第二章 平面向量（A卷·基础巩固卷）-《数学 拓展模块上册》（高教版第三版） 单元过关卷（原卷版+解析版）

**基本信息** 本试卷为中职数学《拓展模块上册》第二章平面向量A卷（基础巩固），紧扣教材核心考点，通过选择、填空、解答题梯度设计，强化向量运算、几何直观等基础能力，适配单元复习，助力学生扎实知识要点。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|18/54|向量运算、共线向量、坐标表示（如向量模计算、平行四边形向量关系）|注重基础概念辨析，培养抽象能力与几何直观| |填空题|6/24|向量化简、共线条件（如非共线向量线性表示）|强化符号意识，训练推理意识| |解答题|6/72|数量积、几何图形向量表示（如三角形重心、中点问题）|突出运算能力，结合图形情境，体现数学思维与语言表达|

编写说明：本套试卷紧扣《数学 拓展模块上册》（高教版第三版）教材，以教材章节为基准精准覆盖核心考点。 每个章节设置AB卷，A卷为基础巩固卷，侧重基础考点训练，帮助学生扎实掌握知识要点；B卷为能力提升卷，注重知识整合与全面检测，引导学生构建知识网络。全书设计4份综合测试卷，模拟实战情境，聚焦解题能力突破，全面提升应试能力与知识应用水平。 第二章 平面向量 （A卷·基础巩固） 考试时间：120分钟 满分：150分 班级 姓名 学号 成绩 一、选择题（本大题共18小题，每小题3分，共54分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1．是边长为2的等边三角形，则（    ） A． B． C． D．2 2．化简（    ） A． B． C． D． 3．在中，为的中点，记，，则（    ） A． B． C． D． 4．已知，，，则（    ） A． B． C． D．1 5．已知两点、，求向量（    ） A． B． C． D． 6．如图，四边形是平行四边形，则（    ）    A． B． C． D． 7．已知＝（2，3），则点N位于（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．不确定 8．已知向量，则（    ） A． B． C． D． 9．已知向量，，若向量，共线，则（    ） A． B． C． D．18 10．下列命题正确的是（ ） A． B． C． D． 11．在中，为的中点，为边上靠近点的三等分点，记，用表示为（    ） A． B． C． D． 12．已知与的夹角为，则（    ） A．2 B． C．5 D．3 13．已知向量，，则（   ） A． B． C． D． 14．设向量，，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 15．已知点是的重心，，，则（    ） A． B． C． D． 16．如图，在平面直角坐标系中，是函数图象的最高点，是的图象与轴的交点，则的坐标是（    ） A． B． C． D． 17．已知平面向量，，则（    ） A． B． C． D． 18．下列各组向量中，可以作为基底的是（    ） A．， B．， C．， D．， 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 4 分，共 24 分） 19．化简等于________. 20．已知向量不共线，，若，则_________. 21．已知向量，，，则______ 22．已知中，D为的中点，，若，则______. 23．已知向量，，则的最大值为__________. 24．已知向量与的夹角为，，，则_____． 三、解答题（本大题共 6 小题，共 72 分.要写出必要的文字说明，证明过程和演算步骤） 25．(本题10分)已知，，求： (1)； (2) 26．(本题10分)如图所示，. (1)用表示； (2)用表示. 27．(本题12分)已知向量. (1)求的值； (2)求的值. 28．(本题12分)已知向量，． (1)求； (2)若向量与平行，求的值． 29．(本题14分)已知，． (1)若，求； (2)若，求和夹角． 30．(本题14分)如图，在中，，，，点在线段上，且． (1)求的长； (2)求． 试卷第1页，共3页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！13 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：本套试卷紧扣《数学 拓展模块上册》（高教版第三版）教材，以教材章节为基准精准覆盖核心考点。 每个章节设置AB卷，A卷为基础巩固卷，侧重基础考点训练，帮助学生扎实掌握知识要点；B卷为能力提升卷，注重知识整合与全面检测，引导学生构建知识网络。全书设计4份综合测试卷，模拟实战情境，聚焦解题能力突破，全面提升应试能力与知识应用水平。 第二章 平面向量 （A卷·基础巩固） 考试时间：120分钟 满分：150分 班级 姓名 学号 成绩 一、选择题（本大题共18小题，每小题3分，共54分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1．是边长为2的等边三角形，则（    ） A． B． C． D．2 【答案】D 【分析】先将向量转化为共起点向量，再由向量内积的运算计算即可. 【详解】因为是边长为2的等边三角形， 所以的度数为，， 所以有. 故选:D. 2．化简（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】运用向量加法、减法运算求解即可. 【详解】 故选：C. 3．在中，为的中点，记，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意作图，结合向量的运算，可得答案. 【详解】   ， 故选：A. 4．已知，，，则（    ） A． B． C． D．1 【答案】C 【分析】由向量内积的定义计算即可. 【详解】． 故选:C. 5．已知两点、，求向量（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用向量的坐标运算可求. 【详解】因为、， 所以、， ； 故选：. 6．如图，四边形是平行四边形，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平面向量的加法、减法、数乘运算即可求解. 【详解】解：由图可知，， ∴． 故选：D. 7．已知＝（2，3），则点N位于（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．不确定 【答案】D 【详解】因为点M的位置不确定，则点N的位置也不确定． 8．已知向量，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据向量线性运算的坐标表示求解即可. 【详解】因为向量. 所以. 故选：D. 9．已知向量，，若向量，共线，则（    ） A． B． C． D．18 【答案】B 【分析】利用向量平行的坐标表示求参数即可. 【详解】向量，，若向量，共线， 则有，解得. 故选：B. 10．下列命题正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由向量的内积公式及向量内积的运算律逐项分析即可. 【详解】对于A：，当共线时成立，故A错误； 对于B：由可以得到，但是由得不到， 当时，，故B错误； 对于C：若，则或，故C错误； 对于D：由向量内积的运算律，可知，故D正确. 故选：D. 11．在中，为的中点，为边上靠近点的三等分点，记，用表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将分别用表示，再解出即可. 【详解】 由题知①， ②， ①＋3×②得， 故． 故选：D. 12．已知与的夹角为，则（    ） A．2 B． C．5 D．3 【答案】B 【分析】由，利用向量内积的运算律计算即可. 【详解】因为与的夹角为， 所以. 故选：B. 13．已知向量，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据向量线性运算和垂直的坐标表示，结合题意即可求解． 【详解】因为向量，， 选项A中，，故选项A错误； 选项B中，，故选项B错误； 选项C中，，故选项C错误； 选项D中，，，故选项D正确； 故选：D． 14．设向量，，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由向量直角坐标运算逐个计算即可判定选项. 【详解】对于选项A，，，所以，故A选项不正确； 对于选项B，，故B选项不正确； 对于选项C，因为，所以不平行，故C选不正确； 对于选项D，因， 所以，即. 故选：D. 15．已知点是的重心，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由点是的重心，则，有，可得结果. 【详解】点是的重心，则有，所以， 所以. 故选：D． 16．如图，在平面直角坐标系中，是函数图象的最高点，是的图象与轴的交点，则的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由向量加法以及正弦函数对称中心（零点）即可得解. 【详解】由题意以及题图可知，所以. 故选：B. 17．已知平面向量，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据向量的坐标计算向量的数量积和模长，再根据向量夹角公式求解. 【详解】因为平面向量，， 所以，， 又， 所以， 故选：D. 18．下列各组向量中，可以作为基底的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】根据基底需为不共线的非零向量，由此依次判断各个选项即可. 【详解】对于A，，不可以作为基底，A错误； 对于B，，共线，不可以作为基底，B错误； 对于C，与为不共线的非零向量，可以作为一组基底，C正确； 对于D，，共线，不可以作为基底，D错误. 故选：C. 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 4 分，共 24 分） 19．化简等于________. 【答案】 【分析】运用向量运算律计算即可. 【详解】 故答案为：. 20．已知向量不共线，，若，则_________. 【答案】 【分析】由平行向量基本定理即可得解. 【详解】由，不共线，故存在实数，使， 由， 即有， 即有，解得. 故答案为：. 21．已知向量，，，则______ 【答案】 【分析】利用向量坐标的线性运算与，向量平行的坐标表示可求参数. 【详解】因为向量，， 则， 因为，则，； 故答案为：. 22．已知中，D为的中点，，若，则______. 【答案】 【分析】利用向量的线性运算将用表示，由此即可得到的值，从而可得结果. 【详解】因为, 所以,故; 故答案为：. 23．已知向量，，则的最大值为__________. 【答案】 【分析】建立平面直角坐标系利用平面向量的几何意义求解即可. 【详解】如图建立平面直角坐标系,因为,故的轨迹是以为圆心,为半径的圆. 当不共线时,根据三角形性质有 故的最大值当且仅当共线时取得,此时.    故答案为： 【点睛】本题主要考查了平面向量的几何意义与性质.属于基础题. 24．已知向量与的夹角为，，，则_____． 【答案】 【分析】根据平面向量的内积求出，结合即可得解. 【详解】因为向量与的夹角为，，， 所以， 则． 故答案为：. 三、解答题（本大题共 6 小题，共 72 分.要写出必要的文字说明，证明过程和演算步骤） 25．(本题10分)已知，，求： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】根据向量线性运算的坐标表示，即可求解. 【详解】（1）由题意知，， 所以，， 所以. （2）由题意知，， 所以， 所以. 26．(本题10分)如图所示，. (1)用表示； (2)用表示. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据向量的减法法则和减法法则在几何中的应用即可求解； （2）根据相反向量的定义和向量的加法法则化简即可求解. 【详解】（1）因为， 所以. （2）因为， 所以. 27．(本题12分)已知向量. (1)求的值； (2)求的值. 【答案】(1)1 (2) 【分析】（1）根据向量内积的坐标表示求解即可； （2）根据向量的模长公式求解即可. 【详解】（1）因为向量， 所以. （2）因为，所以. 28．(本题12分)已知向量，． (1)求； (2)若向量与平行，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据已知条件求出，再利用向量模的公式即可求解. （2）根据已知条件求出，再利用向量平行的坐标表示列式即可求解. 【详解】（1）因为向量，， 所以，则． （2）因为， ， 又向量与平行，所以 ， 解得． 29．(本题14分)已知，． (1)若，求； (2)若，求和夹角． 【答案】(1) (2)（或） 【分析】（1）向量内积的定义式为（是与的夹角），时，夹角只有两种可能：（同向）或（反向），代值计算即可； （2）是与的夹角，由内积定义式，可推导出夹角的余弦值公式，计算出的值，根据夹角的取值范围找到对应的夹角即可． 【详解】（1）设是向量的夹角， ∵，∴（同向）或（反向）， 当时，，则； 当时，，则． 故或； （2）设是向量的夹角， ， ， ∵，且， ∴（或）． 30．(本题14分)如图，在中，，，，点在线段上，且． (1)求的长； (2)求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）用、表示，再根据、的长度和夹角可求出结果； （2）根据夹角公式可求出结果. 【详解】（1）设，， 则． ．故． （2）因为 ． 所以 试卷第1页，共3页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！13 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $