综合测试卷（一）-《数学 拓展模块上册》（高教版第三版） 单元过关卷（原卷+解析版）

**基本信息** 紧扣教材核心考点，采用AB卷分层训练与综合测试卷实战模拟，构建基础巩固到能力提升的螺旋式知识网络，培养抽象能力与推理意识。 **综合设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |复数|3题|实根判定、共轭复数、模运算|从概念理解到运算应用，形成复数性质认知链| |向量|4题|坐标运算、垂直判定|结合代数运算与几何意义，强化工具性作用| |立体几何|5题|异面直线、线面角、二面角|从位置关系到空间角计算，构建空间观念| |解析几何|6题|圆锥曲线标准方程、焦点、离心率|围绕定义与性质，形成方程与几何特征的对应| |充分必要条件|3题|结合代数、几何概念判断|通过具体情境深化逻辑推理，培养推理意识|

编写说明：本套试卷紧扣《数学 拓展模块上册》（高教版第三版）教材，以教材章节为基准精准覆盖核心考点。 每个章节设置AB卷，A卷为基础巩固卷，侧重基础考点训练，帮助学生扎实掌握知识要点；B卷为能力提升卷，注重知识整合与全面检测，引导学生构建知识网络。全书设计4份综合测试卷，模拟实战情境，聚焦解题能力突破，全面提升应试能力与知识应用水平。 综合测试卷（一） 考试时间：120分钟 满分：150分 班级 姓名 学号 成绩 一、选择题（本大题共18小题，每小题3分，共54分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1．若实系数一元二次方程的一个根为，则它的另一个根是（   ） A． B． C． D． 2．已知向量，，则（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 3．已知向量，，则（    ）. A． B． C． D． 4．“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．已知为虚数单位，则（   ） A．3 B．4 C．5 D． 6．已知复数，是的共轭复数，则的虚部为（     ） A． B． C．i D．1 7．“”是“双曲线的焦点在y轴上”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 8．若，，，则a和b的位置关系是（   ） A．平行 B．异面 C．平行或异面 D．相交 9．以下说法中，哪个说法是正确（    ） A．两个不相交的直线一定平行 B．两个相交的直线一定垂直 C．在两个不同平面内的直线是异面直线 D．不在任何一个平面内的两条直线是异面直线 10．如图所示，在长方体中，已知，，，求体对角线与平面所成角的大小（    ）    A． B． C． D． 11．直线，均不在平面，内，给出下列说法： ①若，，则；②若，，则； ③若，，则；④若，，则． 其中说法正确的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 12．如图所示的正方体中，直线与直线的位置关系是（   ）．    A．相交 B．平行 C．异面 D．不确定 13．已知直线过抛物线的焦点，则实数的值是（    ） A．8 B． C．2 D． 14．椭圆的焦距为（    ） A．3 B．6 C．8 D．10 15．双曲线的离心率（   ） A． B． C． D． 16．已知双曲线的左焦点与抛物线的焦点重合，则该抛物线的方程为（   ） A． B． C． D． 17．已知向量，，若，则（   ） A． B． C． D． 18．设，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 4 分，共 24 分） 19．设，则等于________. 20．以为准线的抛物线的标准方程为________． 21．在正方体的所有棱中，与棱异面的棱有______________条. 22．已知，分别为椭圆（其中）的左、右焦点，是椭圆短轴的一个端点，若为正三角形，则椭圆的离心率为______．    23．已知向量，，且，则________. 24．“x是偶数”是“x能被4整除”的________条件（填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”）. 三、解答题（本大题共 6 小题，共 72 分.要写出必要的文字说明，证明过程和演算步骤） 25．(本题10分)已知复数 （，为虚数单位）. (1)若是实数，求的值； (2)若是纯虚数，求的值. 26．(本题10分)已知抛物线的顶点在原点，对称轴为轴，且经过点. (1)求抛物线的标准方程； (2)求该抛物线的焦点坐标和准线方程. 27．(本题12分)已知为坐标原点，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，求： (1)； (2)； (3)若，求的值. 28．(本题12分)已知集合， (1)当时，求， (2)若“”是“”成立的充分不必要条件，求实数的取值范围． 29．(本题14分)如图，在正方体中， (1)求异面直线与所成的角的大小； (2)求二面角的大小. 30．(本题14分)如图所示，在平面直角坐标系中，双曲线的右焦点是，双曲线两条渐近线的夹角是．    (1)求双曲线的标准方程； (2)已知点，过点的直线与双曲线交于，两点，求的值． 试卷第1页，共3页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！15 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：本套试卷紧扣《数学 拓展模块上册》（高教版第三版）教材，以教材章节为基准精准覆盖核心考点。 每个章节设置AB卷，A卷为基础巩固卷，侧重基础考点训练，帮助学生扎实掌握知识要点；B卷为能力提升卷，注重知识整合与全面检测，引导学生构建知识网络。全书设计4份综合测试卷，模拟实战情境，聚焦解题能力突破，全面提升应试能力与知识应用水平。 综合测试卷（一） 考试时间：120分钟 满分：150分 班级 姓名 学号 成绩 一、选择题（本大题共18小题，每小题3分，共54分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1．若实系数一元二次方程的一个根为，则它的另一个根是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据共轭根定理即可求解. 【详解】因为实系数一元二次方程的一个根为，则它的另一个根是. 故选：B. 2．已知向量，，则（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】A 【分析】根据向量数量积的计算公式即可求解. 【详解】已知向量，， 则， 故选：A 3．已知向量，，则（    ）. A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据向量的线性运算的坐标表示求解即可. 【详解】已知向量，，则. 故选：A. 4．“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】利用充分条件和必要条件的定义进行判断． 【详解】由得，不能推出，故充分性不成立； 而可以推出，故必要性成立， 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：B. 5．已知为虚数单位，则（   ） A．3 B．4 C．5 D． 【答案】C 【分析】根据复数的运算法则即可得解. 【详解】， 故选：. 6．已知复数，是的共轭复数，则的虚部为（     ） A． B． C．i D．1 【答案】D 【分析】先求解出，再根据虚部的概念求解即可. 【详解】复数，则， 可得的虚部为1. 故选：D. 7．“”是“双曲线的焦点在y轴上”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据双曲线焦点在轴上的特点即可得解. 【详解】双曲线的焦点在y轴上，则， 所以当时，双曲线的焦点在y轴上，故充分性成立； 当双曲线的焦点在y轴上时，，故必要性不成立， 所以“”是“双曲线的焦点在y轴上”的充分不必要条件. 故选：. 8．若，，，则a和b的位置关系是（   ） A．平行 B．异面 C．平行或异面 D．相交 【答案】C 【分析】根据线面平行推断直线与直线的位置关系即可解得. 【详解】因为平面平行于平面，直线a在平面内，直线b在平面内， 所以和没有公共点，它们可能平行，也可能异面， 不可能相交，因为分别在两个平行平面内的直线不会有交点. 故选：C. 9．以下说法中，哪个说法是正确（    ） A．两个不相交的直线一定平行 B．两个相交的直线一定垂直 C．在两个不同平面内的直线是异面直线 D．不在任何一个平面内的两条直线是异面直线 【答案】D 【分析】准确理解平行、相交、垂直、异面直线的定义，并据此对每个选项进行分析判断即可. 【详解】选项A：两个不相交的直线可能平行，可能异面，故选项A说法错误； 选项B：两条相交的直线，它们的夹角不一定是，故选项B说法错误； 选项C：在两个不同平面内的直线也可能平行，故选项C说法错误； 选项D：根据异面直线的定义，不在任何一个平面的两条直线是异面直线，故选项D说法正确. 故选：D. 10．如图所示，在长方体中，已知，，，求体对角线与平面所成角的大小（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据线面角定义找到所求线面角，再根据直角三角形边的关系求解即可. 【详解】连接，    因为长方体中，平面， 所以即体对角线与平面所成角， 因为，所以， 且长方体中，， 则中，，故为等腰直角三角形， 所以. 故选：B. 11．直线，均不在平面，内，给出下列说法： ①若，，则；②若，，则； ③若，，则；④若，，则． 其中说法正确的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】根据题意结合直线与直线，直线与平面，平面与平面的位置关系即可得解. 【详解】因为直线，均不在平面，内，若，，则，故①正确； 因为直线，均不在平面，内，若，，则，故②正确； 因为直线，均不在平面，内，若，，则，故③正确； 因为直线，均不在平面，内，若，，则，故④正确， 所以正确的个数为， 故选：. 12．如图所示的正方体中，直线与直线的位置关系是（   ）．    A．相交 B．平行 C．异面 D．不确定 【答案】C 【分析】根据异面直线的概念求解即可. 【详解】在正方体中，，和相交于点， 因此和不平行； 不在直线所在的平面内，且与平面平行， 因此和没有公共点，不相交； 两条直线既不平行也不相交，因此是异面直线. 故选：C. 13．已知直线过抛物线的焦点，则实数的值是（    ） A．8 B． C．2 D． 【答案】A 【分析】将代入直线方程中求出直线与轴的交点坐标，根据抛物线方程求出焦点坐标，根据题意列出方程即可得解. 【详解】直线，令，则，解得， 所以直线与轴的交点是， 抛物线的焦点是，所以，解得， 故选：A. 14．椭圆的焦距为（    ） A．3 B．6 C．8 D．10 【答案】B 【分析】根据题意结合椭圆方程求出值即可得解. 【详解】椭圆，则，， ，解得，所以焦距为， 故选：. 15．双曲线的离心率（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据双曲线的离心率公式求解即可. 【详解】双曲线中，，，（负值舍去）， ∴离心率． 故选：A. 16．已知双曲线的左焦点与抛物线的焦点重合，则该抛物线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由双曲线方程求出焦点坐标，根据题意可得抛物线的焦点坐标即可求解. 【详解】在双曲线中，，则，所以， 所以双曲线的左焦点为，则抛物线的焦点为， 设抛物线的方程为，焦点坐标为 又抛物线左焦点与抛物线的焦点重合， 所以，则， 则抛物线方程为. 故选：D. 17．已知向量，，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用平面向量共线的坐标表示建立关于x的方程，进而求解. 【详解】已知向量，， 若，则， 故选：D 18．设，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】解含绝对值的不等式结合充分性及必要性的定义即可得解. 【详解】因为等价于或， 又或，但或， 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 4 分，共 24 分） 19．设，则等于________. 【答案】 【分析】直接利用复数的模的计算公式求解即可. 【详解】已知，则. 故答案为：. 20．以为准线的抛物线的标准方程为________． 【答案】 【分析】根据抛物线方程与准线的关系，列式求解. 【详解】设抛物线的标准方程为， 由题意可知得， 所以抛物线的标准方程为. 故答案为：. 21．在正方体的所有棱中，与棱异面的棱有______________条. 【答案】4 【分析】根据异面直线的定义求解即可. 【详解】如图： 与棱异面的棱有，共条， 故答案为：. 22．已知，分别为椭圆（其中）的左、右焦点，是椭圆短轴的一个端点，若为正三角形，则椭圆的离心率为______． 【答案】/ 【分析】根据题意结合椭圆的性质及离心率公式即可求解. 【详解】    如图所示，作出图像，因为为正三角形， 即，则， 故离心率， 故答案为：. 23．已知向量，，且，则________. 【答案】 【分析】根据题意结合平面向量内积的坐标表示求出值，利用平面向量线性运算的坐标表示及模长公式即可得解. 【详解】向量，，且， 则，解得， 所以，， 则， 故答案为：. 24．“x是偶数”是“x能被4整除”的________条件（填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”）. 【答案】必要不充分 【分析】根据题意结合充分性及必要性的定义即可得解. 【详解】当x是偶数时，x不一定被4整除，比如当时，是偶数，但不能被4整除，故充分性不成立； 当x能被4整除时，一定能被整除，所以x是偶数，故必要性成立， 所以“x是偶数”是“x能被4整除”的必要不充分条件， 故答案为：必要不充分. 三、解答题（本大题共 6 小题，共 72 分.要写出必要的文字说明，证明过程和演算步骤） 25．(本题10分)已知复数 （，为虚数单位）. (1)若是实数，求的值； (2)若是纯虚数，求的值. 【答案】(1) (2)1 【分析】根据复数的定义即可求解. 【详解】（1）因为复数， 若是实数，则虚部为 0， 即，解得. （2）因为复数， 若是纯虚数，则实部为0且虚部不为 0. 即，解得. 26．(本题10分)已知抛物线的顶点在原点，对称轴为轴，且经过点. (1)求抛物线的标准方程； (2)求该抛物线的焦点坐标和准线方程. 【答案】(1) (2)焦点，准线 【分析】（1）根据对称轴以及过的点求解抛物线方程即可； （2）根据抛物线方程求解焦点坐标与准线方程即可. 【详解】（1）已知抛物线的顶点在原点，对称轴为轴， 则抛物线焦点位于轴， ∵经过点，设抛物线方程为， 代入点得，解得，故方程为； （2）抛物线方程为，其中，则， 又焦点坐标位于轴负半轴，则焦点坐标为，准线方程为. 27．(本题12分)已知为坐标原点，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，求： (1)； (2)； (3)若，求的值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据向量的坐标表示求解； （2）根据向量模的坐标表示求解； （3）根据向量平行的坐标表示求解. 【详解】（1）由，， 得. （2）， . （3），， ， ，解得. 28．(本题12分)已知集合， (1)当时，求， (2)若“”是“”成立的充分不必要条件，求实数的取值范围． 【答案】(1)， (2) 【分析】(1)将代入，根据交集、并集的定义求解即可； (2)由题意可得集合是集合的真子集，又因为，列出不等式组，求解即可. （1）解：当时，, 因为, 所以, ； （2）解：因为是成立的充分不必要条件， 所以集合是集合的真子集， 因为， 所以恒成立， 所以集合， 所以解得， 故实数的取值范围为 29．(本题14分)如图，在正方体中， (1)求异面直线与所成的角的大小； (2)求二面角的大小. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）找出是异面直线与所成的角，结合正方体的结构特征，正三角形的性质即可求解. （2）先找出二面角的平面角，结合正方体的结构特征即可求解. 【详解】（1）在正方体中，连接， 因为，即四边形是平行四边形， 即，所以是异面直线与所成的角， 因为三角形是等边三角形，所以， 所以异面直线与所成的角的大小为. （2）在正方体中，平面，平面， 所以， 即是二面角的平面角， 由正方体的性质可知，即二面角的大小为. 30．(本题14分)如图所示，在平面直角坐标系中，双曲线的右焦点是，双曲线两条渐近线的夹角是．    (1)求双曲线的标准方程； (2)已知点，过点的直线与双曲线交于，两点，求的值． 【答案】(1). (2). 【分析】（）根据题意结合双曲线的性质可知，利用渐近线的性质得到，联立方程组求出即可得解. （）当直线斜率不存在时，联立方程组求出坐标，结合平面向量的运算即可求解；当直线斜率存在时，利用平面向量的运算法则得出，联立方程组结合韦达定理即可求解. 【详解】（1）设双曲线的标准方程为， 因为双曲线的右焦点是，所以双曲线的半焦距， 因为双曲线两条渐近线的夹角是，所以直线的倾斜角是， 所以，即，即， 所以，解得，， 所以双曲线的标准方程是． （2）若直线的斜率不存在，则的方程是， 由解得，， ，， ； 若直线的斜率存在，设斜率为，则的方程为， 设，，则， 于是， 而， 所以， 由可得， 所以，且, ，． 所以 ， 综上所述，的值是． 试卷第1页，共3页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！15 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $