综合测试卷（四）-《数学 拓展模块一》（人教版） 单元过关卷（原卷版+解析版）

**基本信息** 紧扣教材章节，通过AB卷分层训练与综合测试卷整合跨章节知识，聚焦核心考点与解题能力提升，培养抽象能力、空间观念及运算能力。 **综合设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础巩固（A卷）|章节核心考点|侧重概念辨析与基本运算|遵循概念生成→公式推导→简单应用逻辑| |能力提升（B卷）|跨章节综合题|强调知识网络构建与方法迁移|体现知识点间内在联系（如向量与几何、数列与函数）| |综合测试卷|4份模拟卷|覆盖高频考点（数列、解析几何等）|整合知识应用与应试能力，培养理性思维与问题解决能力|

编写说明：本套试卷紧扣《数学 拓展模块一》（人教版）教材，以教材章节为基准精准覆盖核心考点。 每个章节设置AB卷，A卷为基础巩固卷，侧重基础考点训练，帮助学生扎实掌握知识要点；B卷为能力提升卷，注重知识整合与全面检测，引导学生构建知识网络。全书设计4份综合测试卷，模拟实战情境，聚焦解题能力突破，全面提升应试能力与知识应用水平。 综合测试卷（四） 考试时间：60分钟 满分：100分 班级 姓名 学号 成绩 一、单项选择题(本大题共15小题，每小题3分，共45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．设为虚数单位，则（　） A．0 B．1 C． D． 【答案】A 【分析】根据复数的运算法则计算即可. 【详解】 故选：A． 2．已知，则的值为（ ） A．- B． C． D． 【答案】A 【分析】法一：由二倍角余弦公式有，即可得；法二：由及二倍角余弦公式，即可得. 法一：由，则， 法二：由，则， . 故选：A． 3．已知向量，则的夹角的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，结合向量夹角的坐标表示，即可求解. 【详解】因为向量， 所以，， 所以， 又，所以. 故选：D. 4．若等比数列的各项都是正数，且，则（    ） A．32 B．16 C．8 D．4 【答案】D 【分析】由等比数列的等比中项公式即可求解. 【详解】解：由等比中项公式可得， . 因为等比数列的各项都是正数， 所以. 故选：D 5．已知抛物线的准线方程为，则抛物线的标准方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据抛物线的准线方程确定焦点位置和值即可求解. 【详解】因为抛物线的准线方程为，则抛物线焦点为即，解得， 因为抛物线焦点在轴正半轴上，则抛物线的标准方程为． 故选：B． 6．从甲、乙、丙、丁、戊五个人中选取三人参加演讲比赛，则甲、乙都当选的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先运用组合数计算出五个人中选取三人的基本事件的总数， 再得出甲、乙都当选的基本事件的数量，最后由古典概型的概率公式求值即可. 【详解】五个人中选取三人参加演讲比赛共有个基本事件， 甲、乙都当选的基本事件有个， 所以甲、乙都当选的概率为， 故选：C. 7．若等差数列的前项和为，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据等差数列的求和公式计算. 【详解】等差数列的前项和为. ，故得到. 故选：. 8．如图所示，在△ABC中，三条边长均为1，D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，则下列运算结果为单位向量的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平面向量线性运算和相等向量和相反向量计算出结果易得答案. 【详解】由题意得： 对于A：， 因为，故为单位向量； 对于B：，，故不是单位向量； 对于C：，故不是单位向量； 对于D：， 因为，故不是单位向量. 故选：A. 9．在△ABC中，角A，，所对的边分别是，，，若，则角A的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用余弦定理的推论求解. 【详解】，即， 由余弦定理的推论，可得， 又，. 故选：B. 10．某次抽奖活动中，参与者每次抽到中奖的概率均为，现甲参加3次抽奖，则甲恰好有一次中奖的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据中奖的概率为结合二项分布的公式求解即可. 【详解】某次抽奖活动中，参与者每次抽中奖的概率均为， 现甲参加3次抽奖，则甲恰好有一次中奖的概率为． 故选：C. 11．设等比数列的前项和为，若，，则（    ） A．66 B．65 C．64 D．63 【答案】B 【详解】解：由题知：，， ， 所以，，成等比数列，即5，15，成等比数列， 所以，解得. 故选：B. 12．已知，且A，B，C三点共线，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】C 【分析】利用向量共线去表示A，B，C三点共线，即可求得的值. 【详解】由，可得， 由A，B，C三点共线，则，则， 解之得， 故选：C 13．与椭圆共焦点且过点的双曲线方程是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据椭圆方程求出双曲线的半焦距，设出双曲线方程，根据点在双曲线上，列出方程组，即可得出双曲线的方程. 【详解】在椭圆中， 设双曲线方程为 因为双曲线与椭圆有相同的焦点且过点 且，解之可得 所以双曲线方程是 故选：B 14．某校准备下一周举办运动会，甲、乙、丙、丁4位同学报名参加这4个项目的比赛，每人只报名1个项目，任意两人不报同一个项目，甲不报名参加项目，则不同的报名方法种数有（    ） A．18 B．21 C．23 D．72 【答案】A 【分析】根据特殊元素优先安排的方法，先安顿好甲，再安排其他同学即可. 【详解】要做到每人只报名1个项目，任意两人不报同一个项目，甲不报名参加项目，可以分成两步完成： ① 让甲在三个项目中任选一个，有种方法； ② 让另外三个同学在剩下的三个项目中各任选一个，有种方法. 由分步乘法计数原理，可得符合条件的报名方法种数为. 故选：A. 15．如图，在三棱锥中，，且，E，F分别是棱，的中点，则和所成的角等于（ ） A．30° B． C． D． 【答案】B 【详解】通过平移将空间角转化为平面角，再解三角形. 【分析】如图所示，取BC的中点G，连接FG，EG． 分别是的中点， ，， 且，． 为与所成的角． 又，． 又，，， 为等腰直角三角形， ，即与所成的角为． 故选：B． 二、填空题(本大题共5小题，每小题3分，共15分). 16．设单位向量的夹角的余弦值为，则________. 【答案】/ 【分析】利用向量的数量积的运算法则直接计算即可得解. 【详解】因为单位向量的夹角的余弦值为，则， 所以， 则. 故答案为：. 17．已知展开式中第3项和第5项的二项式系数相等，则展开式中的常数项为 . 【答案】 【分析】由二项式系数性质求得，再由二项式定理求得常数项． 【详解】由题意，∴， 展开式通项公式为， 令得， ∴常数项为． 故答案为：240. 18．在等差数列中，若，则________. 【答案】 【分析】根据题意，结合等差数列的性质，及通项公式，即可求解. 【详解】设等差数列的公差为d，由，，得，，即，， 由，得，解得， 所以，所以. 故答案为：21. 19．已知直线是双曲线的一条渐近线，则该双曲线的离心率为________. 【答案】 【分析】根据题意可得，由即可得解. 【详解】由题意可知，所以. 故答案为：. 20．如图，在正方体中，为的中点，则与平面所成角的正切值为________.    【答案】 【分析】找出直线在平面内的射影，从而确定直线与平面所成的角，再结合正方体的性质进行计算. 【详解】连接，    因为正方体中，平面， 则直线在平面内的射影为， 所以是与平面所成的角， 设正方体的棱长为， 因为，为的中点，则， 所以， 在中，，， 可得：， 故答案为：. 三、解答题（本大题共4小题，每小题10分，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 21．已知数列满足，且前三项和为12. (1)求数列的通项公式； (2)设数列满足，求数列的前项和. 【答案】(1). (2). 【分析】（）根据题意结合等差数列的定义及通项公式即可得解. （）根据题意结合等比数列的定义及前项和公式即可得解. 【详解】（1）数列满足， 所以该数列为公差为的等差数列， 前三项和为12，则， 解得， 所以， 则数列的通项公式为. （2）数列满足， 则，， 所以该数列为等比数列，且首项为，公比为， 则. 22．如图所示，在正方体中，分别是线段的中点．求证：平面平面. 【答案】证明见解析 【分析】由题意得，而平面，所以平面，利用面面垂直的判定定理即可证得结论. 【详解】在正方体中，E，F分别是线段，的中点，则. 又因为平面，所以平面， 又因为平面，所以平面平面. 23．已知函数的部分图像如图所示．    (1)求与的值； (2)求函数在区间上的最大值与最小值． 【答案】(1)， (2)最大值为1，最小值为 【分析】（1）通过分析图像中的关键点坐标，根据正弦函数的最值和最小正周期，即可求解； （2）根据正弦函数的单调性，在定区间即可求解最大值与最小值. 【详解】（1）由图可知，函数的最高点纵坐标为1， 又因为，则； 观察图像，． （2）根据（1）知， 当时，， 令，则， 函数在单调递增，在单调递减， 当时，函数 ，取得最大值， 当时，函数， 当时，函数， ， 所以函数的最小值为. 即在区间上的最大值为1，最小值为． 24．已知椭圆的左右焦点分别为，经过左焦点右焦点且倾斜角为直线l与椭圆交于，两点， (1)求的周长； (2)求． 【答案】(1). (2). 【分析】（）根据题意作出图像，利用椭圆方程求出值，结合椭圆的定义及三角形周长公式即可得解. （）根据椭圆方程求出坐标，利用直线的点斜式方程求出直线方程，联立方程组求出的坐标，代入两点间距离公式即可得解. 【详解】（1） 如图所示，作出图像， 椭圆，焦点在轴上，且， 由椭圆的定义可知， ∴的周长为， 所以的周长为. （2）椭圆，，，，即， ∴，， 直线l的方程， 设，，联立， 整理得，解得 所以 ， 所以. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：本套试卷紧扣《数学 拓展模块一》（人教版）教材，以教材章节为基准精准覆盖核心考点。 每个章节设置AB卷，A卷为基础巩固卷，侧重基础考点训练，帮助学生扎实掌握知识要点；B卷为能力提升卷，注重知识整合与全面检测，引导学生构建知识网络。全书设计4份综合测试卷，模拟实战情境，聚焦解题能力突破，全面提升应试能力与知识应用水平。 综合测试卷（四） 考试时间：60分钟 满分：100分 班级 姓名 学号 成绩 一、单项选择题(本大题共15小题，每小题3分，共45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．设为虚数单位，则（　） A．0 B．1 C． D． 2．已知，则的值为（ ） A．- B． C． D． 3．已知向量，则的夹角的大小为（   ） A． B． C． D． 4．若等比数列的各项都是正数，且，则（    ） A．32 B．16 C．8 D．4 5．已知抛物线的准线方程为，则抛物线的标准方程为（   ） A． B． C． D． 6．从甲、乙、丙、丁、戊五个人中选取三人参加演讲比赛，则甲、乙都当选的概率为（    ） A． B． C． D． 7．若等差数列的前项和为，则等于（    ） A． B． C． D． 8．如图所示，在△ABC中，三条边长均为1，D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，则下列运算结果为单位向量的是（    ） A． B． C． D． 9．在△ABC中，角A，，所对的边分别是，，，若，则角A的大小为（   ） A． B． C． D． 10．某次抽奖活动中，参与者每次抽到中奖的概率均为，现甲参加3次抽奖，则甲恰好有一次中奖的概率为（   ） A． B． C． D． 11．设等比数列的前项和为，若，，则（    ） A．66 B．65 C．64 D．63 12．已知，且A，B，C三点共线，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 13．与椭圆共焦点且过点的双曲线方程是（ ） A． B． C． D． 14．某校准备下一周举办运动会，甲、乙、丙、丁4位同学报名参加这4个项目的比赛，每人只报名1个项目，任意两人不报同一个项目，甲不报名参加项目，则不同的报名方法种数有（    ） A．18 B．21 C．23 D．72 15．如图，在三棱锥中，，且，E，F分别是棱，的中点，则和所成的角等于（ ） A．30° B． C． D． 二、填空题(本大题共5小题，每小题3分，共15分). 16．设单位向量的夹角的余弦值为，则________. 17．已知展开式中第3项和第5项的二项式系数相等，则展开式中的常数项为 . 18．在等差数列中，若，则________. 19．已知直线是双曲线的一条渐近线，则该双曲线的离心率为________. 20．如图，在正方体中，为的中点，则与平面所成角的正切值为________.    三、解答题（本大题共4小题，每小题10分，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 21．已知数列满足，且前三项和为12. (1)求数列的通项公式； (2)设数列满足，求数列的前项和. 22．如图所示，在正方体中，分别是线段的中点．求证：平面平面. 23．已知函数的部分图像如图所示．    (1)求与的值； (2)求函数在区间上的最大值与最小值． 24．已知椭圆的左右焦点分别为，经过左焦点右焦点且倾斜角为直线l与椭圆交于，两点， (1)求的周长； (2)求． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $