第二章 平面向量（B卷·能力提升卷）-《数学 拓展模块上册》（高教版第三版） 单元过关卷（原卷版+解析版）

**基本信息** 本试卷为中职数学《拓展模块上册》第二章平面向量B卷（能力提升），紧扣教材核心考点，通过选择、填空、解答题梯度设计，强化知识整合与解题能力，适配单元复习，助力构建知识网络。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|18/54|向量线性运算（如三角形中点向量表示）、数量积（如向量夹角计算）、共线判定（如三点共线证明）|立足基础概念，通过几何图形情境（如第4题三角形中点三等分点问题）培养几何直观与抽象能力| |填空题|6/24|投影向量（坐标与模）、向量垂直（坐标关系）、函数对称轴与向量结合（如第24题）|聚焦细节应用，渗透数学语言表达（如投影向量坐标描述）| |解答题|6/72|梯形中向量运算（如第26题）、坐标系下向量与几何综合（如第29题）、动态问题取值范围（如第30题）|强调综合应用，通过多知识点融合（向量与函数、几何）提升运算能力与模型意识，贴合单元复习实战需求|

编写说明：本套试卷紧扣《数学 拓展模块上册》（高教版第三版）教材，以教材章节为基准精准覆盖核心考点。 每个章节设置AB卷，A卷为基础巩固卷，侧重基础考点训练，帮助学生扎实掌握知识要点；B卷为能力提升卷，注重知识整合与全面检测，引导学生构建知识网络。全书设计4份综合测试卷，模拟实战情境，聚焦解题能力突破，全面提升应试能力与知识应用水平。 第二章 平面向量 （B卷·能力提升） 考试时间：120分钟 满分：150分 班级 姓名 学号 成绩 一、选择题（本大题共18小题，每小题3分，共54分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1．在中，D在上，，设，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据向量线性运算法则易得答案. 【详解】因为，所以， 则. 故选：D.    2．设向量，则（ ） A．“”是“”的必要条件 B．“”是“”的必要条件 C．“”是“”的充分条件 D．“”是“”的充分条件 【答案】C 【详解】根据向量垂直和平行的坐标表示，结合充分必要条件的概念，即可解得. 【分析】对A，当时，则，所以， 可化为，解得或，即必要性不成立，故A错误； 对B，当时，则，可化为， 解得，即必要性不成立，故B错误； 对C，当时，，故， 所以，即充分性成立，故C正确； 对D，当时，不满足， 所以不成立，即充分性不立，故D错误. 故选：C. 3．在三角形中，分别为边上的点，且，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将向量表示为已知向量的线性组合，再利用向量的数量积性质进行计算即可求解. 【详解】， ， . 故选：A. 4．如图，中，点是线段的中点，是线段的靠近A的三等分点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将用、表示，然后利用平面向量的减法可得出关于、的表达式. 因为为线段的中点，则， 因为点是线段上靠近的三等分点， 则， 因此，. 5．已知向量，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据向量的线性运算求出与的坐标，再根据向量内积的坐标运算公式计算. 【详解】已知，，可得， 可得，， 所以. 故选：B. 6．已知两个向量，且，则的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据向量线性运算以及向量垂直的坐标表示求解即可. 【详解】因为向量，所以. 因为，所以，解得. 故选：B. 7．向量和满足，且，则和夹角的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据向量垂直的性质，再利用向量的内积求出向量的夹角即可得解. 【详解】因为，所以. 因为. 所以. 所以. 因为和夹角的取值范围为. 所以和夹角为，即. 故选：. 8．给出下列命题，①零向量的长度为0，方向是任意的；②若都是单位向量，则；③若，则或，则所有正确的命题的序号是（    ） A．② B．①③ C．① D．①② 【答案】C 【分析】根据题意，结合零向量、单位向量、相等向量、向量的模的概念，即可判断求解. 【详解】因为零向量的长度为0，方向是任意的，故①正确； 若都是单位向量，则长度相等，但方向不一定相同，故不一定相等，故②错误； 若，即长度相等，但方向可以任意的，不一定方向相同或相反，故③错误； 故正确的命题的序号是①. 故选：C. 9．已知、满足：，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据向量模计算公式易得答案. 【详解】，即，即， ， . 故选：C. 10．已知是不共线的向量，且，则（   ） A．A，B，C三点共线 B．A，B，D三点共线 C．B，C，D三点共线 D．A，C，D三点共线 【答案】B 【分析】利用向量共线的性质判断. 【详解】假设，则， 已知是不共线的向量，则且，无解， 则不共线，从而A，B，C三点不共线，故A错误； 已知，， 则， 又已知，可得，则共线， 因为与有公共点，所以A，B，D三点共线，故B正确； 假设，则， 已知是不共线的向量，则且，无解， 则不共线，从而B，C，D三点不共线，故C错误； 已知， 则， 假设，则， 已知是不共线的向量，则且，无解， 则不共线，从而A，C，D三点不共线，故D错误, 故选：B. 11．在平行四边形中，若与交于点，设向量，，则向量（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据向量的线性运算法则化简即可. 【详解】平行四边形中， . 故选：B. 12．下面给出的关系式中，正确的个数是（   ） ①；②；③；④. A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】根据数乘向量的运算、向量的内积及其性质即可判断. 【详解】①由数乘向量的运算可知，故①正确； ②由向量内积的性质可知，故②正确； ③由向量内积的性质可知，故③正确； 因为的结果是与共线的向量，而的结果是与共线的向量， 两者不一定相等，故④错误； 所以正确的关系式有3个. 故选：D. 13．若，，且，且与的夹角的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用数量积的定义进行求解即可. 【详解】由数量积的定义可得：， 所以， 所以. 故选：C. 14．在△中，，为的中点，求向量的值（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据向量之间的关系，结合向量的数量积即可求解. 【详解】设，，则， 是中点，所以，因此 ，所以向量的值为. 故选：D. 15．如图所示，在中，，是的中点，，则（    ）    A．4 B．3 C． D． 【答案】B 【分析】根据向量内积的定义求解即可. 【详解】在中，是的中点，， ∴， 在中，， ∴， ∴. 故选：B. 16．在中，若，则的形状为 A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．不确定 【答案】B 【分析】两边平方，化简可得，从而可判断三角形的形状。 【详解】由题意可得， 即，整理可得，则向量与的夹角为钝角，即，据此可知的形状为钝角三角形. 【点睛】本题考查向量的平方运算及向量数量积的运算，属于中档题。 17．已知，，，则与的夹角为（     ）. A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据内积定义用夹角表示出内积，根据内积运算律化简式子并代模长与内积解出夹角余弦值，结合夹角范围即可求出夹角. 【详解】设与的夹角为，， 则， 由可得， ，解得， 且，则. 故选：C. 18．正方形的边长为2，则（    ） A． B．2 C． D．4 【答案】B 【分析】根据向量的减法法则和向量模的概念求解. 【详解】正方形的边长为2， 所以． 故选：B． 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 4 分，共 24 分） 19．在中，若，，D为边上的中点，则___ 【答案】 【分析】由向量线性运算的坐标表示和向量模的坐标表示即可得解. 【详解】， 因为D为边上的中点，所以， 所以， 所以. 故答案为：. 20．已知点，则向量在上的投影向量坐标为________，投影向量的模为__________. 【答案】 【分析】根据平面向量的线性运算，结合投影向量及投影向量的模运算求解. 【详解】由题意可得：，则， 空1：向量在上的投影向量， 故向量在上的投影向量坐标为； 空2：投影向量的模为. 故答案为：；. 21．已知向量，，且，则等于___________. 【答案】5 【分析】根据向量线性运算的坐标表示及向量模的公式求解. 【详解】因为，，所以， 又，所以，解得，所以， 所以， 所以， 故答案为：． 22．已知向量不共线，且，则___________. 【答案】 【分析】根据平面向量共线定理即可求解. 【详解】因为向量不共线，且， 所以有， 则，即，解得， 故答案为：. 23．已知向量，，若，则__________. 【答案】 【分析】根据共线向量的坐标表示列方程求解即可. 【详解】， ， ∵， ∴，∴， 故答案为：． 24．已知点，，点在函数图象的对称轴上，若，则点的坐标是_______. 【答案】或 【分析】由对称轴方程可设，再由，利用求出即可. 【详解】由题意函数图象的对称轴是，设， 因为，所以， 解得或，所以或. 故答案为：或 三、解答题（本大题共 6 小题，共 72 分.要写出必要的文字说明，证明过程和演算步骤） 25．(本题10分)若，，求 (1)和； (2)、、. 【答案】(1)； (2)，， 【分析】（1）根据向量内积的坐标表示以及向量的线性运算求解即可. （2）根据向量的模长公式以及向量夹角的公式求解即可. 【详解】（1）∵，， ∴； ； （2）∵，， ∴，， ∴. 26．(本题10分)已知梯形中，，，E为的中点，F为与的交点，． (1)求和的值； (2)若，，，求与所成角的余弦值． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）由向量的运算得出，进而得出和的值； （2）由向量的运算得出，，进而得出，，，再由数量积公式求解即可． 【详解】（1）根据题意，梯形中，，，E为的中点， 则 ， 又由可得，. （2）是与所成的角，设向量与所成的角为， ，则， ，则， 则，， 因为 ， 所以， 所以与所成角的余弦值为． 27．(本题12分)如图所示，在中，为边上一点，且，过的直线与直线相交于点，与直线相交于点（，两点不重合）. (1)用，表示； (2)若，，求的最小值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据平面向量线性运算法则计算可得； （2）根据（1）的结论，转化用，表示，根据、、三点共线找出等量关系，再利用基本不等式计算可得； 【详解】（1）因为，所以， 化简得； （2）因为，，， 所以，由图可知， 又因为、、三点共线，所以， 所以， 当，即时，取最小值. 28．(本题12分)已知向量，其中． (1)若，求实数的值； (2)若与的夹角为钝角，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求出，，然后再根据垂直关系即可求出； （2）由与的夹角是钝角得到且与方向不相反，得到不等式组，求出实数的取值范围. （1）， ，解得． （2）由与的夹角为钝角，得且与方向不相反， 所以且，解得且. 所以实数的取值范围为． 29．(本题14分)在平面直角坐标系中，O为坐标原点，梯形ABCD的四个顶点分别为，，，，且. (1)若，求点D的坐标； (2)若，求点D的坐标； (3)若点P是平面内任意一点，且，写出的最大值.（只需写出结论） 【答案】(1) (2) (3)3 【分析】(1)根据平面向量的坐标运算和相等向量的定义列出关于x、y的方程组，解之即可； (2)根据平面垂直、共线向量的坐标表示列出关于x、y的方程组，解之即可； (3)根据平面向量的几何意义直接得出结果. 【详解】（1）因为梯形ABCD中，， ，， 所以，即， 所以，，所以； （2）因为，所以， 则，由， 得，即， 又，， 所以，有， 解得，即； （3）的最大值为3. 30．(本题14分)如图，在 中，，．点 在边 上，且． (1)，，求； (2)，恰为边上的高，求角； (3)，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)． 【分析】（1）根据向量的加法几何性质，向量的内积，结合题意可得结论. （2）根据平面向量的共线定理，垂直关系的向量表示，结合题意可得结论. （3）平面向量的共线公式平方后，可得含与的方程，考虑的取值范围，即可得的取值范围. 【详解】（1）， ， ． （2）由得， ， 代入 ，展开，得 ，故 ． （3）由得， 平方：， 解得． 试卷第1页，共3页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！16 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：本套试卷紧扣《数学 拓展模块上册》（高教版第三版）教材，以教材章节为基准精准覆盖核心考点。 每个章节设置AB卷，A卷为基础巩固卷，侧重基础考点训练，帮助学生扎实掌握知识要点；B卷为能力提升卷，注重知识整合与全面检测，引导学生构建知识网络。全书设计4份综合测试卷，模拟实战情境，聚焦解题能力突破，全面提升应试能力与知识应用水平。 第二章 平面向量 （B卷·能力提升） 考试时间：120分钟 满分：150分 班级 姓名 学号 成绩 一、选择题（本大题共18小题，每小题3分，共54分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1．在中，D在上，，设，，则（    ） A． B． C． D． 2．设向量，则（ ） A．“”是“”的必要条件 B．“”是“”的必要条件 C．“”是“”的充分条件 D．“”是“”的充分条件 3．在三角形中，分别为边上的点，且，则等于（   ） A． B． C． D． 4．如图，中，点是线段的中点，是线段的靠近A的三等分点，则（    ） A． B． C． D． 5．已知向量，，则（   ） A． B． C． D． 6．已知两个向量，且，则的值为（ ） A． B． C． D． 7．向量和满足，且，则和夹角的大小为（    ） A． B． C． D． 8．给出下列命题，①零向量的长度为0，方向是任意的；②若都是单位向量，则；③若，则或，则所有正确的命题的序号是（    ） A．② B．①③ C．① D．①② 9．已知、满足：，，，则（    ） A． B． C． D． 10．已知是不共线的向量，且，则（   ） A．A，B，C三点共线 B．A，B，D三点共线 C．B，C，D三点共线 D．A，C，D三点共线 11．在平行四边形中，若与交于点，设向量，，则向量（   ） A． B． C． D． 12．下面给出的关系式中，正确的个数是（   ） ①；②；③；④. A．0 B．1 C．2 D．3 13．若，，且，且与的夹角的大小为（   ） A． B． C． D． 14．在△中，，为的中点，求向量的值（   ） A． B． C． D． 15．如图所示，在中，，是的中点，，则（    ）    A．4 B．3 C． D． 16．在中，若，则的形状为 A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．不确定 17．已知，，，则与的夹角为（     ）. A． B． C． D． 18．正方形的边长为2，则（    ） A． B．2 C． D．4 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 4 分，共 24 分） 19．在中，若，，D为边上的中点，则___ 20．已知点，则向量在上的投影向量坐标为________，投影向量的模为__________. 21．已知向量，，且，则等于___________. 22．已知向量不共线，且，则___________. 23．已知向量，，若，则__________. 24．已知点，，点在函数图象的对称轴上，若，则点的坐标是_______. 三、解答题（本大题共 6 小题，共 72 分.要写出必要的文字说明，证明过程和演算步骤） 25．(本题10分)若，，求 (1)和； (2)、、. 26．(本题10分)已知梯形中，，，E为的中点，F为与的交点，． (1)求和的值； (2)若，，，求与所成角的余弦值． 27．(本题12分)如图所示，在中，为边上一点，且，过的直线与直线相交于点，与直线相交于点（，两点不重合）. (1)用，表示； (2)若，，求的最小值. 28．(本题12分)已知向量，其中． (1)若，求实数的值； (2)若与的夹角为钝角，求实数的取值范围． 29．(本题14分)在平面直角坐标系中，O为坐标原点，梯形ABCD的四个顶点分别为，，，，且. (1)若，求点D的坐标； (2)若，求点D的坐标； (3)若点P是平面内任意一点，且，写出的最大值.（只需写出结论） 30．(本题14分)如图，在 中，，．点 在边 上，且． (1)，，求； (2)，恰为边上的高，求角； (3)，求的取值范围． 试卷第1页，共3页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！16 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $