第三章 圆锥曲线（B卷·能力提升卷）-《数学 拓展模块上册》（高教版第三版） 单元过关卷（原卷版+解析版）

**基本信息** 紧扣高教版《数学拓展模块上册》第三章圆锥曲线，设A/B卷分层训练，B卷聚焦能力提升，覆盖抛物线、椭圆、双曲线核心考点，适配单元复习。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|18/54|抛物线焦点距离、等轴双曲线性质、椭圆离心率|结合几何直观，考查概念辨析与基础应用| |填空题|6/24|双曲线与抛物线综合、椭圆标准方程|注重知识关联，训练数学语言表达| |解答题|6/72|抛物线与直线相交、双曲线标准方程及中点弦|强调知识整合，通过拱形桥等情境培养推理能力与模型观念|

编写说明：本套试卷紧扣《数学 拓展模块上册》（高教版第三版）教材，以教材章节为基准精准覆盖核心考点。 每个章节设置AB卷，A卷为基础巩固卷，侧重基础考点训练，帮助学生扎实掌握知识要点；B卷为能力提升卷，注重知识整合与全面检测，引导学生构建知识网络。全书设计4份综合测试卷，模拟实战情境，聚焦解题能力突破，全面提升应试能力与知识应用水平。 第三章 圆锥曲线 （B卷·能力提升） 考试时间：120分钟 满分：150分 班级 姓名 学号 成绩 一、选择题（本大题共18小题，每小题3分，共54分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1．已知点为抛物线上一点，为抛物线的焦点，则（    ） A． B．3 C． D．5 2．若点的坐标为，点为抛物线上一点，点到直线的距离为，则的最小值是（    ） A． B． C．3 D． 3．下列关于等轴双曲线的叙述，错误的是（    ） A．离心率是 B．两条渐近线互相垂直 C．实轴长等于虚轴长 D．双曲线方程可以设为 4．已知，则曲线和有 （     ） A．相同的准线 B．相同的焦点 C．相同的离心率 D．相同的长轴 5．若抛物线上一点到焦点的距离与到轴的距离之差为1，则（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 6．已知圆，，P是圆C上的动点，线段的垂直平分线与直线（点C是圆C的圆心）交于点M，则点M的轨迹是（ ） A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 7．如图是抛物线拱形桥，当水面在时，拱顶离水面，水面宽，若水面上升，则水面宽是（ ）（结果精确到） （参考数值：） A． B． C． D． 8．已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则实数的值是（   ） A．2 B．或4 C． D．或2 9．若双曲线C的渐近线方程为，焦点坐标为，则双曲线C的标准方程为    （   ） A． B． C． D． 10．已知渐近线相互垂直的双曲线经过点，为双曲线的两个焦点，则（     ） A． B． C． D． 11．已知双曲线满足，且与椭圆有公共焦点，则双曲线的方程（    ） A． B． C． D． 12．某椭圆的离心率为,短轴长为4,则该椭圆的标准方程为（   ） A． B． C． D． 13．已知椭圆的标准方程为，焦点在x轴上，且a，b，c构成等腰直角三角形的三条边长，焦距为4，则椭圆的标准方程为（   ）． A． B． C． D． 14．椭圆的离心率为，则k的值为（    ） A．4或 B．或4 C． D．4 15．已知椭圆C：与直线相切，则椭圆C的离心率为（ ） A． B． C． D． 16．抛物线上的点到直线距离的最小值是（    ） A． B． C． D． 17．已知动点到点的距离比到直线的距离小，则点的轨迹方程为（    ）． A． B． C． D． 18．椭圆的右焦点为，点坐标为，为椭圆上一动点，的最小值是（ ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 4 分，共 24 分） 19．已知双曲线的左、右焦点分别为，以为顶点为焦点作抛物线，若双曲线与抛物线交于点，且，则抛物线的准线方程是 __． 20．短轴长为4，离心率的椭圆的标准方程为__________． 21．已知，是抛物线：上两点，（为坐标原点）的延长线与抛物线的准线交于点，且轴，则抛物线的焦点坐标为______，直线的斜率为______． 22．已知抛物线上一点M到准线的距离等于3，则点M与点的距离为_______________. 23．抛物线上的点到焦点的距离为，则点的坐标是__________. 24．焦点在y轴上，且长半轴为5，离心率为的椭圆的标准方程是______. 三、解答题（本大题共 6 小题，共 72 分.要写出必要的文字说明，证明过程和演算步骤） 25．(本题10分)倾斜角是的直线过抛物线的焦点F与抛物线交于点，且 (1)求抛物线的标准方程 (2)若点P在抛物线上，且，求点P的坐标． 26．(本题10分)已知抛物线（）经过点，过抛物线焦点的直线交抛物线于A，B两点，线段的垂直平分线，分别与直线交于点P，与抛物线的准线交于点Q． (1)求抛物线的标准方程； (2)若，求直线的方程． 27．(本题12分)已知双曲线C：的离心率为，且过点 (1)求双曲线C的标准方程； (2)若直线l与双曲线C交于A，B两点，且线段AB的中点为，求直线l的方程． 28．(本题12分)已知双曲线与椭圆有共同的焦点，与双曲线有相同的渐近线． (1)求双曲线的标准方程； (2)设直线与直线平行，且与双曲线交于两点，若，求直线的方程． 29．(本题14分)已知椭圆 的左、右焦点分别为经过椭圆右焦点的直线与椭圆相交于两点，如图所示，若点P到两焦点的距离之和为，的面积为，求： (1)椭圆的标准方程； (2)点P的坐标; (3)求底边上的高 30．(本题14分)已知抛物线上一点，到抛物线的准线的距离为5；双曲线，其左顶点为，左、右焦点分别为、，且双曲线的一条渐近线与直线AM垂直．求： (1)抛物线和双曲线的标准方程. (2)过且斜率为的直线与双曲线交于、，求线段DE的长． 试卷第1页，共3页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！22 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：本套试卷紧扣《数学 拓展模块上册》（高教版第三版）教材，以教材章节为基准精准覆盖核心考点。 每个章节设置AB卷，A卷为基础巩固卷，侧重基础考点训练，帮助学生扎实掌握知识要点；B卷为能力提升卷，注重知识整合与全面检测，引导学生构建知识网络。全书设计4份综合测试卷，模拟实战情境，聚焦解题能力突破，全面提升应试能力与知识应用水平。 第三章 圆锥曲线 （B卷·能力提升） 考试时间：120分钟 满分：150分 班级 姓名 学号 成绩 一、选择题（本大题共18小题，每小题3分，共54分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1．已知点为抛物线上一点，为抛物线的焦点，则（    ） A． B．3 C． D．5 【答案】D 【分析】根据抛物线的方程求得其准线方程，再结合抛物线的定义求解即可. 【详解】由得，的准线方程为， 由抛物线的定义可知，抛物线上一点到焦点的距离等于点到准线的距离， 所以． 故选：D. 2．若点的坐标为，点为抛物线上一点，点到直线的距离为，则的最小值是（    ） A． B． C．3 D． 【答案】C 【分析】设抛物线的焦点为，由抛物线的定义得，故，当三点共线时，最小由此解答即可. 【详解】已知抛物线中， 设抛物线的焦点为，则，准线为， 点为抛物线上一点， 点到直线的距离为点到准线的距离， 所以，故， 则当三点共线时，取最小， 又点的坐标为，所以， 则故，所以的最小值为3. 故选：C. 3．下列关于等轴双曲线的叙述，错误的是（    ） A．离心率是 B．两条渐近线互相垂直 C．实轴长等于虚轴长 D．双曲线方程可以设为 【答案】D 【分析】根据等轴双曲线的定义和性质，结合题意，即可判断求解. 【详解】因为等轴双曲线中，， 所以， 所以， 所以离心率，故A正确，不符合题意； 因为等轴双曲线中，， 所以渐近线方程为， 所以两条渐近线互相垂直，故B正确，不符合题意； 因为等轴双曲线中，， 即， 所以实轴长等于虚轴长，故C正确，不符合题意； 对于D，当时，方程为， 所以，此时方程表示的是两条直线，不是双曲线，故选项D错误，符合题意； 故选：D. 4．已知，则曲线和有 （     ） A．相同的准线 B．相同的焦点 C．相同的离心率 D．相同的长轴 【答案】B 【分析】根据椭圆的准线，焦点，离心率，长轴等性质求解判断. 【详解】对于曲线，是一个焦点在轴上的椭圆， 其中，，则， 则，所以， 其准线方程为，焦点为，离心率为，长轴长为6； 对于曲线（）， 因为，所以这是一个焦点在轴上的椭圆， 其中，， 则，所以， 其准线方程为，焦点为，离心率为，长轴长为, 综上，两个曲线有相同的焦点， 故选：B. 5．若抛物线上一点到焦点的距离与到轴的距离之差为1，则（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据椭圆的定义求解即可. 【详解】设，所以点到焦点的距离为，点到轴的距离为. 因为点到焦点的距离与到轴的距离之差为1，所以，解得. 故选：B. 6．已知圆，，P是圆C上的动点，线段的垂直平分线与直线（点C是圆C的圆心）交于点M，则点M的轨迹是（ ） A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 【答案】C 【分析】利用双曲线的定义结合垂直平分线的性质判定即可. 【详解】由题意可得圆心，半径. 因为M是线段的垂直平分线，所以， 则. 因为，所以点M的轨迹是以A，C为焦点的双曲线. 故选：C. 7．如图是抛物线拱形桥，当水面在时，拱顶离水面，水面宽，若水面上升，则水面宽是（ ）（结果精确到） （参考数值：） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，先建立直角坐标系，设抛物线方程为，将点坐标代入抛物线方程求出m，从而可得抛物线方程，再求得水面上升后对应的值，代入抛物线方程，求出x，即可求解． 【详解】如图建立直角坐标系，设抛物线方程为， 由题意，将代入，得，解得， 所以抛物线的方程为， 当水面上升，即， 代入抛物线方程得， 解得， 所以水面宽度为． 故选：C. 8．已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则实数的值是（   ） A．2 B．或4 C． D．或2 【答案】B 【分析】将椭圆的方程化为标准方程，根据焦点的位置分类讨论确定的值，由条件列方程求出. 【详解】椭圆的标准方程为， 当焦点在轴上时，，，得， ∵长轴长是短轴长的2倍，∴，即，解得； 当焦点在轴上时，，，得， ∵长轴长是短轴长的2倍，∴，即，解得， 综上，实数的值是或4. 故选：B. 9．若双曲线C的渐近线方程为，焦点坐标为，则双曲线C的标准方程为    （   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设出双曲线方程，根据焦点坐标与渐近线方程求解即可. 【详解】∵双曲线焦点坐标为，焦点位于y轴， 设双曲线C的标准方程为， ∴， ∵双曲线C的渐近线方程为， 且焦点在y轴上，则，即， ∴，解得，则. ∴双曲线C的标准方程为． 故选：D. 10．已知渐近线相互垂直的双曲线经过点，为双曲线的两个焦点，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设双曲线的渐近线为，由两直线垂直的条件，可得渐近线方为，据此可设双曲线方程为，将点代入求出双曲线方程及焦点坐标，最后利用内积的坐标表示可求解. 【详解】设双曲线的渐近线为，由渐近线相互垂直得， 解得，即渐近线为, 由此可设双曲线方程为，将点代入， 可得， 所以双曲线方程为，则， 所以双曲线的两个焦点的坐标分别为和， 所以，， . 故选：C 11．已知双曲线满足，且与椭圆有公共焦点，则双曲线的方程（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据椭圆的标准方程即可求得半焦距的值，然后双曲线与椭圆共焦点，即双曲线的半焦距等于，再通过，即可建立方程求解出的值，于是可得到双曲线的方程. 【详解】由椭圆的标准方程为，可得，即， 因为双曲线的焦点与椭圆的焦点相同， 所以双曲线中，半焦距， 又因为双曲线满足， 即，又由， 即，解得，可得， 所以双曲线的方程为． 故选：A． 12．某椭圆的离心率为,短轴长为4,则该椭圆的标准方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，结合椭圆的离心率及短轴长，及椭圆中之间的关系，即可求解. 【详解】因为椭圆的离心率为,短轴长为4, 所以，所以， 所以，解得， 所以该椭圆的标准方程为. 故选：C. 13．已知椭圆的标准方程为，焦点在x轴上，且a，b，c构成等腰直角三角形的三条边长，焦距为4，则椭圆的标准方程为（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据椭圆焦点位置、，，构成等腰直角三角形以及焦距的值，求出，的值即可. 【详解】因为a，b，c构成等腰直角三角形的三条边长，在椭圆中a最大， 所以a为斜边，b，c为直角边， 又因为焦距为4，所以，即， 所以， 所以椭圆的标准方程为． 故选：B． 14．椭圆的离心率为，则k的值为（    ） A．4或 B．或4 C． D．4 【答案】B 【分析】按椭圆的焦点在轴和轴分类讨论，结合离心率公式求解k的值即可. 【详解】椭圆的离心率为， 当椭圆的焦点在轴上，则，即， 由，解得； 当椭圆的焦点在轴上，则，即， 由，解得. 故选：B. 15．已知椭圆C：与直线相切，则椭圆C的离心率为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用判别式等于0来判断直线与椭圆相切，从而可得到齐次等式来求离心率. 联立方程消去y后整理为， 有， 整理可得，由，有， 可得． 故选:B． 16．抛物线上的点到直线距离的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用点线距离公式与配方法即可得解. 【详解】依题意，设为抛物线上任意一点，则， 易得直线与抛物线没有交点， 所以点到直线的距离为 ， 则所求. 故选：D. 17．已知动点到点的距离比到直线的距离小，则点的轨迹方程为（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分析可知，点的轨迹为抛物线，确定该抛物线的焦点与准线，由此可得出点的轨迹方程. 【详解】因为动点到点的距离比到直线的距离小， 所以，点到点的距离和到直线的距离相等， 点的轨迹是以点为焦点，直线为准线的抛物线． 所以，，则，故点的轨迹方程为． 故选：D. 18．椭圆的右焦点为，点坐标为，为椭圆上一动点，的最小值是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由椭圆的标准方程,几何性质及离心率公式即可得解. 【详解】    由题意可知则. 所以,右准线:. 如图所示:过点作交直线于点,过点作交直线于点. 因为. 所以. 所以. 当与重合时,值最小为. 的最小值为. 故选:. 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 4 分，共 24 分） 19．已知双曲线的左、右焦点分别为，以为顶点为焦点作抛物线，若双曲线与抛物线交于点，且，则抛物线的准线方程是 __． 【答案】 【分析】直线的方程与抛物线方程联立，求得点的坐标，得出，结合双曲线定义求得，由此求得抛物线的准线方程． 【详解】设双曲线的交点坐标为，则抛物线的方程为， 因为，所以直线的斜率为，则直线的方程为， 联立，解得，即， 所以，由，可得， 根据双曲线的定义可得，即，解得， 所以抛物线的准线方程为. 故答案为：. 20．短轴长为4，离心率的椭圆的标准方程为__________． 【答案】或 【分析】利用短轴长与离心率得到关于的方程组，解之即可得解. 【详解】因为椭圆的短轴长为4，离心率， 所以，解得，则， 当椭圆焦点在轴上时，椭圆的标准方程为； 当椭圆焦点在轴上时，椭圆的标准方程为； 综上，椭圆的标准方程为或. 故答案为：或. 21．已知，是抛物线：上两点，（为坐标原点）的延长线与抛物线的准线交于点，且轴，则抛物线的焦点坐标为______，直线的斜率为______． 【答案】 . . 【分析】由在抛物线上，求抛物线的方程，可知其焦点坐标，再求坐标，进而求坐标，最后由，的坐标求直线的斜率． 【详解】由点在抛物线上，得， ∴，则抛物线的方程为， ∴抛物线的焦点坐标为．且为直线与直线的交点， ∴．把代入，得，即， ∴直线的斜率为． 故答案为：，. 22．已知抛物线上一点M到准线的距离等于3，则点M与点的距离为_______________. 【答案】 【分析】由抛物线的定义及点与点之间的距离公式即可得解. 【详解】因为抛物线方程为. 所以准线为. 因为点到准线的距离为. 设点的坐标为. 所以. 解得. 又因为点在抛物线. 所以. 解得或. 所以点或. 所以点与点的距离为或. 综上所述:点与点的距离为. 故答案为:. 23．抛物线上的点到焦点的距离为，则点的坐标是__________. 【答案】 【分析】根据抛物线点到焦点的距离等于点到准线的距离，可得所求点的横坐标，进而求出点的坐标． 【详解】抛物线的准线方程为， ∵抛物线上点到焦点的距离等于， ∴根据抛物线上点到焦点的距离等于点到准线的距离， ∴可得所求点的横坐标为，从而点的坐标为. 故答案为：. 24．焦点在y轴上，且长半轴为5，离心率为的椭圆的标准方程是______. 【答案】 【分析】根据椭圆的标准方程和基本性质求解即可. 【详解】由焦点在y轴上，可设椭圆的标准方程为， 因为其长半轴为5，即；离心率为，即， 所以， 又因为，所以， 因此椭圆的标准方程为. 故答案为：. 三、解答题（本大题共 6 小题，共 72 分.要写出必要的文字说明，证明过程和演算步骤） 25．(本题10分)倾斜角是的直线过抛物线的焦点F与抛物线交于点，且 (1)求抛物线的标准方程 (2)若点P在抛物线上，且，求点P的坐标． 【答案】(1) (2)或或 【分析】（1）根据抛物线的定义求解即可. （2）首先求出直线l，再与抛物线方程联立，再根据点到直线的距离公式以及三角形面积求解即可. 【详解】（1）由定义知，点到焦点的距离等于到准线的距离，且， 又， ， 所以，即， ∴抛物线的标准方程为. （2）由（1）知，，， 点P在抛物线上，设P点坐标. 由题意，直线l的斜率存在且，又直线过抛物线焦点， 所以直线为， 联立，消去y，整理得， 因为直线与抛物线交于点，点，所以， ，, 又点P到直线的距离， 所以 ，即， 可化为或， 解得或或， 当， ，当， ，当， ， 点的坐标为或或.    26．(本题10分)已知抛物线（）经过点，过抛物线焦点的直线交抛物线于A，B两点，线段的垂直平分线，分别与直线交于点P，与抛物线的准线交于点Q． (1)求抛物线的标准方程； (2)若，求直线的方程． 【答案】(1). (2)或 【分析】（）将点代入抛物线方程中即可得解. （）当直线斜率不存在时，求出的坐标即可得解；当直线斜率存在时，设出直线方程，联立方程组利用韦达定理求出，利用垂直的性质及中点坐标公式设出直线的方程，得到点坐标，利用题意及两点间距离公式列出等式即可得解. 【详解】（1）把点代入得，即， 所以抛物线的标准方程为． （2）抛物线的焦点坐标为，准线方程为， 当直线的斜率不存在时，直线方程为，      将代入抛物线方程中得，解得， 所以，， 此时，，不合题意； 当直线的斜率存在时，设斜率为（），则直线的方程为，    设，， 联立，消去y得， 所以，， 所以，线段的中点， 所以直线的方程为， 令，则，得， 所以， 所以， 因为， 所以， 解得或， 即或， 所以直线的方程为或． 27．(本题12分)已知双曲线C：的离心率为，且过点 (1)求双曲线C的标准方程； (2)若直线l与双曲线C交于A，B两点，且线段AB的中点为，求直线l的方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据双曲线的离心率公式，结合关系即可求解. （2）先设出点坐标，分别代入双曲线方程，结合中点坐标公式，直线的点斜式方程即可求解. 【详解】（1）因为， 所以， 因为双曲线C过点 所以 ，解得 ， 故双曲线C的标准方程为. （2）设，则， 两式相减得 ， 因为线段的中点为，所以， 即 ，则， 所以直线l的斜率 故直线l的方程为，即. 28．(本题12分)已知双曲线与椭圆有共同的焦点，与双曲线有相同的渐近线． (1)求双曲线的标准方程； (2)设直线与直线平行，且与双曲线交于两点，若，求直线的方程． 【答案】(1) (2) 或 【分析】（1）根据椭圆和双曲线的性质求出双曲线的标准方程， （2）根据直线平行的性质设出直线的方程，联立直线与双曲线方程，利用弦长公式求出直线的方程. 【详解】（1）椭圆的焦点为，故双曲线的焦点为， 双曲线的焦点在轴上，设双曲线的方程为， 则半焦距． 双曲线的渐近线为， 故双曲线的渐近线为，则． 又因为，所以， 即，解得， 所以， 故双曲线的标准方程为. （2）已知直线与直线平行， 直线的斜率为，纵截距为，所以直线的斜率也为， 设直线的方程为， 联立直线与双曲线的方程：， 消去整理得：， ， 设，，则：，， 由弦长公式得： ， 因为，所以，解得，即， 所以直线的方程为或，即或. 29．(本题14分)已知椭圆 的左、右焦点分别为经过椭圆右焦点的直线与椭圆相交于两点，如图所示，若点P到两焦点的距离之和为，的面积为，求： (1)椭圆的标准方程； (2)点P的坐标; (3)求底边上的高 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据焦点坐标，和定义，求出，即可求解椭圆方程. （2）的面积以为底，P点纵坐标为高即可求解. （3）由P点坐标可知过的直线垂直于轴，则面积与面积相等可求得面积，则以底边可求底边上的高. 【详解】（1）由焦点分别为， 可得，由点P到两焦点的距离之和为， 可得，则， 且焦点在轴上， 所以椭圆方程为． （2）因为， ， ，， 由图可知P点在第一象限， 点P的坐标为. （3）由（2）可知点P的坐标为， 焦点，所以直线垂直于轴， 面积与面积相等，， ，设点P到的距离为d， 则， ， 所以底边上的高为. 30．(本题14分)已知抛物线上一点，到抛物线的准线的距离为5；双曲线，其左顶点为，左、右焦点分别为、，且双曲线的一条渐近线与直线AM垂直．求： (1)抛物线和双曲线的标准方程. (2)过且斜率为的直线与双曲线交于、，求线段DE的长． 【答案】(1)， (2) 【分析】（）由抛物线的定义求出值即可求出抛物线方程，根据双曲线方程求出渐近线方程，根据垂直关系求出值，即可求出双曲线方程. （）求出的坐标，利用点斜式求出直线方程，代入弦长公式即可得解. 【详解】（1）由题意可知，即，，所以. 则，. 双曲线的渐近线方程为. 又由垂直可知或，解得. 双曲线的标准方程为. （2）易知，直线，双曲线. 联立方程组得. 可得，. 由弦长公式可得. 试卷第1页，共3页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！22 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $