25.3 实际问题与一元二次方程（随堂反馈）-【鸿鹄志·名师测控】2026-2027学年九年级全一册数学（人教版·新教材 广西专版）

25.3实际问题与一元二次方程 第1课时几何图形问题 1.为加强劳动教育，增加学生实践机会，某校拟用总长为5的篱笆，在两边都足够长的 直角围墙的一角，围出一块6m的矩形菜地作为实践基地，如图所示.设矩形的一边长 为xm,根据题意可列方程为 ( A.5x2=6 B.5(1十x2)=6 C.x(5-x)=6 D.5(1+x)2=6 (第1题图) (第2题图) 2.如图，在数学实践课上，小华要给一幅长30cm、宽20cm的手抄报（阴影部分）加一个 边框，边框上下、左右的宽度相等，且整个图形的面积为704c,则小华添加的边框的 宽度为 A.1 cm B.2 cm C.1.5 cm D.3 cm 3.学校组织趣味运动会，某游戏项目需用长为40m的绳子圈定96m2的矩形区域，求这 个矩形区域的长和宽： 4.改善小区环境，争创文明家园.如图，某社区决定在一块长(AD)16m、宽(AB)9m的矩 形场地ABCD上修建三条同样宽的小路，其中两条与AB平行，另一条与AD平行，其 余部分种草.要使草坪部分的总面积为112m,则小路的宽应为多少？ 6。 第2课时传播与平均增长（下降）率问题 1.两年前生产1kg甲种药品的成本为80元，随着生产技术的进步，现在生产1kg甲种药 品的成本为60元.设甲种药品成本的年平均下降率为x,根据题意可列方程为() A.80(1-x2)=60 B.80(1-x)2=60 C.80(1-x)=60 D.80(1-2x)=60 2.某病毒具有传染性强、传播速度快的特点.若有一个人感染了这种病毒，经过两轮传染 后将共有169名感染者.那么在每轮传染中，平均一个人传染了 人 3.在化学老师的讲解下，小明同学第一个学会电解水实验，在接下来的分组实验课中，第 一节课他教会了若干名同学，第二节课已经会做实验的同学每个人也教会了同样多的 同学，这样全班49名同学恰好都会做这个实验了.问每个人一节课教会了多少名同学？ 4.为响应国家全民阅读的号召，社区鼓励居民到社区阅览室借阅图书，并统计每月的图书 借阅总量（单位：本）.该阅览室8月份的图书借阅总量是2000本，10月份的图书借阅 总量是2880本. (1)求该社区的图书借阅总量从8月份至10月份的月平均增长率； (2)如果每月的增长率相同，求11月份的图书借阅总量. 。7。 第3课时循环、数字与销售问题 1.某兴趣小组有若干人，若每人在新年里给小组的其他成员赠送一张贺卡，则全组共赠送 贺卡90张.设小组有x人，则所列方程正确的是 () A.x(x-1)=90 B2x(x-1D=90 C.x(x+1)=90 D.7x(x+1)=90 2.小涵同学在书上看到一个趣味数学题（如图），他想利用方程来解决，若设个位上的数字 为x,则根据图中信息可列方程为 A.x2=10x+x+3 【趣味数学题】一个两位数藏着秘密： B.x2=10(x+3)+x ①个位上的数字比十位上的数字大3； C.x2=10x+x-3 ②这个数与其个位上的数字的平方相等. D.x2=10(x-3)+x 你能破解这个数字密码吗？ 3.某社区组织一次排球比赛，规定每两个队伍之间比赛一场，赛程计划安排7天，每天举 行3场比赛，应邀请多少支球队参赛？ 4.某服装生产公司试销一种成本价为50元/件的T恤，规定试销时的销售价格不低于成 本价，又不高于70元/件，试销中每月销售量y(件)与销售价格x(元/件)之间的关系满 足y=一10x十1000，则当销售价格定为多少时，公司销售该T恤的月利润可达到 4000元？ ·8=4,0C=20D=2.CD=VOD-0C-25.∴Sas=S%am-S8x=合CD· 0心-00C=号×2vBX2-602=2v厅-号图中阴影部分的面积为3v5 360 2 3π. 23.解：(1)由题意，得△ACD是等边三角形，△BCE是以BC为底边的等腰直角三角 形.∠ACD=60°，∠BCE=45°.AB为半圆O的直径，∴∠ACB=90°.∴∠DCE= 360°-∠ACD-∠BCE-∠ACB=165°.(2)①△ACD是⊙O的“完美三角形”.理由如 下：连接OC.,△ACD是⊙O的“沉毅三角形”，△ACD是等边三角形.∴.∠CAD= ∠ACD=60°.：AD与⊙O相切，∴.AB⊥AD.∴.∠BAD=90°.∠BAC=∠BAD- ∠CAD=30°.，OA=OC,∴.∠OCA=∠BAC=30°.∴.∠OCD=∠OCA+∠ACD= 90°，即OC⊥CD.又，OC是⊙O的半径，∴CD与⊙O相切.AD与⊙O相切， .△ACD是⊙0的“完美三角形”.②15√3 期末综合评价 1.B2.C3.D4.C5.C6.A7.A8.D9.C10.D11.C12.A 13y=-是14815.4r16V2厘 17.(1)解：移项，得x2一6x=3.配方，得x2-6x十32=3+32，即(x-3)2=12.由此可得 x-3=±2√3，解得x1=3十2√3，x2=3-2W3.(2)证明：：PA,PB分别与⊙O相切于 点A,B,.PA=PB,∠OBP=∠OAP=90°.，PO=PO,.Rt△POA≌Rt△POB (HL)..∠POA=∠POB.∠POB=2∠C..∠POA=2∠C 18解：1：点A与点B(-1,2)关于y轴对称，A1,2.把A1,2)代入n=得 k1=1×2=2.把A(1,2)代入y2=k2x,得2=k2×1,解得k2=2.(2)由图象可知，当y1 <y时，x>1. 19.解：(1)如图，△A1OB1即为所求.A1(0,1),B1(一2,2).(2)由题意，得OB1=OB= V2+2=2√2，“点B所经过的路径长为90xX22=V2元 180 -3-2-10 23x 20.(1)证明：由旋转的性质，得AE=AC,∠AED=∠C,∴∠AEC=∠C.∴.∠AED= ∠AEC.∴.EA平分∠CED.(2)解：由旋转的性质，得∠BAD=∠CAE,AD=AB, ∴∠ADB=∠ABD.∠AEC=∠C,∴∠ABD=∠C.:∠C+∠ABC=90°，∴.∠ABD +∠ABC=90°，即∠DBE=90°. 21.解：(1)由题意，得A(一30,4)，H(0,22).设经过A,B,H三点的抛物线的函数解析 式为y=ar2+2.把A(-30,4)代人，得4=900a十2，解得a=-0经过A,B,H 三点的抛物线的函数解析式为y=一品2十2（②）由(1)可得两车同时后退10m后， y轴右侧的抛物线的函数解析式为y=一0（红-10）+2.当x=0时，y=一品×(0 一10)2+22=20.答：两条水柱的相遇点距离地面20m. 22.解：（任务一）四边形ABCD为矩形，∠A=90°..BG为经过A,B,G三点的圆 的直径，“BG=√AG+AB-5cm,∴该圆的半径为号BG-9cm(任务二)①直 线PN与⊙O相切.理由如下：连接OP.:四边形ABCD是矩形，AD∥BC,∠NAD =∠1.∴.∠NOP=2∠NAD=2∠1.，MN⊥BC,.∠BNM=90°..∠1+∠2+ ∠ANP=90°.∠1=∠2，.∠ANP+2∠1=90°，即∠ANP+∠NOP=90°. —43 ∠OPN=90°，即OP⊥PN.OP为圆的半径，∴.PN与⊙O相切.②由题意，得AB =2cm,∴.AM=2AB=4cm.易知∠AMN=90°，MN=AB=2cm.∴.PN= √PMf+MNz=√5cm,AN=√AM+MN产=2√5cm.设OP=OA=rcm,则ON= AN-OA=(25-r)cm.在Rt△OPN中，OP2+PN2=ON2,即2+(W5)2=(2√5- 9,解得，3500的半径为9cm 23.解：(1)存在.理由如下：，C(1,1),AC=BC=4,∠C=90°，BC∥y轴，.A(5,1), B1,5).1X5=5X1=5,点A和点B在同-反比例函数1=三的图象上.∴存在 反比例函数=5是Rt△ABC的“对应函数”，k的值为5.(2)①：∠C=90°，BC∥y x 轴，A(2,2),B(1,m),.C(1,2).将A(2,2),C(1,2)代人y2=x2+bx+c,得 (4+2b+c=2, 解得 1+b+c=2, 43·=云3z+4(x多)+子心当1≤x≤2时 27 咖=2，=子.∴h=2=日，即RAABC的“最值半差”为日②将A(2,2, 4+2b+c=2, .b=-m一1， B(1,m)代人y2=x2+bx十c,得{ 解得{ .y2=x2-(m+1)x 1+b+c=m, c=2m. 十2m二次函数图象的对称销为直线x=m士.：二次函数=t十bx十c的图象 fm>2, 与Rt△ABC的边有第三个交点， 1<mt1<2, 解得2<m<3. 2 随堂反馈 第二十五章一元二次方程 25.1一元二次方程的概念 1.D2.A3.C 4.解：(1)移项，得一元二次方程的一般形式为2x2+3x一1=0.它的二次项系数为2， 一次项系数为3，常数项为一1.(2)去括号，得3x2十3x一2x一2=2x2十x.移项、合并同 类项，得一元二次方程的一般形式为x2一2=0.它的二次项系数为1，一次项系数为0， 常数项为一2. 5.解：(1)设这两个数中较小的数为x.根据题意，得x(x十2)=120，化为一般形式为x2 +2x-120=0.(2)设充电桩区域的宽度为xm.根据题意，得(130-x)(80-x)= 5000.化成一般形式为x2-210x+5400=0. 25.2降次一解一元二次方程 25.2.1配方法 第1课时用直接开平方法解一元二次方程 1.B2.m≥73.9x=-3 4.解：(1)整理，得x2=16.由此可得x=士4，即x1=4,x2=-4.(2)整理，得(x-1)2= 9.由此可得x-1=±3.x-1=3,或x-1=-3.∴.x1=4,x2=-2. 第2课时用配方法解一元二次方程 1.A2.A3.412 4.解：)移项，得2-3x=-2.配方，得x2-3x+(号）=-2+(），即(x 号)》”-子由此可得x-是=士分“4=2，=1.(2)二次项系数化为1，得2+号 =合配方，得2+受+（日）”=合+（行）》，即(+)广-最由此可得x+ 1 一 44 25.2.2公式法 第1课时一元二次方程的根的判别式 1.B2.A3.m<1且m≠0 4.解：(1)原方程可化为3x2一2x一1=0..△=（一2）2一4×3×（一1）=16>0，∴.方程 有两个不相等的实数根.(2)原方程可化为x2十4x十4=0.△=42一4×1×4=0，.方 程有两个相等的实数根， 第2课时用公式法解一元二次方程 1.C2.C 3.解：(1)，a=4,b=-8,c=1,∴.△=b2-4ac=(-8)2-4×4X1=48>0..方程有两 个不相等的实数根=生证c=8吉X-2生，=2百a 2a 2×4 25.(2)方程化为22-x+2=0.a=2,6=-1,c=2,∴4=8-4ac=(-12-4 ×2×2=-15<0..原方程无实数根. 25.2.3因式分解法 1.C2.B3.x+2-3=0x1=-5,x2=1 4.(1)直接开平方(2)配方(3)公式(4)因式分解 5.解：(1)左边因式分解，得2x(x十5)=0.于是得x=0,或x十5=0.∴.x1=0,x2=-5. (2)移项，得4x2-3x=0.左边因式分解，得x(4x-3)=0.于是得x=0,或4x一3=0. ∴=0，=是.(3)移项，得x(x一5)十8(x-5)=0.左边因式分解，得（x-5)(x十8) =0.于是得x-5=0,或x十8=0..x1=5,x2=-8.(4)整理，得(x-1)2-2(x-1)= 0.左边因式分解，得(x-1)(x-1-2)=0,即(x-1)(x-3)=0.于是得x-1=0,或x -3=0.x1=1,x2=3. 25.2.4一元二次方程的根与系数的关系 1.A2.B3.B4.-3-6 5.解：①十=0=一号.(2)十=-号=-3，=号.（3)整理，得 -x-5=0..x1+x2=1,x1x2=-5. 6.解：(1)由题意，得△=22-4×1×(a-1)≥0，解得a≤2.(2)由根与系数的关系，得 x1十x2=-2,x1x2=a-1.,'2x1十2x2-x1x2=2(x1十x2)-x1x2=5,.2X(一2)- (a-1)=5,解得a=-8. 25.3实际问题与一元二次方程 第1课时几何图形问题 1.C2.A 3.解：设这个矩形区域的长是xm,则宽是40,2x=(20-x)m.根据题意，得x(20-x) 2 =96,解得x1=8,x2=12.当x=8时，20-x=12>8,不符合题意，舍去；当x=12时， 20一x=8<12,符合题意.答：这个矩形区域的长是12m,宽是8m. 4.解：设小路的宽为xm.根据题意，得(16-2x)(9-x)=112,解得1=1，x2=16(不 符合题意，舍去)，答：小路的宽应为1m 第2课时传播与平均增长（下降）率问题 1.B2.12 3.解：设每个人一节课教会了x名同学.根据题意，得1十x十x(1十x)=49,解得x1= 6,x2=一8（不符合题意，舍去）.答：每个人一节课教会了6名同学. 4.解：(1)设该社区的图书借阅总量从8月份至10月份的月平均增长率是x.根据题 意，得2000(1十x)2=2880,解得x1=0.2=20%,x2=-2.2(不符合题意，舍去).答： 该社区的图书借阅总量从8月份至10月份的月平均增长率是20%.(2)2880×(1十 20%)=3456(本).答：11月份的图书借阅总量是3456本. 第3课时循环、数字与销售问题 1.A2.D —45 3.解：设应邀请x支球队参赛，根据题意，得x(x-1)=3X7,解得=1，=-6 (不符合题意，舍去).答：应邀请7支球队参赛. 4.解：根据题意，得(x一50)（一10x十1000）=4000，解得x1=60,x2=90.,50≤x≤ 70,.x=60.答：当销售价格定为60元/件时，公司销售该T恤的月利润可达到4000元. 第二十六章二次函数 26.1二次函数的概念 1.B2.B3.D4.B 5.解：(1)一般形式为y=一2x2,∴.二次项系数为一2，一次项系数为0，常数项为0. (2)一般形式为y=2x2-2x十1，∴.二次项系数为2，一次项系数为-2，常数项为1. 6.解：(1)根据题意，得矩形苗圃的另一边长为20,2工=10-x(m).y关于x的函数 2 解析式为y=x(10一x)=一x2+10x.(2)自变量x的取值范围是0<x<10. 26.2二次函数的图象和性质 26.2.1二次函数y=ax2的图象和性质 1.A2.D3.A4.A5.D6.A 7.解：(1)41014(2)如图所示.(3)0≤y4 y -43-2-101234x 26.2.2二次函数y=a(x一h)2+k的图象和性质 第1课时二次函数y=ax2十k的图象和性质 1.C2.A3.B4.<5.k<16.2 7.解：(1)03430函数图象如图所示.(2)该二次函数图象的开口向下，对称 轴为y轴，顶点坐标为(0,4).(3)减小(4)0<y≤4 y -54-342+1O1345x 第2课时二次函数y=a(x一h)2的图象和性质 1.C2.D3.A4.D5.D6.< 7.解：列表： x …01234… y=(x-2)2… 41014 … 描点、连线，如图所示.(1)上直线x=2(2,0)(2)将二次函数y=x2的图象向右 平移2个单位长度可以得到二次函数y=(x一2)2的图象. -4-20■2 46*x 46 第3课时二次函数y=a(x一h)2十k的图象和性质 1.B2.D3.D4.> 5.解：(1)由题意，得抛物线的顶点坐标为(6,4).设抛物线的函数解析式为y=α(x一 6)2+4.将(0,1D代入，得1=a×(0-6)2+4,解得a=一立抛物线的函数解析式为 1 )y=-12x-6)2+4.(2)(6+4③) 26.2.3二次函数y=ax2+bx十c的图象和性质 1.A2.C3B4D5y=2-16y=号+2z 7.解：(1)y=x2-4x十3=(x一2)2-1，对称轴为直线x=2,顶点坐标为(2，-1)，最小 值为-1.(2)如图所示.(3)> 26.3二次函数与一元二次方程 第1课时二次函数与一元二次方程(1) 1.A2.C 3.解：(1)x1=1,x2=3(2)关于x的方程ax2+bx十c=k有两个不相等的实数根， .二次函数y=ax2十bx十c的图象与直线y=有两个交点.由图象可知k的取值范围 是k<2. 第2课时二次函数与一元二次方程(2) 1.C2.A3.-1<x<5 26.4 实际问题与二次函数 第1课时最大高度与最大面积问题 1.D2.D3.C4.21 5.解：(1)根据题意，得S=x[31-(x十x-1)]=-2x2+32x.0<32-2x≤18，x>1, .7≤x<16..S=-2x2+32x(7≤x<16).(2)由(1)得S=-2x2+32x=-2(x-8)2 +128..当x=8时，S有最大值，最大值为128.答：苗圃的最大面积为128m2. 第2课时最大利润问题 1.A2.A3.39 4,解：设该服装店每星期销售这款卫衣获得的利润为w元.根据题意，得w=(100一x -80)(40+10x)=-10(x-8)2+1440.:-10<0,.当x=8时，w有最大值，最大值 为1440.答：当x=8时，该服装店每星期销售这款卫衣获得的利润最大，最大利润是 1440元. 5.解：设利润为w元.一10x十700≥240，.x≤46.根据题意，得w=(x-30)(-10x +700)=一10(x-50)2+4000.:-10<0,x≤46，∴.当x=46时，w有最大值，最大值 为一10×(46-50)2十4000=3840.答：当售价为46元/件时，每天获得的利润最大，最 大利润为3840元. 第3课时非最值类抛物线形实际应用问题 1.A2.C3.y=-7(z-6)2+94.5 5.解：(1)根据题意，设抛物线的函数解析式为y=a(x一30)2+10.把(0,0)代人，得a(0 -30)2+10=0,解得a=一0抛物线的函数解析式为y=一品（x-30)2十10. (2)令y=0,则0=一0(x-0)2十10，解得=0，=60.抛物线与x轴的交点为 (0,0),(60,0)..球被抛出60m. 47 第二十七章反比例函数 27.1反比例函数的概念 1.C2.D3.D4.m≠25.y=66.反y=300 x x 7.解：1)设反比例函数的解析式为)y=冬把x=4y=7代入，得7=冬，解得=28 “反比例函数的解析式为y-2.(2)当=2时，2=，解得x=14. 27.2反比例函数的图象和性质 第1课时反比例函数的图象和性质 1.D2.D3.C4.y<y25.14 6.解：列表如下： x -4-2-11 1 24 1 描点、连线，画出函数图象如图所示 5-43-2-1O12345x +2 +3 5引 第2课时反比例函数的图象和性质的综合运用 1.A2.D3.D4.B 5.解：(1)>1(2)八在函数y=图象的每一分支上，y随x的增大而增大，∴k- 1<0,解得<1，(3)：=13，反比例函数的解析式为y=13二1=1品当x=3时，y =号=4，可知点B(3,0在函数y=号的图象上.当x=2时y=号=6，可知点C(2, 3 5)不在函数y-号的图象上. 27.3实际问题与反比例函数 第1课时将实际问题抽象成反比例函数问题 1.C2.A3.D4.二 5解：(1)设y关于x的函数解析式为y=会把x=6,y=2代入，得2=合，解得 12.y关于x的函数解析式为y-兰.(2)当y=3时，号-3，解得x=4,小孔到蜡 烛的距离为4cm. 第2课时结合反比例函数图象解决实际问题 1.C2.B3.A 4.解：1)设p=夸(S>0).把(0.1,10)代入，得100=点，解得友=10.p关于 S的函数解析式为-1g2(S>0.(2)当S=0.25m时，p=%=40(Pa.当S= 0.25m时，物体所受的压强是400Pa. 第3课时构建反比例函数模型解决实践探究类问题（略） 第二十八章旋转 28.1图形的旋转 第1课时旋转的概念及性质 1.D2.C3.B4.35.点B(或点C或BC的中点) -48