精品解析：2026年福建厦门市中等职业学校学业水平模拟测试数学试卷

2026年厦门市中等职业学校学生学业水平考试模拟测试 《数学》试卷 注意事项：本试卷共4页，共100分，考试时长90分钟，答题前，考生先将自己的姓名、学号、座号用黑色水笔填写清楚．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5 mm黑色签字笔答题，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效．考试结束后，将本试卷和答题卷一并交回. 一、选择题（本大题共15小题，每小题3分，共45分；每小题所给的A、B、C、D四个选项中，有且只有一个正确） 1. 下列说法正确的是（ ）． A. 所有自然数组成的集合是有限集 B. 方程的实数解集为空集 C. 空集含有一个元素0 D. 小于5的正整数集合是无限集 2. 下列关系正确的是（ ）． A. B. C. D. 3. 若，则下列不等式正确的是（ ）． A. B. C. D. 4. 函数的定义域是（ ）． A. B. C. D. 且 5. 若指数式（且），化为对数式正确的是（ ）． A. B. C. D. 6. 已知等差数列中，，，则（ ）． A. 5 B. 8 C. 11 D. 14 7. 为提高市民对创建文明城市的认识，某市举办了“创建文明城市”知识竞赛，经统计得到成绩的频率分布直方图如图所示．现按分层抽样的方法抽取个人的成绩，则成绩在内抽取的人数为（ ）． A. B. C. D. 8. “底面是正多边形的棱柱”是“棱柱是正棱柱”的（ ）． A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 9. 函数的最小值是（ ）． A. 3 B. 1 C. D. 10. 已知，，则直线的斜率为（ ）． A. B. 4 C. D. 2 11. 下列立体图形中，俯视图与主视图不同的是（ ）． A. B. C. D. 12. 如图，在正方体中，，分别为棱和棱的中点，则异面直线与所成的角为（　　） A. B. C. D. 13. 若，则（ ）． A. B. C. D. 14. 已知向量，，，，则（ ）． A. B. C. D. 15. 工人测量圆线场地，已知圆的图像如下图所示，若以原点为对称中心作该圆的对称圆，则对称圆的方程为（ ）． A. B. C. D. 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分．把答案填在答题卡相应位置） 16. 不等式的解集是____________． 17. 已知函数是偶函数，且，则____________． 18. 已知点，，则____________． 19. 某理财产品的收益（单位：元）与投资时间（单位：月）满足函数，若投资个月后收益为1500元，则____________． 20. 已知圆的标准方程为，过圆上一点的切线只有一条，该切线的一般方程为____________． 三、解答题（本大题4小题，共35分，其中第21题7分，第22题8分，第23、24题各10分．（解答应写出文字说明、证明过程或解答步骤） 21. 设全集是实数集R，集合，． （1）分别用区间表示集合、集合； （2）在同一数轴上表示出集合和，并求出和． 22. 已知分段函数， （1）求该分段函数的定义域； （2）求的值； （3）若，求此时的值． 23. 已知圆，直线，与圆交于，两点，且，求： （1）圆的圆心坐标和半径； （2）弦的长； （3）的值． 24. 瑞典数学家科赫在年构造的能够描述雪花形状的图案，其作法是从一个正三角形开始，把每条边三等分，然后以各边的中间一段为底边分别向外作正三角形，再去掉底边，反复进行这一过程，就得到一个“雪花”状的图案．把图①、图②、图③、图④中图形的边数依次记为，，，， （1）分别写出，，的值； （2）判断数列为何种数列（不要求证明），求数列的通项公式； （3）设，若，求数列的前项和． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年厦门市中等职业学校学生学业水平考试模拟测试 《数学》试卷 注意事项：本试卷共4页，共100分，考试时长90分钟，答题前，考生先将自己的姓名、学号、座号用黑色水笔填写清楚．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5 mm黑色签字笔答题，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效．考试结束后，将本试卷和答题卷一并交回. 一、选择题（本大题共15小题，每小题3分，共45分；每小题所给的A、B、C、D四个选项中，有且只有一个正确） 1. 下列说法正确的是（ ）． A. 所有自然数组成的集合是有限集 B. 方程的实数解集为空集 C. 空集含有一个元素0 D. 小于5的正整数集合是无限集 【答案】B 【解析】 【分析】根据集合的分类和空集的概念逐项分析即可. 【详解】所有自然数的个数是无限的，所以其组成的集合是无限集，故A错误， 方程无实数解，所以其实数解集为空集，故B正确， 空集中不含有任何元素，故C错误， 小于5的正整数有共个，则其组成的集合为有限集，故D错误， 故选：B. 2. 下列关系正确的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据集合与集合之间的关系逐项分析即可. 【详解】，故A错误， 是任何集合的子集，则，故B正确， ，故C错误， ，故D错误， 故选：B. 3. 若，则下列不等式正确的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据不等式的基本性质即可求解. 【详解】对A：因为，所以，故A项错误； 对B：因为，所以，故B项错误； 对C：因为，所以，所以， 即，故C项正确； 对D：因为，所以，故D项错误. 故选：C. 4. 函数的定义域是（ ）． A. B. C. D. 且 【答案】D 【解析】 【分析】根据分母不等于0，对数的真数大于0列不等式求解即可. 【详解】要使函数有意义， 必须有，解得且， 所以该函数的定义域为且， 故选：D. 5. 若指数式（且），化为对数式正确的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据指数式与对数式的转化法则转化即可. 【详解】指数式化为对数式为， 故选：B. 6. 已知等差数列中，，，则（ ）． A. 5 B. 8 C. 11 D. 14 【答案】C 【解析】 【分析】先根据已知条件求出等差数列的公差，再利用等差数列的通项公式求出. 【详解】设等差数列的公差为， 已知，， 则. 所以. 故选：C. 7. 为提高市民对创建文明城市的认识，某市举办了“创建文明城市”知识竞赛，经统计得到成绩的频率分布直方图如图所示．现按分层抽样的方法抽取个人的成绩，则成绩在内抽取的人数为（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据频率分布直方图确定的频率，再由分层抽样的定义求值即可. 【详解】由图可知，内的频率为， 且总数为个人，所以成绩在内抽取的人数为， 故选：D. 8. “底面是正多边形的棱柱”是“棱柱是正棱柱”的（ ）． A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据正棱柱的定义即可求解. 【详解】因为底面是正多边形的棱柱可能侧棱不垂直底面，故不一定是正棱柱，故充分性不成立； 又正棱柱是指侧棱垂直于底面且底面为正多边形的棱柱，故必要性成立， 所以“底面是正多边形的棱柱”是“棱柱是正棱柱”的必要不充分条件. 故选：B. 9. 函数的最小值是（ ）． A. 3 B. 1 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据正弦函数的值域即可解答. 【详解】因为， 所以， 所以函数的最小值是， 故选：C. 10. 已知，，则直线的斜率为（ ）． A. B. 4 C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】根据两点坐标求直线斜率即可. 【详解】已知，，则直线的斜率为. 故选：C. 11. 下列立体图形中，俯视图与主视图不同的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据正方体，圆柱，圆锥，球的三视图逐项分析即可. 【详解】A.正方体的俯视图和主视图都是正方形，故A不符合题意， B.横放的圆柱的俯视图和主视图都是长方形，故B不符合题意， C.圆锥的主视图为等腰三角形，俯视图是带圆心的圆，两者不同，故C符合题意， D.球的俯视图和主视图都是圆，故D不符合题意， 故选：C. 12. 如图，在正方体中，，分别为棱和棱的中点，则异面直线与所成的角为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意作出辅助线，找到异面直线所成角即可得解. 【详解】 如图所示，连接，，， ∵分别为棱和棱的中点，∴//， 又//，∴为异面直线与所成的角， ∵，为正三角形， ∴， 则异面直线与所成的角为， 故选：. 13. 若，则（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据诱导公式化简求值即可. 【详解】因为， 所以，则， 故选：A. 14. 已知向量，，，，则（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先由向量平行的坐标表示得出的值，再由向量夹角的坐标表示求值即可. 【详解】已知，， 由得， 解得，所以，， 则， 因为，所以， 故选：D. 15. 工人测量圆线场地，已知圆的图像如下图所示，若以原点为对称中心作该圆的对称圆，则对称圆的方程为（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】首先由关于原点对称得出对称圆的圆心的坐标，再由圆的圆心半径确定圆的方程即可. 【详解】由图可知，圆心为，半径， 则以原点为对称中心的对称圆的圆心为，半径， 所以对称圆的标准方程为， 故选：A. 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分．把答案填在答题卡相应位置） 16. 不等式的解集是____________． 【答案】 【解析】 【分析】根据一元二次不等式的解法求解即可. 【详解】由可得或， 则由可得：， 故不等式的解集是. 故答案为：. 17. 已知函数是偶函数，且，则____________． 【答案】3 【解析】 【分析】根据偶函数的定义即可求解. 【详解】因为函数是偶函数，且，所以. 故答案为：. 18. 已知点，，则____________． 【答案】5 【解析】 【分析】根据向量的坐标表示和向量模的坐标表示求值即可. 【详解】已知点，， 则， 所以， 故答案为：5. 19. 某理财产品的收益（单位：元）与投资时间（单位：月）满足函数，若投资个月后收益为1500元，则____________． 【答案】18 【解析】 【分析】根据题意把代入函数中即可得解. 【详解】由题可知收益与投资时间满足函数， 所以当收益，代入函数中为， 整理为，即，解得. 故答案为：. 20. 已知圆的标准方程为，过圆上一点的切线只有一条，该切线的一般方程为____________． 【答案】 【解析】 【分析】首先由圆的方程确定圆心，再由切线与圆心和切点的连线垂直得出切线的斜率，最后写出直线的点斜式方程化为一般式即可. 【详解】已知圆的标准方程为， 圆心，圆上一点， 则，因为， 所以，， 所以该切线的方程为， 整理得， 故答案为：. 三、解答题（本大题4小题，共35分，其中第21题7分，第22题8分，第23、24题各10分．（解答应写出文字说明、证明过程或解答步骤） 21. 设全集是实数集R，集合，． （1）分别用区间表示集合、集合； （2）在同一数轴上表示出集合和，并求出和． 【答案】（1） （2）图形见解析， 【解析】 【分析】（1）根据含绝对值不等式的解法求解得出集合，再由一元一次不等式的解法求出集合即可. （2）根据交集与补集的运算法则运算即可. 【小问1详解】 ， . 【小问2详解】 数轴如图所示：， ， . 22. 已知分段函数， （1）求该分段函数的定义域； （2）求的值； （3）若，求此时的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据分段函数的定义域的概念求值即可. （2）将代入合适的解析式中求值即可. （3）分别讨论的两种情况，列方程求解即可. 【小问1详解】 已知分段函数， 所以其定义域为. 【小问2详解】 ， . 【小问3详解】 当时，则， ，， 当时，无解，舍去. 综上所述，. 23. 已知圆，直线，与圆交于，两点，且，求： （1）圆的圆心坐标和半径； （2）弦的长； （3）的值． 【答案】（1）圆心，半径为2 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由圆的标准方程确定圆心和半径即可. （2）根据向量的内积为0，确定，再由勾股定理求值即可. （3）根据点到直线的距离公式列方程求解即可. 【小问1详解】 已知圆， 则圆心，半径. 【小问2详解】 ，， 又， 是等腰直角三角形， . 【小问3详解】 由（2）是等腰直角三角形， 点到直线的距离， 且直线为， 则， ，. 24. 瑞典数学家科赫在年构造的能够描述雪花形状的图案，其作法是从一个正三角形开始，把每条边三等分，然后以各边的中间一段为底边分别向外作正三角形，再去掉底边，反复进行这一过程，就得到一个“雪花”状的图案．把图①、图②、图③、图④中图形的边数依次记为，，，， （1）分别写出，，的值； （2）判断数列为何种数列（不要求证明），求数列的通项公式； （3）设，若，求数列的前项和． 【答案】（1），， （2）等比数列， （3） 【解析】 【分析】（1）根据图形写出前项的值即可. （2）根据数列的前项确定数列的规律得出数列为等比数列，再由等比数列的通项公式求值即可. （3）首先由等差数列的定义证明出为等差数列，再由等差数列和等比数列的前项和公式求值即可. 【小问1详解】 根据图形可得，，， 【小问2详解】 由（1）可得，， 所以，所以数列是公比的等比数列， 则通项公式. 【小问3详解】 ， 则，所以， 则数列是公差为1的等差数列，且， . 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $