第四章 立体几何（A卷·基础巩固卷）-《数学 拓展模块上册》（高教版第三版） 单元过关卷（原卷版+解析版）

**基本信息** 紧扣《数学拓展模块上册》第四章立体几何核心考点，设选择、填空、解答题，侧重基础巩固，适配中职单元复习，培养空间观念与推理能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|18/54|平面与平面位置关系、线面垂直判定等|注重基础概念辨析，如“直线与平面所成角范围”考查抽象能力| |填空题|6/24|线面位置关系、外接球体积等|结合空间几何体计算，如长方体中异面直线关系，培养几何直观| |解答题|6/72|异面直线所成角、二面角计算、线面垂直证明等|强调逻辑推理与空间想象，如正方体中角的计算、体积求解，发展推理能力|

编写说明：本套试卷紧扣《数学 拓展模块上册》（高教版第三版）教材，以教材章节为基准精准覆盖核心考点。 每个章节设置AB卷，A卷为基础巩固卷，侧重基础考点训练，帮助学生扎实掌握知识要点；B卷为能力提升卷，注重知识整合与全面检测，引导学生构建知识网络。全书设计4份综合测试卷，模拟实战情境，聚焦解题能力突破，全面提升应试能力与知识应用水平。 第四章 立体几何 （A卷·基础巩固） 考试时间：120分钟 满分：150分 班级 姓名 学号 成绩 一、选择题（本大题共18小题，每小题3分，共54分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1．已知平面平面，到的距离与到的距离之比为的点的集合是（    ） A．1个平面 B．2个平面 C．3个平面 D．4个平面 2．下列命题中不正确的是（    ） A．相邻两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱 B．正棱锥的侧棱与底面所成的角都相等 C．圆柱的母线垂直于底面 D．过球面上两点的大圆有且只有一个 3．下列命题 ①直线与平面所成角的范围是 ②一个平面的两条斜线段相等的充要条件是它们在这个平面内的射影长相等 ③三角形的两边不能垂直于同一平面 ④过空间任意一点都可作一个平面分别和两条异面直线平行 其中正确命题是（    ） A．③④ B．②④ C．③ D．①②④ 4．设空间中两条直线a，b，若a与b没有公共点，则a与b的位置关系是（   ） A．平行 B．异面 C．平行或异面 D．相交 5．长方体中，，，则二面角为（    ） A． B． C． D． 6．已知四棱柱的底面是正方形，，，点在底面ABCD的射影为BC中点H，则点到平面ABCD的距离为(    ) A． B． C． D．3 7．如图，在正方体中，直线与所成的角是（    ） A． B． C． D． 8．如图，正方体中，直线和所成角的大小为（　　） A． B． C． D． 9．已知α，β是两个平面，m，n是两条直线，则下列命题中正确的是（   ） A．若，，则 B．若，，，则 C．若，，则 D．若，，，则 10．平面与平面平行的充要条件是（    ） A．内有无数条直线与平行 B．，垂直于同一个平面 C．，平行于同一条直线 D．内有两条相交直线都与平行 11．下列命题中，正确的是（ ） A．3点确定一个平面 B．一条直线和一个点确定一个平面 C．两个平面相交，可以只有一个公共点 D．三角形是平面图形 12．已知直线在平面内，点在直线上，则点与平面的关系用数学符号表示为（    ） A． B． C． D．无法确定 13．如果一条直线垂直于一个平面内的： ①三角形的两边；②梯形的两边；③圆的两条直径；④正六边形的两条边． 则能保证该直线与平面垂直的序号有（　　） A．①③ B．①② C．②④ D．①④ 14．下列表述正确的是（    ）． A．若一条直线平行于一个平面，则这条直线与这个平面的所有直线都垂直 B．若一条直线平行于一个平面，则这条直线与这个平面内的所有直线都平行 C．若一条直线垂直于一个平面的一条直线，则这条直线与这个平面垂直 D．若一条直线垂直于一个平面内的两条相交直线，则这条直线与这个平面垂直 15．若l，m为直线，是两个不同的平面，则下列命题正确的是（    ） A．若，，，，则 B．若，，，则 C．若，，，则 D．若，，．则 16．在空间四边形各边上分别取四点，如果能相交于点，那么（    ） A．点必在直线上 B．点必在直线BD上 C．点必在平面内 D．点必在平面外 17．下列命题正确的是（    ） A．若直线上有无数个点不在平面内，则直线和平面平行 B．若直线与平面相交，则直线与平面内的任意直线都是异面直线 C．若直线与平面有两个公共点，则直线在平面内 D．若直线与平面平行，则这条直线与平面内的直线平行 18．下列说法正确的是（    ） A．不同平面的大小是不同的 B．经过不同的三点有且只有一个平面 C．如果，，那么 D．如果，，且，，那么 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 4 分，共 24 分） 19．若直线平面，直线，则直线与直线的位置关系是_________________. 20．已知四棱锥的每个顶点都在球O的球面上，侧面底面，底面为边长为2的正方形，，，则四棱锥外接球的体积为__________. 21．在如图所示的长方体中，与所在直线的位置关系为__________． 22．在长方体中，若，是棱的中点，则直线与所成的角的大小为________. 23．若直线，直线，则直线b、c的位置关系为______.（用文字表述） 24．用集合符号表述语句“平面经过直线”：______. 三、解答题（本大题共 6 小题，共 72 分.要写出必要的文字说明，证明过程和演算步骤） 25．(本题10分)如图，已知，是、之间一点，过点的直线、交于、，交于、.若，，，求.    26．(本题10分)如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中. (1)求A1C1与B1C所成角的大小； (2)若E，F分别为AB，AD的中点，求A1C1与EF所成角的大小. 27．(本题12分)在正方体中，棱长为1.    (1)找出在底面上的射影； (2)求直线与底面所成角的正切值. 28．(本题12分)如图，在正方体中：    (1)求二面角的大小； (2)求二面角的大小. 29．(本题14分)如图，在正方体中，为线段的中点. (1)证明：直线⊥平面； (2)若正方体的棱长为2，求三棱锥的体积. 30．(本题14分)如图所示，已知正方体的棱长为2． (1)写出图中与棱垂直的平面； (2)求三棱锥的体积； (3)求直线与平面所成角的大小． 试卷第1页，共3页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！20 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：本套试卷紧扣《数学 拓展模块上册》（高教版第三版）教材，以教材章节为基准精准覆盖核心考点。 每个章节设置AB卷，A卷为基础巩固卷，侧重基础考点训练，帮助学生扎实掌握知识要点；B卷为能力提升卷，注重知识整合与全面检测，引导学生构建知识网络。全书设计4份综合测试卷，模拟实战情境，聚焦解题能力突破，全面提升应试能力与知识应用水平。 第四章 立体几何 （A卷·基础巩固） 考试时间：120分钟 满分：150分 班级 姓名 学号 成绩 一、选择题（本大题共18小题，每小题3分，共54分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1．已知平面平面，到的距离与到的距离之比为的点的集合是（    ） A．1个平面 B．2个平面 C．3个平面 D．4个平面 【答案】B 【分析】利用面面距离的性质结论即可求得结果. 【详解】若轨迹在平面与平面之间，有1个平面；若轨迹在两平行平面，的外侧，也有1个平面，故共有2个平面，且均与已知平面平行. 故选：B. 2．下列命题中不正确的是（    ） A．相邻两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱 B．正棱锥的侧棱与底面所成的角都相等 C．圆柱的母线垂直于底面 D．过球面上两点的大圆有且只有一个 【答案】D 【分析】选项A根据直棱柱的定义，结合线面垂直判定定理即可；选项B画出正四棱锥验证线面角是否相等即可，选项C有圆柱的特征及结构即可判断，选项D根据球截面的特性即可判断. 【详解】选项A，如图所示，在四棱柱中， 若侧面和侧面为相邻的矩形， 因为， 底面，则底面， 由直棱柱定义可知四棱柱为直棱柱，故A正确； 选项B，如图在正四棱锥中， 由正四棱锥可得，底面，底面为正方形，且侧棱相等， 所以侧棱与底面所成角分别为：，故选项B正确， 选项C，由圆柱的特征及结构可知，圆柱的母线都垂直于底面， 故C正确， 若球面上所取的任意两点与球心在同一直线上，则过这两点的大圆有无数个， 故D错误； 故选：D. 3．下列命题 ①直线与平面所成角的范围是 ②一个平面的两条斜线段相等的充要条件是它们在这个平面内的射影长相等 ③三角形的两边不能垂直于同一平面 ④过空间任意一点都可作一个平面分别和两条异面直线平行 其中正确命题是（    ） A．③④ B．②④ C．③ D．①②④ 【答案】C 【分析】由线面角、射影、异面直线的概念判断即可. 【详解】①直线与平面所成角的范围是，故①错误； ②若一个平面内两条斜线段相等且线面角相等时，则它们在同一平面内的射影相等， 故一个平面的两条斜线段相等并不能推出它们在这个平面内的射影长相等，故②错误； ③因为垂直于同一平面的两直线平行，故三角形的两边不能垂直于同一平面，故③正确； ④过空间任意一点都可作一个平面分别和两条异面直线平行，若点在其中一条直线上则不成立，故④错误. 故选：C. 4．设空间中两条直线a，b，若a与b没有公共点，则a与b的位置关系是（   ） A．平行 B．异面 C．平行或异面 D．相交 【答案】C 【分析】根据直线与直线的位置关系即可得解. 【详解】空间中两条直线a，b，若a与b没有公共点，则a与b的位置关系是平行或异面， 故选：. 5．长方体中，，，则二面角为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由图可知，，是二面角的平面角， 故，所以. 【题型】空间平行与平面所成角 【难度】B 【核心素养】直观想象，逻辑推理 6．已知四棱柱的底面是正方形，，，点在底面ABCD的射影为BC中点H，则点到平面ABCD的距离为(    ) A． B． C． D．3 【答案】B 【分析】求出，根据∥平面ABCD即可得点到平面ABCD的距离． 【详解】如图， 连接，则⊥平面ABCD，且， 由题可知∥， 又∵平面ABCD，平面ABCD， ∴∥平面ABCD， ∴点到平面ABCD的距离与点B1到平面ABCD的距离相等． 故选：B． 7．如图，在正方体中，直线与所成的角是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接与交于，根据正方体的性质可知，且 为在平面中的射影，根据三垂线定理可知，由此可知直线与所成的角为. 【详解】因为为正方体， 所以平面， 连接， 则为在平面中的射影， 因为正方体的底面为正方形， 所以， 根据三垂线定理可知， ， 所以直线与所成的角为. 故选：A. 8．如图，正方体中，直线和所成角的大小为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接，，则，是异面直线与所成角（或所成角的补角），由此能求出异面直线与所成角的大小. 【详解】连接，， 在正方体中，且， 所以四边形为平行四边形， 所以，所有是异面直线与所成角（或所成角的补角）， 因为， 所以， 所以异面直线与所成角的大小是. 故选：C． 9．已知α，β是两个平面，m，n是两条直线，则下列命题中正确的是（   ） A．若，，则 B．若，，，则 C．若，，则 D．若，，，则 【答案】C 【分析】由直线与平面垂直，平面与平面垂直的性质即可求解. 【详解】若，，可能，也可能； 若，，，则可能垂直、平行、相交； 若，，则； 若，，，则可能，可能相交，也可能. 故选：C. 10．平面与平面平行的充要条件是（    ） A．内有无数条直线与平行 B．，垂直于同一个平面 C．，平行于同一条直线 D．内有两条相交直线都与平行 【答案】D 【分析】根据面面平行的判定定理逐项判断即可. 【详解】对于A，内有无数条直线与平行，可得与相交或； 对于B，与垂直于同一个平面，可得与相交或； 对于C，与平行于同一条直线，可得与相交或； 对于D，内有两条相交直线平行于，结合面面平行的判定定理可得， 故选：D． 11．下列命题中，正确的是（ ） A．3点确定一个平面 B．一条直线和一个点确定一个平面 C．两个平面相交，可以只有一个公共点 D．三角形是平面图形 【答案】D 【分析】根据平面的基本性质进行判断即可解得. 【详解】选项A：不共线的3点才能确定一个平面，错误； 选项B：一条直线和直线外一点确定一个平面，错误； 选项C：两个平面相交，有一条公共直线，有无数个公共点，错误； 选项D：角形的两条边一定相交，根据“过两条相交直线，有且只有一个平面”，三角形的两条边确定一个平面， 而第三边的两个端点在该平面内，根据“如果一条直线上的两点在一个平面内， 那么这条直线在此平面内”确定第三边在该平面内，故三角形是一个平面图形，正确. 故选：D 12．已知直线在平面内，点在直线上，则点与平面的关系用数学符号表示为（    ） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【分析】利用集合语言描述点、线和平面之间的关系，即可求解. 【详解】因为直线在平面内，所以直线上的所有点都在平面内，所以. 故选：A 13．如果一条直线垂直于一个平面内的： ①三角形的两边；②梯形的两边；③圆的两条直径；④正六边形的两条边． 则能保证该直线与平面垂直的序号有（　　） A．①③ B．①② C．②④ D．①④ 【答案】A 【分析】根据线面垂直的判定即可求解. 【详解】三角形的两边，圆的两条直径一定是相交直线，而梯形的两边，正六边形的两条边不一定相交，所以保证直线与平面垂直的是①③． 故选：A. 14．下列表述正确的是（    ）． A．若一条直线平行于一个平面，则这条直线与这个平面的所有直线都垂直 B．若一条直线平行于一个平面，则这条直线与这个平面内的所有直线都平行 C．若一条直线垂直于一个平面的一条直线，则这条直线与这个平面垂直 D．若一条直线垂直于一个平面内的两条相交直线，则这条直线与这个平面垂直 【答案】D 【分析】根据直线与平面平行，直线与平面垂直的性质逐项判断即可得解. 【详解】若一条直线垂直于一个平面，则这条直线与这个平面的所有直线都垂直，故错误； 若一条直线平行于一个平面，则这条直线与这个平面内的所有直线都平行或异面，故错误； 若一条直线垂直于一个平面的所有直线，则这条直线与这个平面垂直，故错误； 若一条直线垂直于一个平面内的两条相交直线，则这条直线与这个平面垂直，故正确， 故选：. 15．若l，m为直线，是两个不同的平面，则下列命题正确的是（    ） A．若，，，，则 B．若，，，则 C．若，，，则 D．若，，．则 【答案】B 【解析】利用长方体模型，判断分析各个选项，即可得到答案； 【详解】对A，取为面，为面，为直线，为，则与相交，故A错误； 对B，由线面垂直的性质可知B正确； 对C，为，为，则，但与相交，故C错误； 对D，为，取为面，为面，为，则，但，故D错误； 故选：B. 【点睛】本题考查空间中点线面的位置关系，求解时要注意借助长方体模型. 16．在空间四边形各边上分别取四点，如果能相交于点，那么（    ） A．点必在直线上 B．点必在直线BD上 C．点必在平面内 D．点必在平面外 【答案】A 【分析】由EF属于一个面，而GH属于另一个面，且EF、GH相交于点P，知点P在两面的交线上，由AC是两平面的交线，知点P必在线AC上. 【详解】如图所示， 因为EF属于一个面ABC，而GH属于另一个面ADC，且EF、GH相交于点P， 所以点P在两面的交线上， 又AC是两平面的交线， 所以点P必在线AC上. 故选：A. 17．下列命题正确的是（    ） A．若直线上有无数个点不在平面内，则直线和平面平行 B．若直线与平面相交，则直线与平面内的任意直线都是异面直线 C．若直线与平面有两个公共点，则直线在平面内 D．若直线与平面平行，则这条直线与平面内的直线平行 【答案】C 【分析】根据平面的基本性质进行判断. 【详解】对于A，若直线上有无数个点不在平面内，则直线可能与平面相交，故A错误； 对于B，若直线与平面相交，则直线与平面内的任意直线可能相交，也可能是异面直线，故B错误； 对于C，根据平面的基本性质可知若直线与平面有两个公共点，则直线在平面内，故C正确； 对于D，若直线与平面平行，则这条直线与平面内的直线平行或异面，故D错误． 故选：C． 18．下列说法正确的是（    ） A．不同平面的大小是不同的 B．经过不同的三点有且只有一个平面 C．如果，，那么 D．如果，，且，，那么 【答案】D 【分析】由平面的定义，平面的性质及符号表示即可得解. 【详解】选项，因为平面是无限延展的，无大小边界，故错误. 选项，经过共线的三点，有无数个平面，故错误. 选项，如果，，那么或，故错误. 选项，如果，，且，，那么，故正确. 故选：. 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 4 分，共 24 分） 19．若直线平面，直线，则直线与直线的位置关系是_________________. 【答案】垂直 【分析】根据直线与平面垂直的性质求解即可. 【详解】由直线与平面垂直的定义，若，则与内任意直线垂直. 因为直线，所以. 故答案为：垂直. 20．已知四棱锥的每个顶点都在球O的球面上，侧面底面，底面为边长为2的正方形，，，则四棱锥外接球的体积为__________. 【答案】/. 【分析】由已知条件可证得平面，则得四棱锥外接球的直径是以AB，AD，AP为棱的长方体的对角线，从而可求出外接球的半径，进而可求得四棱锥外接球的体积. 【详解】在中，，，， 所以，所以. 又侧面底面，侧面底面，平面， 所以平面. 所以四棱锥外接球的直径是以AB，AD，AP为棱的长方体的对角线， 设外接球的半径为R，体积为V， 则，， 所以， 即四棱锥外接球的体积为. 故答案为： 21．在如图所示的长方体中，与所在直线的位置关系为__________． 【答案】异面 【分析】结合正方体的结构特征即可求解. 【详解】因为平面,平面,,平面， 所以与为异面直线. 故答案为：异面. 22．在长方体中，若，是棱的中点，则直线与所成的角的大小为________. 【答案】/ 【分析】先画出图，作的平行线，确定直线与所成的角为,再利用等边三角形求出角的大小. 【详解】如图所示，作的平行线，    因为， 所以直线与所成的角为， 设，是棱的中点， 则， ， ， ， 所以是等边三角形，所以. 故答案为：. 23．若直线，直线，则直线b、c的位置关系为______.（用文字表述） 【答案】相交或异面 【分析】利用反证法得到直线b、c不平行，然后作图即可求.. 【详解】假设，因为，由平行线的传递性可知，与条件相矛盾， 所以直线b、c的位置关系可以是相交或者异面， 如图1，直线b、c相交，如图2，直线b、c异面， 故答案为：相交或异面. 24．用集合符号表述语句“平面经过直线”：______. 【答案】 【分析】根据线面关系可得结果. 【详解】因为平面经过直线AC，则. 故答案为：. 三、解答题（本大题共 6 小题，共 72 分.要写出必要的文字说明，证明过程和演算步骤） 25．(本题10分)如图，已知，是、之间一点，过点的直线、交于、，交于、.若，，，求.    【答案】. 【分析】由面面平行的性质即可得解. 【详解】∵. ∴由、确定平面. ∵，平面，平面. ∴. ∴，即，解得. 综上所述：. 26．(本题10分)如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中. (1)求A1C1与B1C所成角的大小； (2)若E，F分别为AB，AD的中点，求A1C1与EF所成角的大小. 【答案】(1)60° (2)90° 【分析】（1）作平行线，找到A1C1与B1C所成角，再进行求解； （2）作辅助线，得到A1C1与EF所成的角，证明出垂直关系，得到所成角为90°. 【详解】（1）如图所示，连接AC，AB1. 由六面体ABCD－A1B1C1D1是正方体知，四边形AA1C1C为平行四边形， ∴ACA1C1，从而B1C与AC所成的角就是A1C1与B1C所成的角. 在△AB1C中，由AB1＝AC＝B1C，可知∠B1CA＝60°，即A1C1与B1C所成的角为60°. （2）如图所示，连接BD.由（1）知ACA1C1， ∴AC与EF所成的角就是A1C1与EF所成的角. ∵EF是△ABD的中位线，∴EFBD. 又∵AC⊥BD，∴AC⊥EF， ∴EF⊥A1C1，即A1C1与EF所成的角为90°. 27．(本题12分)在正方体中，棱长为1.    (1)找出在底面上的射影； (2)求直线与底面所成角的正切值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据线面角的定义，结合线面垂直判定线线垂直即可求解. （2）根据找出为直线与底面所成角即可求解. 【详解】（1）连接，在正方体中，平面，垂足， 因为平面，不在平面内，所以， 又平面，则为在底面上的射影.    （2）由（1）得，为直线与底面所成角， 则. 28．(本题12分)如图，在正方体中：    (1)求二面角的大小； (2)求二面角的大小. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）首先由正方体的几何特征可得为二面角的平面角，由此即可解答. （2）首先由正方体的几何特征可得为二面角的平面角，由此即可解答. 【详解】（1）在正方体中，平面，平面， 所以，， 所以为二面角的平面角， 在中，， 所以二面角的大小为. （2）因为平面，平面， 所以，， 为二面角的平面角， 又，所以二面角的大小为. 29．(本题14分)如图，在正方体中，为线段的中点. (1)证明：直线⊥平面； (2)若正方体的棱长为2，求三棱锥的体积. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）证明直线垂直于平面内两条相交直线即可证明直线⊥平面； （2）根据正方形的面积得到底面的面积，再由正方体的棱长得到三棱锥的高，最后代三棱锥的体积公式即可求出. 【详解】（1）在正方体中，平面， 平面，， 又为线段中点，，， 且平面，， 直线⊥平面. （2）正方体的棱长为2，正方形的面积为， 底面面积是正方形的面积的一半，的面积为， 到底面的距离即三棱锥的高为， 三棱锥的体积为：. 30．(本题14分)如图所示，已知正方体的棱长为2． (1)写出图中与棱垂直的平面； (2)求三棱锥的体积； (3)求直线与平面所成角的大小． 【答案】(1)平面，平面 (2) (3)45° 【分析】（1）根据正棱柱的结构特征即可求解. （2）根据三棱锥的体积公式，即可求解. （3）根据立体几何的射影知识，找到线面角，并求出该角的大小. 【详解】（1）由正棱柱的结构特征即可知，平面与棱垂直，平面与棱垂直， （2）正方体的棱长为2， 所以， 又平面， . （3）平面 是在平面上的射影，即是直线与平面所成的角， 又在中，， 是等腰直角三角形，即 故直线与平面所成角的大小为. 试卷第1页，共3页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！20 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $