综合测试卷（二）-《数学 拓展模块上册》（高教版第三版） 单元过关卷（原卷版+解析版）

**基本信息** 本专项紧扣教材章节，通过AB卷分层训练与综合测试卷实战模拟，系统整合椭圆、向量、复数、立体几何、圆锥曲线等核心知识点，注重基础巩固与知识网络构建，培养空间观念、运算能力及模型意识。 **综合设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础巩固与能力提升|每章节AB卷|选择填空覆盖基础考点，解答题整合知识应用|从概念理解（椭圆参数）到运算能力（向量、复数），再到空间观念（立体几何线面关系）| |综合应用|4份综合测试卷|解答题聚焦圆锥曲线方程、二面角计算等综合问题|以充要条件为逻辑纽带，联结代数运算与几何直观，培养推理能力与模型意识|

编写说明：本套试卷紧扣《数学 拓展模块上册》（高教版第三版）教材，以教材章节为基准精准覆盖核心考点。 每个章节设置AB卷，A卷为基础巩固卷，侧重基础考点训练，帮助学生扎实掌握知识要点；B卷为能力提升卷，注重知识整合与全面检测，引导学生构建知识网络。全书设计4份综合测试卷，模拟实战情境，聚焦解题能力突破，全面提升应试能力与知识应用水平。 综合测试卷（二） 考试时间：120分钟 满分：150分 班级 姓名 学号 成绩 一、选择题（本大题共18小题，每小题3分，共54分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1．椭圆中，（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 2．已知向量，，则（   ） A． B． C． D． 3．已知向量，，，则（   ） A． B． C．8 D． 4．已知复数，则复平面内对应的点的坐标是（   ） A． B． C． D． 5．已知复数是关于x的实系数一元二次方程的一个根，则m的值为（   ） A． B． C． D．6 6．如图，在正方体中，异面直线与所成的角为（    ） A． B． C． D． 7．已知两条直线，与两个平面、，且，下述命题正确的是（   ） A．若则 B．若则 C．若则 D．若则 8．当二面角不为或时，二面角的棱与二面角的平面角所在的平面的位置关系为（    ） A．平行 B．垂直 C．相交但不垂直 D．线在面内 9．如图所示，点P是平面α外的一点，平面α于点O，且，直线a在平面α内，点O到直线a的距离为3，则点P到直线a的距离是（　　） A．3 B．4 C．6 D．5 10．如图所示，正方体中，直线与的位置关系是（   ）    A．平行 B．相交 C．异面 D．以上均有可能 11．已知双曲线与抛物线的焦点重合，且双曲线的离心率为2，则双曲线的渐近线是（    ） A． B． C． D． 12．双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 13．已知抛物线的顶点在原点，焦点在轴的正半轴上，若抛物线上的点到轴的距离为3，且，则该抛物线的方程是（   ） A． B． C． D． 14．已知向量，若与的夹角为直角，则m的值是（   ） A．2 B． C． D． 15．已知向量，若向量，且，则（   ） A． B． C． D． 16．已知p：，q：，则p是q的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 17．已知a，b是实数，则“且”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 18．“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 4 分，共 24 分） 19．如图，在正方体中，平面平面______． 20．向量________. 21．若复数满足，则的虚部为______. 22．已知和两条不同的直线，，，，，，则直线，的位置关系是__________． 23．已知为双曲线的左焦点，，为双曲线同一支上的两点.若的长等于虚轴长的2倍，点在线段上，则的周长为__________ 24．若，，则p是q的________条件（填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”）. 三、解答题（本大题共 6 小题，共 72 分.要写出必要的文字说明，证明过程和演算步骤） 25．(本题10分)已知复数，且为纯虚数. (1)求复数； (2)若，求复数以及模. 26．(本题10分)已知向量，.求: (1)； (2)，||； (3). 27．(本题12分)已知命题“关于的方程有两个不相等的实数根”是真命题. (1)求实数m的取值集合M； (2)若，且“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围. 28．(本题12分)如图，在正方体中：    (1)求二面角的大小； (2)求二面角的大小. 29．(本题14分)已知抛物线的焦点为，若过点且斜率为1的直线与抛物线相交于两点，且． (1)求抛物线的方程； (2)设直线为抛物线的切线，且，求切线的方程． 30．(本题14分)已知椭圆C:的左、右焦点分别为、，上顶点为P，长轴长为4，若为正三角形. (1)求椭圆C的标准方程； (2)过点，斜率为的直线与椭圆相交M，N两点，求MN的长. 试卷第1页，共3页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：本套试卷紧扣《数学 拓展模块上册》（高教版第三版）教材，以教材章节为基准精准覆盖核心考点。 每个章节设置AB卷，A卷为基础巩固卷，侧重基础考点训练，帮助学生扎实掌握知识要点；B卷为能力提升卷，注重知识整合与全面检测，引导学生构建知识网络。全书设计4份综合测试卷，模拟实战情境，聚焦解题能力突破，全面提升应试能力与知识应用水平。 综合测试卷（二） 考试时间：120分钟 满分：150分 班级 姓名 学号 成绩 一、选择题（本大题共18小题，每小题3分，共54分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1．椭圆中，（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】根据椭圆方程可直接求出a的值. 【详解】已知椭圆， 在椭圆方程中， 因为， 则， 故选：C 2．已知向量，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据向量的加法运算即可选出正确答案. 【详解】已知向量，， 则, 故选：B 3．已知向量，，，则（   ） A． B． C．8 D． 【答案】D 【分析】根据向量垂直的坐标表示列式即可求解. 【详解】因为向量，，， 所以，解得. 故选：D. 4．已知复数，则复平面内对应的点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据共轭复数的概念和复数的几何意义求解即可. 【详解】复数，所以， 则复平面内对应的点的坐标是. 故选：B. 5．已知复数是关于x的实系数一元二次方程的一个根，则m的值为（   ） A． B． C． D．6 【答案】B 【分析】根据实系数方程虚根成共轭复数得出另一个根，再由韦达定理求值即可. 【详解】已知复数是的一个根， 则另一根为，由韦达定理得， 故选：B. 6．如图，在正方体中，异面直线与所成的角为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正方体的性质找出异面直线与所成的角，即可求解. 【详解】在正方体中，， 所以为异面直线与所成的角， 因为为正方形，为对角线， 所以，即异面直线与所成的角为. 故选：B. 7．已知两条直线，与两个平面、，且，下述命题正确的是（   ） A．若则 B．若则 C．若则 D．若则 【答案】D 【分析】结合线面、面面位置关系的判定定理逐一分析求解即可. 【详解】选项A：若，两个平面可以相交，错误. 选项B：若，两个平面可以相交，也可以平行，错误. 选项C：若，只有当垂直与β的交线时，才有，任意不一定垂直，错误. 选项D：已知，若，根据面面垂直的判定定理，，正确. 故选：D. 8．当二面角不为或时，二面角的棱与二面角的平面角所在的平面的位置关系为（    ） A．平行 B．垂直 C．相交但不垂直 D．线在面内 【答案】B 【分析】根据二面角的平面角的定义分析即可. 【详解】设二面角为，它的平面角为， 则， 且平面， 所以平面， 所以二面角不为或时， 二面角的棱与二面角的平面角所在的平面的位置关系为垂直， 故选：B. 9．如图所示，点P是平面α外的一点，平面α于点O，且，直线a在平面α内，点O到直线a的距离为3，则点P到直线a的距离是（　　） A．3 B．4 C．6 D．5 【答案】D 【分析】利用直线与平面垂直的判定与性质以及勾股定理求解. 【详解】在平面内作，垂足为，连接，则， 因为平面，直线在平面内，所以， 又因为，平面，所以平面， 因为平面，那么，所以的长度就是点到直线的距离. 因为平面，在平面内，所以， 在中，，， 则， 即点到直线的距离是. 故选：D. 10．如图所示，正方体中，直线与的位置关系是（   ）    A．平行 B．相交 C．异面 D．以上均有可能 【答案】C 【分析】根据异面直线的概念即可解答. 【详解】在正方体中， 平面，而平面， 且， 所以直线与的位置关系是异面， 故选：C. 11．已知双曲线与抛物线的焦点重合，且双曲线的离心率为2，则双曲线的渐近线是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据抛物线的标准方程求得焦点，结合双曲线的离心率公式，渐近线方程即可求解. 【详解】由题意得，因为抛物线的焦点为，所以双曲线的半焦距，且焦点在轴， 因为双曲线的离心率为2，所以双曲线的实半轴长， 所以，所以双曲线的渐近线是. 故选：C. 12．双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据双曲线的离心率公式求解即可. 【详解】双曲线中，则， 解得，进而离心率. 故选：A. 13．已知抛物线的顶点在原点，焦点在轴的正半轴上，若抛物线上的点到轴的距离为3，且，则该抛物线的方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设抛物线的方程为，求得准线方程为，由抛物线的定义，可得点到焦点的距离即为到准线的距离， 解的方程，即可求得，进而得到抛物线方程． 【详解】根据题意设抛物线，所以准线方程为， 因为点到轴的距离为3，且， 所以由定义可得，解得， 所以该抛物线的方程为． 故选：D. 14．已知向量，若与的夹角为直角，则m的值是（   ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【分析】根据向量垂直的坐标表示列方程求解即可. 【详解】已知向量， 且与的夹角为直角，得， 解得， 故选：D. 15．已知向量，若向量，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据向量平行，设，结合向量内积的坐标表示即可求解. 【详解】因为向量，所以设， 由，解得，故， 因为，所以． 故选：A. 16．已知p：，q：，则p是q的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据集合间的真子集关系即可结合必要条件和充分条件的定义求解. 因为集合是的真子集 ， 所以p是q的必要不充分条件． 故选:B． 17．已知a，b是实数，则“且”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据题意结合充分性及必要性的定义即可得解. 【详解】且，同号，不等式两边同除以得，故充分性成立； 当，时，满足，此时且，故必要性不成立， 所以“且”是“”的充分不必要条件， 故选：. 18．“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据题意结合充分性及必要性的定义即可得解. 【详解】，解得或， 当时，不等式成立，故充分性成立； 当不等式成立时，或者，故必要性不成立， 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 4 分，共 24 分） 19．如图，在正方体中，平面平面______． 【答案】 【分析】利用平面基本事实推理即得. 因为平面，平面，所以平面平面； 同理平面，平面，所以平面平面. 所以平面平面. 故答案为： 20．向量________. 【答案】 【分析】根据向量加法的运算法则即可求解 【详解】. 故答案为：. 21．若复数满足，则的虚部为______. 【答案】1 【分析】根据复数的除法进行运算，再由复数的概念即可解答. 【详解】已知复数满足， 则 ， 所以的虚部为1， 故答案为：1. 22．已知和两条不同的直线，，，，，，则直线，的位置关系是__________． 【答案】平行 【分析】由已知可得，都与平面垂直，从而得直线，的位置关系是平行. 【详解】直线，，，平面，直线平面， 同理直线平面，所以． 故答案为：平行. 23．已知为双曲线的左焦点，，为双曲线同一支上的两点.若的长等于虚轴长的2倍，点在线段上，则的周长为__________ 【答案】32 【分析】根据双曲线的标准方程，定义，即可求解. 【详解】根据题意，双曲线的左焦点， 所以点是双曲线的右焦点，，为双曲线右支上的两点， 虚轴长为6，所以. 则①，②， ①+②得，所以周长为. 故答案为：32 24．若，，则p是q的________条件（填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”）. 【答案】必要不充分 【分析】根据题意结合充分性及必要性的定义即可得解. 【详解】，解得或， 当时，或，故充分性不成立； 当时，成立，故必要性成立， 所以p是q的必要不充分条件， 故答案为：必要不充分. 三、解答题（本大题共 6 小题，共 72 分.要写出必要的文字说明，证明过程和演算步骤） 25．(本题10分)已知复数，且为纯虚数. (1)求复数； (2)若，求复数以及模. 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）将代入，根据复数的代数运算及纯虚数的概念可得结果； （2）由（1）根据复数的代数运算及复数模的定义可得结果； 【详解】（1）将代入得 . 因为为纯虚数， 所以，解得，即复数； （2）由（1）知， 所以，. 26．(本题10分)已知向量，.求: (1)； (2)，||； (3). 【答案】(1). (2)，. (3). 【分析】（）根据平面向量内积的坐标表示即可得解. （）根据平面向量的模长公式即可得解. （）根据平面向量的夹角公式即可得解. 【详解】（1）向量，， 则. （2）向量，， 则，. （3）由（）可知，， 由（）可知，，， 则， 因为，所以. 27．(本题12分)已知命题“关于的方程有两个不相等的实数根”是真命题. (1)求实数m的取值集合M； (2)若，且“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围. 【答案】(1)或 (2)或 【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式来确定的取值范围； （2）根据题意可得集合是的真子集，列不等式求解即可. 【详解】（1）因为关于的方程有两个不相等的实数根， 所以，即，解得或， 所以实数m的取值集合或． （2）或，，显然， 因为“”是“”的充分不必要条件， 所以集合是的真子集， 所以或， 解得或． 28．(本题12分)如图，在正方体中：    (1)求二面角的大小； (2)求二面角的大小. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）首先由正方体的几何特征可得为二面角的平面角，由此即可解答. （2）首先由正方体的几何特征可得为二面角的平面角，由此即可解答. 【详解】（1）在正方体中，平面，平面， 所以，， 所以为二面角的平面角， 在中，， 所以二面角的大小为. （2）因为平面，平面， 所以，， 为二面角的平面角， 又，所以二面角的大小为. 29．(本题14分)已知抛物线的焦点为，若过点且斜率为1的直线与抛物线相交于两点，且． (1)求抛物线的方程； (2)设直线为抛物线的切线，且，求切线的方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据直线的点斜式方程，抛物线的性质即可求解. （2）根据两直线平行则斜率相等，设出直线方程，代入抛物线方程，结合切线的性质即可求解. 【详解】（1）由题意得，，因为直线过点且斜率为1，则直线方程为：， 联立，整理化简得， 设，则. ∵，∴，即，解得， ∴抛物线的方程为：． （2），则设方程为，代入，得， 因为为抛物线的切线，所以，解得，∴． 30．(本题14分)已知椭圆C:的左、右焦点分别为、，上顶点为P，长轴长为4，若为正三角形. (1)求椭圆C的标准方程； (2)过点，斜率为的直线与椭圆相交M，N两点，求MN的长. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据已知求椭圆的参数，即可得椭圆方程； （2）由题设直线为，联立椭圆方程求交点坐标，再利用弦长公式求解即可； 【详解】（1）因为椭圆的长轴长为4，为正三角形； 所以，解得； 所以椭圆的标准方程为； （2）由（1）可知，， 所以该直线为， 联立，消去并整理得， 解得，即为点横坐标， 所以. 试卷第1页，共3页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $