精品解析：陕西省宝鸡市渭滨区职业学校2026届高三第4周考试数学试题

陕西省宝鸡市渭滨区职业学校2026届高三第4周考试数学试题 考试时间： 2026.3.27 时间：120分钟 分数：150分 一、选择题（共12题，每题5分，共60分） 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 若直线与直线互相平行，那么的值等于（ ） A. 1 B. C. 2 D. 4. 已知与均为单位向量，它们的夹角为，那么（ ） A. 4 B. C. D. 5. 下列函数中既是偶函数又在内是增函数的是（ ） A. B. C. D. 6. 已知为等比数列，若，，则数列的前n项和=（ ） A. B. C. D. 7. 过点且垂直于直线的直线方程为（ ） A. B. C. D. 8. 与正方体各面都相切的球，它的表面积与正方体的表面积之比为（ ） A. B. C. D. 9. 已知 ，，，则 ，， 的大小关系为（ ） A. B. C. D. 10. 已知不等式解集为空集，则的取值范围（ ） A. B. C. D. 11. 已知圆的方程为，则过点的圆的切线的斜率为（ ） A. B. C. D. 12. 某单位有老年人人，中年人人，青年人人，为了调查他们的身体状况的某项指标，需从他们中间抽取一个容量为的样本，则老年人、中年人、青年人分别各抽取的人数是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共4题，共20分，每题5分） 13. ， 若，则_______． 14. 已知平面向量，且，则___________. 15. 已知一条直线经过，两点，且倾斜角为，则______________. 16. 求圆心在且过两直线和的交点的圆的标准方程______________________. 三、解答题（共6题，共70分，17题10分，其余每题12分） 17. 已知，且为第三象限的角. （1）求及的值； （2）求的值. 18. 已知各项为正数的等比数列中，，． （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前n项和． 19. 已知，. （1）若，求的值； （2）求的余弦值. 20. 如图，在直三棱柱中，已知为的中点. （1）求证：平面. （2）证明：平面平面. 21. 某中学为了解大数据提供的个性化作业质量情况，随机访问50名学生，根据这50名学生对个性化作业的评分，绘制频率分布直方图（如图所示），其中样本数据分组区间［40，50）、［50，60）、……、［80，90）、［90，100］. （1）求频率分布直方图中a的值； （2）从评分在［40，60）的受访学生中，随机抽取2人，求此2人评分都在［50，60）的概率. 22. 某商店经销恤衫，已知成批购进时单价是80元.经市场调查，若以100元的单价销售，则每天能售出50件，若每件价格降低2元，则每天可多售出10件. （1）写出每天出售T恤衫的利润与每件恤衫的降价之间的函数解析式； （2）销售单价为多少时每天的利润最大？最大利润为多少？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 陕西省宝鸡市渭滨区职业学校2026届高三第4周考试数学试题 考试时间： 2026.3.27 时间：120分钟 分数：150分 一、选择题（共12题，每题5分，共60分） 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先分别求解绝对值不等式与一元二次不等式得到集合，再根据交集的定义计算两集合的交集即可 【详解】因为，所以集合， 因为或，所以集合， 所以. 故选：D. 2. 是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】由充分条件和必要条件的定义及对数函数的性质即可得解. 【详解】在单调递增. 所以，则. 而，、没有意义，故不成立. 所以是的充分不必要条件. 故选：A. 3. 若直线与直线互相平行，那么的值等于（ ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据两直线平行斜率相等的性质列方程求解，再验证两直线不重合即可得到结果. 【详解】设两条直线分别为，， 将整理为斜截式：，可得斜率； 将整理为斜截式：，可得斜率， 因为两直线平行则斜率相等，即，代入得，解得， 当时，为，此时两条直线的截距不相等， 故两直线不重合，满足平行条件，因此的值为. 故选：C. 4. 已知与均为单位向量，它们的夹角为，那么（ ） A. 4 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据向量内积的运算法则和向量模的运算法则计算即可. 【详解】已知与均为单位向量， 则，，由它们的夹角为， 可得， 所以 ， 故选：D. 5. 下列函数中既是偶函数又在内是增函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据指对函数的解析式直接判断奇偶性，结合一次函数二次函数的性质即可求解. 【详解】对A，指数函数为非奇非偶函数，故A错误. 对B，对数函数定义域为，则为非奇非偶函数，故B错误. 对C，二次函数定义域为，，所以为偶函数； 又抛物线开口向上，对称轴为，所以在内是增函数，故C正确. 对D，一次函数，，所以在定义域内为减函数，故D错误. 故选：C. 6. 已知为等比数列，若，，则数列的前n项和=（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用等比数列的通项公式将已知等式用首项和公比表示，求出公比；再利用等比数列的前n项和公式即可求解. 【详解】设等比数列的公比为q， 因为在等比数列中，，即，解得， 又因为，所以. 故选：C. 7. 过点且垂直于直线的直线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据垂直关系设出所求直线方程，将点代入即可求解. 【详解】设垂直于直线的直线方程为， 将点代入直线方程中得，解得， 则所求直线方程为， 故选：. 8. 与正方体各面都相切的球，它的表面积与正方体的表面积之比为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据球与正方体各面都相切，可知球的直径与正方体的棱长相等，分别求表面积可求解. 【详解】设正方体的棱长为，由题知球的直径等于正方体的棱长， 所以球的表面积为，正方体的表面积为， 所以球表面积与正方体的表面积之比为. 故选：B 9. 已知 ，，，则 ，， 的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据对数的单调性即可求解. 【详解】因为对数函数 底数大于，在其定义域上是增函数， 所以 ，， 因为对数函数底数为，在其定义域上是减函数， 所以，即. 故选：D. 10. 已知不等式解集为空集，则的取值范围（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分类讨论和的情况，结合一元二次不等式恒成立问题即可得解. 【详解】不等式， 当时，，无解，符合题意； 当时，不等式解集为空集， 则，解得， 综上所述，的取值范围， 故选：. 11. 已知圆的方程为，则过点的圆的切线的斜率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】代点可知该点即切点，求出切点与圆心所在直线的斜率，再根据两直线垂直求切线斜率即可. 【详解】由可知，点为圆上一点，即为直线与圆的切点， 因为圆心，所以圆心与切点所在直线的斜率为，且该直线与切线垂直， 则切线的斜率为：. 故选：D. 12. 某单位有老年人人，中年人人，青年人人，为了调查他们的身体状况的某项指标，需从他们中间抽取一个容量为的样本，则老年人、中年人、青年人分别各抽取的人数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意,要计算各层中所抽取的人数，根据分层抽样的规则,求出各层应抽取的人数即可选出正确选项. 【详解】由题意,老年人、中年人、青年人比例为 由分层抽样的规则知,老年人应抽取的人数为人， 中年人应抽取的人数为人， 青年人应抽取的人数为人. 故选：A 二、填空题（共4题，共20分，每题5分） 13. ， 若，则_______． 【答案】 或 【解析】 【分析】根据诱导公式以及特殊角三角函数值即可求解. 【详解】因为，且， 所以或. 故答案为：或. 14. 已知平面向量，且，则___________. 【答案】2 【解析】 【分析】根据两向量垂直，内积为0，即可求出m值. 【详解】由得， 解得. 故答案为：2. 15. 已知一条直线经过，两点，且倾斜角为，则______________. 【答案】 【解析】 【分析】根据斜率公式即可求解. 【详解】因为一条直线经过，两点，且倾斜角为， 所以斜率为，解得. 故答案为：. 16. 求圆心在且过两直线和的交点的圆的标准方程______________________. 【答案】 【解析】 【分析】先联立两直线方程求出交点坐标，再计算圆心到交点的距离得到圆的半径，最后代入圆的标准方程即可得到结果. 【详解】联立两直线方程得方程组，解得，即两直线交点坐标为； 因为圆心坐标为，由两点间距离公式可得圆的半径 ， 所以所求圆的标准方程为. 故答案为：. 三、解答题（共6题，共70分，17题10分，其余每题12分） 17. 已知，且为第三象限的角. （1）求及的值； （2）求的值. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）已知，结合 可解出与的值； （2）先求出，再根据诱导公式化简 ，，代入求值即可. 【小问1详解】 因为，且为第三象限的角， 所以， 又因为，将代入得， ，化简整理得， 解得或（舍）， 所以. 【小问2详解】 因为， 所以. 18. 已知各项为正数的等比数列中，，． （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前n项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）首先求出等比数列的公比，再根据等比数列通项公式求解即可. （2）根据（1）求出，再根据等差数列的前n项和公式求解即可. 【小问1详解】 由题知，，， 解得或（舍去）. 所以数列的通项公式为：. 【小问2详解】 由题意， ，， 数列是以0为首项，1为公差的等差数列， 所以． 19. 已知，. （1）若，求的值； （2）求的余弦值. 【答案】（1）-1 （2） 【解析】 【分析】（1）首先由向量的线性运算的坐标表示分别得出与的坐标，再由向量平行的坐标表示列方程求解即可. （2）利用向量内积的坐标表示求两向量夹角的余弦值即可. 【小问1详解】 由，可得， 若，则，解得. 【小问2详解】 由，可得，，， . 20. 如图，在直三棱柱中，已知为的中点. （1）求证：平面. （2）证明：平面平面. 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）连接交于点，连接，为的中位线，再根据线面平行的判定定理即可证明. （2）利用线面垂直的判定定理和性质定理以及面面垂直的判定定理即可证明. 【小问1详解】 连接交于点，连接. 因为三棱柱为直三棱柱， 所以侧面为平行四边形，所以为的中点, 又因为为的中点，所以在中，为中位线，所以， 又因为平面，平面，所以平面. 【小问2详解】 因为三棱柱为直三棱柱，所以平面， 又因为平面，所以， 又因为，，且平面， 所以平面，又因为平面， 所以平面平面. 21. 某中学为了解大数据提供的个性化作业质量情况，随机访问50名学生，根据这50名学生对个性化作业的评分，绘制频率分布直方图（如图所示），其中样本数据分组区间［40，50）、［50，60）、……、［80，90）、［90，100］. （1）求频率分布直方图中a的值； （2）从评分在［40，60）的受访学生中，随机抽取2人，求此2人评分都在［50，60）的概率. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据所有矩形面积之和为1，列式可求解； （2）分别计算出评分在，内的学生人数，列举法求出所有可能，利用古典概型公式解答． 【小问1详解】 由题意得： ， 解得； 【小问2详解】 评分在的人数为（人），设为A，B，在的人数为（人），设为a，b，c， 从这5人中随机抽取2人，共10个等可能的基本事件，分别为，，，，，，. 记事件为“2人评分都任”，包含3个基本事件.分别为，，. 所以， 因此2人评分都在的概率为. 22. 某商店经销恤衫，已知成批购进时单价是80元.经市场调查，若以100元的单价销售，则每天能售出50件，若每件价格降低2元，则每天可多售出10件. （1）写出每天出售T恤衫的利润与每件恤衫的降价之间的函数解析式； （2）销售单价为多少时每天的利润最大？最大利润为多少？ 【答案】（1）. （2）销售单价为95元时，每天利润最大，最大利润为1125元. 【解析】 【分析】（）根据题意列出函数解析式即可得解. （）根据二次函数的性质即可得解. 【小问1详解】 商店经销恤衫，已知成批购进时单价是80元， 若以100元的单价销售，则每天能售出50件，每件价格降低2元，则每天可多售出10件， 则， 因为且，解得， 所以. 【小问2详解】 因为函数，图像为开口向下的抛物线， 对称轴为，满足， 当时，利润最大为元，此时的单价为元， 综上所述，当销售单价为元时，每天利润最大，最大利润为1125元. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $