求导找极值点，再结合端点值和定义域确定；含参函数需对参数分类讨论。②解题要点：先确定定义域，再求导找临界点，分析单调性，最后比较极值和端点值确定最值。③拓展关联：函数最值问题常与不等式恒成立、存在性问题结合，是高考压轴题的重要考查方向。 7．一百零八塔位于宁夏回族自治区青铜峡市，以其独特的建筑格局和深远的历史文化闻名遐迩．该塔群共有108座塔，依山势自上而下排成12行，将第行中塔的座数记为，其中，，，且，，…，是一个首项为7，公差为2的等差数列．将，，…，分为6组，每组2个数，使得每组的2个数之和可构成一个项数为6且公差为的等差数列，则（     ） A．2 B．4 C．6 D．8 命题透视 ►核心考点：等差数列在实际情境中的应用 ►命题分析： （1）情境创设：以宁夏青铜峡市一百零八塔为真实情境，将等差数列与历史文化建筑格局相结合。该塔群共108座塔，依山势自上而下排成12行，各行的塔数构成等差数列。 （2）问题设计：将108座塔按行分组，每行塔数构成等差数列，再将各组之和构成新的等差数列，要求求新数列的公差。情境信息丰富，需要学生从中提取数学模型。 （3）考查目标：考查数学建模和数学运算素养，侧重从真实情境中提取数学模型、运用等差数列性质解决实际问题的能力。 答案与解析 【答案】B 【分析】由条件求出数列的前项的和，设新数列为，设其公差为，由条件可得，结合选项判断即可. 【详解】由已知，，，，， 所以数列的前项的和为， 设新数列为，， 由已知数列为等差数列，设其公差为，， 又的前项都为奇数，所有项都为偶数， 由已知为正偶数，为正偶数， 则，故， 若，则，矛盾， 若，则，矛盾， 若，则，矛盾， 若，则，此时可取，，， ，，，满足要求； 知识总结 ①核心概念：等差数列前n项和公式为Sn=n(a1+an)/2=na1+n(n-1)d/2；若将等差数列按固定项数分组，各组之和可能构成新的等差数列。②解题要点：先根据总项数和首项、公差求出原数列，再按要求分组，利用新数列的等差性质列方程求解。③拓展关联：等差数列与等比数列是数列的基础模型，在实际问题中常用于描述均匀增长或等距分布的现象。 8．设为空间中64个点构成的集合，点，记样本空间，从中随机取一个点，定义随机变量如下：对中的每个点，令，则的数学期望值为（     ） A． B． C．0 D． 命题透视 ►核心考点：离散型随机变量的数学期望 ►命题分析： （1）情境创设：以空间中64个点构成的集合为抽象情境，定义随机变量为点到三个坐标平面的距离之和，考查数学期望的计算。 （2）问题设计：创设高度抽象的概率模型，要求计算随机变量的数学期望。题目提供三种解法，分别对应直接计算、对称性分析和坐标和总和法，体现多路径解题思想。 （3）考查目标：考查数学抽象和数学运算素养，侧重从抽象情境中建立概率模型、利用对称性简化计算的能力。 答案与解析 【答案】A 【分析】由题意可知.解法一：根据古典概型求相应的概率，进而可得期望；解法二：可得，，根据对称性运算求解；解法三：根据点的特征结合古典概型运算求解. 【详解】由题意可知：，且随机变量的取值为，，，，，，0，1，2，3，4，5，6. 解法一：依题意，可得， ， ，， ，， 所以； 解法二：根据对称性可知：，，，，， 又，， 所以； 解法三：因为，， 对于任意一点，均存在与之对应，可知这两点的坐标和为0， 因为，样本空间， 可知样本空间中存在唯一点与点对应， 所以中所有点的坐标和的总和为， 故. 知识总结 ①核心概念：离散型随机变量的数学期望E(X)=sum(xi*Pi)，反映随机变量取值的平均水平。②解题要点：解法一直接列举所有取值及概率；解法二利用对称性发现E(X)=E(Y)=E(Z)；解法三利用所有点坐标和为0的性质。③拓展关联：数学期望是概率统计的核心概念，在风险评估、决策分析、机器学习等领域有广泛应用。 二、多选题 9．设，则（     ） A． B． C． D． 命题透视 ►核心考点：复数的基本运算与性质 ►命题分析： （1）情境创设：纯数学情境，以复数的代数形式为背景，考查复数的共轭、模、乘除运算等基本性质。 （2）问题设计：给出复数z的具体值，要求判断四个关于复数性质的命题。选项涵盖共轭复数、模、乘方、除法运算，全面考查复数的基础知识。 （3）考查目标：考查数学运算素养，侧重复数基本运算的准确性和对复数性质的全面理解。 答案与解析 【答案】ACD 【详解】对于A选项，复数的共轭复数，因此，A选项正确. 对于B选项，复数的模，因此，B选项错误. 对于C选项，∵ ， ∴ ，该选项正确. 对于D选项， ∵ 分子，分母， ∴ ，是实数，故，该选项正确. 知识总结 ①核心概念：复数z=a+bi的共轭复数为a-bi，模为sqrt(a^2+b^2)；复数的乘除运算可转化为代数运算。②解题要点：先确定复数的实部和虚部，再逐项验证各选项。注意i^2=-1的运算规则。③拓展关联：复数与平面向量一一对应，复数的模对应向量的模，复数的乘法对应旋转和伸缩变换。 10．在空间中，、为两个定点，动点到直线的距离为2，动点到直线的距离为1．若二面角为，则（     ） A． B． C．当时，平面 D．当平面时， 命题透视 ►核心考点：二面角与空间位置关系的综合判断 ►命题分析： （1）情境创设：纯数学情境，以空间中两条异面直线和动点轨迹为背景，考查二面角、线面垂直、线面平行等空间位置关系的综合判断。 （2）问题设计：设置动点到两条直线的距离条件，结合二面角的大小，判断四个关于空间位置关系的命题。选项涉及距离、线面垂直、平面重合等，需要较强的空间想象能力。 （3）考查目标：考查直观想象和逻辑推理素养，侧重空间图形的分析、二面角的理解和空间位置关系的综合判断能力。 答案与解析 【答案】BC 【分析】做出满足条件的图，过点作，为垂足，过点作，为垂足，过点作，由条件可得，解三角形可得，由此判断B，当点与点的距离无限大时，可得趋向于，排除A，先证明平面，结合，证明 重合，由此证明平面，由平面推出点与点重合，点与点重合，判断D. 【详解】不失一般性作图如下， 过点作，为垂足，过点作，为垂足， 过点作，，连接， 则，因为二面角为， 所以，由已知， 所以，所以， 故，，B正确； 当点与点的距离无限大时，，无限大，无限靠近， 此时趋向于，A错误； 因为，，平面， 所以平面，又平面，所以， 若，不重合，结合，平面， 可得平面，平面， 所以，矛盾，所以重合， 因为，，，平面， 所以平面， 故平面，C正确； 因为平面，若平面， 则平面与平面重合，此时点与点重合，点与点重合， 故与的夹角为，D错误， 知识总结 ①核心概念：二面角是两个半平面所成的角；线面垂直的判定定理要求直线垂直于平面内两条相交直线；点到直线的距离是垂线段的长度。②解题要点：通过作辅助线构造二面角的平面角，利用解三角形判断距离关系，结合线面垂直的判定与性质进行推理。③拓展关联：空间向量法是解决立体几何问题的有效工具，可将几何关系转化为代数运算。 11．已知圆，圆，圆，直线与，，均有两个交点．记被，，截得的弦长分别为、、，则（     ） A．可以取任意实数 B．满足的直线共有条 C．满足的直线多于条 D．当时，的最大值为 命题透视 ►核心考点：直线与圆的位置关系与弦长问题 ►命题分析： （1）情境创设：纯数学情境，以三个等圆和一条公共直线为背景，考查直线与圆的位置关系、弦长公式及最值问题。 （2）问题设计：三个等圆的圆心位置确定，直线与三圆均相交，要求判断弦长相关的四个命题。题目将弦长公式、距离公式、导数求最值等多维知识熔于一炉，计算量较大。 （3）考查目标：考查数学运算和逻辑推理素养，侧重弦长公式的灵活运用、代数运算能力和最值问题的求解方法。 答案与解析 【答案】BCD 【分析】已知三个圆均为半径的等圆，圆心分别为、、，利用弦长公式（为直线到对应圆心的距离，且以保证直线与圆有两个交点），逐个分析选项即可. 【详解】记直线到的距离分别为，则，，. ∵ 直线与三个圆均有两个交点， ∴ ，，，对应弦长为. A：∵ 解，得， 解，得， 不妨取， ∵， ∴，记， 解，得，记， 当，即时，， 此时不存在这样的直线与三个圆都相交. ∴ 不能取任意实数，A错误. B：∵ ， ∴ . 由得，平方得，即或. ①当时，直线为，由得，解得， 此时，符合条件，对应直线条. ②当时，直线为，由得，解得， 此时，符合条件，对应直线条. 综上，共条直线满足条件，B正确. C：令， ∴ ，， 令，则， ∴ . 令，即， 平方整理可得，解得或，即或， 经验证，此时均小于，满足题目要求，此时已有条直线，多于条，C正确. D：当时，，， ∴ ，， 令，则， ∴ . 设，求导得， 令得，此时取最大值， ∴ 的最大值为，D正确.    【点睛】方法点睛：本题考查直线与圆的位置关系，核心是利用弦长公式将弦长关系转化为圆心到直线的距离关系，最值问题可通过换元结合导数求解，多选题可逐个验证选项，结合特殊情形快速判断正误. 知识总结 ①核心概念：直线被圆截得的弦长公式为l=2*sqrt(r^2-d^2)，其中r为圆半径，d为圆心到直线的距离；点到直线的距离公式为d=|Ax0+By0+C|/sqrt(A^2+B^2)。②解题要点：先将弦长关系转化为圆心到直线的距离关系，再分情况讨论直线的方程形式，利用代数运算和导数求最值。③拓展关联：直线与圆的位置关系还可拓展到圆系方程、切线长问题、公共弦问题等。 三、填空题 12．双曲线的离心率为__________． 命题透视 ►核心考点：双曲线的标准方程与离心率 ►命题分析： （1）情境创设：纯数学情境，以双曲线方程为背景，考查双曲线标准方程的化简和离心率的计算。 （2）问题设计：给出双曲线的一般方程，要求求离心率。需要先化为标准形式，确定a和b，再利用c^2=a^2+b^2求c，最后计算e=c/a。 （3）考查目标：考查数学运算素养，侧重双曲线标准方程的识别和离心率公式的准确运用。 答案与解析 【答案】 【分析】先将给定双曲线方程化为标准形式，确定、，再利用双曲线中的关系求出，最后根据离心率定义计算结果. 【详解】将双曲线化为标准方程，得，则， 因此，则离心率为. 知识总结 ①核心概念：双曲线x^2/a^2-y^2/b^2=1的离心率e=c/a，其中c^2=a^2+b^2，e>1；离心率反映双曲线的开口程度，e越大开口越宽。②解题要点：先将给定方程化为标准形式，确定a^2和b^2，再求c，最后计算e。③拓展关联：离心率是圆锥曲线的核心参数，椭圆0<e<1，抛物线e=1，双曲线e>1，三者可通过离心率统一描述。 13．已知（，）是偶函数，在区间单调递增．则__________，__________． 命题透视 ►核心考点：三角函数的周期性、奇偶性与单调性 ►命题分析： （1）情境创设：纯数学情境，以正弦型函数的复合函数为载体，考查三角函数的周期、奇偶性和单调性。 （2）问题设计：已知函数为偶函数且在指定区间单调递增，要求确定参数值。需要综合运用周期性、奇偶性和单调性三个性质，通过分类讨论缩小参数范围。 （3）考查目标：考查数学运算和逻辑推理素养，侧重三角函数性质的综合运用和分类讨论思想。 答案与解析 【答案】 【分析】根据单调性和周期性可得.解法一：根据偶函数可得，并代入结合单调性检验即可；解法二：根据题意可得，即可得，根据导数与单调性的关系分析求解；解法三：分析可知在处取到极小值，可得，进而可得结果. 【详解】设函数的最小正周期为，由题意可知， 因为函数在内单调递增，则，即， 可得，解得， 且，，则， 解法一：因为函数为偶函数， 则，，且， 则，， 若，则， 即或，不符合题意， 若，则， 即或，符合题意； 且或； 综上所述：，. 解法二：因为， 若函数为偶函数，则，即， 且，则， 若，则，， 即或在内恒成立， 可知函数在内单调递减，不符合题意， 若，则，， 即或在内恒成立， 可知函数在内单调递增，符合题意， 且或； 综上所述：，. 解法三：因为函数为偶函数，且函数在内单调递增， 可知在处取到极小值，则，，且， 则，，则， 即或，符合题意； 且或. 知识总结 ①核心概念：正弦型函数y=Asin(omega*x+phi)的周期T=2*pi/|omega|；偶函数满足f(-x)=f(x)；单调递增区间需通过导数或复合函数单调性判断。②解题要点：先由单调性确定周期范围，再由偶函数确定相位，最后结合单调区间验证。③拓展关联：三角函数的性质是高考重点，常与解三角形、向量、导数等知识点综合考查。 14．设实数满足：存在数列，使得对于任意，均有，且中有某连续9项，，，是公比为的等比数列．则的最大值为__________． 命题透视 ►核心考点：等比数列性质与数列最值问题 ►命题分析： （1）情境创设：纯数学情境，以递推数列和等比数列片段为背景，考查数列求和、等比数列性质及最值问题。 （2）问题设计：给定递推关系和等比数列片段的条件，要求求实数的最大值。需要将连续9项按起始位置分类讨论，利用三项块和相等的性质建立方程，再通过不等式放缩求上界。 （3）考查目标：考查逻辑推理和数学运算素养，侧重构造法、分类讨论和不等式放缩等数学思想方法。 答案与解析 【答案】 【分析】由前项和公式推出每连续三项的和. 将连续9项按起始位置模3分类，每类中利用三项块和等于得到关于公比的比例关系，通过相邻块和之比解得的上界，即可取得最大值. 【详解】令，由题意得， 因此每个三项块的和为. 设这9项为，记. 由于，且完整三项块和均为正， 下面按除以3的余数讨论. 若，这9项正好包含三个完整三项块， 得，，， 于是且，矛盾，故这种起点不存在. 若，其中两个完整三项块为第块，第块， 得，，所以. 若，其中两个完整三项块为第块，第块， 得，，所以. 综上，所以，即的最大值为. 知识总结 ①核心概念：等比数列中任意连续三项满足等比中项性质；若an+1/an=q（常数），则数列为等比数列。②解题要点：先由递推关系发现每连续三项的和为常数，再将9项按模3分类，利用等比数列性质建立方程，最后通过不等式求最值。③拓展关联：数列最值问题常与函数、不等式结合，构造法和放缩法是解决此类问题的关键技巧。 四、解答题 15．如图，在直三棱柱中，，，，分别为，的中点． (1)证明：平面； (2)设，直线与平面所成的角为，求直线到平面的距离． 命题透视 ►核心考点：线面平行的证明与点到平面的距离 ►命题分析： （1）情境创设：以直三棱柱为几何体背景，考查空间几何中的线面平行证明和点到平面的距离计算。 （2）问题设计：第(1)问证明线面平行，通过中位线定理找到平行线即可；第(2)求点到平面的距离，可通过空间向量法（求法向量）或几何法（等体积法）求解。题目提供坐标系建系提示，降低几何法门槛。 （3）考查目标：考查直观想象和数学运算素养，侧重线面平行的判定定理和空间距离的计算方法。 答案与解析 【答案】(1)由题意证明如下： 如图，作出符合题意的图形，连接， 在中，，分别为，中点，∴， ∵平面，平面， ∴平面. (2)距离为1. 【分析】（1）通过证明，即可得出结论； （2）方法一：设出，建立空间直角坐标系并表达出各点的坐标，得出向量与面的一个法向量的表达式，根据直线与平面所成的角为求出参数，借助几何关系即可求出到面的距离. 方法二：利用直线与平面所成的角为，求出，借助几何关系即可求出到面的距离. 【详解】（1）略 （2）法一：由题意及（1）得， 在直三棱柱中，，设， 四边形与四边形是矩形， ∴，，， 建立空间直角坐标系，如下图所示， 得到，，，，， ∴，面的一个法向量为， ∵直线与平面所成的角为， 设直线与平面所成的角为 ∴ 解得，∴，，，，， ∵面，∴由几何知识得，到面的距离为. 法二：由题意及（1）得， 在直三棱柱中，，， 四边形与四边形是矩形， ∴，，， ∵，平面，平面，平面， ∴平面，， ∴由几何知识得，即为直线与平面所成的角， 直线与平面所成的角为， 在中，，分别为，中点，， ∴直线与平面所成的角为，即， 在Rt中，，，， ∴， 在Rt中，，， 为等腰直角三角形，过点作， 则点为中点，，， 由几何知识得，到面的距离即为. 知识总结 ①核心概念：线面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行；点到平面的距离可转化为三棱锥的高，利用等体积法V=(1/3)*S*h求解。②解题要点：证明线面平行时找中位线或平行四边形；求距离时优先建立空间直角坐标系，用法向量法计算。③拓展关联：空间距离还包括线面距离、面面距离，均可转化为点到平面的距离；等体积法是立体几何中求高的常用技巧。 16．已知在中，，，． (1)求； (2)设，两点满足：在的延长线上，，．若，求． 命题透视 ►核心考点：余弦定理与解三角形的综合应用 ►命题分析： （1）情境创设：以三角形为背景，考查解三角形中的边角关系、余弦定理和向量垂直条件的综合应用。 （2）问题设计：第(1)问已知两边及夹角，用余弦定理求第三边，再用余弦定理求角；第(2)问引入外部点，通过平行关系和垂直条件建立坐标系，利用向量坐标运算求解。 （3）考查目标：考查数学运算素养，侧重余弦定理的熟练运用、坐标法解几何问题的能力。 答案与解析 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由已知两边及夹角，先用余弦定理求第三边，再用余弦定理求； （2）建立坐标系，设出点坐标，由平行关系得点的坐标，利用垂直条件求参数，由长度解出，再计算. 【详解】（1）在中，，，. 由余弦定理可知， 故. 再由余弦定理得. （2）以为原点，为轴正方向建立平面直角坐标系如图： 则，，由，得. 在延长线上，设，则，，， 设，则. 由，得，故. 于是. 已知，则，则. 代入得，而， 故. 知识总结 ①核心概念：余弦定理a^2=b^2+c^2-2bc*cosA；正弦定理a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R。②解题要点：已知两边及夹角时优先用余弦定理求第三边；涉及平行和垂直条件时，建立坐标系将几何关系转化为代数运算更简便。③拓展关联：解三角形常与三角函数、向量、解析几何结合，是高考解答题的重要考点。 17．设整数．某同学用一个球进行投篮练习，至多投篮次，当且仅当投中1次时或次均未投中时，停止练习．设该同学每次投中的概率为，各次投中与否相互独立．记为停止练习时该同学的投篮次数． (1)当，时，求的分布列； (2)设，均为自然数． （i）当时，求； （ii）当时，证明：． 命题透视 ►核心考点：离散型随机变量的分布列与条件概率 ►命题分析： （1）情境创设：以投篮练习为实际情境，设置停止规则，考查离散型随机变量的分布列、数学期望和条件概率。 （2）问题设计：第(1)问给定具体参数，求分布列；第(2)问分两部分，(i)求特定条件下的概率，(ii)证明不等式。题目将概率计算与条件概率、事件包含关系结合，第(ii)问需要利用(i)的结论和条件概率公式进行证明。 （3）考查目标：考查数学建模和数据分析素养，侧重从实际情境中抽象概率模型、分布列的计算和条件概率推理能力。 答案与解析 【答案】(1)的分布列如下图所示： 1 2 3 4 (2)（i） （ii）由题意及（2）（i）证明如下： 即. 【分析】（1）求出的可能取值，计算出不同取值下的概率，即可得出分布列. (2)（i）等价于前次投篮全部未中，利用各次投篮的独立性，可求出. （ii）利用条件概率公式，结合 (i) 的结论与事件的包含关系即可证明结论. 【详解】（1）由题意， 整数，某同学进行投篮练习，至多投篮次， 当且仅当投中1次时或次均未投中时，停止练习， ∴的可能取值为1，2，3，4， 当时，表示第一次就投进球，， 当时，表示第2次投进球，第1次没有投进，， 当时，表示第3次投进球，前两次没有投进，， 当时，表示在第次停止，此事件等价于前次投篮均未投中，， 作出的分布列如下图所示： 1 2 3 4 （2）（i）由题意及（1）得， 整数，某同学进行投篮练习，至多投篮次， 当且仅当投中1次时或次均未投中时，停止练习， 当时，表示前次均未投中， ∴. （ii）略. 知识总结 ①核心概念：离散型随机变量的分布列列出所有可能取值及对应概率；条件概率P(A|B)=P(AB)/P(B)；事件的包含关系指若A发生则B一定发生。②解题要点：先明确随机变量的所有可能取值，再逐个计算概率，注意停止规则的理解；证明概率不等式时善用条件概率公式和事件包含关系。③拓展关联：概率问题中的停止规则、递推关系是竞赛和高考压轴题的常见模型，马尔可夫链是其进阶形式。 18．已知椭圆的左焦点为，离心率为． (1)求的方程； (2)设为坐标原点，过且斜率大于的动直线与交于，两点，其中在第三象限，直线与的另一个交点为． （i）若的面积是的面积的倍，求的方程； （ii）求的最小值． 命题透视 ►核心考点：椭圆的标准方程与几何性质综合 ►命题分析： （1）情境创设：以椭圆为载体，考查椭圆的标准方程、离心率、直线与椭圆的位置关系、三角形面积及最值问题。 （2）问题设计：第(1)问根据焦点和离心率求椭圆方程；第(2)问(i)利用面积倍数关系求直线方程，(ii)求角的最小值。题目涉及联立方程、韦达定理、面积公式和基本不等式，计算量大，综合性强。 （3）考查目标：考查数学运算和逻辑推理素养，侧重椭圆几何性质的理解、直线与椭圆联立方程的运算能力和最值问题的求解方法。 答案与解析 【答案】(1) (2)（i）；（ii） 【分析】（1）根据焦点以及离心率的定义即可求解； （2）（i）通过联立直线与椭圆方程，利用韦达定理以及三角形的面积公式即可求解；（ii）由于是直线与直线的夹角，根据列出表达式即可求解. 【详解】（1）已知椭圆的左焦点为，离心率， 则，解得，， 因此椭圆方程为. （2）解法一： 设，点，点，其中， 联立直线与椭圆方程，得， 由韦达定理得， 由于两点在椭圆上，关于原点对称， 所以点，且， （i）    由面积公式，， 又因为是线段的中点，所以，所以， ， 由于，得，即， 令，由与，得， 代入，得，解得， 所以，所以直线的方程为. （ii）直线的斜率为， 于是，当且仅当时取等号， 故的最小值为. 解法二： （i）如图所示，设直线的方程为，其中斜率，         设点，点，且， 根据椭圆的中心对称性可知，点， 联立直线与椭圆方程，得，化简得， 由韦达定理可得， 因为是关于原点的对称点，所以是线段的中点， 因此，所以， 由于，所以， ， ， 所以，即， 由于，所以简化为， 代入韦达定理，得，则， 化简得，由于，解得， 所以直线的方程为，即. （ii）由题意，即为直线与直线的夹角， 直线即直线，方程为， 点，点，点，直线的斜率， 直线的斜率， 由于在直线上，有， 则，代入， 则， 设直线的倾斜角为，直线的倾斜角为，则， 因此， 即， 由基本不等式得，当且仅当，即时取等号，所以的最小值为. 知识总结 ①核心概念：椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的离心率e=c/a，c^2=a^2-b^2；弦长公式|AB|=sqrt(1+k^2)*|x1-x2|；三角形面积可用底乘高或向量叉积计算。②解题要点：联立直线与椭圆方程后用韦达定理表示根与系数关系；面积问题常将面积比转化为线段比；最值问题注意基本不等式的使用条件。③拓展关联：椭圆的光学性质、焦点三角形面积公式、设而不求思想是解决椭圆综合题的重要工具。 19．已知函数的定义域为，且当时，．对任意，定义集合． (1)若当时，，求； (2)若是奇函数，，且，证明：； (3)设满足：①若，则；②当时，． （i）证明：； （ii）证明：在区间单调递增． 命题透视 ►核心考点：函数性质与集合论的综合探究 ►命题分析： （1）情境创设：以函数和集合为载体，创设抽象数学情境，考查函数的解析式、奇偶性、单调性与集合包含关系、存在性问题的综合应用。 （2）问题设计：第(1)问求分段函数的解析式；第(2)问在奇函数条件下证明集合包含关系，需要分类讨论；第(3)问(i)用反证法证明集合为空，(ii)证明单调性。三问层层递进，从具体计算到抽象证明，尤其是反证法和条件递推的运用，对数学抽象和逻辑推理要求极高。 （3）考查目标：考查数学抽象和逻辑推理素养，侧重函数性质的综合运用、反证法的灵活使用和抽象代数条件的递推分析能力。 答案与解析 【答案】(1) (2)由题意证明如下： 在中，是奇函数，当时，． ∴，当时，， ∴ 在集合中， 当时，， 当时，， 当时，， ∴， ∵， ∴且，即，， ∵， ∴①当时，解得， ，， 此时， ②当时，解得， ，， 此时， ③当时，解得， ，， 此时， 综上，. (3)（i）由题意证明如下， 法一： 若，则存在，使得， 条件①：若，则， ∴，则， 取，则，此时， ∵，则，即， 但，相矛盾， ∴ 法二： 假设，则存在，使得， 从而，这导致， 但， ∵根据条件又有，矛盾， ∴假设不成立，. （ii）由题意，（2）及（3）（i）证明如下， 在集合中， 要证在上单调递增， 即需证，，都有， 即需证，，都有， ①先证明：当时，， 假设，使得， ∵当时，， ∴，使得， ∴， 而当时，， 否则，使得，，与矛盾， ∴， ∴， ∴， 由（3）（i）得，， 则， 由条件②：当时，， 则， 否则时，与矛盾， ∴若，使得，则，，（*） ∴，使得， 则， 令，， 此时，则，则， ∴， ∵， ∴易取，满足，使得， 根据（*）可得，此时，与矛盾， ∴当时，， ②证明：对，，都有， ∵，，都有， ∴， 对任意给定的，取，则 ， ∴对，，都有， ∴在上单调递增. 【分析】（1）求出，写出表达式，即可求出； （2）求出表达式，化简集合并得出表达式，利用得出与，对的三种情况进行分类讨论，即可证明结论； （3）（i）法一：假设，则存在，使得，取，求出，与矛盾，进而证明结论； 法二：假设，则存在，使得，取，求出，与时矛盾，进而证明结论； （ii）将证明转化为证，，都有，先证明：当时，，再证明对，，都有，进而证明出在上单调递增. 【详解】（1）由题意， 在中，，， 在中， ， ∴， 当时，，，解得， 当时，，解得， ∴， ∴. （2）略 （3）（i）略 （ii）略 知识总结 ①核心概念：奇函数满足f(-x)=-f(x)；集合A包含于B指A中任意元素都属于B；反证法先假设结论不成立，再推出矛盾。②解题要点：求分段函数时注意区间划分；证明集合关系时对元素分类讨论；反证法证明单调性时假设存在反例，利用已知条件推出矛盾。③拓展关联：函数与集合的综合是高考创新题的新方向，涉及抽象代数中的群、环、域等概念的初等化表达，体现了大学数学思想的下沉。 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $