综合测试卷（三）-《数学 拓展模块上册》（高教版第三版） 单元过关卷（原卷版+解析版）

**基本信息** 以章节AB卷分层巩固与综合测试卷实战突破为核心，系统整合复数、立体几何、解析几何等模块知识，通过基础到能力的递进训练构建知识网络，培养空间观念与运算能力。 **综合设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |复数|3题|概念辨析与几何意义|从纯虚数定义到复平面点对应，构建数与形的联系| |立体几何|4题|空间位置关系与角计算|以正方体为载体，推导线线、线面关系及角的求解| |解析几何|6题|圆锥曲线定义与性质应用|围绕椭圆、抛物线、双曲线定义，结合方程与几何量计算| |向量|4题|运算与应用|从共线、模长到数量积，体现向量工具性| |充要条件|3题|逻辑判断|结合不等式、方程等，强化数学思维的严密性|

编写说明：本套试卷紧扣《数学 拓展模块上册》（高教版第三版）教材，以教材章节为基准精准覆盖核心考点。 每个章节设置AB卷，A卷为基础巩固卷，侧重基础考点训练，帮助学生扎实掌握知识要点；B卷为能力提升卷，注重知识整合与全面检测，引导学生构建知识网络。全书设计4份综合测试卷，模拟实战情境，聚焦解题能力突破，全面提升应试能力与知识应用水平。 综合测试卷（三） 考试时间：120分钟 满分：150分 班级 姓名 学号 成绩 一、选择题（本大题共18小题，每小题3分，共54分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1．下列命题中正确的是（   ） A．是纯虚数 B．实数集和纯虚数集的交集是0 C．虚轴上所有的点表示的数都是纯虚数 D．虚数集中的元素与复平面内实轴以外的所有点组成的集合中的元素一一对应 【答案】D 【分析】根据复数的概念求解即可. 【详解】选项A，是实数，不是纯虚数，错误， 选项B，实数集和纯虚数集的交集是空集，错误， 选项C，实数零对应的点也在虚轴上，错误， 选项D，虚数集中的元素与复平面内实轴以外的所有点组成的集合中的元素一一对应，正确. 故选：D. 2．当时，复数在复平面上对应的点位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】根据复数的几何意义以及二次函数的值域求解即可. 【详解】当时，，恒大于0. ，因为，则， 进而复数在复平面上对应的点位于第四象限. 故选：D. 3．如图所示的是正方体的平面展开图，在这个正方体中，有下列结论：①；②；③；④直线，，互为异面直线．    其中，正确的序号是（   ） A．①② B．②③ C．①②③ D．②③④ 【答案】D 【分析】还原几何体，结合直线与直线的位置关系即可得解. 【详解】    如图所示，还原正方体后： ①与异面，不平行； ②连接，； ③连接，在正方体中，，则为等边三角形，； ④，，两两异面， 故②③④正确， 故选：. 4．若正四棱锥的侧棱是底面边长的2倍，则侧棱与底面所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】通过构建正四棱锥的几何模型，利用线面角的定义，在直角三角形中即可求出侧棱与底面所成角的余弦值. 【详解】    设正四棱锥的底面边长为a，因此侧棱长为2a， 设底面正方形的中心为O，则垂直于底面， 连结，则是侧棱在底面的投影， 因此，侧棱与底面所成的角即为， 面，所以， 在正方形中，， ， 故选：C 5．若，是两个不同的直线，，，是三个不同的平面，已知命题：①若，，则，异面；②，，则；③，；④，.其中，正确的命题个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】根据直线与平面，平面与平面的位置关系逐项分析即可. 【详解】若，， 则，可能异面，可能平行，可能相交，故①是假命题， 若，，则，故②是真命题； 若，，则或，故③是假命题， 若，，则与可能平行，可能相交，故④是假命题， 所以正确的命题个数为1个， 故选：A. 6．已知x轴上两点，，则平面内到这两点距离之和为8的动点的轨迹方程为（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据椭圆的定义判断出动点的轨迹形状，再结合条件即可求出椭圆的标准方程. 【详解】已知，，则， 又因为动点到两点距离之和为，且， 所以动点的轨迹是以为焦点的椭圆. 因为焦点在轴上，设椭圆的标准方程为（）， 则，解得，椭圆的半焦距， 可得， 所以动点的轨迹方程为. 故选：D. 7．已知抛物线上一点P到x轴的距离是4，则点P到该抛物线焦点的距离是（   ） A．4 B．6 C．8 D． 【答案】B 【分析】利用抛物线的定义求值即可. 【详解】已知抛物线中，，， 所以准线为，因为点P到x轴的距离是4， 所以点P到准线的距离为， 故选：B. 8．已知O为坐标原点，椭圆的右顶点为A，以OA为直径的圆与椭圆交于A，M，N三点，若四边形是正方形，则椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意设出点坐标，代入椭圆方程中，利用椭圆的性质及离心率公式即可得解. 【详解】    如图所示，作出图像， 以OA为直径的圆与椭圆交于A，M，N三点，，则圆的半径为， 设，代入椭圆方程得， 则，即， 所以离心率， 故选：. 9．已知双曲线的左、右焦点分别为，，以原点为圆心且过点的圆与双曲线在x轴上方交于A，B两点，若，则该双曲线的渐近线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由圆性质得，结合双曲线定义与勾股定理求出，即可写出渐近线方程. 【详解】因为双曲线左、右焦点分别为，， 即，满足， 以原点为圆心且过点的圆为， 设，则,即， 又，即， 又，且在圆上， 所以,即， 所以，即， 即双曲线渐近线为，整理得.    故选：B. 10．已知抛物线的顶点在原点，焦点在轴上，过焦点且斜率为1的直线与抛物线交于，两点，从，两点向准线作垂线，垂足分别为，，若，则四边形的面积为（     ） A．16 B．8 C． D．4 【答案】C 【分析】设出抛物线方程，根据题意写出直线的点斜式方程，联立方程组结合韦达定理及弦长公式求出值，代入梯形的面积公式即可得解. 【详解】    设抛物线方程为，则焦点坐标为，准线方程为， 则过焦点且斜率为的直线方程为， 联立方程组， 设，， 由韦达定理可知，，， 因为，则，解得， 所以抛物线方程为，则焦点坐标为，准线方程为， 四边形为直角梯形，，高为， ， 所以梯形的面积为， 故选：. 11．已知向量，共线，且，，则的最大值（   ） A．17 B．19 C．21 D．23 【答案】A 【分析】根据向量共线，以及向量的模求解即可. 【详解】因为向量，共线，且，， 当与方向相反时，有最大值为. 故选：A. 12．已知向量，满足，，，则（   ） A．4 B．2 C．1 D． 【答案】A 【分析】根据向量数量积以及向量的模公式求解即可. 【详解】向量，满足，，， 所以， 解得. 故选：A. 13．如图所示，在中，，若，，则等于（     ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，利用向量的加减法运算即可得解. 【详解】因为在中，， 所以，又，， 即. 故选：A. 14．已知m，，向量，，，若，，则等于（     ） A．18 B． C．10 D． 【答案】B 【分析】根据平面向量平行和垂直的性质求出值，结合平面向量线性运算的坐标表示及模长公式即可得解. 【详解】已知m，，向量，，， 因为，则，解得； 因为，则，解得， 则，，， 则. 故选：. 15．如图所示，在矩形中，，点M，N在线段上，且，则的值是（     ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】建立平面直角坐标系，表示出点D，点M，点N，点C的坐标，再由向量的坐标表示求解与的坐标，结合向量夹角的公式求解即可. 【详解】以点A为坐标原点，所在的直线为x轴，所在的直线为y轴建立平面直角坐标系，如图，    ∵，且， ∴，， ∴点，点，点，点， ∴，， ∴. 故选：D. 16．设为实数，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【分析】根据充要条件的定义及特殊角的三角函数值可判断结果. 【详解】取，满足，此时， 即； 取，满足，此时， 即. 所以“”是“”的既不充分也不必要条件. 故选：D 17．是方程有实根的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据充分、必要条件以及二次方程有根求解即可. 【详解】方程有实根等价于，解得， 则是的充分不必要条件，即是方程有实根的充分不必要条件. 故选：A. 18．“，”是“直线经过第一象限”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】由一次函数的性质，以及充分条件和必要条件的概念分析即可. 【详解】当，时，直线经过第一、二、三象限， 因此直线一定经过第一象限，故充分性成立， 当直线经过第一象限时， 除了，之外， 还可能为，或，，故必要性不成立． 故选：A． 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 4 分，共 24 分） 19．在正方体中，为的中点，则直线与所成角的余弦值为_________． 【答案】 【分析】将直线与所成角的余弦值转化为直线与所成角的余弦值，在中，求出即可求出答案. 因为， 则直线与所成角的余弦值即为直线与所成角的余弦值， 设正方体的棱长为，则， 因为平面，平面， 所以， 在中，， 所以， 所以直线与所成角的余弦值为. 故答案为：. 20．已知抛物线的焦点为F，过F且垂直于x轴的直线交抛物线于两点，则弦长等于______. 【答案】 【分析】首先根据抛物线方程求出焦点坐标，确定直线方程，将直线方程与抛物线方程联立求出两点坐标，由两点之间的距离公式求值即可. 【详解】由抛物线，得，， 焦点坐标为， 则过F且垂直于x轴的直线为， 与抛物线方程联立得，解得， 所以，所以， 故答案为：.    21．在复平面内，复数对应的点位于第四象限，且，则__________. 【答案】 【分析】先由复数对应的点位于第四象限，可得m的符号，再根据复数的模长公式求解即可. 【详解】∵复数对应的点为， 且该点位于第四象限， ∴，即， ∵， 则有，即， 解得（负值舍掉）， 故. 故答案为：. 22．已知以，为焦点的椭圆交轴正半轴于点，则的面积为_______． 【答案】12 【分析】根据椭圆方程求出，再根据三角形的面积求解即可. 【详解】椭圆方程为，焦点在轴上，且，. 所以，即，因此两焦点间距. 令，则，解得，因为点在正半轴，所以. 则点到的距离为. 因此面积. 故答案为：12. 23．在中，M是的中点，，，则________． 【答案】5 【分析】利用向量的线性运算及向量内积的运算性质求解. 【详解】M是的中点，则，， ， 故答案为：5. 24．若“”是“”的必要不充分条件，则实数的取值范围是______. 【答案】 【分析】根据含有绝对值的不等式的解法，结合必要不充分条件的定义分析求解即可. 【详解】， 因为“”是“”的必要不充分条件， 即当时，一定有，但当时，不一定有， 所以，即实数的取值范围是. 故答案为：. 三、解答题（本大题共 6 小题，共 72 分.要写出必要的文字说明，证明过程和演算步骤） 25．(本题10分)已知，是虚数单位. (1)求； (2)求； (3)设复数在复平面内所对应的点分别为、、，为坐标原点，若以、、、为顶点的四边形是平行四边形，求复数． 【答案】(1) (2) (3)答案见解析 【分析】（1）根据共轭复数的概念即可求解. （2）根据复数乘法的运算法则即可求解. （3）根据复数的几何意义求出对应点的坐标，结合向量的线性运算即可求解. 【详解】（1）因为，所以. （2）因为， 所以. （3）在复平面内，， 若为平行四边形，所以， 即，所以； 若为平行四边形，所以， 即，所以； 若为平行四边形，所以， 即，所以； 26．(本题10分)已知，. (1)若，求； (2)求与的夹角. 【答案】(1). (2). 【分析】（）根据题意结合平面向量线性运算的坐标表示求出的坐标，结合平行的性质即可得解. （）根据平面向量的夹角公式即可得解. 【详解】（1），， ，   ， ， ，， . （2），， ，   . 27．(本题12分)已知条件，条件． (1)若，试判断条件是否为条件的必要条件，并说明理由； (2)若是的充分不必要条件，求实数的取值范围． 【答案】(1)是，理由见解析 (2) 【分析】（1）代入确定条件，结合必要条件的定义，进而确定条件和条件的关系； （2）由是的充分不必要条件，列出式子确定的取值范围. 【详解】（1）若，则条件， 已知条件， 因为是的真子集， 则条件可推出条件，但条件推不出条件， 因此条件是条件的必要条件. （2）若是的充分不必要条件，则是的真子集， 可得，解得， 故实数的取值范围是. 28．(本题12分)如图所示，已知正方体的棱长为1，．求：    (1)与平面所成的角的正切值； (2)二面角的大小． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）作，可证得平面，得为所求角，再由直角三角形求正切值即可； （2）由勾股定理得，由线面垂直的判定可得平面，进而可得平面平面，即可得出所求二面角大小. 【详解】（1）如图所示，作于点，连接.    因为平面⟂平面，平面平面， 所以平面，则为与平面所成的角． 因为，，所以． 又， 所以． 即与平面所成的角的正切值为. （2）因为，且， 所以. 因为，， 所以平面．又因为平面， 所以平面平面． 故平面与平面所成角为 ，即二面角为. 29．(本题14分)如图所示，已知椭圆的焦距为，长轴长为，且直线与椭圆相交于，两点，点为椭圆上异于，两点的动点，连接，．求：    (1)椭圆的标准方程； (2)弦的长； (3)的面积的最大值． 【答案】(1) (2) (3)4 【分析】（）根据题意结合椭圆的性质求出的值即可得解. （）联立方程组求出的坐标，代入两点间距离公式即可得解. （）根据题意平移直线，当直线与椭圆相切时，切点为点，此时的三角形面积最大，根据切线的性质求出，利用点到直线的距离公式及三角形面积公式即可得解. 【详解】（1）椭圆的焦距为，长轴长为，，， ，，即， ∴椭圆的标准方程为． （2）联立方程组，解得 ，， 令， ． （3）令与直线平行，且与椭圆相切的直线的方程为， 联立方程组， 消去，化简并整理得． 令，解得． 又∵当的面积最大时，边上的高即为直线与直线的距离， 的面积的最大值为． 30．(本题14分)已知双曲线的中心在坐标原点，右焦点是抛物线的焦点，且点在双曲线上．    (1)求双曲线的标准方程； (2)若直线与双曲线交于，两点，且，求实数的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设双曲线的标准方程是，将点代入方程并求解出抛物线的焦点坐标，最后联立方程组求解即可. （2）设，，将直线方程与双曲线方程联立，并结合韦达定理和向量垂直的坐标表示，列方程求解即可. 【详解】（1）设双曲线的标准方程是， 因为点在双曲线上，则，① 因为双曲线右焦点是抛物线的焦点， 抛物线的焦点为，则，即，② 由①②解得，， 则双曲线的标准方程是． （2）设，， 联立方程组，整理得， 所以，， 则， ，，因为，所以， 即 ， 解得，因为直线与双曲线有两个交点， 所以，即 ， 解得且． 所以实数的值是． 试卷第1页，共3页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！19 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：本套试卷紧扣《数学 拓展模块上册》（高教版第三版）教材，以教材章节为基准精准覆盖核心考点。 每个章节设置AB卷，A卷为基础巩固卷，侧重基础考点训练，帮助学生扎实掌握知识要点；B卷为能力提升卷，注重知识整合与全面检测，引导学生构建知识网络。全书设计4份综合测试卷，模拟实战情境，聚焦解题能力突破，全面提升应试能力与知识应用水平。 综合测试卷（三） 考试时间：120分钟 满分：150分 班级 姓名 学号 成绩 一、选择题（本大题共18小题，每小题3分，共54分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1．下列命题中正确的是（   ） A．是纯虚数 B．实数集和纯虚数集的交集是0 C．虚轴上所有的点表示的数都是纯虚数 D．虚数集中的元素与复平面内实轴以外的所有点组成的集合中的元素一一对应 2．当时，复数在复平面上对应的点位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．如图所示的是正方体的平面展开图，在这个正方体中，有下列结论：①；②；③；④直线，，互为异面直线．    其中，正确的序号是（   ） A．①② B．②③ C．①②③ D．②③④ 4．若正四棱锥的侧棱是底面边长的2倍，则侧棱与底面所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 5．若，是两个不同的直线，，，是三个不同的平面，已知命题：①若，，则，异面；②，，则；③，；④，.其中，正确的命题个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 6．已知x轴上两点，，则平面内到这两点距离之和为8的动点的轨迹方程为（  ） A． B． C． D． 7．已知抛物线上一点P到x轴的距离是4，则点P到该抛物线焦点的距离是（   ） A．4 B．6 C．8 D． 8．已知O为坐标原点，椭圆的右顶点为A，以OA为直径的圆与椭圆交于A，M，N三点，若四边形是正方形，则椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 9．已知双曲线的左、右焦点分别为，，以原点为圆心且过点的圆与双曲线在x轴上方交于A，B两点，若，则该双曲线的渐近线方程为（   ） A． B． C． D． 10．已知抛物线的顶点在原点，焦点在轴上，过焦点且斜率为1的直线与抛物线交于，两点，从，两点向准线作垂线，垂足分别为，，若，则四边形的面积为（     ） A．16 B．8 C． D．4 11．已知向量，共线，且，，则的最大值（   ） A．17 B．19 C．21 D．23 12．已知向量，满足，，，则（   ） A．4 B．2 C．1 D． 13．如图所示，在中，，若，，则等于（     ）    A． B． C． D． 14．已知m，，向量，，，若，，则等于（     ） A．18 B． C．10 D． 15．如图所示，在矩形中，，点M，N在线段上，且，则的值是（     ）    A． B． C． D． 16．设为实数，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 17．是方程有实根的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 18．“，”是“直线经过第一象限”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 4 分，共 24 分） 19．在正方体中，为的中点，则直线与所成角的余弦值为_________． 20．已知抛物线的焦点为F，过F且垂直于x轴的直线交抛物线于两点，则弦长等于______. 21．在复平面内，复数对应的点位于第四象限，且，则__________. 22．已知以，为焦点的椭圆交轴正半轴于点，则的面积为_______． 23．在中，M是的中点，，，则________． 24．若“”是“”的必要不充分条件，则实数的取值范围是______. 三、解答题（本大题共 6 小题，共 72 分.要写出必要的文字说明，证明过程和演算步骤） 25．(本题10分)已知，是虚数单位. (1)求； (2)求； (3)设复数在复平面内所对应的点分别为、、，为坐标原点，若以、、、为顶点的四边形是平行四边形，求复数． 26．(本题10分)已知，. (1)若，求； (2)求与的夹角. 27．(本题12分)已知条件，条件． (1)若，试判断条件是否为条件的必要条件，并说明理由； (2)若是的充分不必要条件，求实数的取值范围． 28．(本题12分)如图所示，已知正方体的棱长为1，．求：    (1)与平面所成的角的正切值； (2)二面角的大小． 29．(本题14分)如图所示，已知椭圆的焦距为，长轴长为，且直线与椭圆相交于，两点，点为椭圆上异于，两点的动点，连接，．求：    (1)椭圆的标准方程； (2)弦的长； (3)的面积的最大值． 30．(本题14分)已知双曲线的中心在坐标原点，右焦点是抛物线的焦点，且点在双曲线上．    (1)求双曲线的标准方程； (2)若直线与双曲线交于，两点，且，求实数的值． 试卷第1页，共3页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！19 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $