综合测试卷（四）-《数学 拓展模块上册》（高教版第三版） 单元过关卷（原卷版+解析版）

**基本信息** 该综合训练紧扣中职教材，分章节AB卷分层巩固，综合测试卷整合复数、立体几何、解析几何等跨章节知识，通过基础到综合题型培养数学眼光、思维与语言，提升知识应用与应试能力。 **综合设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础概念|选择1-2、14-15、填空19|侧重定义辨析与简单计算|从复数、逻辑等概念生成，构建数学语言表达基础| |空间几何|选择3-6、填空20、解答28|结合图形考查线面关系、空间角|以长方体、棱锥为载体，发展几何直观与空间观念| |解析几何|选择7-10、18、填空23-24、解答29-30|涉及圆锥曲线方程、离心率及综合应用|从方程到几何性质，体现用数学思维分析数量关系| |向量应用|选择11-13、16、填空21、解答27|考查向量运算、共线及数量积|通过向量工具整合几何与代数，培养运算能力|

编写说明：本套试卷紧扣《数学 拓展模块上册》（高教版第三版）教材，以教材章节为基准精准覆盖核心考点。 每个章节设置AB卷，A卷为基础巩固卷，侧重基础考点训练，帮助学生扎实掌握知识要点；B卷为能力提升卷，注重知识整合与全面检测，引导学生构建知识网络。全书设计4份综合测试卷，模拟实战情境，聚焦解题能力突破，全面提升应试能力与知识应用水平。 综合测试卷（四） 考试时间：120分钟 满分：150分 班级 姓名 学号 成绩 一、选择题（本大题共18小题，每小题3分，共54分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1．若，则（ ） A． B． C． D． 2．一个复数与其共轭复数的积是（   ） A．虚数 B．纯虚数 C．非负实数 D．负实数 3．如图所示，在长方体中，，若为的中点，则直线与所成角的正切值是（    ）    A． B． C． D． 4．在三棱锥中，已知垂直于所在平面，若 ，则与棱垂直的棱有（    ）. A．三条 B．两条 C．四条 D．一条 5．若直线不平行于平面，且不在内，则下列结论成立的是（　　） A．内不存在与平行的直线 B．内的所有直线与异面 C．内存在唯一的直线与平行 D．内的直线与都相交 6．已知正方体的平面展开图如图所示，则下列叙述正确的是（   ）    A． B．与是异面直线 C．与所成的角是 D．与互相垂直 7．已知直线过抛物线的焦点，且直线与抛物线交于，两点，若直线的方程为，则（   ） A．16 B．8 C．12 D．4 8．已知抛物线的顶点是坐标原点，准线方程为，在该抛物线上有一个动点，则动点与点的最小距离为（    ） A． B． C． D． 9．已知，分别是双曲线（，）的左、右焦点，经过的直线l与双曲线C的左支交于A，B两点，若，，，则双曲线C的离心率为（    ） A． B． C． D． 10．已知双曲线的一条渐近线方程为，且过点，则双曲线的方程为（   ） A． B． C． D． 11．如图所示，在平行四边形中，设向量，则向量（   ）    A． B． C． D． 12．已知向量，，若，则实数（   ） A． B．1 C． D．0 13．已知单位向量和，若，则等于（     ） A． B． C． D． 14．已知，则“”是“”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 15．已知命题：，则命题的一个必要不充分条件是（   ）. A． B． C． D． 16．已知AD是直角三角形ABC斜边BC上的高，点P在DA的延长线上，且满足 ，若 ，则 的值为（　　） A．2 B．3 C．4 D．6 17．已知为三角形内角，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 18．已知椭圆（）的左、右焦点分别为，，上顶点为B，连接并延长交椭圆于点P，若为等腰三角形，且，则椭圆的离心率是（     ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 4 分，共 24 分） 19．在复数范围内解方程，解得______. 20．在长方体中，，，则与平面所成角的正弦值为_____________ 21．已知向量，，，若A，B，C三点共线，则实数k应满足的条件是________. 22．设，，若是的充分条件，则实数m的取值范围是___________. 23．已知双曲线的左顶点为，右焦点为，P为双曲线右支上一点，则的最小值________． 24．已知，分别为椭圆的左、右焦点，过的直线与椭圆交于M，N两点．若，，则该椭圆的离心率为___________． 三、解答题（本大题共 6 小题，共 72 分.要写出必要的文字说明，证明过程和演算步骤） 25．(本题10分)已知为虚数单位，复数． (1)当实数取何值时，是纯虚数； (2)当时，复数是关于的方程的一个根，求实数与的值． 26．(本题10分)已知非空集合． (1)若，求； (2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数a的取值范围． 27．(本题12分)已知向量，向量，向量的模. (1)求向量的模； (2)若，求的值； (3)若，求向量的坐标. 28．(本题12分)如图所示，在四棱锥中，平面平面，为等边三角形，，且．    (1)若，求与平面所成角的正切值； (2)求证，平面平面． 29．(本题14分)已知椭圆的短轴长为2，右顶点为抛物线的焦点. (1)求椭圆的标准方程和离心率； (2)若直线l过椭圆C的右焦点F且与椭圆C相交于P，Q两点（点P在x轴上方），（O为坐标原点），求直线l的方程. 30．(本题14分)如图所示，已知抛物线上横坐标为6的点到焦点F的距离为8．    (1)求抛物线的标准方程及焦点F的坐标； (2)若过点F的直线l与抛物线交于M，N两点，且，求的值． 试卷第1页，共3页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！20 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：本套试卷紧扣《数学 拓展模块上册》（高教版第三版）教材，以教材章节为基准精准覆盖核心考点。 每个章节设置AB卷，A卷为基础巩固卷，侧重基础考点训练，帮助学生扎实掌握知识要点；B卷为能力提升卷，注重知识整合与全面检测，引导学生构建知识网络。全书设计4份综合测试卷，模拟实战情境，聚焦解题能力突破，全面提升应试能力与知识应用水平。 综合测试卷（四） 考试时间：120分钟 满分：150分 班级 姓名 学号 成绩 一、选择题（本大题共18小题，每小题3分，共54分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1．若，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由，得. 2．一个复数与其共轭复数的积是（   ） A．虚数 B．纯虚数 C．非负实数 D．负实数 【答案】C 【分析】根据复数的基本运算和共轭复数的性质，即可选出正确答案. 【详解】设复数， 其共轭复数为， 它们的积为：， 因为， 所以， 结果是一个非负实数. 故选：C 3．如图所示，在长方体中，，若为的中点，则直线与所成角的正切值是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意作出辅助线，找到异面直线所成角，求出所需线段的长度即可得解. 【详解】    如图所示，连接，因为， 则直线与所成角即为直线与所成角为， 因为，，则， 因为为的中点，则， 因为平面，平面，则， 所以， 故选：. 4．在三棱锥中，已知垂直于所在平面，若 ，则与棱垂直的棱有（    ）. A．三条 B．两条 C．四条 D．一条 【答案】A 【分析】根据线面垂直的定义和线面垂直的判定定理即可解答. 【详解】已知垂直于所在平面， 且平面，所以， 因为，所以， 且平面， 所以平面，因为平面， 所以，所以与棱垂直的棱有共3条， 故选：A. 5．若直线不平行于平面，且不在内，则下列结论成立的是（　　） A．内不存在与平行的直线 B．内的所有直线与异面 C．内存在唯一的直线与平行 D．内的直线与都相交 【答案】A 【分析】根据空间中直线与平面之间的位置关系求解即可. 【详解】直线不平行于平面，且不在内，因此直线与平面相交，二者有且只有一个公共交点. 选项B.内所有过这个公共交点的直线，都和相交，不是异面直线，因此B错误. 选项C.如果内存在直线和平行，根据线面平行判定定理，就会推出和题干矛盾，因此C错误，A正确.. 选项D.内不过这个公共交点的直线，和异面，并不相交，因此D错误. 故选：A. 6．已知正方体的平面展开图如图所示，则下列叙述正确的是（   ）    A． B．与是异面直线 C．与所成的角是 D．与互相垂直 【答案】D 【分析】根据题意，结合正方体的结构特征，及异面直线所成角、线面垂直的判定定理和性质定理，即可判断求解. 【详解】    由题意，将正方体的平面展开图还原成正方体，如上图所示： 所以是异面直线，而不平行，故选项A错误； 所以，故选项B错误；    连接，则是等边三角形，故， 因为，所以与所成的角也是，故选项C错误；    连接，则， 又平面，平面，所以， 又平面，平面，， 所以平面，又平面， 所以，故选项D正确. 故选：D. 7．已知直线过抛物线的焦点，且直线与抛物线交于，两点，若直线的方程为，则（   ） A．16 B．8 C．12 D．4 【答案】A 【分析】首先求出抛物线的方程，再联立两方程，根据抛物线焦点弦长公式求解即可. 【详解】抛物线的焦点坐标为， 因为直线过抛物线的焦点， 所以，解得，因此抛物线的方程为， 由，得，则， 所以． 故选：A． 8．已知抛物线的顶点是坐标原点，准线方程为，在该抛物线上有一个动点，则动点与点的最小距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据准线方程求出抛物线方程，再设出抛物线上动点的坐标，最后根据两点间距离公式及二次函数的性质求出最小距离. 【详解】准线方程为，即， 则，得，则， 故该抛物线的方程为， 设抛物线上的动点，则， 所以， 所以当时，． 故选：C . 9．已知，分别是双曲线（，）的左、右焦点，经过的直线l与双曲线C的左支交于A，B两点，若，，，则双曲线C的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据双曲线的定义求出，再结合勾股定理求出，进而得到离心率. 【详解】如图所示，由双曲线的定义可知，. 又，所以，. 因为，所以， 所以在中，，所以，， 故双曲线C的离心率.    故选：D. 10．已知双曲线的一条渐近线方程为，且过点，则双曲线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先由双曲线渐近线方程得到与的关系，再将已知点代入双曲线方程求解即可确定双曲线方程. 【详解】已知双曲线的一条渐近线方程为， 则，即，所以双曲线方程为， 将点代入得，， 解得，所以双曲线的方程为， 故选：B. 11．如图所示，在平行四边形中，设向量，则向量（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据向量的线性运算即可求解. 【详解】在平行四边形中，向量， 所以，解得． 故选：C. 12．已知向量，，若，则实数（   ） A． B．1 C． D．0 【答案】A 【分析】根据向量线性运算的坐标表示，向量垂直的坐标表示即可求解. 【详解】因为向量，，所以，， 因为，所以， 即，解得. 故选：A. 13．已知单位向量和，若，则等于（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据模长相等以及向量的运算律得，结合向量夹角公式即可求解. 【详解】由题意得，，， 即，所以，则， 则， 则， 又，所以. 故选：A. 14．已知，则“”是“”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】若，则，则充分性成立； 若，则满足，但不满足，故必要性不成立， 故“”是“”的充分不必要条件. 15．已知命题：，则命题的一个必要不充分条件是（   ）. A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据一元二次不等式的解法，结合必要不充分条件的概念即可求解. 【详解】因为：等价于，解得. 对A，是的充分不必要条件，故A错误. 对B，是的必要不充分条件，故B正确. 对C，是的既不充分也不必要条件，故C错误. 对D，是的充要条件，故D错误. 故选：B. 16．已知AD是直角三角形ABC斜边BC上的高，点P在DA的延长线上，且满足 ，若 ，则 的值为（　　） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】A 【分析】由题意根据向量的数量积求解. 【详解】 取中点，则， 所以，因为， 所以. 故选：A. 17．已知为三角形内角，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据同角三角函数的基本关系及正弦、余弦函数的图像和性质，并结合充分条件和必要条件的定义进行判断． 【详解】若，由得：，即， 又因为为三角形内角，故， 即，充分性成立； 若，且为三角形内角，则的范围为或， 所以或，故必要性不成立． 所以“”是“”的充分不必要条件． 故选：A 18．已知椭圆（）的左、右焦点分别为，，上顶点为B，连接并延长交椭圆于点P，若为等腰三角形，且，则椭圆的离心率是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求解出直线的方程，联立直线与椭圆的方程得到点P的坐标，由椭圆的定义以及已知条件可求解，利用两点间距离公式以及离心率公式求解即可. 【详解】∵椭圆（）的左、右焦点分别为，， ∴右焦点，又∵上顶点为， ∴直线的斜率， ∴直线的方程为， 由椭圆的定义可知，， ∵，且， ∴，又∵， ∴， 联立①②可得，，， 联立，消去y可得，， 解得或， ∴点， ∴， 在椭圆中，，则， ∵，即， ∴，整理可得， ∴，即，可得，即， ∴，则椭圆的离心率是. 故选：C.    二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 4 分，共 24 分） 19．在复数范围内解方程，解得______. 【答案】 【分析】根据复数范围内的一元二次方程的解法即可求解. 【详解】由方程得，， 所以，解得. 故答案为：. 20．在长方体中，，，则与平面所成角的正弦值为_____________ 【答案】 【分析】利用线面垂直的判定定理和性质定理可证得，进而可知为与平面所成角，分析计算求解即可. 【详解】设为的中点，连接，如图所示： 因为在长方体中，， 所以上下底均为正方形，又因为为的中点， 所以，因为平面，且平面， 所以，因为，平面， 所以平面，因为平面， 所以，所以为与平面所成角， 因为，所以，因为为的中点， 所以，所以， 所以. 故答案为：. 21．已知向量，，，若A，B，C三点共线，则实数k应满足的条件是________. 【答案】 【分析】利用向量线性运算的坐标表示可得和，再根据向量共线的坐标表示可得结果. 【详解】由题可得， ， ， 由A，B，C三点共线，可得， 所以，解得. 故答案为： 22．设，，若是的充分条件，则实数m的取值范围是___________. 【答案】 【分析】根据充分条件的定义，建立不等式，可得答案. 由题意可得. 故答案为：. 23．已知双曲线的左顶点为，右焦点为，P为双曲线右支上一点，则的最小值________． 【答案】 【分析】设出点的坐标，然后通过向量内积的坐标运算得到的表达式，最后根据二次函数的性质求出最小值. 【详解】对于双曲线方程，可得，，则， 那么左顶点，右焦点， 因为P为双曲线右支上一点，设（）， 所以，即， 则，， 可得： ， 令（），函数图象开口向上，对称轴为， 所以在上单调递增， 则在处取得最小值，最小值为， 则的最小值为， 故答案为：. 24．已知，分别为椭圆的左、右焦点，过的直线与椭圆交于M，N两点．若，，则该椭圆的离心率为___________． 【答案】 【分析】根据椭圆的定义以及余弦定理求解即可. 【详解】设 ， 则， ， 由椭圆定义 ， 在中，由余弦定理， 即，解得或（舍去）， 因此. 在中，由余弦定理， 化简得，即，因此离心率. 故答案为：. 三、解答题（本大题共 6 小题，共 72 分.要写出必要的文字说明，证明过程和演算步骤） 25．(本题10分)已知为虚数单位，复数． (1)当实数取何值时，是纯虚数； (2)当时，复数是关于的方程的一个根，求实数与的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由是纯虚数得到实部为，虚部不为，解方程组得到的值； （2）将代入方程，实部和虚部均为，解方程组得到和的值. （1）由是纯虚数得，解得. 所以当时，是纯虚数. （2）当时，， 因为是关于的方程的一个根，所以， 即，整理得， 所以，解得. 26．(本题10分)已知非空集合． (1)若，求； (2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，结合交集、补集的概念和运算，即可求解； （2）根据题意，结合充分性、必要性的概念，及集合之间的关系，即可判断求解. 【详解】（1）当时，集合， 所以或， 又， 所以； （2）因为“”是“”的充分不必要条件，所以是的真子集， 又集合是非空集合， 所以或， 解得， 即实数a的取值范围为． 27．(本题12分)已知向量，向量，向量的模. (1)求向量的模； (2)若，求的值； (3)若，求向量的坐标. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据向量模的坐标表示即可求解. （2）根据向量平行的坐标表示，结合同角三角函数的商数关系即可求解. （3）根据向量垂直的坐标表示即可求解. 【详解】（1）因为，所以. （2）因为向量，向量，又， 所以，则. （3）设，则， 因为， 所以， 即，则①， 又，所以②，代入①得，即③， 联立②③，解得或， 所以向量的坐标为. 28．(本题12分)如图所示，在四棱锥中，平面平面，为等边三角形，，且．    (1)若，求与平面所成角的正切值； (2)求证，平面平面． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据线面角的定义结合面面垂直的性质定理可知为与平面所成的角，设，根据已知条件结合直角三角形中正切的定义即可求解. （2）利用面面垂直的性质定理即可证明. 【详解】（1）取中点，连接，因为为等边三角形，所以． 又平面平面，交线为，所以平面， 又平面，所以， 则为与平面所成的角， 设，则 ． 在平面中，过作于， 因为 ，所以，又， 所以 ， 所以．    （2）因为，所以， 又平面平面，平面平面，平面， 所以平面，又平面，所以平面平面． 29．(本题14分)已知椭圆的短轴长为2，右顶点为抛物线的焦点. (1)求椭圆的标准方程和离心率； (2)若直线l过椭圆C的右焦点F且与椭圆C相交于P，Q两点（点P在x轴上方），（O为坐标原点），求直线l的方程. 【答案】(1)，离心率为 (2) 【分析】（1）根据已知确定椭圆参数值，即可得椭圆的标准方程，进而求离心率； （2）由题意，设l的方程为，，，联立椭圆方程，并应用韦达定理及已知有，进而列方程求参数，即可得. 【详解】（1）椭圆的短轴长为2，可得，， 椭圆C的右顶点为抛物线的焦点，， 则， 椭圆C的方程为，离心率为. （2）由题意知l的斜率存在且不为0，， 故设l的方程为，，. 由，得， ，，. ，， ，， 则，解得， 依题意知，则， 可知，则， 直线l的方程为，即.    30．(本题14分)如图所示，已知抛物线上横坐标为6的点到焦点F的距离为8．    (1)求抛物线的标准方程及焦点F的坐标； (2)若过点F的直线l与抛物线交于M，N两点，且，求的值． 【答案】(1)方程为，焦点 (2) 【分析】（1）根据抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离结合题意列式求出的值即可求解. （2）设直线，联立直线与抛物线方程得，根据向量的坐标表示结合根与系数的关系以及向量的内积运算即可求解. 【详解】（1）由抛物线方程可得准线方程为， 因为抛物线上横坐标为6的点到焦点F的距离为8， 又抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离， 所以，解得，所以抛物线的方程为，焦点为. （2）若直线的斜率不存在，则直线方程为， 联立方程，解得或， 所以，则，不满足； 若直线的斜率存在，设直线， 联立得，则， 又， 由，则， ，结合，得， 由，所以 ，， 所以， ， 则． 试卷第1页，共3页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！20 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $