23.4 数据的方差 课件2025-2026学年冀教版 数学九年级上册

该初中数学课件聚焦“数据的方差”，先回顾集中趋势统计量，通过射击选手成绩案例（平均数相同但波动不同）引出方差，构建从集中趋势到离散程度的知识脉络，以问题链和案例分析为学习支架。 其亮点是情境化探究与问题驱动，结合射击成绩、公交路线等实例，引导学生用数学眼光观察数据波动，用数学思维构建方差概念，用数学语言表达分析结果。助力学生理解方差意义，教师可通过案例提升教学效率，培养数据分析能力。

23.4 数据的方差 2.如何计算一组数据的平均数、中位数和众数? 1.表示一组数据的“集中趋势”的统计量有哪些? 2 0 1 3 4 5 6 7 8 9 10 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● 射击序号 乙射击成绩/环 2 0 1 3 4 5 6 7 8 9 10 2 1 3 4 5 6 7 8 ● ● ● ● ● ● ● ● 射击序号 甲射击成绩/环 甲、乙两名业余射击选手参加了一次射击比赛，甲射击8次，乙射击10次，成绩如图所示. 问题1：观察上图，甲、乙两人射击成绩的平均数、中位数各是多少？ 两个人射击成绩的平均数和中位数都是7环. 活动1 认识方差及离差平方和 观点一 因为甲、乙两人射击成绩的平均数和中位数都是7环，所以他们的射击水平几乎没有区别. 观点二 从射击成绩偏离平均数7环的程度比较，甲的射击成绩比乙的波动大，反映出乙的射击成绩比甲的稳定些. 2 0 1 3 4 5 6 7 8 9 10 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● 射击序号 乙射击成绩/环 2 0 1 3 4 5 6 7 8 9 10 2 1 3 4 5 6 7 8 ● ● ● ● ● ● ● ● 射击序号 甲射击成绩/环 问题2：在评判甲、乙两人的射击水平时，有以下两种观点： 你认为哪种观点更合理些？ 在分析数据的特征时，仅考虑数据的平均数是不够的，还需要关注数据的波动情况. 比较甲和乙的射击水平，自然想到比较射击成绩的平均数或中位数.但是，甲和乙射击成绩的平均数和中位数都是7环.两人相比，乙的成绩大多集中在7环附近，而甲的成绩相对于平均数波动较大. 2 0 1 3 4 5 6 7 8 9 10 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● 射击序号 乙射击成绩/环 2 0 1 3 4 5 6 7 8 9 10 2 1 3 4 5 6 7 8 ● ● ● ● ● ● ● ● 射击序号 甲射击成绩/环 观察上图，直观感觉甲射击成绩的波动比乙大. 如何构造一个量，来描述一组数据的波动大小呢？ 问题3：请分别计算甲、乙每次的射击成绩与他们平均成绩的偏差，并将结果填入下表：(单位：环) 射击序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 甲成绩的偏差 乙成绩的偏差 2 0 1 3 4 5 6 7 8 9 10 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● 射击序号 乙射击成绩/环 2 0 1 3 4 5 6 7 8 9 10 2 1 3 4 5 6 7 8 ● ● ● ● ● ● ● ● 射击序号 甲射击成绩/环 -3 1 -1 0 2 0 3 -2 -2 0 -1 1 0 1 -1 0 2 0 问题4：我们知道所有数据与其平均数的偏差之和为0，现有以下两种观点： 观点一：把甲、乙射击成绩的偏差的绝对值分别相加，再进行比较. 观点二：把甲、乙射击成绩的偏差的平方分别相加，再进行比较. 那么，这两种观点各有哪些合理的地方，又需要如何进一步修正呢？ 2 0 1 3 4 5 6 7 8 9 10 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● 射击序号 乙射击成绩/环 2 0 1 3 4 5 6 7 8 9 10 2 1 3 4 5 6 7 8 ● ● ● ● ● ● ● ● 射击序号 甲射击成绩/环 数据个数不同 2.把所有的偏差直接相加能表示所有数据的总偏差吗? 不能，因为正负偏差会相互抵消. 将各偏差平方后再求和. 将各偏差平方求和后相加再求平均数. 请同学们思考： 1.如何描述每个数据与平均数的偏差? 3.如何防止正负偏差相互抵消? 4.如何消除数据个数的影响? 设n个数据 x1， x2， …，xn的平均数为 各个数据与平均数偏差的平方分别是 偏差平方的平均数叫作这组数据的方差，用s2表示，即 我们称 为这组数据的离差平方和. 为了描述一组数据相对于其平均数的离散程度，通常先求各个数据与平均数偏差的平方和，为了消除不同数据个数对结果的影响，再除以数据的个数，就得到一个偏差平方的平均数. 由方差的意义可以看出：当一组数据分布比较分散时，方差较大;当一组数据分布比较集中时，方差较小.因此，方差的大小反映了这组数据的离散程度(或波动程度). 射击序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 甲成绩的偏差 乙成绩的偏差 -3 1 -1 0 2 0 3 -2 -2 0 -1 1 0 1 -1 0 2 0 问题5：你能通过求方差的方法，说明上述问题中哪个射击选手的成绩比较稳定吗? [(4-7)2+(8-7)2+(6-7)2+2(7-7)2+(9-7)2+(5-7)2+(10-7)2]=3.5， 甲 [(5-7)2+2(6-7)2+4(7-7)2+2(8-7)2+(9-7)2]=1.2. 乙 由于 ＜ ，所以乙的射击成绩比甲的波动小，乙的成绩更稳定些. 乙 甲 张老师乘公交车上班，从家到学校有A，B两条路线可选择.第一周（5个工作日）选择A路线，第二周（5个工作日）选择B路线，每天两趟，记录所用时间如下表： 试验序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A路线所用时间/min 35 52 35 36 54 38 41 34 55 40 B路线所用时间/min 45 49 44 45 47 46 50 48 50 46 活动2 方差的实际应用 根据上表数据绘制的折线统计图如图所示. 问题1：从图形看，哪条线路平均用时少，哪条路线用时的波动大？ A的平均用时少，波动大. 问题2：用计算器分别计算选择A，B两条路线所用时间的平均数和方差. 试验序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A路线所用时间/min 35 52 35 36 54 38 41 34 55 40 B路线所用时间/min 45 49 44 45 47 46 50 48 50 46 选择A路线. 选择B路线. 问题3：如果某天上班可用时间只有40 min，应选择走哪条路线？ 问题4：如果某天上班可用时间为50 min，应选择走哪条路线？ 思考1：在解决实际问题时，方差的作用是什么？说说方差与平均数、中位数、众数的区别. 方差越大，数据的波动越 ； 方差越小，数据的波动越 . 平均数、中位数、众数主要是反映数据的集中趋势； 方差反映数据的波动大小. 思考2：方差越大越好吗？方差越小越好吗？ 方差是反映一组数据相对于平均数的离散程度.当我们需要的是一组较“整齐”的数据时，选择方差小的数据更合适；当我们需要数据有比较大的区分度，方差较大的数据更有参考意义. 大 小 1.小明的四次数学成绩分别为60，70，65，65，经计算其方差为12.5；小红的4次数学成绩分别为80，100，100，80，经计算其方差为100.有人说小明的成绩比小红好，因为小明成绩的方差小，成绩稳定.你同意这种说法吗？为什么？ 注意：由于方差是刻画一组数据相对于平均数的离散程度，因此，一般地，在平均数相等或很接近的前提下，比较两组数据的方差才有意义. 不同意.因为小红的平均分为90分，小明的平均分为65分，小红的成绩要远远高于小明. 根据方差做决策方差 方差的作用：比较数据的稳定性 利用方差做决策 根据平均数判断出谁好，根据方差判断出谁的波动大． 1.甲、乙两人在相同的条件下，各射靶10次，经过计算：甲、乙的平均数均是7，甲的方差是1.2，乙的方差是5.8，下列说法中不正确的是 （ ） A、甲、乙射中的总环数相同 　　 B、甲的成绩较稳定 　　　 　C、乙的成绩较稳定 　　 D、乙的成绩波动较大 C 2.人数相同的八年级（1）、（2）两班学生在同一次数学单元测试中，班级平均分和方差下： ， , ，则成绩较为稳定的班级是（ ） A.甲班 B.乙班 C.两班成绩一样稳定 D.无法确定 B 3.样本5、6、7、8、9的方差是 . 2 4.甲、乙两名学生在相同的条件下各射靶10次，命中的环数如下： 甲：7，8，6，8，6，5，9，10，7，4 乙：9，5，7，8，7，6，8，6，7，7 经过计算，两人命中环数的平均数相同，但s2甲 s2乙，所以确定 去参加比赛. > 乙 $