精品解析：陕西省宝鸡市渭滨区职业教育中心2026届高三下学期第13周考试数学试题

宝鸡市渭滨区职业学校2026届高三 第13周考试数学试题 考试时间： 2026.05.15 时间：120分钟 分数：150分 一、选择题（共12题，每题5分，共60分） 1. 已知集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 函数的定义域是（ ） A. B. C. D. 3. 在中，“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 两个平面向量，，，则 （ ） A. B. C. D. 5. 过点且与直线垂直的直线方程是（ ） A. B. C. D. 6. 下列函数既是奇函数又是增函数的是（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知复数满足，则的实部是（ ） A. 1 B. 3 C. D. 9. 已知直线与圆相交，则弦长为（ ） A. B. 2 C. D. 4 10. 已知圆锥的轴截面是边长为4的等边三角形，圆锥的表面积为（ ） A. B. C. D. 11. 设，则（ ） A. B. C. D. 12. 用0、1、2、3这四个数字组成一个两位数（数字可以重复），这个两位数不大于30的概率为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共4题，每题5分，共20分） 13. 已知角是三角形的一个内角，且满足，则角________ 14. 在正方体中，异面直线和所成角的余弦值为_________ 15. 若球、的表面积之比，则它们的体积之比___________． 16. 为了营造浓厚校园体育氛围，学校采用分层抽样的方法从高一1200人、高二1450人、高三人中，抽取80人观看排球决赛，已知高一被抽取的人数为24，那么高三年级人数为______． 三、解答题（共6题，共70分，17题10分，其余每题12分） 17. 已知向量 ，，. （1）求； （2）若； 求. 18. 设角是第三象限角，函数. （1）化简； （2）若，求. 19. 已知数列是等差数列，若，. （1）求数列的通项公式； （2）设，求的前项和. 20. （1）求以点C为圆心，且与直线相切的圆的方程； （2）求过点与圆C相切的直线方程. 21. 某中职学校对学生的每周实训时长进行抽样调查，时长在小时范围内，抽取样本并绘制频率分布表如下： 每周实训时长（小时） 频数 频率 7 0.14 9 b a 0.22 12 0.24 6 0.12 5 c 小计 n 1 （1）求; （2）求实训时长在的 频率，估计该校中职学生每周实训时长在小时的概率； （3）每组取其中间值，如的中间值为12.5，估计该校中职学生每周平均实训时长 . 22. 用60 m长的篱笆围成一个一边靠墙的矩形花圃，墙长30 m.设垂直于墙的一边长为 m. （1）求花圃面积S与的函数关系式以及的取值范围； （2）当取何值时，面积最大？最大面积是多少？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 宝鸡市渭滨区职业学校2026届高三 第13周考试数学试题 考试时间： 2026.05.15 时间：120分钟 分数：150分 一、选择题（共12题，每题5分，共60分） 1. 已知集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先分别化简集合A与集合B，再根据交集的运算规则求出结果. 【详解】集合：由，可得， 集合：解方程，得或，故， 可得. 故选：C. 2. 函数的定义域是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据偶次根式的被开方数大于等于0 ，对数的真数大于0 ，解不等式组即可求出所求． 【详解】要使函数有意义，则有， 即，解得， 所以函数的定义域是. 故选：B. 3. 在中，“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据充分不必要条件的定义即可解得 【详解】由题可知， 而是三角形中的角，则，故或， 故“”是“”的充分不必要条件， 故选：A 4. 两个平面向量，，，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用平面向量内积的定义求出夹角的余弦值，结合向量夹角的取值范围即可确定夹角大小. 【详解】已知，，， 所以， 因为，因此. 故选：D. 5. 过点且与直线垂直的直线方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，结合两直线垂直，可设出直线方程，将已知点的坐标代入，求得参数值，继而求解. 【详解】由题意，设该直线方程为， 将点代入得，解得， 所以直线方程为，即. 故选：D. 6. 下列函数既是奇函数又是增函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据奇函数的定义及反比例函数、对数函数、一次函数、正弦函数的单调性即可求解. 【详解】对A，反比例函数，，则其在和上是减函数，故A错误. 对B，对数函数定义域为，所以为非奇非偶函数，故B错误. 对C，一次函数定义域为R，且，所以是奇函数， 又，所以是增函数，故C正确. 对D，正弦函数在上是减函数，故D错误. 故选：C. 7. 已知函数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据自变量的范围，选择相应的函数表达式，先内后外计算可得结果. 【详解】由题知，， 所以. 故选：B 8. 已知复数满足，则的实部是（ ） A. 1 B. 3 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用复数的乘法运算化简，进而得到，从而求得的实部. 【详解】因为， 所以，则的实部是. 故选：C. 9. 已知直线与圆相交，则弦长为（ ） A. B. 2 C. D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】先求出圆的圆心和半径，再判断直线与圆的位置关系即可求解弦长. 【详解】圆的圆心为，半径， 圆心到直线的距离， 则说明直线过圆的圆心，所以弦长为圆的直径为4. 故选：D. 10. 已知圆锥的轴截面是边长为4的等边三角形，圆锥的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用圆锥的表面积计算即可. 【详解】因为圆锥的轴截面是边长为的等边三角形， 则圆锥的底面半径，母线长. 所以圆锥的表面积. 故选：C. 11. 设，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用对数函数和指数函数的单调性即可得出. 【详解】∵形如函数在定义域R上是增函数， 形如函数在定义域上是减函数， ∴， 又， ∴. 故选：D. 12. 用0、1、2、3这四个数字组成一个两位数（数字可以重复），这个两位数不大于30的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意利用古典概型公式即可得解. 【详解】因为十位上的数不能为， 所以用0、1、2、3这四个数字组成一个两位数（数字可以重复），个数为； 这个两位数不大于30，则为，共种， 所以概率为， 故选：. 二、填空题（共4题，每题5分，共20分） 13. 已知角是三角形的一个内角，且满足，则角________ 【答案】## 【解析】 【分析】先利用诱导公式将进行化简，然后根据角是三角形的内角，即可求出答案. 【详解】因为, 所以. 又因为角是三角形的内角， 所以, 所以. 故答案为：. 14. 在正方体中，异面直线和所成角的余弦值为_________ 【答案】## 【解析】 【分析】根据题意画出图像，找出异面直线所形成的角，利用正方体的性质即可得解. 【详解】 如图所示，根据题意连接，，，， 因为，所以即为异面直线和所成角， 根据正方体的性质可知为等边三角形，所以， 因为， 所以异面直线和所成角的余弦值为， 故答案为：. 15. 若球、的表面积之比，则它们的体积之比___________． 【答案】8 【解析】 【分析】设球、的半径分别为、，根据球的表面积之比求出球的半径之比，再利用球的体积公式即可求出体积之比. 【详解】设球、的半径分别为、， 则可得即， 所以. 故答案为：8． 16. 为了营造浓厚校园体育氛围，学校采用分层抽样的方法从高一1200人、高二1450人、高三人中，抽取80人观看排球决赛，已知高一被抽取的人数为24，那么高三年级人数为______． 【答案】1350 【解析】 【分析】根据分层抽样方法，结合抽样比的计算，即可求解. 【详解】由题意得， 即， 所以. 故答案为：1350. 三、解答题（共6题，共70分，17题10分，其余每题12分） 17. 已知向量 ，，. （1）求； （2）若； 求. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先计算向量的模，再利用向量内积的定义求解即可； （2）利用两向量垂直等价于内积为0的性质展开代入已知值求解即可. 【小问1详解】 已知，可得. 则； 【小问2详解】 已知，可得 ， 即，且， 则，解得. 18. 设角是第三象限角，函数. （1）化简； （2）若，求. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用三角函数诱导公式分别化简分子分母的各项，约分后得到最简结果. （2）先用诱导公式由已知条件求出，再结合是第三象限角的条件求，代入化简后的即可得解. 【小问1详解】 根据诱导公式，则函数. 【小问2详解】 已知，解得. 因为是第三象限角，故，所以， 则. 19. 已知数列是等差数列，若，. （1）求数列的通项公式； （2）设，求的前项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据等差数列的性质以及等差数列的通项公式求解即可. （2）根据（1）以及等比数列的前项和公式求解即可. 【小问1详解】 数列是等差数列，设公差为 若，， 则. 所以， 所以. 所以数列通项公式. 【小问2详解】 已知，则. 因为，所以是首项，公比的等比数列. 则. 20. （1）求以点C为圆心，且与直线相切的圆的方程； （2）求过点与圆C相切的直线方程. 【答案】 (1) ；(2) 或. 【解析】 【分析】（1）利用点到直线的距离公式求出圆的半径，结合圆心坐标写出圆的标准方程. （2）分切线斜率存在和不存在两种情况，根据圆心到切线的距离等于半径求解切线方程. 【详解】（1）圆心到直线距离. 因为直线与圆相切，则圆的半径. 结合圆心坐标，可得圆的标准方程为. （2）将点代入圆方程左侧得，故该点在圆外，存在两条切线. ①当切线斜率不存在时，直线方程为，圆心到该直线的距离为，满足相切条件， 故为所求切线. ②当切线斜率存在时，设切线斜率为，由点斜式得切线方程为，即. 因为直线与圆相切，所以圆心到直线的距离等于半径，即，化简得， 解得，所以切线方程为. 综上，所求切线方程为和. 21. 某中职学校对学生的每周实训时长进行抽样调查，时长在小时范围内，抽取样本并绘制频率分布表如下： 每周实训时长（小时） 频数 频率 7 0.14 9 b a 0.22 12 0.24 6 0.12 5 c 小计 n 1 （1）求; （2）求实训时长在的 频率，估计该校中职学生每周实训时长在小时的概率； （3）每组取其中间值，如的中间值为12.5，估计该校中职学生每周平均实训时长 . 【答案】（1） ，，， （2） 对应区间频率为，估计概率为 （3） 估计每周平均实训时长为小时 【解析】 【分析】（1）先通过频数与频率的关系求解样本容量及未知参数. （2）累加对应区间频率估计概率. （3）用组中值加权计算平均数估计总体均值. 【小问1详解】 由组的频数7、频率0.14，解得. 组的频数. 组的频率. 组的频率. 【小问2详解】 实训时长在的频率为四组的频率和， 即. 则该校中职学生每周实训时长在的概率估计值为. 【小问3详解】 各组组中值依次为， ， 因此估计该校中职学生每周平均实训时长为小时. 22. 用60 m长的篱笆围成一个一边靠墙的矩形花圃，墙长30 m.设垂直于墙的一边长为 m. （1）求花圃面积S与的函数关系式以及的取值范围； （2）当取何值时，面积最大？最大面积是多少？ 【答案】（1） ，的取值范围是 （2） 当m时面积最大，最大面积为 【解析】 【分析】（1）利用矩形面积公式列出函数关系式，结合墙长限制和边长为正的条件确定自变量取值范围. （2）根据二次函数的开口方向、对称轴与定义域的关系求最大值. 【小问1详解】 已知垂直于墙的边长为，则平行于墙的边长为， 则， 根据实际意义，平行于墙的边长不超过墙长，则，解得， 因此的取值范围是. 【小问2详解】 函数为二次函数，其中二次项系数， 因此抛物线开口向下，对称轴为， 由于定义域为，在该区间内函数单调递减，因此当时，取得最大值， 最大值为， 即当时，面积最大，最大面积为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $