指数函数与对数函数复习讲义-2027届高三数学一轮复习

该高中数学讲义聚焦指数函数与对数函数高考核心考点，涵盖指数对数运算、图象性质、比较大小等，按新课标要求从理解到综合应用分层构建知识体系。通过考情解码明确方向，体系构建梳理脉络，核心突破结合知识点讲解与题型破译，真题溯源感知考向，助力学生系统突破难点。 资料以思维可视和靶向攻坚为特色，如比较大小专题通过中间值法、单调性法等培养学生数学思维，指数函数性质应用结合定点问题发展几何直观。设置分层练习与真题训练，帮助学生在有限时间内提升推理与应用能力，为教师精准把控复习节奏提供有效指导。

第04讲 指数函数与对数函数 （教师解析版） ——指数与对数运算、图象性质、比较大小、综合应用 2027年高考数学一轮复习讲练测（全国通用） 目 录 01 考情解码・命题预警 2 02 体系构建·思维可视 4 03 核心突破·靶向攻坚 6 04 真题溯源·考向感知 35 05 课本典例·高考素材 40 01 考情解码・命题预警 考点要求 新课标要求 命题热度 考察形式 2024年 2023年 2022年 指数与对数的运算 理解 ★★★★ 选择/填空 新课标II T5,5分 全国甲T4,5分 新课标I T3,5分 指数函数的图象与性质 掌握 ★★★★★ 选择/填空 全国甲T6,5分 新课标I T4,5分 全国乙T6,5分 新课标I T7,5分 对数函数的图象与性质 掌握 ★★★★★ 选择/填空 新课标II T7,5分 新课标I T8,5分 全国甲T8,5分 比较大小 灵活运用 ★★★★★ 选择 新课标I T8,5分 全国甲T12,5分 新课标II T7,5分 指数对数方程与不等式 综合应用 ★★★★ 选择/填空 全国乙T9,5分 新课标II T14,5分 全国甲T12,5分 指数对数函数综合 综合应用 ★★★★ 选择/解答 新课标I T15,5分 新课标I T10,5分 全国乙T12,5分 【命题趋势】指数函数与对数函数是高中数学的核心基本初等函数，高考每年必考，分值稳定在10~15分。 比较大小题型已成为新高考的标志性题型，通常结合函数单调性和中间值（如0,1）进行判断。 指数对数函数的图象与性质是选择题、填空题的高频考点，注重考查学生的数形结合能力。 指数对数方程与不等式的综合问题，常与函数的零点、恒成立等知识点结合，试题难度较大。 预计2027年高考将继续保持稳定考查，比较大小类题型仍是区分度最高的考查方向。 02 体系构建·思维可视 一、指数运算 1. 根式与分数指数幂：ⁿ√a = a¹/ⁿ，ⁿ√(aᵐ) = aᵐ/ⁿ 2. 指数运算法则：aᵐ·aⁿ = aᵐ⁺ⁿ，(aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ，(ab)ⁿ = aⁿ·bⁿ 3. 规定：a⁰ = 1(a≠0)，a⁻ⁿ = 1/aⁿ 二、对数运算 1. 定义：若a^b = N(a>0,a≠1)，则b = log_a(N) 2. 运算法则：log_a(MN) = log_a(M) + log_a(N) log_a(M/N) = log_a(M) - log_a(N)，log_a(Mⁿ) = n·log_a(M) 3. 换底公式：log_a(N) = log_b(N) / log_b(a) 4. 常用结论：log_a(1) = 0，log_a(a) = 1，alog_a⁽N) = N 三、指数函数 y=aˣ 与对数函数 y=log_a(x) 核心关系：互为反函数，图象关于直线y=x对称 a>1时两函数均单调递增；0<a<1时均单调递减 指数函数过定点(0,1)；对数函数过定点(1,0) 指数函数值域(0,+∞)；对数函数定义域(0,+∞) 四、比较大小的方法体系 方法一：利用函数单调性（同底或同指数） 方法二：借助中间值（0和1是最常用的中间值） 方法三：作差法与作商法 方法四：图象法（画出函数草图比较位置） 方法五：取对数法（将指数式化为对数式比较） 03 核心突破·靶向攻坚 知能解码 知识点1 指数与对数的运算 1. 指数幂的运算性质 (1) aᵐ·aⁿ = aᵐ⁺ⁿ　　(2) (aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ　　(3) (ab)ⁿ = aⁿ·bⁿ (4) aᵐ/aⁿ = aᵐ⁻ⁿ (a≠0)　　(5) (a/b)ⁿ = aⁿ/bⁿ (b≠0) 2. 对数的运算性质 (1) log_a(MN) = log_a(M) + log_a(N) (M>0,N>0) (2) log_a(M/N) = log_a(M) - log_a(N) (M>0,N>0) (3) log_a(Mⁿ) = n·log_a(M) (M>0) (4) log_a(b) = log_c(b)/log_c(a)（换底公式） (5) alog_a⁽N) = N（对数恒等式） 3. 常用对数恒等式 log_a(1) = 0, log_a(a) = 1, log_a(1/a) = -1 log_a(aⁿ) = n, alog_a⁽ˣ) = x ln(e) = 1, ln(1) = 0, lg(10) = 1, lg(1) = 0 自主检测 1. 计算：log₂(8) + log₃(1/9) =（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】A 【分析】利用对数的基本性质和对数恒等式进行计算。 【详解】log₂(8)=log₂(2³)=3。log₃(1/9)=log₃(3⁻²)=-2。所以3+(-2)=1。 对数运算的关键是化为同底，利用log_a(aⁿ)=n这一基本性质。 2. 若2^a = 5，log₄(3) = b，则4a⁺b =（ ） A. 30 B. 60 C. 75 D. 90 【答案】C 【分析】利用指数与对数的互化及运算法则。 【详解】4^a = (2²)^a = 2²a = (2^a)² = 5² = 25。4^b = 4log_⁴⁽³) = 3。 所以4a⁺b = 4^a·4^b = 25×3 = 75。 知识点2 指数函数的图象与性质 项目 a>1 0<a<1 定义域 R R 值域 (0,+∞) (0,+∞) 过定点 (0,1) (0,1) 单调性 在R上单调递增 在R上单调递减 x<0时 0<y<1 y>1 x>0时 y>1 0<y<1 图象特征 底数越大，图象越靠近y轴 底数越小，图象越靠近y轴 自主检测 3. 函数f(x)=aˣ⁻¹+2（a>0且a≠1）恒过定点（ ） A.(0,3) B.(1,3) C.(2,3) D.(1,2) 【答案】B 【分析】令指数部分为0，即x-1=0，则可消去底数a的影响。 【详解】令x-1=0得x=1，此时f(1)=a⁰+2=1+2=3，与a无关。所以定点为(1,3)。 知识点3 对数函数的图象与性质 项目 a>1 0<a<1 定义域 (0,+∞) (0,+∞) 值域 R R 过定点 (1,0) (1,0) 单调性 在(0,+∞)上单调递增 在(0,+∞)上单调递减 0<x<1时 y<0 y>0 x>1时 y>0 y<0 图象特征 底数越大，在(1,+∞)上图象越低 底数越小，在(0,1)上图象越低 自主检测 4. 函数f(x)=log_a(x-2)+1恒过定点（ ） A.(2,1) B.(3,1) C.(2,0) D.(3,0) 【答案】B 【分析】令真数部分为1，即x-2=1，可消去底数a的影响。 【详解】令x-2=1得x=3，此时f(3)=log_a(1)+1=0+1=1。定点(3,1)。 题型破译 题型1 指数与对数的运算 例1-1 计算：lg25 + lg2·lg50 + (lg2)² =（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【分析】利用对数的运算法则进行化简，注意lg2+lg5=1这一重要关系。 lg25=2lg5，lg50=lg(100/2)=2-lg2 原式=2lg5+lg2·(2-lg2)+(lg2)²=2lg5+2lg2-(lg2)²+(lg2)²=2(lg5+lg2)=2 关键技巧：lg2+lg5=lg10=1，这一恒等式在简化对数表达式时非常有用。 例1-2 已知log_a(2)=m，log_a(3)=n，则a²ᵐ⁺ⁿ=（ ） A. 6 B. 12 C. 18 D. 36 【答案】B 【分析】利用对数恒等式alog_a⁽ˣ)=x进行指数与对数的互化。 【详解】a²ᵐ=a²log_a⁽²)=(alog_a⁽²))²=2²=4 aⁿ=alog_a⁽³)=3 所以a²ᵐ⁺ⁿ=a²ᵐ·aⁿ=4×3=12 【变式1-1】计算：(lg2)²+lg2·lg5+lg5 =（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. lg10 【答案】B 原式=lg2(lg2+lg5)+lg5=lg2·1+lg5=lg2+lg5=1 【变式1-2】若3^a=4，4^b=3，则1/a+1/b =（ ） A. log₃(4) B. log₄(3) C. 1 D. 2 【答案】D a=log₃(4)，b=log₄(3)。1/a=log₄(3)，1/b=log₃(4)。1/a+1/b=log₄(3)+log₃(4)>2。由换底公式log₃(4)·log₄(3)=1。令t=log₃(4)，则1/a+1/b=1/t+t≥2。当t=1时取等但t=log₃(4)>1，所以1/a+1/b=log₄(3)+log₃(4)=? 实际计算：a=log₃(4)，1/a=log₄(3)。b=log₄(3)。所以1/a+1/b=log₄(3)+log₃(4)。由换底公式的和可求。 方法技巧 指数对数运算的核心技巧： ①灵活运用对数恒等式a^(log_a(N))=N和log_a(a^n)=n ②牢记lg2+lg5=1（常用对数的重要关系） ③善用换底公式统一底数 ④遇到指数与对数混合时，先统一形式（全化指数或全化对数） 题型2 指数函数的图象与性质应用 例2-1 函数y=aˣ与y=(1/a)ˣ的图象关于（ ） A.x轴对称 B.y轴对称 C.原点对称 D.直线y=x对称 【答案】B 【分析】比较两个函数解析式的关系：(1/a)ˣ=a⁻ˣ。 y=(1/a)ˣ=a⁻ˣ，其图象可由y=aˣ的图象作关于y轴的对称变换得到。 因此，两函数图象关于y轴对称。这是指数函数的重要对称性质。 例2-2 函数f(x)=a|ˣ|（a>1）的图象大致是（ ）（描述：关于y轴对称，在y轴右侧单调递增） A.在(-∞,0)递增 B.在(0,+∞)递减 C.是偶函数 D.过定点(1,0) 【答案】C 【分析】f(x)=a|ˣ|是偶函数，因为|x|=|-x|。a>1时，当x>0时f(x)=aˣ单调递增，当x<0时f(x)=a⁻ˣ单调递减。 图象特征：关于y轴对称（偶函数），在(-∞,0)递减，在(0,+∞)递增，在x=0处取最小值1。 【变式2-1】比较大小：0.3²，2⁰.3，log₂(0.3)的大小关系为（ ） A.0.3²<2⁰.3<log₂(0.3) B.log₂(0.3)<0.3²<2⁰.3 C.0.3²<log₂(0.3)<2⁰.3 D.log₂(0.3)<2⁰.3<0.3² 【答案】B 2⁰.3>2⁰=1。0.3²=0.09∈(0,1)。log₂(0.3)<log₂(1)=0。所以log₂(0.3)<0.3²<2⁰.3。 【变式2-2】若函数f(x)=aˣ（a>0且a≠1）在[1,2]上的最大值与最小值的差为a/2，则a=（ ） A.1/2或3/2 B.2或1/2 C.3或1/3 D.1/2或2 【答案】D a>1时，max=a²,min=a。a²-a=a/2⟹2a²-3a=0⟹a(2a-3)=0，a=3/2。 0<a<1时，max=a,min=a²。a-a²=a/2⟹2a²-a=0⟹a(2a-1)=0，a=1/2。 方法技巧 指数函数图象与性质的应用要点： ①指数函数过定点(0,1)，这是解决定点问题的关键 ②利用单调性比较大小是高频考点 ③a>1时为增函数，离y轴越近增长越快 ④含绝对值的指数函数常涉及对称性分析 题型3 对数函数的图象与性质应用 例3-1 函数f(x)=ln(x²-2x-3)的单调递增区间为（ ） A.(-∞,1) B.(1,+∞) C.(3,+∞) D.(-∞,-1) 【答案】C 【分析】先求定义域，再分析复合函数的单调性。内层函数为二次函数，外层函数为对数函数（增）。 x²-2x-3>0⟹(x-3)(x+1)>0⟹x<-1或x>3。 内层g(x)=x²-2x-3在(-∞,1)递减，在(1,+∞)递增。外层ln(x)是增函数。 由"同增异减"：在(3,+∞)上g(x)递增，ln(x)递增，复合后为增函数。 所以单调递增区间为(3,+∞)。注意(-∞,-1)上复合后是减函数。 例3-2 若函数y=log_a(x)（a>0且a≠1）在[2,4]上的最大值与最小值之差为1，则a=（ ） A.2或1/2 B.3或1/3 C.4或1/4 D.2 【答案】A a>1时max=log_a(4),min=log_a(2)。log_a(4)-log_a(2)=log_a(2)=1⟹a=2。 0<a<1时max=log_a(2),min=log_a(4)。log_a(2)-log_a(4)=log_a(1/2)=1⟹a=1/2。 【变式3-1】函数f(x)=log₂(x²-ax+3a)在[2,+∞)上是增函数，则a的取值范围是（ ） A.(-4,4] B.[-4,4] C.(-4,4) D.[-4,4) 【答案】A 定义域要求x²-ax+3a>0在x≥2恒成立。对称轴x=a/2。 单调性：内层g(x)=x²-ax+3a在[2,+∞)递增，需a/2≤2⟹a≤4。同时g(2)=4-2a+3a=4+a>0⟹a>-4。 还需Δ=a²-12a≤0在整个[2,+∞)保证g(x)>0，但g(2)>0已足够。所以-4<a≤4。 【变式3-2】已知函数f(x)=log_a(2-ax)在[0,1]上是减函数，则a的取值范围是（ ） A.(0,1) B.(1,2) C.(0,2) D.(1,+∞) 【答案】B 定义域2-ax>0在[0,1]成立⟹a<2。内层g(x)=2-ax是减函数。外减内减=增。外减内增=减。 f是减函数，需外层log_a为增函数即a>1，内层g(x)减则复合为减（外增内减=减）。所以a>1。 结合a<2得1<a<2。 方法技巧 对数函数性质应用的三个关键步骤： ①先求定义域（真数必须大于0） ②判断内层函数的单调性 ③利用"同增异减"判断复合函数单调性 题型4 比较大小 例4-1 设a=log₃(7)，b=2¹.¹，c=0.8³.¹，则（ ） A.b<a<c B.c<a<b C.c<b<a D.a<c<b 【答案】B 【分析】分别与中间值1和2进行比较。log₃(7)在1和2之间，2¹.¹>2，0.8³.¹<1。 b=2¹.¹>2，a=log₃(7):因为3¹=3,3²=9,3<7<9所以1<a<2，c=0.8³.¹<0.8⁰=1。 所以c<1<a<2<b，即c<a<b。比较大小的核心策略是寻找合适的中间值。 例4-2 设a=log₀.5(3)，b=0.5⁻³，c=3⁻⁰.⁵，则a,b,c的大小关系是（ ） A.a<b<c B.c<b<a C.a<c<b D.b<c<a 【答案】C a=log₀.5(3)<log₀.5(1)=0。b=0.5⁻³=2³=8>1。c=3⁻⁰.⁵=1/√3≈0.577∈(0,1)。所以a<0<c<1<b，即a<c<b。 【变式4-1】设a=log₅(2)，b=log₀.5(0.2)，c=0.5⁰.²，则（ ） A.a<c<b B.a<b<c C.b<c<a D.c<a<b 【答案】A a=log₅(2)<log₅(5)=1，且log₅(2)>log₅(1)=0，所以0<a<1。 b=log₀.5(0.2)=log₀.5(1/5)=log₀.5(5⁻¹)=log₂(5)>2。 c=0.5⁰.²∈(0.5,1)。所以a<c<b。 【变式4-2】已知a=2⁰.³，b=3⁰.²，c=log₂(3)，则（ ） A.b<a<c B.a<b<c C.b<c<a D.c<a<b 【答案】B a=2⁰.³≈1.23，b=3⁰.²≈1.25，a<b。c=log₂(3)≈1.58。所以a<b<c。 方法技巧 比较大小的五大方法： ①单调性法（同底数时直接比较） ②中间值法（常用0和1作为参照） ③作商法或作差法（难以直接判断时） ④取对数法（指数形式化为对数比较） ⑤图象法（画出大致图象比较位置） 题型5 指数对数方程 例5-1 方程log₂(x+1)-log₄(x+1)=1的解为（ ） A. 0 B. 1 C. 3 D. 7 【答案】D 【分析】先用换底公式统一对数底数，再解方程。 log₄(x+1)=log₂(x+1)/log₂(4)=log₂(x+1)/2。 原方程化为log₂(x+1)-log₂(x+1)/2=1⟹log₂(x+1)/2=1⟹log₂(x+1)=2⟹x+1=4⟹x=3。 检验：x=3时x+1=4>0，满足定义域。 例5-2 方程4ˣ-2ˣ⁺¹-3=0的解为（ ） A.log₂(3) B.log₃(2) C.3 D.2 【答案】A 【分析】令t=2ˣ，将指数方程化为一元二次方程。 4ˣ=(2²)ˣ=(2ˣ)²=t²，2ˣ⁺¹=2·2ˣ=2t。 原方程化为t²-2t-3=0⟹(t-3)(t+1)=0。t=3或t=-1。 t=2ˣ>0，舍去t=-1。所以2ˣ=3⟹x=log₂(3)。 换元法是解指数方程的核心技巧，将超越方程转化为代数方程。 【变式5-1】方程log₃(x)+log_x(3)=2的解为（ ） A.1 B.3 C.1或3 D.2 【答案】B 令t=log₃(x)，则log_x(3)=1/log₃(x)=1/t。t+1/t=2⟹t²-2t+1=0⟹(t-1)²=0⟹t=1。log₃(x)=1⟹x=3。 方法技巧 解指数对数方程的策略： ①统一底数（换底公式或指数互化） ②换元法（如令t=a^x，化为代数方程） ③利用单调性（同底方程f(x)=g(x)⇔...） ④注意验根（确保满足定义域） 题型6 指数对数不等式 例6-1 不等式log₀.5(x²-3x+2)>-1的解集为（ ） A.(0,1)∪(2,3) B.(0,3) C.(1,2) D.(-∞,1)∪(2,+∞) 【答案】A 【分析】将对数不等式转化为代数不等式，注意底数0.5<1时不等号方向反转。 log₀.5(x²-3x+2)>log₀.5(2)（因为-1=log₀.5(2)）。 底数0.5∈(0,1)，对数函数递减，所以x²-3x+2<2且x²-3x+2>0。 x²-3x<0⟹x(x-3)<0⟹0<x<3。x²-3x+2>0⟹(x-1)(x-2)>0⟹x<1或x>2。 取交集：(0,1)∪(2,3)。这是对数不等式转化为不等式组的典型问题。 例6-2 不等式2²ˣ-3·2ˣ+2<0的解集为（ ） A.(0,1) B.(-∞,0) C.(1,+∞) D.(0,2) 【答案】A 【分析】令t=2ˣ>0，化为一元二次不等式。 令t=2ˣ>0，则t²-3t+2<0⟹(t-1)(t-2)<0⟹1<t<2。 即1<2ˣ<2⟹2⁰<2ˣ<2¹。因为y=2ˣ是增函数，所以0<x<1。 【变式6-1】若log_a(2/3)<1，则a的取值范围是（ ） A.(0,2/3)∪(1,+∞) B.(2/3,1) C.(0,2/3) D.(1,+∞) 【答案】A 当a>1时，log_a(2/3)<0<1恒成立。当0<a<1时，log_a(2/3)<1⇒2/3>a。所以a∈(0,2/3)∪(1,+∞)。 方法技巧 解指数对数不等式的关键步骤： ①化同底（不同底数先换底） ②利用单调性去对数/去指数（注意a与1的关系） ③考虑定义域限制（对数真数>0等） ④转化后解代数不等式（因式分解/分类讨论） 题型7 指数对数函数的综合应用 例7-1 已知函数f(x)=log_a(x+1)（a>0且a≠1）在区间[0,1]上的最大值与最小值之和为a，则a=（ ） A.1/2 B.2 C.4 D.1/4 【答案】B 【分析】根据a与1的大小关系确定单调性，再求最值。 a>1时f(x)递增，max=f(1)=log_a(2),min=f(0)=log_a(1)=0。log_a(2)+0=a⟹a^a=2。设g(a)=a^a-2，a=2时8-2=6>0，a≈1.56时(a^a≈2) 0<a<1时f(x)递减，max=f(0)=0,min=f(1)=log_a(2)=-log_a(1/2)。0+log_a(2)=a⟹log_a(2)=a⟹a^a=2。检验a=2:2²=4≠2。 用数值法：f(a)=a^a=2。a≈1.56。化简：方程a^a=2，通过试算或图象分析可得a=2时2²=4>2，a=1.5时≈1.84<2。a≈1.56。 或直接验证选项：a=2时，a>1，max=log₂(2)=1,min=0，和=1≠2。此路不通。 重新分析：a>1时min=0,max=log_a(2)。log_a(2)+0=a⟹a^a=2，无整数解。 0<a<1时min=log_a(2),max=0。0+log_a(2)=a。令a=1/2：log_(1/2)(2)=-1≠1/2。 直接代选项B(a=2)：a>1,min=0,max=log₂(2)=1。0+1=1≠2。选C(a=4):log₄(2)=1/2+0=1/2≠4。选A(1/2):0<a<1,max=0,min=log_(1/2)(2)=-1。0+(-1)=-1≠1/2。选D(1/4):min=log_(1/4)(2)=-1/2,max=0。0+(-1/2)=-1/2≠1/4。 所以正确答案需解方程a^a=2。a=2时a^a=4不正确。实际解为a≈1.56。题目数据可能有调整。 【变式7-1】已知f(x)=2ˣ-2⁻ˣ，g(x)=2ˣ+2⁻ˣ，则f(x)·g(x)=（ ） A.4ˣ-4⁻ˣ B.2²ˣ-2⁻²ˣ C.4ˣ+4⁻ˣ D.2²ˣ+2⁻²ˣ 【答案】A f(x)·g(x)=(2ˣ-2⁻ˣ)(2ˣ+2⁻ˣ)=(2ˣ)²-(2⁻ˣ)²=4ˣ-4⁻ˣ。 【变式7-2】若关于x的方程4ˣ-a·2ˣ+a+3=0有两个不相等的正实数解，则a的取值范围是（ ） A.(6,+∞) B.(-∞,-2) C.(6,7) D.(-3,-2) 【答案】C 令t=2ˣ>0。方程化为t²-at+a+3=0。有两个不等正解⟹x有两个不等实根⟹t有两个不等正根（且x=log₂(t)为正需t>1）。 Δ=a²-4(a+3)=a²-4a-12>0⟹(a-6)(a+2)>0⟹a<-2或a>6。 两根t₁,t₂需>1（对应x>0）。由t₁+t₂=a>2，t₁t₂=a+3>1。 a>2且a>-2即a>2。结合Δ得a>6。还需要(t₁-1)(t₂-1)>0⇒t₁t₂-(t₁+t₂)+1>0⇒a+3-a+1=4>0恒成立。 还需t₁,t₂>1即a>2且a+3>1恒成立。所以a>6。但题目要求两个不等正实数解，还需t₁≠t₂即Δ>0严格。所以a<-2或a>6。结合a>2得a>6。 答案可能为C(6,7)或A(6,+∞)。检查t₁,t₂>1的充要条件更严格：设f(t)=t²-at+a+3，f(1)=1-a+a+3=4>0恒成立。对称轴a/2>1⟹a>2。所以a>6即满足。答案A。 方法技巧 指数对数综合题的解题策略： ①换元转化（令t=a^x或t=log_a(x)化代数问题） ②数形结合（利用函数图象分析交点或解的范围） ③分类讨论（底数与1的大小关系决定单调性） ④注意隐含条件（指数函数值域>0，对数函数定义域>0） 04 真题溯源·考向感知 1.（2024·全国甲卷） 已知a=log₂(0.3)，b=2⁰.³，c=0.2⁰.³，则（ ） A.a<b<c B.c<b<a C.a<c<b D.b<c<a 【答案】C a=log₂(0.3)<0；b=2⁰.³>1；c=0.2⁰.³∈(0,1)。所以a<0<c<1<b，即a<c<b。 2.（2023·新课标Ⅰ卷） 设函数f(x)=2ˣ⁽ˣ⁻a)在区间(0,1)单调递减，则a的取值范围是（ ） A.(-∞,-2] B.[-2,0) C.(0,2] D.[2,+∞) 【答案】D 令g(x)=x(x-a)=x²-ax。f(x)=2g⁽ˣ)，外层2ˣ递增。f递减⟺g递减。g在(0,1)递减需对称轴a/2≥1⟹a≥2。 3.（2023·新课标Ⅱ卷） 若f(x)=(x+a)ln(2x-1)为偶函数，则a=（ ） A.-1 B.0 C.1/2 D.1 【答案】C f(-x)=f(x)⇒(-x+a)ln(-2x-1)=(x+a)ln(2x-1)。通过对称性分析可得a=1/2。 4.（2023·全国乙卷） 已知a=log₃(2),b=log₅(2),c=log₇(2)，则（ ） A.a<b<c B.c<b<a C.b<a<c D.a<c<b 【答案】B log₃(2)=1/log₂(3)，log₅(2)=1/log₂(5)，log₇(2)=1/log₂(7)。因为log₂(3)<log₂(5)<log₂(7)，所以a>b>c。 5.（2022·新课标Ⅰ卷） 设a=0.1e⁰.¹，b=1/9，c=-ln(0.9)，则（ ） A.a<b<c B.c<b<a C.c<a<b D.a<c<b 【答案】C a≈0.1×1.105≈0.1105。b=1/9≈0.1111。c=-ln(0.9)=ln(10/9)≈0.1054。所以c<a<b。 6.（2022·全国甲卷） 已知9ᵐ=10，a=10ᵐ-11，b=8ᵐ-9，则（ ） A.a>0>b B.a>b>0 C.b>a>0 D.b>0>a 【答案】A 9ᵐ=10⇒m=log₉(10)>1。10ᵐ=10log_⁹⁽¹⁰)>10¹=10⇒a=10ᵐ-11>0。8ᵐ=8log_⁹⁽¹⁰)<8¹=8⇒b=8ᵐ-9<0。a>0>b。 7.（2021·全国乙卷） 设a=2ln(1.01)，b=ln(1.02)，c=√(1.04)-1，则（ ） A.a<b<c B.b<c<a C.b<a<c D.c<a<b 【答案】B a=ln(1.0201)≈0.0199，b=ln(1.02)≈0.0198，c≈0.0198。近似计算比较。 05 课本典例·高考素材 1.（人教A版必修第一册 P107 例3 改编） 比较log₂(3)与log₃(4)的大小。 【答案】log₂(3)>log₃(4) log₂(3)>log₂(2)=1，log₃(4)<log₃(9)=2，两者都在(1,2)。更精确：log₂(3)≈1.585，log₃(4)≈1.262。或用作商法。 2.（人教A版必修第一册 P126 例4 改编） 解方程：2ˣ+2⁻ˣ=5/2。 【答案】x=±1 令t=2ˣ>0，t+1/t=5/2⟹2t²-5t+2=0⟹(2t-1)(t-2)=0，t=1/2或t=2。2ˣ=1/2⇒x=-1；2ˣ=2⇒x=1。 3.（人教A版必修第一册 P140 复习参考题 改编） 某放射性物质每年衰减10%，经过多少年剩下原来的一半？（lg2≈0.3010，lg3≈0.4771） 【答案】约7年 设经过x年，(0.9)ˣ=0.5。x=lg(0.5)/lg(0.9)=-lg2/(lg9-lg10)=0.3010/(1-0.9542)≈6.58。向上取整约7年。 4.（人教A版必修第一册 P127 练习 改编） 求函数f(x)=log₂(x/2)·log₂(x/4)在x∈[2,8]上的最小值。 【答案】-1/4 f(x)=(log₂(x)-1)(log₂(x)-2)。令t=log₂(x)，x∈[2,8]⇒t∈[1,3]。f(t)=t²-3t+2=(t-3/2)²-1/4。t=3/2时取最小值-1/4。 — 本讲结束 — / 学科网（北京）股份有限公司 $ 第04讲 指数函数与对数函数 （学生原卷版） ——指数与对数运算、图象性质、比较大小、综合应用 2027年高考数学一轮复习讲练测（全国通用） 目 录 01 考情解码・命题预警 2 02 体系构建·思维可视 4 03 核心突破·靶向攻坚 6 04 真题溯源·考向感知 35 05 课本典例·高考素材 40 01 考情解码・命题预警 考点要求 新课标要求 命题热度 考察形式 2024年 2023年 2022年 指数与对数的运算 理解 ★★★★ 选择/填空 新课标II T5,5分 全国甲T4,5分 新课标I T3,5分 指数函数的图象与性质 掌握 ★★★★★ 选择/填空 全国甲T6,5分 新课标I T4,5分 全国乙T6,5分 新课标I T7,5分 对数函数的图象与性质 掌握 ★★★★★ 选择/填空 新课标II T7,5分 新课标I T8,5分 全国甲T8,5分 比较大小 灵活运用 ★★★★★ 选择 新课标I T8,5分 全国甲T12,5分 新课标II T7,5分 指数对数方程与不等式 综合应用 ★★★★ 选择/填空 全国乙T9,5分 新课标II T14,5分 全国甲T12,5分 指数对数函数综合 综合应用 ★★★★ 选择/解答 新课标I T15,5分 新课标I T10,5分 全国乙T12,5分 【命题趋势】指数函数与对数函数是高中数学的核心基本初等函数，高考每年必考，分值稳定在10~15分。 比较大小题型已成为新高考的标志性题型，通常结合函数单调性和中间值（如0,1）进行判断。 指数对数函数的图象与性质是选择题、填空题的高频考点，注重考查学生的数形结合能力。 指数对数方程与不等式的综合问题，常与函数的零点、恒成立等知识点结合，试题难度较大。 预计2027年高考将继续保持稳定考查，比较大小类题型仍是区分度最高的考查方向。 02 体系构建·思维可视 一、指数运算 1. 根式与分数指数幂：ⁿ√a = a¹/ⁿ，ⁿ√(aᵐ) = aᵐ/ⁿ 2. 指数运算法则：aᵐ·aⁿ = aᵐ⁺ⁿ，(aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ，(ab)ⁿ = aⁿ·bⁿ 3. 规定：a⁰ = 1(a≠0)，a⁻ⁿ = 1/aⁿ 二、对数运算 1. 定义：若a^b = N(a>0,a≠1)，则b = log_a(N) 2. 运算法则：log_a(MN) = log_a(M) + log_a(N) log_a(M/N) = log_a(M) - log_a(N)，log_a(Mⁿ) = n·log_a(M) 3. 换底公式：log_a(N) = log_b(N) / log_b(a) 4. 常用结论：log_a(1) = 0，log_a(a) = 1，alog_a⁽N) = N 三、指数函数 y=aˣ 与对数函数 y=log_a(x) 核心关系：互为反函数，图象关于直线y=x对称 a>1时两函数均单调递增；0<a<1时均单调递减 指数函数过定点(0,1)；对数函数过定点(1,0) 指数函数值域(0,+∞)；对数函数定义域(0,+∞) 四、比较大小的方法体系 方法一：利用函数单调性（同底或同指数） 方法二：借助中间值（0和1是最常用的中间值） 方法三：作差法与作商法 方法四：图象法（画出函数草图比较位置） 方法五：取对数法（将指数式化为对数式比较） 03 核心突破·靶向攻坚 知能解码 知识点1 指数与对数的运算 1. 指数幂的运算性质 (1) aᵐ·aⁿ = aᵐ⁺ⁿ　　(2) (aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ　　(3) (ab)ⁿ = aⁿ·bⁿ (4) aᵐ/aⁿ = aᵐ⁻ⁿ (a≠0)　　(5) (a/b)ⁿ = aⁿ/bⁿ (b≠0) 2. 对数的运算性质 (1) log_a(MN) = log_a(M) + log_a(N) (M>0,N>0) (2) log_a(M/N) = log_a(M) - log_a(N) (M>0,N>0) (3) log_a(Mⁿ) = n·log_a(M) (M>0) (4) log_a(b) = log_c(b)/log_c(a)（换底公式） (5) alog_a⁽N) = N（对数恒等式） 3. 常用对数恒等式 log_a(1) = 0, log_a(a) = 1, log_a(1/a) = -1 log_a(aⁿ) = n, alog_a⁽ˣ) = x ln(e) = 1, ln(1) = 0, lg(10) = 1, lg(1) = 0 自主检测 1. 计算：log₂(8) + log₃(1/9) =（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 2. 若2^a = 5，log₄(3) = b，则4a⁺b =（ ） A. 30 B. 60 C. 75 D. 90 知识点2 指数函数的图象与性质 项目 a>1 0<a<1 定义域 R R 值域 (0,+∞) (0,+∞) 过定点 (0,1) (0,1) 单调性 在R上单调递增 在R上单调递减 x<0时 0<y<1 y>1 x>0时 y>1 0<y<1 图象特征 底数越大，图象越靠近y轴 底数越小，图象越靠近y轴 自主检测 3. 函数f(x)=aˣ⁻¹+2（a>0且a≠1）恒过定点（ ） A.(0,3) B.(1,3) C.(2,3) D.(1,2) 知识点3 对数函数的图象与性质 项目 a>1 0<a<1 定义域 (0,+∞) (0,+∞) 值域 R R 过定点 (1,0) (1,0) 单调性 在(0,+∞)上单调递增 在(0,+∞)上单调递减 0<x<1时 y<0 y>0 x>1时 y>0 y<0 图象特征 底数越大，在(1,+∞)上图象越低 底数越小，在(0,1)上图象越低 自主检测 4. 函数f(x)=log_a(x-2)+1恒过定点（ ） A.(2,1) B.(3,1) C.(2,0) D.(3,0) 题型破译 题型1 指数与对数的运算 例1-1 计算：lg25 + lg2·lg50 + (lg2)² =（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 例1-2 已知log_a(2)=m，log_a(3)=n，则a²ᵐ⁺ⁿ=（ ） A. 6 B. 12 C. 18 D. 36 【变式1-1】计算：(lg2)²+lg2·lg5+lg5 =（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. lg10 【变式1-2】若3^a=4，4^b=3，则1/a+1/b =（ ） A. log₃(4) B. log₄(3) C. 1 D. 2 方法技巧 指数对数运算的核心技巧： ①灵活运用对数恒等式a^(log_a(N))=N和log_a(a^n)=n ②牢记lg2+lg5=1（常用对数的重要关系） ③善用换底公式统一底数 ④遇到指数与对数混合时，先统一形式（全化指数或全化对数） 题型2 指数函数的图象与性质应用 例2-1 函数y=aˣ与y=(1/a)ˣ的图象关于（ ） A.x轴对称 B.y轴对称 C.原点对称 D.直线y=x对称 例2-2 函数f(x)=a|ˣ|（a>1）的图象大致是（ ）（描述：关于y轴对称，在y轴右侧单调递增） A.在(-∞,0)递增 B.在(0,+∞)递减 C.是偶函数 D.过定点(1,0) 【变式2-1】比较大小：0.3²，2⁰.3，log₂(0.3)的大小关系为（ ） A.0.3²<2⁰.3<log₂(0.3) B.log₂(0.3)<0.3²<2⁰.3 C.0.3²<log₂(0.3)<2⁰.3 D.log₂(0.3)<2⁰.3<0.3² 【变式2-2】若函数f(x)=aˣ（a>0且a≠1）在[1,2]上的最大值与最小值的差为a/2，则a=（ ） A.1/2或3/2 B.2或1/2 C.3或1/3 D.1/2或2 方法技巧 指数函数图象与性质的应用要点： ①指数函数过定点(0,1)，这是解决定点问题的关键 ②利用单调性比较大小是高频考点 ③a>1时为增函数，离y轴越近增长越快 ④含绝对值的指数函数常涉及对称性分析 题型3 对数函数的图象与性质应用 例3-1 函数f(x)=ln(x²-2x-3)的单调递增区间为（ ） A.(-∞,1) B.(1,+∞) C.(3,+∞) D.(-∞,-1) 例3-2 若函数y=log_a(x)（a>0且a≠1）在[2,4]上的最大值与最小值之差为1，则a=（ ） A.2或1/2 B.3或1/3 C.4或1/4 D.2 【变式3-1】函数f(x)=log₂(x²-ax+3a)在[2,+∞)上是增函数，则a的取值范围是（ ） A.(-4,4] B.[-4,4] C.(-4,4) D.[-4,4) 【变式3-2】已知函数f(x)=log_a(2-ax)在[0,1]上是减函数，则a的取值范围是（ ） A.(0,1) B.(1,2) C.(0,2) D.(1,+∞) 方法技巧 对数函数性质应用的三个关键步骤： ①先求定义域（真数必须大于0） ②判断内层函数的单调性 ③利用"同增异减"判断复合函数单调性 题型4 比较大小 例4-1 设a=log₃(7)，b=2¹.¹，c=0.8³.¹，则（ ） A.b<a<c B.c<a<b C.c<b<a D.a<c<b 例4-2 设a=log₀.5(3)，b=0.5⁻³，c=3⁻⁰.⁵，则a,b,c的大小关系是（ ） A.a<b<c B.c<b<a C.a<c<b D.b<c<a 【变式4-1】设a=log₅(2)，b=log₀.5(0.2)，c=0.5⁰.²，则（ ） A.a<c<b B.a<b<c C.b<c<a D.c<a<b 【变式4-2】已知a=2⁰.³，b=3⁰.²，c=log₂(3)，则（ ） A.b<a<c B.a<b<c C.b<c<a D.c<a<b 方法技巧 比较大小的五大方法： ①单调性法（同底数时直接比较） ②中间值法（常用0和1作为参照） ③作商法或作差法（难以直接判断时） ④取对数法（指数形式化为对数比较） ⑤图象法（画出大致图象比较位置） 题型5 指数对数方程 例5-1 方程log₂(x+1)-log₄(x+1)=1的解为（ ） A. 0 B. 1 C. 3 D. 7 例5-2 方程4ˣ-2ˣ⁺¹-3=0的解为（ ） A.log₂(3) B.log₃(2) C.3 D.2 【变式5-1】方程log₃(x)+log_x(3)=2的解为（ ） A.1 B.3 C.1或3 D.2 方法技巧 解指数对数方程的策略： ①统一底数（换底公式或指数互化） ②换元法（如令t=a^x，化为代数方程） ③利用单调性（同底方程f(x)=g(x)⇔...） ④注意验根（确保满足定义域） 题型6 指数对数不等式 例6-1 不等式log₀.5(x²-3x+2)>-1的解集为（ ） A.(0,1)∪(2,3) B.(0,3) C.(1,2) D.(-∞,1)∪(2,+∞) 例6-2 不等式2²ˣ-3·2ˣ+2<0的解集为（ ） A.(0,1) B.(-∞,0) C.(1,+∞) D.(0,2) 【变式6-1】若log_a(2/3)<1，则a的取值范围是（ ） A.(0,2/3)∪(1,+∞) B.(2/3,1) C.(0,2/3) D.(1,+∞) 方法技巧 解指数对数不等式的关键步骤： ①化同底（不同底数先换底） ②利用单调性去对数/去指数（注意a与1的关系） ③考虑定义域限制（对数真数>0等） ④转化后解代数不等式（因式分解/分类讨论） 题型7 指数对数函数的综合应用 例7-1 已知函数f(x)=log_a(x+1)（a>0且a≠1）在区间[0,1]上的最大值与最小值之和为a，则a=（ ） A.1/2 B.2 C.4 D.1/4 【变式7-1】已知f(x)=2ˣ-2⁻ˣ，g(x)=2ˣ+2⁻ˣ，则f(x)·g(x)=（ ） A.4ˣ-4⁻ˣ B.2²ˣ-2⁻²ˣ C.4ˣ+4⁻ˣ D.2²ˣ+2⁻²ˣ 【变式7-2】若关于x的方程4ˣ-a·2ˣ+a+3=0有两个不相等的正实数解，则a的取值范围是（ ） A.(6,+∞) B.(-∞,-2) C.(6,7) D.(-3,-2) 方法技巧 指数对数综合题的解题策略： ①换元转化（令t=a^x或t=log_a(x)化代数问题） ②数形结合（利用函数图象分析交点或解的范围） ③分类讨论（底数与1的大小关系决定单调性） ④注意隐含条件（指数函数值域>0，对数函数定义域>0） 04 真题溯源·考向感知 1.（2024·全国甲卷） 已知a=log₂(0.3)，b=2⁰.³，c=0.2⁰.³，则（ ） A.a<b<c B.c<b<a C.a<c<b D.b<c<a 2.（2023·新课标Ⅰ卷） 设函数f(x)=2ˣ⁽ˣ⁻a)在区间(0,1)单调递减，则a的取值范围是（ ） A.(-∞,-2] B.[-2,0) C.(0,2] D.[2,+∞) 3.（2023·新课标Ⅱ卷） 若f(x)=(x+a)ln(2x-1)为偶函数，则a=（ ） A.-1 B.0 C.1/2 D.1 4.（2023·全国乙卷） 已知a=log₃(2),b=log₅(2),c=log₇(2)，则（ ） A.a<b<c B.c<b<a C.b<a<c D.a<c<b 5.（2022·新课标Ⅰ卷） 设a=0.1e⁰.¹，b=1/9，c=-ln(0.9)，则（ ） A.a<b<c B.c<b<a C.c<a<b D.a<c<b 6.（2022·全国甲卷） 已知9ᵐ=10，a=10ᵐ-11，b=8ᵐ-9，则（ ） A.a>0>b B.a>b>0 C.b>a>0 D.b>0>a 7.（2021·全国乙卷） 设a=2ln(1.01)，b=ln(1.02)，c=√(1.04)-1，则（ ） A.a<b<c B.b<c<a C.b<a<c D.c<a<b 05 课本典例·高考素材 1.（人教A版必修第一册 P107 例3 改编） 比较log₂(3)与log₃(4)的大小。 2.（人教A版必修第一册 P126 例4 改编） 解方程：2ˣ+2⁻ˣ=5/2。 3.（人教A版必修第一册 P140 复习参考题 改编） 某放射性物质每年衰减10%，经过多少年剩下原来的一半？（lg2≈0.3010，lg3≈0.4771） 4.（人教A版必修第一册 P127 练习 改编） 求函数f(x)=log₂(x/2)·log₂(x/4)在x∈[2,8]上的最小值。 — 本讲结束 — / 学科网（北京）股份有限公司 $