专题一：图形与几何-2026年九年级数学中考复习

**基本信息** 图形与几何专项训练涵盖基础性质、图形变换及新定义题型，以题载理，强化逻辑推理与空间观念，培养几何直观与创新意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础性质应用|约15题|选择填空为主，侧重角度、长度计算|从三角形、四边形到圆的性质推导，构建图形认知体系| |图形变换综合|约20题|解答题为主，涉及折叠、旋转、平移|以变换性质为核心，衔接动态问题分析，强化空间观念| |新定义与尺规作图|约25题|新定义结合作图，强调知识迁移|从概念构建到综合应用，提升推理能力与创新意识|

专题一：图形与几何 参考答案 1． 选择题 BACCD AABDC ACBBC 第8题法①：如图1，连接GE，由一线三等角得△AFG ~ △CGE，则，由AF=6可得，从而可得，则，从而可得 法②：如图2，延长EC至H使得EH=AF，连接FH，易证△AFG≌△HEF，则EH=AF=6，∠H=∠A=30°，由∠ABC=120°得∠FBH=60°，则∠BFH=90°，则，则BE=EH-BH=4 图1 图2 第9题解法1： 因为△ABC的三边长AB：AC：BC=4：5：6，不妨设三边长为4k,5k,6k,△ABC面积为2a. ∵AE为中线 ∴S△ABE=a，BE=3k ∵BD为∠ABC平分线 ∴ ：=3：4，进而推导出a。 接着，计算 △ABD 的面积：因为AD：CD=AB：BC=2：3，所以=×2a=a。利用面积相减法求 △ADF 的面积：==a−a=a最后，根据“等高三角形面积比等于底边比”的性质，得出线段 BF 与 DF 的比例： DF：BF=:，即 BF:DF=5:2. 解法2： 如图，延长BD，做AG平行于BC交BD延长线于点G。 角平分线转化：由 BG 平分 ∠ABC 且平行线性质，证得 ∠ABG=∠G，从而 AB=AG=4k。相似比建立：利用 △AGF∼△EBF，得出对应边比例 FG:BF=AG:BE=4:3。二次相似推导：由 △ADG∼△CDB，得出 BD:DG=BC:AG=3:2​。代数求解：设 BG 长为 x，通过比例分配表示出 BF=x 与 BD=x，进而求得 DF=BD−BF=x。最终比值：计算 BF:DF=5:2​。 第15题【思路1】 在菱形ABCD中， ∵BD是对角线 ∴∠ABE=∠ADB=30° 由折叠已知，∠AEB=∠FEB 在△ABE中， 【思路2】在菱形ABCD中， ∵∠ABC=60°，BD是对角线 ∴∠ABE=∠ADB=30° 作AK⊥BD 在Rt△ABK中，∵∠ABD=30° ∴ 在等腰△ABD中，∵AK⊥BD ∴ 由折叠已知BF=AB ∴ ∵DF=2 ∴ 在菱形ABCD中， ∵BD是对角线 ∴∠ABE=∠ADB=30° 由折叠已知，∠AEB=∠FEB 在△ABE中， 二、填空题 16. 5 17.4cm 18. 3 19.解析： ∵∴设AG=13，CG=3,∴AC=AG-CG=10 作NK⊥AF ∵∠BAN=∠BCA=∠AKN=90〫 又∵正方形ABMN得AB=AN, 易证:△BCA≌△AKN ∴NK=AC=10,BC=AK 设GK=x,∴AK=AG+GK=13+x=BC ∵∠BAN=∠BCA=∠AKN=90〫,∠BGC=∠KGN ∴△BCG∽△NFG ∴∴ 解得：=2（负根舍去） ∴∴ 20.解析： 方法1： 由翻折：AE=EF,FD=AD=8,∠DFE=∠A=120〫, ∠AED=∠FED ∴∠DFG=60〫 ∵AB//CD ∴∠AED=∠FED=∠EDG ∴EG=DG=7 解△DFG可求FG=5，∴EF=2=AE 由△EFH∽△GFD,∴ ∴EH= ∴BH=8-2- = 方法2： 解法一：由翻折：AE=EF,FD=AD=8,∠DFE=∠A=120〫, ∠AED=∠FED ∴∠DFG=60〫 ∵AB//CD ∴∠AED=∠FED=∠EDG ∴EG=DG=7 解△DFG可求FG=5，∴EF=2=AE 由△EFH∽△GFD,∴ ∴FH= ,∵∠EFH=60〫 解△EFH可求EH= ∴BH=8-2- = 方法3： 由翻折：AE=EF,FD=AD=8, ∠DFE=∠A=120〫,∠AED=∠FED ∴∠DFG=60〫 ∵AB//CD ∴∠AED=∠FED=∠EDG ∴EG=DG=7 解△DFG可求FG=5，∴EF=2=AE 延长DA与GE相交于点K， 由△EFH∽△GFD,∴ ∴EK=EH= ∴BH=8-2- = 21. 22. 23. 1 24. 【解析】证明：过点A作于点G，延长AD交EC于点H， 方法一： 方法二：过点A作于点G，过点E作于点Q 方法三： 25. 26. 27. 10 28.设EF=a,AB=6a=BC=AD=DC ∵cos∠ABF= ∴cos∠BFC= ∴tan∠CBF= ∴CF=3a ∴10+a+3a=6a ∴a=5 作GM⊥DC于M ∵ ∴ ∴AE= ∴GE=2 AG= 因为EH⊥AG， EH=2 ∴=2=120 29. 30. 31.法一：过B作BF∥DE交CA延长线于F， △CDE∽△CFB，，， △DAB∽DBF，， 设DE=a,则BF=4a,AB= 法二：过A作AF∥DE交BC于F，交BD于G△DEC∽△AFC，， △AFG∽△BED，，， △DAG∽△DBA，， 设GF=2a, 则DE=3a,AF=6a,AG=4a,AB=， 法三思路：过C作CF∥DE交BD延长线于F，利 用△BDE∽△BCF和△DFC∽DAB求解 法四思路：延长ED交BA延长线于点F，过A作AG∥BC交EF于G，利用△DEC≌△DGA，△FAG∽△FBE，△FDA∽△FBD求解 32.解：延长、交于点，过点作交于点， ∥，， ，. 又， ， 在中，，， 根据勾股定理可得：， . 又， ， 在和中， ， ，. 根据等腰三角形“三线合一”的性质，可得：， ， ， ，. ， , . ，， 根据等腰三角形“三线合一”的性质，可得：. 33. 过F作FM垂直于FE，并且满足2CE=3FM，连接CM ∵ ，，∠AEC=∠CFM=90° ∴△EAC∽△FCM ∴ 在Rt△ABC中，AB=2，BC=2 ∴AC=== ∴ ∴CM= ∵CM=，∠CFM=90° ∴点F是在以CM为直径的圆上运动 连接OB，作OH垂直BC所在直线于H ∵∠ACB=45°，∠ACM=90° ∴∠OCH=45° ∵OC=MC= ∴CH=OH=OC= ∴BH=BC+CH= 在Rt△BOH中 OB== ∴BF最小值=OB-OF= 34. 【解析】 设∠DBE=，∠ACD=，则∠ABE=，∠ACB==45°，∠EDB= 思路1：如图，作∠EBD角平分线BF，则∠EBF=∠FBD=∠BCD= ， 易证△BEF△CEB，△BFD∽△CFB。 设EF=a，则DF=2-a。 由△BEF∽△CEB，BE2=EF·EC=8a， 由△BFD∽△CFB，BF²=FD·FC=(2-a)(8-a) Rt△BEF中，BE2＋EF2=BF2，8a+a2=(2-a)(8-a)， 解得a= 思路2：如图，过D作DF⊥CD交BC于F，取FC中点G，连接DG BE∥DF， 设BF=2a，CF=6a，则DG=3a。 易证△BFD∽△BDG， ∴BD²=BF·BG=2a·5a=10a2。 Rt△BEC中，BE2=BC2-CE2=64a2-64。 Rt△BED中，BE2+DE2=BD2，a2= 35.思路一：手拉手全等 + 相似:以BC为边作等边△BCH，与题干中的等边△ACD形成手拉手全等模型，利用SAS判定定理，证明△DCG≌△ACB，可得 在Rt△DGF中，求出过点C作CG⊥AB于点G，在Rt△BCG中，∠B＝60°，求出由EF∥CH，可得△AEF∽△ACG， 思路二：作高法（几何构造）过点C作CH⊥AB于点G，过点D作DK⊥AC于点K,在Rt△BCG中，可得在Rt△ACG中，由勾股定理解出由等腰三角形三线合一，可得在Rt△CDK中，可得由图可知△AEF∽△ACH∽△DEK, 36.（1）方法1：（如图1，思路是作∠ABC=∠PAB）…………………………2分 方法2：（如图2，思路是作DC=PB）…………………………2分 图1 图2 （1） 方法1： 证明：连接BO并延长交⊙O于点E，连接AE. ∵ ∴∠D=∠E ∵BC∥AD ∴∠D=∠DBC 又∵∠PBA=∠DBC ∴∠E=∠PBA…………………………3分 ∵BE为直径 ∴∠BAE=90° ∴∠E+∠ABE=90° ∴∠PBE=∠PBA+∠ABE=90° 即半径OB⊥PB ∴PB是⊙O的切线…………………………5分 方法2： 证明：连接OA、OB. ∵BC∥AD ∴∠D=∠DBC 又∵∠PBA=∠DBC ∴∠D=∠PBA 设∠D=∠PBA= ∵ ∴∠AOB=2∠D=…………………………3分 ∵OA=OB∴∠ABO=∠BAO= ∴∠PBO=∠PBA+∠ABO=+= 即半径OB⊥PB ∴PB是⊙O的切线…………………………5分 方法3： 证明：连接OB、OA，并延长AO交⊙O于点F，连接BF. ∵AF为直径 ∴∠2+∠3+∠4+∠5=90° ∵BC//AD ∴∠6=∠3+∠4 ∵ ∴∠6=∠7 ∵OB=OF ∴∠4+∠5=∠7 ∴∠3+∠4=∠4+∠5 ∴∠3=∠5…………………………3分 ∴∠2+2∠3+∠4=90 ∵∠1=∠3+∠4 ∴∠1+∠2+∠3=90° 即∠PBO=90° 即半径OB⊥PB ∴PB是⊙O的切线…………………………5分 （3） 方法1： 解：连接CD 由（2）得∠PDB=∠PBA 又∵∠P=∠P ∴△PAB∽△PBD…………………………6分 ∴ 得PD=4 ∵BP=BA ∴∠P=∠PAB ∵BC∥AD ∴∠PAB=∠ABC ∵四边形ABCD是圆的内接四边形 ∴∠PAB=∠C…………………………7分 即∠P=∠PAB=∠ABC=∠C ∵∠P+∠PAB+∠PBA=180° ∴∠C+∠ABC+∠PBA=180° ∴BP∥CD ∴四边形PBCD是平行四边形 ∴BC=PD=4…………………………8分 方法2： 解：连接CD ∵△PAB∽△PBD ∴∠PBA=∠PDB 由相似比1:2可得BD=4…………………………6分 同法1得∠P=∠PAB=∠C ∵BC∥AD ∴∠C+∠BDC+∠PDB=180°…………………………7分 ∵∠P+∠PAB+∠PBA=180° ∴∠BDC=∠PAB=∠C ∴BC=BD=4…………………………8分 方法3： 解：连接AC 同法1得PD=4…………………………6分 ∵ ∴∠D=∠C 同法1得∠P=∠ABC…………………………7分 又∵PB=PA ∴△PDB≌△BCA ∴BC=PD=4…………………………8分 37.解：（1）∵以点M为圆心，MC为半径绘制圆交AC于点E， ∴BC是圆M的直径 ………………1分 ∴∠BEC=90° ………………2分 ∴BE⊥AC. ………………3分 （2）如图1所示，线段CD即为所求．………………4分（图3分，结论1分） （2）如图2或图3所示，线段EM，FN即为所求．…………4分（图3分，结论1分） 方法二图3 方法一图2 图1 38.解（1）如图即为所求． ·············（结论占一分图2分）3分 （2）解：①点A，B在⊙O上．理由如下： ∵MN垂直平分AC于点O， ∴点O是AC的中点，······················4分 若． 在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，OB是斜边AC上的中线， ∴． ∴OA＝OB＝OC．·················5分 ∵OC是⊙O的半径， ∴点A，B在⊙O上．·····················6分 ②四边形ABCD是矩形．理由如下： 由作图可知，点D在⊙O上， ∴OD＝OC．···················7分 ∵OA＝OC，OB＝OD， ∴四边形ABCD是平行四边形．·····················8分 ∵∠ABC＝90°， ∴▱ABCD是矩形．····················9分 39.（1）补充条件 1（角的条件）： ∠ABC=60°… … … … … … … … …1分 证明：∵AG平分 ∠EAC， ∴∠EAM=∠CAM ∵AG∥BC， ∴∠EAM=∠ABC，∠CAM=∠ACB， ∴ AB=AC。 … …… … … … … … … … … … … …2分 又 ∠ABC=60°， ∴ △ABC是等边三角形， ∴AB=AC=BC。 … …… … … … … … … … … … … …3分 ∵BD 平分 ∠ABC ∴∠ABM=∠CBM ∵AG∥BC， ∴∠AMB=∠CBM ∴∠ABM=∠AMB ∴AB=AM ∴AM=BC ∵AM∥BC， ∴四边形 ACBM 是平行四边形 … …… … … … … … … … … … … …4分 ∵ AB=AC ∴四边形 ACBM 是菱形 … …… … … … … … … … … … … …5分 补充条件 2（边的条件）：  AB=BC或CM∥AB 补充条件 3（对角线的条件）： AC⊥BM 补充条件 4（对称性条件）： 点 M与点B关于直线 AC对称 （2）解：由（1）可知△ABC是等边三角形， ∴AB=AC=BC=6，∠ABC=60° 过点A做AH⊥BC于H， 在Rt△ABC中，AH=AB·sin∠ABC=6×=3 … …… … … … … … … … … … … …7分 ∴S△ABC=BC·AH=×6×3=9 … …… … … … … … … … … … … …8分 ∵AM∥BC ∴S△BCM=S△ABC=9 … …… … … … … … … … … … … …9分 40. （1） 方法不唯一 …………3分 ∴直线PB即为所求，与AD交于点P …………4分 （2） ∵AB是⊙O的直径，AD是⊙O的切线 ∴∠PAE=∠ABC=90° ∵∠BAC=30°，AB=2 ∴在Rt△ABC中，AC=，BC= …………5分 ∵∠PAB=∠PAE-∠BAC=60° ∵PA与PB是⊙O的切线 ∴PA=PB …………6分 ∴△APB为等边三角形 ∴∠APE=∠ABP=60°AP=PB=AB=2 ∵在Rt△PAE中，PE= …………7分 ∴BE=PE-PB= …………8分 41.（1） ................................................3分（尺规作垂线或等角2分，正确标记点F得1分） 如图，切线DF为所求. ....................................4分 （2） 连接OB， ∵CD为⊙O的直径，CD⊥AB， ∴AE=BE=AB=.................5分 设⊙O的半径为x， ∴OB=OC=OD=x，OE=， ∴在Rt△OBE中，OE2+BE2=OB2, ∴ 解得：x=2， ....................................6分 ∴OC=OD=2，OE=， ∴DE=， ∴在Rt△DBE中，, ∴AB=BD, .....................................................7分 ∵DF为⊙O的切线， ∴DF⊥CD， ∵CD⊥AB， ∴DF//AB， .....................................................8分 又∵BD//AF， ∴四边形ABDF为平行四边形， 由AB=BD知：平行四边形ABDF为菱形. ....................................9分 （说明：其他解法请参照上述评分标准酌情给分） 42.解:方法一：（1） ----------------------------------------2分（累计2分） 如图所示，点即为所求. ------------------------------------------------1分（累计3分） （2）由（1）可知， ----------------------------------------------------1分（累计4分） 四边形为菱形------------------------------------------------------1分（累计5分） 方法二：（1） --------------------2分（累计2分） 如图所示，点即为所求. ----------------------------------------------1分（累计3分） （2）由（1）可知，垂直平分, 四边形为平行四边形 ------------------------------------------1分（累计4分） ▱为菱形-----------------------------------------------------------1分（累计5分） （3）方法一：连接OP 为的切线 即 四边形为菱形 ， 即, ----------------------------------------------------------------------1分（累计6分） -----------------------------------------------------------------1分（累计7分） 设 在中，-----------1分（累计8分） --------------------------------------------------------1分（累计9分） 方法二：连接OP，过点作交于点 设 在中，----------1分（累计6分） 为的切线， ， 即. 四边形为菱形， ， 即, .----------------------------------------------------------------------1分（累计7分） , -----------------------------------------------------------------1分（累计8分） ----------------------------------------------------------1分（累计9分） 43.（1）解： ∵△ABC中，AC=BC，点O为AB的中点 ∴CO⊥AB ∴∠AOC=90° .......................1分 连接半径DO .......................2分 ∵Rt△AOC中，点D为AC的中点 ∴DO=AD=CD=AC .......................3分 又∵半径AO=DO ∴AO=DO=AD ∴△AOD为等边三角形 ∴∠A=60° .......................4分 解： 方法一： 尺规作图：如图，DE与⊙O相切于点D为所求作.......................5分 ∴半径OD⊥DE .......................6分 ∵点O为AB的中点，点D为AC的中点 ∴OD//BC ∴∠ODE=∠DEC=90°，∠ADO=∠ACB=60° .......................7分 ∴Rt△CDE中，∠CDE=30° ∴CD=2CE=6 ∵CD=OD=6 ∴AB=2OD=2×6=12 .......................8分 方法二： 尺规作图：如图，DE⊥BC .......................5分 ∵点O为AB的中点，点D为AC的中点 ∴OD//BC ∴∠ODE=∠DEC=90° ∴OD⊥DE ∴DE与⊙O相切于点D为所求作 .......................6分 ∵OD//BC ∴∠ADO=∠ACB=60° .......................7分 ∴Rt△CDE中，∠CDE=30° ∴CD=2CE=6 ∵CD=OD=6 ∴AB=2OD=2×6=12 .......................8分 44.（1）证明：如图， ………………1分 ………………2分 ………………3分 ………………4分 （2）方法一：如图， ………………5分 ………………6分 ………………7分 ………………8分 方法二：如图， 方法三：如图，连接CD， ………………5分 ………………6分 ………………7分 ………………8分 （3）方法1：延长DC，以点C为圆心，CM为半径画弧交DC于点E.如图所示，ME为所求. 方法2：作∠DME=∠ODM=90°，延长DC交ME于点E.如图所示，ME为求. 补充：方法3：利用矩形的对角线互相平分画图；方法4：延长DM，画平角的角平分线。 ………………10分(画图正确给1分，下结论给1分) 45.（1）如图，点D即为所求.………………………………………………1分 ………………………………………………2分 （2）①证明：连接OC ∵D为弧AC的中点D ∴COD=COA………………………………………………3分 ∵OC=OB ∴OCB=OBC ∴COA=OCB+OBC=OCB ∴OCB=COA………………………………………………4分 ∴COD=OCB ∴OD//BF………………………………………………5分 ∵EF⊥BC ∴EF⊥OD ∵OD为⊙O的半径 ∴EF为⊙O的切线………………………………………………6分 ②解：设OD交AC于点G 由图可知：AO=CO=DO=5,AC= ∵COD=AOD ∴AG=AC=,ODAC ∴OG=,DG=OD-OG=5-………………………………………………7分 ∵ODEF ∴AC//EF ∴ = 即= ………………………………………………8分 ∴AE=………………………………………………9分 46.（1）AC＝；..........................2分 （2）如图，取BC与网格线的交点E，则点E为BC中点，连接OE并延长OE交⊙O于点P，OE为△ABC的中位线，则OP//AC,∠CAP＝∠OPA，又AO=PO，∠OAP＝∠OPA，则∠CAP＝∠OAP，则点P即为所求．.......................6分 47．解：如图所示...............2分 （1）连接 ∵的角平分线 ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴................4分 ∵ ∴ ∵点在上，是半径 ∴直线是的切线...............5分 （2） 在中， .............6分 方法一： ∵， ∴.......................7分 ∴ ∴ ∴....................8分 方法二： ∵ ∴.......................7分 ∴....................8分 48.（1）如图所示，PN为的切线，N为切点. （画出切线2分，切点1分，下结论1分） (1) 如图， MQ⊥OP，OM=ON，OH=OH ∴∆OHM≌∆OHN...........................................5分 ∴MH=NH ∴OP是线段MN的垂直平分线 ∴PM=PN......................................................6分 ∴∆OMP≌∆ONP ∴∠ONP=∠OMP=90°.....................................7分 又∵ON为半径 ∴PN为的切线，N为切点................................8分 49.（1）CD=2………………………………………………………………2分 ……………………………………………………………4分 （2）答：AD=3AO。……………………………………………………5分 证明：过A作AE⊥CD，交CD于点E ∵AB∥CD ∴∠BAO=∠OCD，∠ABO=∠ODC ∴△ABO∽△CDO ∴……………………………………………………6分 ∵AE⊥CD，∠ABC=90°，AB∥CD，AE⊥CD ∴∠AEC=∠ECB=∠ABC=90° ∴四边形ABCE为矩形 ∴AB=CE ∵ ∴ED=CE………………………………………………………………7分 ∴AE是CD的中垂线 ∴AC=AD ∴AD=3AO……………………………………………………………8分 （3）解法一： ①当BE=AE时，过D作MN∥BC并延长BA，BE交于点M，N。 ∴∠BMD=90° ∵BD⊥AC ∴ ∴设MD=x,则BM=2x,AM=2x-2 在Rt△AMD中，由勾股定理可得， 解得：x=3（负值舍去）………………………………………………9分 ∴MD=3，AM=4，BM=6 ∵BE=AE ∴∠EAB=∠EBA ∴ ∴MN=12 ∴DN=MN-MD=9 ∵MN∥BC ∴……………………………………………………10分 ②当BE=AB时，过D作MN∥BC并延长CA，BA，BE交于点P，M，N。 ∴∠BMD=90° ∵BD⊥AC ∴ ∴设MD=x,则BM=2x,AM=2x-2 在Rt△AMD中，由勾股定理可得， 解得：x=3（负值舍去） ∴MD=3，AM=4，BM=6 ∵MN∥BC ∴ ∴MP=8 ∴在Rt△AMP中，由勾股定理可得， ∵∠ABC=90° ∴在Rt△ABC中，由勾股定理可得， ∵BD⊥AC ∴ 设AO=y,则BO=2y ∴在Rt△ABO中，由勾股定理可得， 解得：y=（负值舍去） ∴BO= ∵BE=AB ∴AO=OE= ∴EC=AC-AO-OE= ∴EP=AP+AO+OE= ∵MN∥BC ∴ ∴PN=16………………………………………………………………11分 ∴DN=PN-PM-MD=5 ∵MN∥BC ∴……………………………………………………12分 解法二： ①当BE=AE时，过F点作FQ⊥BD交BD于点Q。 ∵∠ABC=90° ∴在Rt△ABC中，由勾股定理可得， ∴AE=EC= ∵BD⊥AC ∴ 设AO=y,则BO=2y ∴在Rt△ABO中，由勾股定理可得， 解得：y=（负值舍去） ∴BO= ∴AO= ∴ ∴在Rt△ADO中，由勾股定理可得， ∴∴设QF=8m,则QD=11m ∴ ∴m=……………………………………9分 ∴QD=11m= ∵FQ⊥BD，BD⊥AC ∴QF∥OC ∴………………………………………………10分 ②当BE=AB时，过F点作FQ⊥BD交BD于点Q。 ∵∠ABC=90° ∴在Rt△ABC中，由勾股定理可得， ∵BD⊥AC ∴ 设AO=y,则BO=2y ∴在Rt△ABO中，由勾股定理可得， 解得：y=（负值舍去） ∴BO= ∵BE=AB ∴AO=OE= ∴EC=AC-AO-OE= ∴在Rt△ADO中，由勾股定理可得， ∴ ∴设QF=8m,则QD=11m ∵BE=AB，BD⊥AC ∴∠ABO=∠EBO ∴ ∴BQ=16m，BD=DQ+BQ=27m=DO+BO= ∴m=…………………………………………………………………11分 ∴QD=11m= ∵FQ⊥BD，BD⊥AC ∴QF∥OC ∴…………………………………………………12分 50. 51.（1） ，15（每个1分，共2分） 思路解析：如图1，在Rt△ADC中，由勾股定理得：图1 设DE=，由折叠得EF=DE=，AF=AD=12， ∴， 在Rt△CFE中，由勾股定理得：， 解得.∴ 由界度定义点E关于线段CD端点C的界度为 .........................1分 在Rt△ADE中，由勾股定理求出 由折叠得∠1=∠2，又∵AB // DC，∴∠2=∠3， ∴AG=GE，过G点作GH⊥AE于点H，∴AH= ∴.........................2分图2 求AG思路2：如图2，易证△AFG∽△CFE ∴， 即.........................2分 （2）①（2分）, （2分）（共4分） 思路解析：①（1）当点F在矩形内部时，如图1，∠D=∠AFG=90°为对应角，由题AB // DC，∴∠1=∠3， 又∵，∴，不可能为对应角， ∴当△AFG与△ADE相似，∠1=∠FGA为对应角， 即∠DAE =∠EAF=∠FAG，∴∠FAG=30°， ∴， ∴，.........................4分 ∵∴点G在线段AB上. 此时点G关于线段AB端点B的.........................6分 （2）当点F到矩形外部时，如图3，当△AFG与△ADE相似， 即△AFG与△AFE相似，因此此时只可能∠FAG=∠FEA为对应角， 此时△AFG∽△EFA图3 易证GA=GE，设∠GEA=∠GAE=， ∴∠AGF= ∵△AFG∽△EFA ∴∠FAG=∠FEA= ∴易求∠FAG=30°∴易求AG=...............4分 此时点G关于线段AB端点B的界度为 ..................................6分 综上，两种情况答案一致，分别为 ②证明：解法1：如图4， 由矩形ABCD得∠D=90°∴ ∴，∴图4 由折叠得，∠1=∠2，又∵AB // DC， ∴∠1=∠3， ∴∠2=∠3， ∴GA=GE 过G点作GH⊥AE交AE于H点， ∴AH=.................................7分 ∵∠AGH + ∠3=∠DAE + ∠3 ∴∠AGH=∠DAE ，∴tan∠AGH=tan∠DAE ∴，∴ ∴， ∴.................................8分 ∵∠4=∠5，∠AGF=∠HEF， ∴△AFG∽△HFE ∴.................................9分 解法2思路：如图5，图5 ∵ 易证△ERF∽△FQA ∴........................7分 设， ∴ ∴ 由题 解得.................................8分 ∵∠AFG=∠HFE，∠AGF=∠HEF， ∴△AFG∽△HFE ∴................................9分 （3）（每个答案两分，共4分）..............................13分 思路解析：在菱形ABCD中，AB=BC=AD=8，由界度定义得 ∴EB=2，又∵点E在直线AB上，分类讨论，有两种情况： 情况一：点E在线段AB上，EB=2,图6 解法1：如图6，由折叠得，∠1=∠2，又∵AB // DC，∴∠2=∠3， ∴∠1=∠2， ∴NE=CN 过点C作CH⊥AB交AB于H点， ∵∠B=60°，易求 由勾股定理∴ 过N点作NQ⊥CE交CE于Q点，∵NE=CN，∴ ∴， 易证△FME∽△FCN，且翻折得EF=EB=2 ∴ 解法2：如图7， 连接AC，在菱形ABCD中，AD=8，∠ABC=60° 易证△ADC为等边三角形，易求AC=AD =8，AE=6，EF=2 易证△AMC∽△FME，相似比为 设 ∴ ∴ 易证△FME∽△FCN，且翻折得EF=EB=2，同解法1证出NE=CN ∴ 图7 情况二：点E在AB的延长线上，EB=2 解法1：如图8，由折叠得，∠1=∠2， 又∵AB // DC，∴∠2=∠3， ∴∠1=∠2， ∴NE=CN图8 过点C作CH⊥AB交AB于H点， ∵∠B=60°，易求 由勾股定理 ∴ 过N点作NQ⊥CE交CE于Q点 ∵NE=CN， ∴ ∴， 易证△FME∽△FCN，且翻折得EF=EB=2 ∴ 图9 解法2：如图9，连接AC，在菱形ABCD中，AD=8，∠ABC=60° 易证△ADC为等边三角形，易求AC=AD =8，AE=10，EF=2 易证△AMC∽△FME，相似比为 设 解得 易证△FME∽△FCN，且翻折得EF=EB=2，同解法1证出NE=CN ∴ 综上答案为................................13分 52.（1） ; 6 ..........................................................2分 （2）90°; 是 ..........................................................4分 （3）CE=CB,理由如下： 延长AF、BC交于点G. ∵四边形ABCD是矩形 ∴CD∥AB，AD∥BC ∴∠FDE=∠ABE，∠DFE=∠BAE ∴△FED ∽△AEB ∴，即 ..........................................................5分 ∵四边形ABCD是矩形 ∴AB=CD ∴ ∴DF=CF ..........................................................6分 ∵AD∥BC ∴∠DAF=∠CGF ∵∠DAF=∠CGF，∠AFD=∠GFC，FD=FC ∴△AFD≌△GFC（AAS） ∴CG=AD ∵AD=CB ∴CG=CB ..........................................................7分 ∵AE⊥BD ∴∠GEB=90° ∴CE=CB ..........................................................8分 （4） ① ∴如图所示三等分四边形ACEF即为所求. ............................................9分 ∴如图所示三等分四边形BCEF即为所求. ............................................10分 ②1°如图， 作FM⊥AC的延长线于点M,PH⊥AB于点H ∵∠CAB=90° ∴tan∠ACB= ∵旋转 ∴∠HC'P=∠ACB ∴tan∠HC'P= ∵∠CAB=90°，FM⊥AC ∴∠CAB=∠AMF ∵∠ACB=∠MCF ∴△CAB ∽△CMF ∴即 ∴AM=6, FM=12 ∵在Rt△AMF中，∠M=90° ∴tan∠AFM= ∵AB∥MF ∴∠HAP=∠AFM ∴tan∠HAP=tan∠AFM= ∵∠PHA=90° ∴tan∠HAP= ∴AH=2PH ∵旋转 ∴∠HC'P=∠ACB ∴tan∠HC'P=tan∠ACB= ∴tan∠HC'P= ∴HC'= ∵AC'=AH+C'H，即3=2PH+ ∴PH= ∴HC'= ∵在Rt△C'PH中，∠C'HP=90° ∴ ..........................................................11分 2°如图， ∴AF=2AC=6 ∵旋转 ∴AB'=4 ∴B'F=AF-AB'=6-4=2 ∵四边形ABCD是平行四边形 ∴CB∥EF ∴∠BCA=∠B'FP ∵旋转 ∴∠BCA=∠B'C'A ∴∠B'C'A=∠B'FP ∵∠AB'C'=∠PB'F ∴△B'PF∽△B'AC' ∴ ..........................................................12分 53．【性质探究】①；②---------------------------------------1+2=3分（累计3分） 【判定辨析】 由旋转可知，，， ∴ 即---------------------------------------------------------1分（累计4分） ∴ ∴-----------------------------------------------------------------1分（累计5分） 在Rt△ABC中， ∴ 即-----------------------------------------------------------------1分（累计6分） ∵△ABC为直角三角形，△ACE是等腰三角形 ∴四边形 ABCE 是等直四边形.-------------------------------------------1分（累计7分） 【综合应用】 在等腰Rt△ABC中，∠ABC=90 ∴ ∵ ∴ ∴ 情况1：当EA=EC时 ∵EA=EC ∴ ∴ ∴ ∴四边形ABCE是平行四边形 ∵EA=EC ∴平行四边形ABCE是菱形 ∵ ∴菱形ABCE是正方形 设 ∴ ∴ ∴ ∴----------------------------------------------------1分（累计8分） 情况2：当CA=CE时 方法1： 在△ACE 中，CA=CE，∠ACE=45° ∴ 在△ABD 中，AB=AD，∠BAD=45° ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴-----------------------------------------------------------1分（累计9分） 方法2： ∵ ∴， ∴ ∴ 设，则 ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴---------------------------------------------------1分（累计9分） 情况3：当AC=AE时 ∵ ∴ ∴ ∴△ACE是等腰直角三角形 设，则 ∴， ∵ ∴， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴-------------------------------------------------------------2分（累计11分） 综上，的值分别是、、. 54.任务一：几何原理探究（4分） (1)证明： ∵AB=BC，AD=CD，BD=BD ∴△ABD≌△CBD（SSS） ∴∠ABD=∠CBD ...................................................1分 又∵OA=OC，OB=OB ∴△OAB≌△OCB（SSS） ...................................................2分 ∴∠AOB=∠COB ∴点B在∠AOC的角平分线上 ...................................................3分 同理可证点D也在∠AOC的角平分线上 ∴O、B、D三点共线 ...................................................4分 (2)证明：连接AC交BD于点M ∵四边形ABCD是菱形 ∴AC⊥BD，BM=MD，AM=MC 在Rt△OMA中：OA²=OM²+AM² 在Rt△AMB中：AB²=BM²+AM² 两式相减得：OA²-AB²=OM²-BM²=(OM-BM)(OM+BM)=OB·OD....................6分 代入数值：OB·OD=10²-6²=100-36=64 ∴OB·OD的值始终为常数64 ...........................................................8分 任务二：运动规律分析（4分） (1)由(2)知：xy=64∴ ..........................................................9分 当点A、B、O共线时，OB取得最小值：10-6=4cm 当点B、A、O共线时，OB取得最大值：10+6=16cm ∴自变量x的取值范围是4≤x≤16 ..............................................10分 (2)圆 .........................................................................................12分 55.（1）CD = ,EF =1 ………………4分（每空2分） 解析： 方法一：∵在矩形ABCD中， ∴ ∵E为AD的中点, ∴ ∵AD∥BC, ∴∠EDF=∠CBF,∠DEF=∠BCF ∴ ∴ 方法二： ∵∠EFD=∠EDC=90°,∠DEF=∠DEC ∴ ∴ 设 ∴ ∴ ∴ ∴ 或 或 （2）证明：过点C作于点H， ∵四边形ABCD是菱形 ∴ ∴ 在中， 设 ∴………………5分 ∵ ∴ ∴ ∵ ∴………………6分 ∵ ∴………………7分 ∴ ∴菱形ABCD是中点等角平行四边形.………………8分 (3)①当点E是AD的中点，, 方法一： ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ 方法二： ②当E是AD的中点， 方法一： ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ 方法二： 方法三： ③当点E在AB的中点， 方法一： 方法二： ④当点E在AB的中点， 方法一： 方法二： 综上，. ………………11分（答对1个给1分） 56.（1）解：设候鸟的位置为点，过点作于点，设 在中， ...........................................1分 在中， ..........................................................2分 由得： ， 答：该候鸟到所在直线的距离是。..................3分 （2）设, 在中，，即，解得 则.......................5分 由题意得，，则 ， 解得, 则................7分 （3）①当时，点在上 设，则 由折叠得， 在中， 由勾股定理得，， 即，解得............9分 ②当时，点在上 在中， 由勾股定理得，， 即 由折叠得，， ∴在同一直线上 ∴..........10分 ③点在延长线上， 由折叠得， ∵ ∴ 在中， ...............................................11分 综上所述，或 （4） ∵菱形中，， ∴， ∵O是的垂直平分线与的交点， ∴， ∴， ， ................................................12分 ∴， ∴， ...................................13分 ∴， ∴...................................................14分 57.（1）…………………………………………3分 （2）①如图，当CF是∠DCG的“邻CD三分线”， ∴∠FCG=30°，∠ECF=120° 在AB上取点M使得∠AME=120° ∴∠AME=∠ECF=120° ∴∠BME=60°，∠MEB=30° 又∵∠BAE=∠FEC ∴ ∴ 设CB=2，则BE=CE=，， ∴ ∴AE=EF…………………………………………5分 ②如图，当CF是∠DCG的“邻CG三分线”， 在AB上取点M使得∠AME=150° 同理可得 ∴ 设CB=2，则BE=CE=，， ∴ ∴AE=EF 综上，AE=EF或AE=EF………7分 （3）当点E在线段BC上时， ∵CF是∠DCG的“邻CD三分线” ∴ ∴∠ECF=90° 过点E作EM⊥AB，交AB的延长线于点M 同（2）可得 ∴ 设BM=，则ME=， ∴ …………………………………………9分 解得=2或4 ∴ ∴CE=…………………………………………11分 （在本题第（2）题和第（3）题中合理求出其中一个答案得2分 58.（1） 是 ……………………….....………2分 （2）AB= . ……………………….....………4分 （3）解：如图，过B作BE⊥CD于E，BF⊥AD于F 四边形ABCD是“等邻等对四边形”，∠A=∠C，AB=AD Rt△BCE中 BC=，， ∴，， ∴， ， ………….....………5分 Rt△BDE中 BE=，， ∴， . ……………………………6分 Rt△ABF中 ，， 设 Rt△BDF中 ， . ……………………….……7分 法二思路：可证明BEDF为矩形，再进一步求解（酌情给分） （4） ①AB为对角线时， . ……………………….....………9分 ②AC为对角线时， 过点D作DE⊥AC于E，在DE上取点F，使得AF=DF 则∠AFE=2∠ADF=∠ABC，∠AEF=∠ACB=90° △AEF∽△ACB 又∵DE∥BC △DEP∽△BCP ∴ . ……………….....………11分 59.证明：∵在△ABC中，AB=AC,若∠A＝120°， ∴∠B=∠C=30°， ∴△ABC是一个含有30°的等腰三角形 .........................................1分 由旋转可知，AD=AE， ∴△ADE是等腰三角形.............................................................................2分 又∵△ABC与△ADE有公共顶点A, ∴△ABC与△ADE是“友好三角形 ......................................................3分 （2）解： ∵△ABC与△ADF是“友好三角形”，△ABC是一个含有30°的等腰三角形， ∴△ADF是等腰三角形 ∵∠ADF=30°,∠AFD=∠E+∠EAF>30° ∴FD>FA，下面剩下两种情况讨论：......................................................4分 ①DA=DF ∵∠DAE=120°，AD=AE ∴∠ADF=30° ∴∠ADF=∠B ∴△ADF∽△ABD ∴ 此时BD=BA=2, ∴CD= ..................................................................................5分 ②AF=FD ∴∠FAD=∠FDA=30° ∵∠DAE=120° ∴∠DAC=90° ∵∠C=30° ∴ ..................................................................................6分 综上所述：CD= 或....................................................................7分 （3） ①是。.....................................................................................................................8分 ②：BD=或.............................................................................................12分 思路一：发现等边三角形，构造旋转相似。 情形1：BD=。延长DE至G,使得GE=DE,连接BG,CE易证△BEG是等边三角形，那么△ABG∽△CBE.在△ABG中解三角形可得，BE=2, BD=. 情形2：BD=.延长DE至G,使得GE=DE,连接BG,CE. 易证△BEG是等边三角形，那么△ABG∽△CBE. 在△ABE中解三角形可得，BE=10, BD=. 综上所述：BD=或. 思路二：情形一：连接AE;取BD中点N,连接FN，由AB∥FN，∠FND=60°，可知∠ENF=∠ABE=30°, ,故△EAB∽△ENM，在△ABE中解三角形可得，BE=2, BD=. 情形二：连接AE;取BD中点N,连接FN，由AB∥FN，∠FND=60°，可知∠ENF=∠ABE=30°, ,故△EAB∽△ENM，在△ABE中解三角形可得，BE=10, BD=. 综上所述：BD=或. 60.（1）是 115°-40°=75°<90° 180°-115°-40°=25° 115°-25°=90° ∴是超角三角形……………………（2分） （2）∵若△BCD是超角三角形，且∠BDC是超角，∠B为底角 ∴∠BDC﹣∠B＝90°， 即∠BDC＝90°+∠B ∴∠CDA=180°﹣∠BDC=90°﹣∠B ∵∠C＝90°， ∴∠A+∠B＝90°， 即∠A＝90°﹣∠B， ∴∠A＝∠CDA，……………………（3分） ∴AC=CD， 在Rt△ABC中，.……………………（4分） （3）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝CD＝4，AB∥CD，AD∥BC， ∴∠CBD＝∠ADB＝90°，△BEF∽△DEA，……………………（5分） ∴BD＝, ∵3BF ∴BE＝BD＝2，DE＝BD＝6，……………………（6分） ∴ ， ∴， ∵∠ABE＝∠DBA， ∴△ABE∽△DBA， ∴∠BAE＝∠BDA， ∵∠ABD＝90°， ∴∠AED=∠BAE+90°=∠BDA+90° 即∠AED﹣∠EDA＝90°， ∴△ADE是超角三角形，且∠AED是超角，∠EDA是底角．…………（7分） （4）∵四边形 ABCD 是菱形，∠ABC = 120°， ∴对角线 AC 平分 ∠BAD，AD∥BC ∴ ∠BAD = 60° ∴∠BAC = 30° ∵ 点 F 在 AC 上， ∴ ∠BAF = 30° < 90° 故 ∠BAF 不可能是超角。……………………（8分） ∴ 超角只能是 ∠ABF 或 ∠AFB。 因此需分两种情况讨论： ② 情况1：∠AFB 为超角， 当∠ABF 为底角时，∠AFB = ∠ABF + 90°，∠BAF = 30°， ∴ 30° + ∠ABF + (∠ABF + 90°) = 180°， 解得 ∠ABF = 30°，∠AFB = 120°。 ∴ ∠ABF = ∠BAF = 30°，△ABF 是等腰三角形，AF = BF。 ∴∠BFC= 60°……………………（9分） 连接BD交AC于点O ∵四边形 ABCD 是菱形， ∴BD⊥AC, ∴, ∴AF =, = ∴FC== ∵AD∥BC ∴△AEF∽△CBF， ∴， ∴==2 当∠BAF 为底角时，∠AFB = ∠BAF + 90°= 120°， ∴ ∠ABF = ∠BAF = 30°，△ABF 是等腰三角形，AF = BF，情况同上所述。 ……………………（10分） 情况2：∠ABF 为超角， 当∠AFB 为底角时，∠ABF = ∠AFB + 90°，∠BAF = 30°， ∴ 30° + ∠AFB + (∠AFB + 90°) = 180°， 解得 ∠AFB = 30°，∠ABF= 120°。 ∴ ∠AFB = ∠BAF = 30°，△ABF 是等腰三角形，AB = BF=4, 此时点F与点C重合。……………………（11分） 当∠BAF 为底角时，∠AFB = ∠BAF + 90°= 120°， 此时点F与点C重合。 综上所述，AE长为2.……………………（12分） 61.解：（1）连接AE，BD交于点O ∵四边形ABED是“V5四边形” ∴OE＝AE ∵四边形ABCD是正方形 ∴AB＝BC＝4，AB＝CD ∴∠ABO＝∠EDO图1 ∵∠AOB＝∠EOD ∴△AOB∽△EOD………分 ∴ ∴DE＝1 即 DE的长为1………3分 （2）过点F作HF⊥CD交ED于点H ∵四边形ABCD是矩形 ∴∠ECD＝90°＝∠HFD，HF∥EC∥AD ∵ 设 则 ∵BEBC ∴BE＝ ，EC＝图2 ∵在Rt△FCE中 tan∠CEF ∴ECEC＝ ，DF＝ ∵∠HDF＝∠EDC ∴△HDF∽△EDC ∴ 即 解得 HF＝ ∵HF∥AD ∴∠HFO＝∠DAO ，∠FHO＝∠ADO ∴△HOF∽△DOA ∴ ∴OF＝AF ∴四边形AEFD是“V5四边形”………7分 （3）如图3 ①OD＝BD (舍去) ②OC’＝AC 此时OB＝ 图3 如图4 ③OA＝AB 此时OB＝ ④OC’＝C’D 此时OB＝ ………11分（写对1个得2分，写对2个得3分） 62. 【特例感知】 解：设矩形菜园的长为x米，则宽为0.6x米………………………………………1分 0.6x2=60，解得x=10 即菜园的长为10米，宽为6米………………………………………2分 共需要篱笆10+6×2-1=21米 答：共需要21米长的篱笆。………………………………………3分 【操作实践】 法一：解：延长交延长线于点H．设正方形的边长为2a， 则，， ，………………………………………4分 ∵折叠 ， ， ．………………………………………5分 又， △△， ，………………………………………6分 ， ， ， 点是的黄金分割点．………………………………………7分 【尺规作图】 点P即为所求………………………………………9分 点P即为所求………………………………………9分 备用图1 ∵点E是线段AD上靠近点D的黄金分割点 ∴， 1 当点P在线段AD上时，如备用图1 延长BG交DC于点Q，过点C作CM⊥BQ于点M ∵折叠 ∴BG=AB=10 在Rt△BFG中， ∵∠CMB=∠BMG=90°，∠FCG=∠BCM ∴△BCM△BGF………………………………………10分 ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ………………………………………11分 2 当点P在AD延长线上时，如备用图2 延长BG交DC于点Q，过点C作CM⊥BQ于点M ∵折叠 ∴BG=AB=10 在Rt△BFG中， ∵∠CMB=∠BFG=90°，∠CBM=∠FBG ∴△BCM△BGF ∴ ∴ ∴ ∴ 备用图2 ∴ ∵∠BGH+∠MGC=180° ∴∠BGH的补角的正切值为……………………………………12分 （其他解法酌情给分） 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题一：图形与几何 1． 选择题 1．在光学实验室中，小明利用激光开展光的反射模拟实验.现将两面平面镜M1、M2竖直放置于水平桌面，且两镜面相对.激光束从点A射向平面镜M2，经反射后沿OB射向平面镜M1，再次反射后沿BC射出.已知光的反射中反射角等于入射角，若，则 ∠2的度数为（ ） A．40° B．50° C．60° D．70° 2.自行车是我们生活中常见的交通工具，而它稳固的车架正是几何知识在生活中的巧妙应用，如图是某单车车架的示意图．已知AB∥CD，，°，则（     ） A． B． C． D． 3.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，将∠B沿着DE折叠，使点B与点F重合，DE为折痕，DF∥BC，DE=2，则BC的长为（ ） A． B．2.5 C．3 D．4 D F A C E B 4.“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢.”风筝是我国重要的非物质文化遗产，可抽象为如图的几何图形，其中，，OA平分，当 时，C点到AB的距离为（ ） A. B. C. D. 5．如图，l1∥l2，点A在l1上，以点A为圆心，适当长度为半径画弧，分别交l1，l2于点B，C，以点B为圆心，相同的半径画弧，分别交l1，l2于点D，E，连接BE．若∠BAC＝50°，则∠AEB的大小为（　　） A．30° B．55° C．50° D．25° 6.如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点D作DH⊥AB于点H，连接OH，若∠CAD=，则∠DHO的度数为（ ） A． B． C． D． 7．深中通道是世界级跨海集群工程，在桥面施工中，AB与CD 是两条互相平行的桥面钢梁，吊装绳 EN一端与施工吊杆 NG的一端相连，另一端点E固定在钢梁 AB上，若，，则的度数为（ ） A． B． C． D． 8.如图，在△ABC中，∠ABC=120°，AB=BC，点F在AB边上，G在AC边上，AF=6，BF=1，将线段FG绕点F顺时针旋转120°，G的对应点E恰好落在边BC上，BE的长为（ ） A. B. 4 C. 5 D. 9.如图，△ABC的三边长AB：AC：BC=4：5：6. AE为BC边上的中线，BD为∠ABC的平分线，AE与BD相交于点F，则的值为（ ） A． B． C． D． 10.如图，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，AB=2，对角线AC和BD相交于点O，点E、F分别在BC、CD上，且OE⊥OF. 若BE=，则的值为（　　） A． B． C． D． 11．锐角三角形中，，若甲，乙，丙三位同学分别用尺规作该三角形的高，作法如图，则下列说法正确的是（　　） A．甲，乙，丙都对 B．只有甲对 C．只有乙和丙对 D．只有甲和丙对 12．如图，在矩形ABCD中，M为BC边中点，沿着AM折叠，使点B落在B’处，CB’交AD于点N．若AB＝8，BC=4，求则CB’的长是（　　） A． B．-4 C． D． 13. 受圣诞花环启发，小明想用三角形拼接成一个花环，他的做法如下：在锐角△ABC中，过点A作BC的垂线交BC于点D，并延长AD至点B1使DB1=AD，再将DB1绕点D顺时针旋转72°至DC1，连接B1C1；过点D作B1C1的垂线交B1C1于点D1，并延长DD1至点B2使D1B2=DD1,再将D1B2绕点D1顺时针旋转72°至D1C2，连接B2C2，过点D1作B2C2的垂线...，按照这样的操作规律,最后Dn 与点B重合，花环首尾连接，并得到多边形ADD1D2...Dn ，这个多边形是（ ）边形。 A．9 B. 10 C. 11 D. 12 14.如图，的顶点A、B在⊙O上，边AC与⊙O相交于点D，直角顶点C在圆外，已知∠A=30,⊙O的半径为5cm，CD＝1cm，则AD的长是（ ） A． B． C． D． 15．如图，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，点E在边AD上，将△ABE沿直线BE折叠，点A的对应点F落在对角线BD上，EF的延长线交BC于点G,已知DF=2，则BG的长为( ) A． B．3 C． D． 二、填空题 16．如图，将△ABC沿AB方向平移5个单位长度得到△DEF，连接CF，四边形ADFC为菱形，则AC的长为 ．5 17．老钟表匠正在修复表面破损的老式挂钟，她把三角板的45°顶点A放在圆上，将两边与圆的交点分别记为点B，C，如图所示，经测量弦BC的长为8cm，则该镜子的直径为 ． 18．如图，在△ACD中，CBAD，A=45，E是CD的中点，G是AC上一点，连接GE并延长，交AD延长线于点F，已知AC，CE=GE，EF=CD，则DF= ． 19.刘徽在《九章算术》中提到：勾自乘为朱方，股自乘为青方，令出入相补，各从其类， 因就其余不动也，合成弦方之幂．开方除之，即弦也来证明勾股定理，此图在数学中应用广泛.在中，,以三边为边分别构造正方形如图所示，连接BN,交直线AC于点G，,则 20.如图,已知菱形ABCD,AB=8,∠B=60°，点E是线段AB上一点，连接DE，将△ADE沿DE翻折到△DFE,分别延长EF，DF交DC、AB于点G、H, 若GC:GD=1:7，则BH的长为 　 　 21.如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°， = ，在边AC上取一点E，使得BE=AB，且∠BED=∠A，则 的值为 . 22.如图，在长方形ABCD中，点E在线段BC上，线段DE绕点E顺时针旋转90°得到线段EF，且点F恰好落在直线AC上，如果AB=5，EC=2，则BE的值为 。 A B C D F E 23.生活中到处可见到黄金分割的美学应用.如图，在矩形AEFH中，点B是线段AE的黄金分割点，且AB>BE，若分别以AB，BE为一边构造正方形ABCD和正方形BEFG,则= ▲ ． 24. 如图，在等腰中，，,点D是BD上一点，，沿着AD折叠得到，连接CE，则CE= ▲ ． 25.如图，在矩形ABCD中，AD＝8，AB＝2BE，E是BC上的一点，以E为圆心，AE为半径的圆弧交AD于点F，交CD于点G．连接EF、FG、EG，若F是弧AG的中点，则tan∠GEC= ▲ ． 26.某路段人行横道预告菱形标线，提示驾驶人前方已接近人行横道，应减速慢行，并需注意行人横过马路。如图，制作时，菱形四个顶点在矩形的四条边上，恰好组成一个轴对称图形，矩形宽150厘米、长300厘米，则菱形的边长___________厘米. 27．在阅读时，保持视线与书本成90°角是一个良好的习惯，它有助于减少对眼睛的负担，并促进更有效的阅读。如图，桌面AB与水平面夹角15°，书本CD与桌面夹角30°，AC=PC，当AP=cm时，为减少对眼睛的负担，确保眼睛M到书本上点P的距离为cm，AN的长度为___________cm. 28．如图，在正方形ABCD中，E、F在CD上，DE=10，，AE的延长线与BF的延长线交于G，cos∠ABF=，EH⊥AE，，△AGH的面积为____________________. 29.如图所示，已知在等边△中，点分别在、边上，连接，将△沿翻折，得△，连接延长交于点，若， 则 ． 30.如图，点E是正方形ABCD边CD上的一点，将△BCE沿直线BE翻折得到△BFE，连接AF并延长交BE的延长线于点M，连接DM、CM．若DE＝CE，CM＝4，则AD＝ ． 31.如图，△ABC中，D为AC中点，点E在BC上且BE=3CE，若∠CDE=∠ABD,则的值为 . 32.如图，在四边形中，∥，，，，点在边上，，连接，且．将线段绕点逆时针旋转，交的延长线于点，连接，则线段的长为______． 33.如图，正方形ABCD边长为2，以对角线AC为斜边作Rt△AEC，∠E=90°，点F在线段CE上，连接BF．若2AE=3CF，则线段BF的最小值为 ． 34．在△ABC中，∠ACB=45°，D为AB边上的点，连接CD，过点B作BE⊥CD于点E，若∠DBE=2∠DCB，DE=2，DC=6，则BD长为 ． 35．如图，在△ABC中，已知∠B＝60°，AB=16,BC=4,以AC为边在△ABC外侧作等边△ACD，过点D作DF⊥AB于F，DF与AC交于点E，则 ． 3、 解答题 36.如图1,点P是⊙O外一点，点A、B在⊙O上，分别连接AB、PB、PA，延长PA交⊙O于点D,已知PB=AB. （1）利用尺规和无刻度的直尺在图1中B作射线BC∥AD，交⊙O于点C,保留作图痕迹,不要求写出解法和理由. （2）连接BD，若∠PBA=∠DBC，求证：PB是⊙O的切线. （3）在（2）的条件下，当PB=AB=2，PA=1，求BC的长. 37．综合实践：在尺规作图的复习课上，师生就如何利用尺规绘制等腰三角形腰上的高产生了激烈讨论. 已知：如图1是等腰三角形ABC，AB=AC，CD⊥AB于点D 求作：在AC上找一点E，使得BE⊥AC. 下面是小明和小颖的做法给大家打开了新的思路 小明：（如图2） 1.分别以B、C为圆心，大于AC为半径画弧，相交于点P 2.连接AP相交CD于点Q 3.连接BQ并延长交AC于点E，则E点即为所求 图2 图3 小颖：（如图3） 1.分别以B、C为圆心，大于AC为半径画弧，相交于点P 2.连接AP相交BC于点M 3.以点M为圆心，MC为半径绘制圆交AC于点E，则E点即为所求 请结合两位同学的作法思考以下问题： （1）请证明小颖作法的合理性； （2）小华尝试利用手中的数学工具一一量角器作出△ABC中AB边上的高，他发现量角器的一边刚好与△ABC的AB边重合，如图4，AB是半圆的直径，点C在半圆外，连接BE，请你用无刻度的直尺帮小华画出△ABC中AB边上的高； 图4 （3）踏春时节，小明动手做了一个风筝，将实物抽象为如图5所示的数学图形，已知DE=DF，HE=HF，连接DH和EF相交于点O，现需要加固风筝骨架，分别在EH和FH上找点N、M，使得EM⊥FH，FN⊥EH，请仅用圆规找出点M和点N. 图5 38.操作与探究：如图，在△ABC中，∠ABC＝90°．动手操作： （1）用直尺和圆规按要求作图：①作AC的垂直平分线MN交AC于点O；②以点O为圆心OC长为半径作⊙O；③连接BO并延长交⊙O于点D，连接AD，CD（要求：保留作图痕迹，标明字母）． 猜想证明： （2）在（1）所作的图形中： ①判断点A，B与⊙O的位置关系，并说明理由； ②判断四边形ABCD的形状，并说明理由． 39．如图，在 △ABC 中，点 E在 BA 的延长线上，AG平分 ∠EAC，且 AG∥BC。 BD 平分 ∠ABC，交 AC于点 D，交直线 AG 于点 M，连接 CM。 （1）请添加一个合适的条件 ，使得四边形 ACBM是菱形。 （2）在（1）的条件下，已知 AC=6，求的面积。 40.如图，已知△ABC接于⊙O，AB是⊙O的直径，AD是⊙O的切线. （1）尺规作图：过点B做⊙O的切线，与AD相交于点P； （2）延长AC与切线PB相交于点E，若∠BAC=30°，AB=2，求BE的长. 41.如图，CD是⊙O的直径，AB是垂直于CD的弦，垂足为E，过点A作BD的平行线AH，AB=，CE=1． （1） 请用直尺和圆规，过点D作⊙O的切线DF与AH交于点F（不写作法，保留作图痕迹）. （2）在（1）的条件下，求证：四边形ABDF为菱形． 42.如图，在等腰中，，点为内部一点，与相切于点，连接. (1)利用圆规和无刻度直尺在图中作点关于直线的对称点；(保留作图痕迹，不要求写出作法） (2)连接，，求证：四边形为菱形； (3)在(1)(2)问的基础上，若过菱形对角线的交点，连接. 若，求. 43.如图，在△ABC中，AC＝BC，以AB为直径作⊙O与AC相交于点D，点D为AC的中点，连接OC． （1）求∠A的度数； （2）尺规作图：作DE与⊙O相切于点D，交BC于点E，若CE=3，求直径AB的长． 44.如图1，内接于，BC是的直径，点D为上一点，连接BD，,. （1） 求证：四边形ABOD是菱形； （2） 已知DM是的切线，点D是切点，点E为BC延长线上的一点，且.若求BC的长; （3） 利用圆规和无刻度直尺在图2中作,交DC延长线于点E，保留作图痕迹，不用写出作法和理由. （图2） （图1） 45.如图是由边长为1的小正方形构成的15×15网格，每个小正方形的顶点叫做格点．⊙O经过A，B、C三个格点，AB为⊙O的直径，BC是⊙O的一条弦． （1）在图1中，仅用无刻度的直尺在给定网格中画出弧AC的中点D； （画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示）． （2）在（1）的基础上，过点D作EF⊥BC，分别交BA、BC的延长线于点E、F． （不限定画图工具，在图上标明字母）． ①求证：EF为⊙O的切线； ②求AE的长． 46.如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，△ABC的顶点A，C均落在格点上，点B在网格线上，以AB为直径的半圆的圆心为O，延长边AC交半圆于点D。 （1）线段AC的长等于 　 　 ； （2）以AB为直径的半圆的圆心为O，在半圆上找一点P，AP平分∠CAB。请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点P，并简要说明点P的位置是如何找到的（不要求证明）。 47．如图，是的直径，点在上，点A、点B、点C均在网格的顶点上；按下列步完成作图，并回答问题： ①作的平分线交于点， ②过点作直线的垂线，交的延长线于点， ③连接AD、BC交于点F， (1)求证：直线是的切线； (2)求长． 48.如图的方格纸中，每个小方格都是边长为1的小正方形，O的圆心O和点P在方格纸的格点上（即网格横纵线的交点） （1） 已知PM与O相切于M，用无刻度直尺画出O的另一条切线PN及切点N.（4分） （2） 在（1）的条件下，求证PN与O相切于N.（4分） 49.【定义】 有一个内角是直角且对角线互相垂直的四边形称为 “强垂美四边形”。 【应用】 （1）如图1，在强垂美四边形ABCD中，∠ABC=90°，AB=BC=.若∠ADC=60°,则CD= ▲ ，四边形ABCD的面积= ▲ ；(4分) 图1 D A C B O 图2 A B C D （2）如图2，在强垂美四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O.若AB∥CD且CD=2AB，试猜想AD与AO的数量关系，并加以证明； (4分) （3）如图3，在强垂美四边形ABCD中，∠ABC=90°，AB=2，BC=4，AD=5，点E是对角线AC上一点，连接BE并延长，交CD于点F。当△ABE是以BE为腰的等腰三角形时，求的值。图3 D B A C 备用图 D B A C 50.定义：如图1，线段上有一点C，若，则称点C线段的钻石分割点，称作钻石比例．如图 2，矩形 ABCD 中， ，那么矩形 ABCD叫做钻石矩形． 图1 图2 图3 图4 （1） 如图3，在中，∠ ，以点C为圆心，任意长为半径作弧，分别交于点D，E，再以D，E为圆心，大于长为半径作弧，两弧相交于点F，连接并延长，交于点P，证明：点P为线段的“钻石分割点”． （2） 如图4，若矩形为钻石矩形（AD<AB）,将矩形沿着折叠，使B点对应点F落在上，延长交的延长线于G点，若AB，求的长. （3）如图5，在△ABC中，CB=CA，AQ为∠CAB的角平分线，CQ=，∠A=30°，点P为AB的钻石分割点，且AP>BP,在△ABC的边上是否存点D，使得△CPB与△APD相似，若存在请求出AD的长. 图5 备用图 51.定义：对于线段AB，若点Q在直线AB上，记线段AB的长度为（），点Q到端点A（或B）的距离为（），则称为点Q关于线段AB端点A（或B）的界度.图（1） （1）如图（1），在矩形ABCD中，AB=16，AD=12，E是边CD上的一点，将矩形ABCD沿折痕AE折叠，点D恰好落在矩形对角线AC上，记为点F，延长EF交线段AB于点G，则点E关于线段CD端点C的界度为_______，AG=_______. （2）如图（2），在矩形ABCD中，AB=16，AD=12，点E为射线DC上的一个动点，将矩形ABCD沿折痕AE折叠，点D的对应点为F，延长AF交射线DC于H点，延长EF交射线AB于G点. ①E在运动过程中，若满足△AFG与△ADE相似，则AG=______，点G关于线段AB端点B的界度为___________. ②若tan∠DAE，求的值. （3） 如图（3），在菱形ABCD中，AD=8，∠ABC=60°，若点E在直线AB上，且关于线段AB端点B的界度为，将△BCE沿CE翻折，使得点B的对应点为F点，直线CF与直线AB交于M点，直线EF与直线CD交于N点，请根据题意画出符合条件的图形并直接写出.图（2） 图（3） 备用图 52.【定义】如果连接一个平行四边形的一个顶点和不过该顶点的对角线的一个三等分点，这个顶点、这个三等分点、这条对角线的一个端点构成的三角形是直角三角形，那么这个四边形叫做“三等分直角四边形”，连接这个顶点和三等分点的线段叫做“三等分线”，构成的直角三角形叫做关于这个三等分线的“内含直角三角形”. 如图1，在▱ABCD中,，连接BE,若△AEB和△BEC至少有一个是直角三角形，那么▱ABCD为三等分直角四边形，BE叫做三等分线，这一个或这两个直角三角形叫做关于BE的内含直角三角形. 【理解】 （1）如图1，在三等分直角四边形ABCD中,，连接BE与CD交于F,若BF⊥AC,若AB=，BF=3，则CF与AB的数量关系为 ，AC= ； （2）如图2，在菱形ABCD中，∠BAD=60°，,连接BE与AD交于点F，则∠EBC= ，菱形ABCD （“是”或“不是”）三等分直角四边形. 【应用】 （3）如图3，矩形ABCD是三等分直角四边形，，AE⊥BD与CD交于点F，连接CD，ED与CB有什么数量关系？请说明理由. 【拓展】 （4）如图4，在△ABC中，∠CAB=90°，AC=3,AB=4. ①请画出以点C为顶点的三等分直角四边形，使△ABC是关于AB的内含直角三角形，且△ABC的面积小于三等分直角四边形面积的；（不限定画图工具，不写画法及证明，在图上标明字母） ②将△ABC绕点A顺时针旋转90°得到△AB'C'，若射线C'B'与①中所画的三等分直角四边形的边交于另一点P，连接PE，请直接写出PC'的长． 图1 图2 图3 图4 53．综合与探究 【概念建构】 新定义：等直四边形 若一个四边形中存在一个内角为直角，且过该直角顶点的一条对角线将四边形分割成一个直角三角形和一个等腰三角形，则称这个四边形为等直四边形． 例如，如图1和图2，等直四边形ABCE中，∠BCE=90°，连接AC，△ABC为直角三角形，△ACE为等腰三角形． 【性质探究】 ①如图1，∠BAC=90°，CA=CE，若∠ACB=30°，AB=1，AE= ； ②如图2，∠ABC=90°，，AC=2，则= ． 【判定辨析】如图3，将Rt△ABC绕点A逆时针旋转至△ADE，点D恰好落在BC边上，连接CE，求证:四边形ABCE是等直四边形． 【综合应用】如图4，在等腰Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC，四边形ABCE是等直四边形．∠BCE=90°，连接AC、BE相交于点O，将AB旋转至AC上，点B的对应点为点D，求的值．（温馨提示：不限作图工具）（第20题图3） （第20题图1） （第20题图2） （第20题图4） （备用图） （备用图） 54．皮尔斯六连杆运动机构探究 项目背景：1864年，法国工程师查尔斯·皮尔斯发明了世界上第一个能精确将圆周运动转化为直线运动的机械装置——皮尔斯六连杆机构。在蒸汽机时代，这一发明解决了活塞精确直线运动的难题，对工业革命产生了深远影响。 深圳某中学"机械与数学"社团展项目式学习，探究皮尔斯六连杆的几何原理与实际应用。 机构结构： 如图所示，皮尔斯六连杆由6根长度固定的杆件铰接而成： 1．固定点O； 2．两根等长杆件：OA=OC=10 cm； 3．四根等长杆件：AB=BC=CD=DA=6 cm，构成菱形ABCD； 4．点B为输入点，点D为输出点．当OP=PB，点B在P点为圆心，PB为半径的圆上运动时，点D沿一条直线轨迹运动． 任务一：几何原理探究 (1)求证：点O、B、D三点在同一条直线上． (2)证明：在机构运动过程中，OB•OD的值始终为常数，并求出这个常数． 任务二：运动规律分析 社团成员用硬纸板制作了上述尺寸的皮尔斯六连杆模型，进行实验探究。 (1)设OB= x cm，OD= y cm，求y关于x的函数解析式，并写出自变量x取值范围． (2)在皮尔斯连杆机构中，数学本质是反演变换：若点B的轨迹是不过点O的一个圆（即运动时，OP ≠ PB），据此判断此时点D的运动轨迹为 ▲ ． 55. 【新定义】平行四边形一边的中点和其对边的一个顶点的连线与另一对角线的夹角等于平行四边形的一内角，这样的平行四边形叫做中点等角平行四边形，夹角叫做中点等角． 如图1，在▱ABCD中，E为AD的中点，连接CE和对角线BD交于点F，若 ∠BFC =∠ADC，则平行四边形ABCD是中点等角平行四边形，∠BFC叫做中点等角． (图3) (图2) (图1) 【问题解决】 （1）如图2，在矩形ABCD中，E为AD的中点，连接CE和对角线BD交于点F，∠BFC =∠A =90°，则矩形ABCD是中点等角平行四边形，若，则CD = ，EF = . （2）如图3，在菱形ABCD中，BD为对角线，E为AD的中点，连接CE交BD于点F，若，求证：菱形ABCD是中点等角平行四边形． （3）如图4，在中点等角平行四边形ABCD中，E为平行四边形边上的中点，连接CE交对角线BD于点F，若∠ABC=60°，BC=2，求AB的长度． 56．综合与探究 【探索发现】如图1，深圳福田红树林自然保护区内，科研人员在A、B两处设 置固定观测点，测得AB = 10 km。在A点测得某候鸟的飞行方向与AB夹角为30°， 在B点测得与BA夹角为45°。 （图） 【问题解决】 （1）求该候鸟到AB所在直线的距离。 （2）科研人员计划增设一个可移动观测点C，要求C与A、B构成的△ABC中， ∠ACB = 90°，且AC：BC = 3：4。以AB所在直线为x轴，AB的中点为原点建 立平面直角坐标系，求点C的坐标。 （3） 如图2，科研人员在观测过程中，将一张矩形地图沿AE折叠。已知矩形 ABCD中，AB = 6，BC = 8，点E是射线DC上一点，将△ADE沿AE折叠，点D的对应点为F。当△CEF为直角三角形时，求CF的长。 （备用图） （图2） （4） 如图3，科研人员发现，在菱形ABCD中也有类似规律。已知菱形ABCD 中，∠BAD = 60°，AB = 4，O是BC的垂直平分线与AC的交点，将△BOC绕点B逆时针旋转，旋转角为α，并放缩得到△BEF（点O、C的对应点分别为点F、E），使得点E落在CD上，点F落在AC上。求的值。 （备用图） （备用图） （图3） 57.【教材再现】 如图1，四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点，∠AEF＝90°，且EF交正方形外角的平分线CF于点F．求证：AE＝EF．（提示：取AB的中点G，连接EG） （1） 请你思考题中的“提示”，这样添加辅助线的目的是通过截取线段BG＝BE，构造出 　 　 ≌　 　 ，进而得到AE＝EF． （图1） （图2） 概念认识：如图2，已知∠ABC，若∠ABD=∠DBE=∠EBC，则BD，BE叫作∠ABC的“三分线”，其中BD是“邻AB三分线”，BE是“邻BC三分线”. 【类比迁移】（2）如图3，四边形ABCD是矩形，AB＝BC，点E是边BC的中点，∠AEF＝90°，且EF交矩形ABCD的外角∠DCG的“三分线”CF于点F，请判断AE与EF的数量关系，并说明理由． 【拓展探究】（3）如图4，在平行四边形ABCD中，AB=4，BC=8，∠B＝135°，点E为线段BC上一动点，连接AE，作∠AEF＝135°，且EF与平行四边形的外角∠DCG的“邻CD三分线”交于点F．当时，请求出CE的长． （图4） （图3） 58.（1）【定义】：有一组邻边相等，且这组邻边所夹内角与其对角也相等的四边形叫做“等邻等对四边形”，相等的邻边所夹的角叫做“黄金角”，根据以上定义判定：菱形 （填是或不是）“等邻等对四边形” 数学兴趣小组的同学对“等邻等对四边形”的性质进行了相关探究： （2）【特例感知】：如图1，四边形ABCD是“等邻等对四边形”，∠A=∠C=60°，AB=AD，CD=2BC=6，则AB= . （3）【深入探究】如图2，四边形ABCD是“等邻等对四边形”，∠A为“黄金角”，若，BC=，CD=，求AB的长 图2 图1 （1） 【拓展研究】,如图3，Rt△ABC中，AC=8，BC=15，点D为平面内一点，若以A、B、C、D为顶点的四边形是以BC为边且以点D为“黄金角”的“等邻等对四边形”，请作出符合条件的所有D点（不限作图工具）；过D点的对角线将该四边形面积分成两部分，分别记为S1，S2（S1<S2），请求出的值 图3 备用图 59.【综合与实践】 在数学的学习过程中，我们除了掌握课本中常见的全等三角形，相似三角形外，还会遇到许多具有独特性质的特殊三角形．让我们结合已有知识，对以下特殊三角形展开探究． 定义：在一个底角为30°等腰三角形中，如果另有一个等腰三角形，与它有公共顶点，则称这样的两个三角形为“友好三角形”． 图1 图2 图3 【初步探究】 （1）（3分）如图1，在△ABC中，AB=AC,若∠A＝120°，点D是边BC上一点，连接AD,将AD绕点A顺时针旋转120°，那么请你证明，△ADE和△ABC是“友好三角形”． 【问题解决】 （2）（4分）如图2，在（1）的条件下，AB=2,DE与AB的交点是点F，若△ADF与△ABC是“友好三角形”，求CD的长． 【拓展应用】 （3） 如图3，在等边△ABC中,，点D是射线BC上一个动点．以BD为底边构造△BED,使得BE=DE,∠BED=120°， ①（1分）△ABC与△BED_____“友好三角形”（填“是”或“否”）． ②（4分）连接AD,若F是AD的中点，当时，直接写出BD的长． 60.【概念呈现】在一个三角形中，若两个内角满足其中一个角比另一个角大90°，即∠A﹣∠B＝90°，那么我们称这个三角形为“超角三角形”，称较大的角∠A为“超角”，较小的角∠B为“底角”。 【概念理解】 （1） 若一个三角形的三个内角分别为115°，40°，则这个三角形　 　 （填“是”或“不是”）超角三角形。 【性质探究】 （2）如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D是边AB上一点，连接CD，若△BCD是超角三角形，且∠BDC是超角，∠B为底角，证明． 【判定】 （3）如图2，在▱ABCD中，，CD=4，∠BDC=90°，3BF，证明△AED是超角三角形，并指出底角和超角. 【综合应用】 （4）如图3，在菱形ABCD中，∠ABC=120°，AB=4，点E是边AD上一点，连接BE交对角线AC于点F。已知△ABF是超角三角形，求AE的长． 1 学科网（北京）股份有限公司 61.【定义】如果四边形对角线的交点是一条对角线的五等分点，则称这个四边形是“V5四边形”.如图1,在四边形ABCD中，AC与BD交于点O,,则称四边形ABCD是“V5四边形”. 【性质】(1)如图2,在正方形ABCD中，BC=4,E是CD边上一点，当四边形ABED为“V5四边形”时，请你求出DE的长度； 【判定】(2)如图3,在矩形ABCD中，点E是线段BC的点，，点F是CD边上一点，AF与DE交于点O,若满15AB=8BC，，请你判断四边形AEFD是否为“V5四边形”并说明理由； 【应用】(3)如图4,将边长为6正方形ABCD绕点B逆时针旋转至正方形,若以四点为顶点的凸四边形是“V5四边形”,四边形的对角线交于点O,请你直接写出OB的长. 图2 备用图 图3 图4 图1 62. 【阅读材料】 材料一：若一个点将线段分成两段，较短一段与较长一段的比等于较长一段与整个线段的比，则这个点叫做该线段的黄金分割点，这个比值叫做黄金分割比，经计算黄金分割比为． 材料二：将宽与长的比等于黄金分割比的矩形称为黄金矩形. 【特例感知】 小明家准备利用篱笆围出一个矩形菜园，如图，菜园的一边利用足够长的墙，靠墙的一边为菜园的长，墙对面空有1米宽的门，菜园的面积为60m2，如图所示，小明为了增加视觉美感，想把菜园的形状设计为黄金矩形（黄金分割数比取0.6计算），请你帮小明计算他需要多长的篱笆？ 【操作实践】 （1）小丽通过折纸得到了黄金分割点，第一步将正方形纸片ABCD对折，使AB和CD重合，再展开，折痕为EF，如图1；第二步沿DF对折后展平，如图2；第三步再折叠纸片，使得DA与DF重合，再展开，折痕为DQ，如图3. 求证：点Q是AB的黄金分割点． 图1 图2 图3 （2）小勇受到小丽的启发，想通过尺规作图找到正方形ABCD中AB的黄金分割点，如图4，第一步作了AD的中垂线，分别交AD和BC于点E和F，….. 请你完善小勇的步骤（不需要写作图步骤，保留作图痕迹） 图4 【拓展延伸】 如图，在矩形ABCD中，AB=10，AD=，点E是线段AD上靠近点D的黄金分割点，过点E作AD的垂线交BC于点F，点P是直线AD上一动点，将△ABP沿直线BP折叠，使得点A对应点G刚好落在直线EF上，直线CG交直线AD于点Q，求∠BGH或∠BGH的补角的正切值. 图5 备用图 $