第56卷 实系数一元二次方程的解法-考点训练卷 -2027年江西省三校生对口升学《数学考纲百套卷》（原卷版+解析版）

**基本信息** 聚焦实系数一元二次方程解法，以三阶递进训练体系为框架，通过概念辨析-计算应用-综合拓展的逻辑链条，培养数学思维与应用意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |概念辨析|5题是非选择|判断复数集解的存在性、韦达定理适用性等核心概念|从复数集解的性质切入，构建实系数方程根的概念体系| |基础计算|10题（单选5+填空5）|考查根的情况判断、韦达定理应用、虚根对称性及参数范围|通过判别式、求根公式实现概念到计算的转化| |综合应用|3题解答题|含参数方程求解、数学史应用（欧拉引入i）等综合问题|结合数学史渗透知识生成过程，提升问题解决能力|

编写说明：2027年江西省三校生对口升学考试《数学考纲百套卷》，严格依据《江西省“三校生”对口升学考试数学科目考试说明》，在近五年三校生升学考试数学真题分析的基础上进行编写。本专辑试卷采用三阶递进式训练体系：基础层拆解考点为微目标，紧扣考纲中考查内容及考查要求编写考点训练卷；巩固层强化知识综合，按考纲专题编专题训练卷；应用层聚焦真题突破，结合考纲与真题编写综合模拟卷。 江西省三校生对口升学考试《数学考纲百套卷》 第56卷 实系数一元二次方程的解法 考点训练卷 考试时间：60分钟 满分：100分 班级 姓名 学号 成绩 一、是非选择题：（本大题共5小题．每小题4分，共20分，对每小题的命题做出判断，对的选 A，错的选 B。） 1．实系数一元二次方程在复数集中总有两个解．…………………………………………………………(A B) 2．在复数集中，方程的解是和.……………………………………………………(A B) 3．韦达定理在复数集中不成立．………………………………………………………………………………(A B) 4．若是实系数一元二次方程的一个根，则…………………………(A B) 5．已知，是方程的两个根，则……………………………(A B) 二、单项选择题：本大题共5小题，每小题5分，共 25分。 6．实系数一元二次方程的根的情况是（    ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个虚根 D．有一个实根和一个虚根 7．已知，，若是方程的一个复数根，则该方程的另一个根为（    ） A． B． C． D． 8．设、是方程在复数集范围内的两个解，则（   ） A． B． C． D． 9．已知实系数一元二次方程的一个根是，则该方程可以是（    ） A． B． C． D． 10．已知复数 是方程的一个根，则（ ） A． B． C． D． 三、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分） 11．实系数一元二次方程（，，且）的两个虚根在复平面中关于__________对称.（填“实轴”或“虚轴”） 12.一元二次方程在复数范围内的根__________. 13．实系数一元二次方程的一个根是，则__________. 14．关于的一元二次方程有虚根，则的取值范围为__________. 15．为了解决“一元二次方程中无实根”的问题，瑞士数学家欧拉于年引入了一个新数“”，使“”，于是在时也有求根公式：“”，从而解决了世纪意大利数学家卡丹在其著作《大术》中提出的问题：“将分成两个数，使它们的乘积等于”，则这两个数分别为：_________，__________. 四、解答题：（本大题共3小题，共30分，解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤） 16．在复数集中，求解下列方程． (1)； (2) ． 17．已知是关于的方程的一个根． (1)求，的值； (2)若是纯虚数，求实数的值． 18．已知复数. (1)若是纯虚数，求的值； (2)若是方程的一个根，求. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2027年江西省三校生对口升学考试《数学考纲百套卷》，严格依据《江西省“三校生”对口升学考试数学科目考试说明》，在近五年三校生升学考试数学真题分析的基础上进行编写。本专辑试卷采用三阶递进式训练体系：基础层拆解考点为微目标，紧扣考纲中考查内容及考查要求编写考点训练卷；巩固层强化知识综合，按考纲专题编专题训练卷；应用层聚焦真题突破，结合考纲与真题编写综合模拟卷。 江西省三校生对口升学考试《数学考纲百套卷》 第56卷 实系数一元二次方程的解法 考点训练卷 考试时间：60分钟 满分：100分 班级 姓名 学号 成绩 一、是非选择题：（本大题共5小题．每小题4分，共20分，对每小题的命题做出判断，对的选 A，错的选 B。） 1．实系数一元二次方程在复数集中总有两个解．(A B) 【答案】A 【分析】根据实系数一元二次方程的解法即可判断. 【详解】当时，方程有两个不相等的实数根； 当时，方程有两个相等的实数根； 当时，方程没有实根，但有两个共轭的虚根. 所以实系数一元二次方程在复数集中总有两个解. 故选A. 2．在复数集中，方程的解是和.(A B) 【答案】B 【分析】根据复数的定义及性质求解即可. 【详解】因为而，所以是方程的解，不是方程的解，所以方程的解是. 故选B. 3．韦达定理在复数集中不成立．(A B) 【答案】B 【分析】由复数范围的韦达定理的应用即可得解. 【详解】韦达定理在复数集中仍然成立． 故选B. 4．若是实系数一元二次方程的一个根，则(A B) 【答案】A 【分析】根据根与系数关系易得答案 【详解】根据题意，也是方程的一个根，故，解得， 故选A. 5．已知，是方程的两个根，则(A B) 【答案】B 【分析】由复数范围内实系数一元二次方程的根及根与系数的关系即可得解. 【详解】， ，是方程的一对互为共轭复数的根， 且，， . 故选B. 二、单项选择题：本大题共5小题，每小题5分，共 25分。 6．实系数一元二次方程的根的情况是（    ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个虚根 D．有一个实根和一个虚根 【答案】C 【分析】根据一元二次方程的判别式判断根的情况即可. 【详解】解：∵， ∴方程有两个虚根. 故选：. 7．已知，，若是方程的一个复数根，则该方程的另一个根为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据实系数方程的虚数根即可求解. 【详解】∵方程的一个根是虚数， ∴， ∴方程有两个互为共轭复数的根， ∴该方程的另一个根是. 故选：B. 8．设、是方程在复数集范围内的两个解，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由复数范围内实系数一元二次方程的解法与根与系数的关系即可得解. 【详解】因为根与系数的关系在复数集范围内同样适用， 所以，. 故选：A. 9．已知实系数一元二次方程的一个根是，则该方程可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据实系数一元二次方程解的特征，结合韦达定理求解即可. 【详解】因为实系数一元二次方程的一个根是，所以另一个根为， 由题意设实系数一元二次方程为， 根据韦达定理可知，即， ，即， 所以实系数一元二次方程为， 故选：A. 10．已知复数 是方程的一个根，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】，是方程的两个根，由韦达定理可得，由模长运算可得结果. 【详解】因为是方程的一个根，所以是方程的另一个根， 所以， 则. 故选：B. 三、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分） 11．实系数一元二次方程（，，且）的两个虚根在复平面中关于__________对称.（填“实轴”或“虚轴”） 【答案】实轴 【分析】在复数范围内解一元二次方程，再结合复数的几何表示判断即可. 【详解】实系数一元二次方程（，，且） ∵方程有两个虚根，∴， ∴方程的虚根为， ∴方程的两个虚根互为共轭复数，两个共轭复数的点关于实轴对称. ∴方程的两个虚根在复平面中关于实轴对称. 故答案为：实轴. 12.一元二次方程在复数范围内的根__________. 【答案】 【分析】结合一元二次方程的解法，根据复数的概念求解. 【详解】由，得， 根据复数的概念得. 故答案为：. 13．实系数一元二次方程的一个根是，则__________. 【答案】-2 【分析】根据实系数方程的复数根即可求解. 【详解】∵实系数一元二次方程的一个根是虚数， ∴， ∴方程有两个互为共轭复数的根， ∴该方程的另一个根是. 由根与系数的关系可得，即. 故答案为：. 14．关于的实系数一元二次方程有虚根，则的取值范围为__________. 【答案】 【分析】根据判别式小于0列不等式进行求解即可. 【详解】一元二次方程有虚根， 则，解得，所以的取值范围为. 故答案为： 15．为了解决“一元二次方程中无实根”的问题，瑞士数学家欧拉于年引入了一个新数“”，使“”，于是在时也有求根公式：“”，从而解决了世纪意大利数学家卡丹在其著作《大术》中提出的问题：“将分成两个数，使它们的乘积等于”，则这两个数分别为：_________，__________. 【答案】 【分析】设这两个数分别为、，可得出这两个数为方程的两根，解此方程即可得解. 【详解】设这两个数分别为、，由题意可得，， 所以，、为关于的方程，即，即方程的两根，其中， 由求根公式可得，可取，. 故答案为：；. 四、解答题：（本大题共3小题，共30分，解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤） 16．在复数集中，求解下列方程． (1)； (2) ． 【答案】(1)，． (2)．，，， 【分析】（1）先求出判别式的大小，然后由求根公式求解，利用开方即可； （2）利用平方差公式在复数范围内分解因式，然后根据实系数一元二次方程的解法进行求解． 【详解】（1）由题意得，，，则， ∴方程有两个虚根． 由求根公式得，． 故，． （2）方程可化为， 所以或， 由得到，解得或， 由得到，解得或， 所以原方程在复数集中的根为，，，. 17．已知是关于的方程的一个根． (1)求，的值； (2)若是纯虚数，求实数的值． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）将代入方程中即可求； （2）利用实部为零虚部不为零可解. 【详解】（1）是关于的方程的一个根， ，即， ，解得； （2）由（1）可知，， 是纯虚数， ，解得． 18．已知复数. (1)若是纯虚数，求的值； (2)若是方程的一个根，求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据纯虚数的特征即可求解， （2）根据复数根的求解，进而由模长公式即可求解. 【详解】（1）为纯虚数，所以 （2）方程变形为，所以， 所以 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $