专题17 任意角的三角函数（讲义）-2027年湖北省（技能高考）《数学一轮讲练测》（原卷版+解析版）

编写说明：2027年湖北省（技能高考）《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年湖北省技能高考 《数学一轮讲练测》复习讲义 专题17 任意角的三角函数 【复习目标】 1.理解任意角的正弦函数、余弦函数和正切函数的概念； 2.理解各象限角的三角函数值的正负号，特殊角（含界限角）的三角函数值。 【考点1 任意角的三角函数定义】 1. 任意角三角函数定义：在平面直角坐标系中，设为任意角，角终边上任意不与原点重合的一点为，点P到原点的距离.由相似三角形性质可知，相关比值仅由角 决定，与点P在终边上的 无关.据此定义： 正弦： ；余弦： ；正切： （） 2. 三角函数定义域：正弦函数、余弦函数的定义域为 ；正切函数的定义域为 . 3. 三角函数符号规律：根据角终边所在象限，可判断三角函数值正负，口诀： . 即：第一象限全正，第二象限正弦为正，第三象限正切为正，第四象限余弦为正. 【即时训练】 一、单项选择题 1. 已知角终边上一点，则的值为（ ） A. B. C. D. 2. 已知角终边上一点，根据三角函数定义，的值为（ ） A. B. C. D. 3. 下列角中，正切值存在的是（ ） A. 90° B. 270° C. 180° D. 二、多项选择题 4. 已知角为第二象限角，下列三角函数值符号正确的是（ ） A. B. C. D. 三、填空题 5. 已知角终边过点，则 ， . 6. （1）判断三角函数值的符号： ____0，_____0； （2）已知，，则角是第____象限角. 四、解答题 7. 已知角为第二象限角，其终边上一点的横坐标为，.求角的正弦、余弦和正切值. 8. 已知角的终边在射线上，求角的正弦、余弦和正切值. 【考点2 单位圆与三角函数】 1. 单位圆定义：在平面直角坐标系中，以坐标原点为圆心，1个单位长度的圆叫做 ，是研究三角函数的重要工具. 2. 单位圆三角函数定义：设任意角的终边与单位圆交于点，此时点P到原点距离，结合任意角三角函数定义可得：；；（）.即单位圆上，角α终边交点坐标为 . 3. 常用特殊角与界限角三角函数值：可利用单位圆推导、熟记0°、90°、180°、270°、360°等界限角，以及30°、45°、60°常用特殊角的三角函数值，部分界限角正切值不存在，具体数值如下表： 角度 0° 30° 45° 60° 90° 180° 270° 360° 0 1 0 -1 0 1 0 -1 0 1 0 1 不存在 0 不存在 0 【即时训练】 一、单项选择题 1. 单位圆中，30°角的终边与单位圆交点坐标为（ ） A. B. C. D. 2. 若角的终边跟单位圆的交点是，则（ ） A. B. C. D. 3. 如图所示，在平面直角坐标系中，角的终边与单位圆交于点，点的纵坐标为，（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题 4. 关于单位圆与三角函数，下列说法正确的有（ ） A. 单位圆半径为1 B. 角终边与单位圆交点坐标为 C. 180°角的正切值不存在 D. 0°角的正弦值为1 三、填空题 5. 单位圆中，180°角终边交点坐标为 ， . 6. 计算：（1）_____________； （2）_____________. 四、解答题 7. 计算： （1） ； （2）. 1.（2022年湖北省技能高考第20题）已知角的终边经过点，则（ ） A. B. C. D. 2.（2021年湖北省技能高考第29题第1小题）求 的值. 3.（2020年湖北省技能高考第30题第1小题）计算 的值. 4.（2014年湖北省技能高考第27题）若角，则下列结论中正确的是（ ） A.且 B.且 C.且 D.且 5.（2014年湖北省技能高考第33题第2小题）设点在角的终边上，且，求的值. 6.（2014年湖北省高职统考第4题）下列各点中在角终边上的是（ ） A. B. C. D. 7.（2013年湖北省高职统考第4题）若，且，则下列各角中与角终边相同的是（ ） A. B. C. D. 8.（2011年湖北省技能高考第28题）若角的终边过点，则等于（ ） A. B. C. D. 9.（2007年湖北省高职统考第4题）满足且的角所在的象限为（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2027年湖北省（技能高考）《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年湖北省技能高考 《数学一轮讲练测》复习讲义 专题17 任意角的三角函数 【复习目标】 1.理解任意角的正弦函数、余弦函数和正切函数的概念； 2.理解各象限角的三角函数值的正负号，特殊角（含界限角）的三角函数值。 【考点1 任意角的三角函数定义】 1. 任意角三角函数定义：在平面直角坐标系中，设α为任意角，角α终边上任意不与原点重合的一点为，点P到原点的距离.由相似三角形性质可知，相关比值仅由角α 大小 决定，与点P在终边上的 位置 无关.据此定义： 正弦：；余弦：；正切：（） 2. 三角函数定义域：正弦函数、余弦函数的定义域为 全体实数R ；正切函数的定义域为. 3. 三角函数符号规律：根据角α终边所在象限，可判断三角函数值正负，口诀： 一全正、二正弦、三正切、四余弦 .即：第一象限全正，第二象限正弦为正，第三象限正切为正，第四象限余弦为正. 【即时训练】 一、单项选择题 1. 已知角终边上一点，则的值为（ ） A. B. C. D. 【考点】任意角三角函数的定义 【答案】B 【解析】由题意得，，根据定义，故选B. 2. 已知角终边上一点，根据三角函数定义，的值为（ ） A. B. C. D. 【考点】任意角三角函数的定义 【答案】D 【解析】由题意得，，根据三角函数定义，故选D. 3. 下列角中，正切值存在的是（ ） A. 90° B. 270° C. 180° D. 【考点】正切函数的定义域应用 【答案】C 【解析】正切函数定义域为，90°、270°、均使正切无意义，180°正切值为0，存在意义.故选C. 二、多项选择题 4. 已知角为第二象限角，下列三角函数值符号正确的是（ ） A. B. C. D. 【考点】各象限三角函数符号规律应用 【答案】ABD 【解析】根据三角函数符号规律：第二象限角正弦为正、余弦为负、正切为负，因此，，，.故选ABD. 三、填空题 5. 已知角终边过点，则 ， . 【考点】三角函数定义的综合计算 【答案】； 【解析】，，，. 6. （1）判断三角函数值的符号： ____0，_____0； （2）已知，，则角是第____象限角. 【考点】象限角的三角函数符号 【答案】（1），；（2）三 【解析】（1）利用终边相同的角化简 ， ∵，∴ 是第四象限角，∴是第四象限角，即 ； ∵ ，∴ 是第二象限角，即. （2）根据象限角的三角函数符号规律：已知，在第三、四象限；已知，在第一、三象限. 同时满足，在第三象限. 四、解答题 7. 已知角为第二象限角，其终边上一点的横坐标为，.求角的正弦、余弦和正切值. 【考点】任意角的三角函数的定义 【答案】，， 【解析】设点的坐标为，由题意知：横坐标，点到原点的距离. 根据任意角的三角函数定义，由，两边平方得：，解得. 因为角为第二象限角，第二象限内点的纵坐标为正，故. 根据三角函数定义：，，. 8. 已知角的终边在射线上，求角的正弦、余弦和正切值. 【考点】任意角的三角函数的定义 【答案】，， 【解析】在射线上任取一点，取（因，取非零值即可），则，即点坐标为. 计算点到原点的距离：， 根据三角函数定义：，，. 【考点2 单位圆与三角函数】 1. 单位圆定义：在平面直角坐标系中，以坐标原点为圆心，1个单位长度的圆叫做 单位圆 ，是研究三角函数的重要工具. 2. 单位圆三角函数定义：设任意角的终边与单位圆交于点，此时点P到原点距离，结合任意角三角函数定义可得：；；（）.即单位圆上，角α终边交点坐标为. 3. 常用特殊角与界限角三角函数值：可利用单位圆推导、熟记0°、90°、180°、270°、360°等界限角，以及30°、45°、60°常用特殊角的三角函数值，部分界限角正切值不存在，具体数值如下表： 角度 0° 30° 45° 60° 90° 180° 270° 360° 0 1 0 -1 0 1 0 -1 0 1 0 1 不存在 0 不存在 0 【即时训练】 一、单项选择题 1. 单位圆中，30°角的终边与单位圆交点坐标为（ ） A. B. C. D. 【考点】单位圆上角的坐标对应关系 【答案】B 【解析】单位圆中，角终边交点坐标为，，，故交点坐标为，选B. 2. 若角的终边跟单位圆的交点是，则（ ） A. B. C. D. 【考点】任意角的三角函数的定义（单位圆法） 【答案】A 【解析】根据单位圆中三角函数的定义：设角的终边与单位圆的交点坐标为，则，已知交点为，即，，因此：，对应选项为 A. 3. 如图所示，在平面直角坐标系中，角的终边与单位圆交于点，点的纵坐标为，（ ） A. B. C. D. 【考点】任意角的三角函数的定义（单位圆法） 【答案】D 【解析】设点的坐标为，因为点在单位圆上，所以满足单位圆方程：，已知点的纵坐标，且由图可知点位于第二象限，因此横坐标.将代入单位圆方程：，结合，可得. 根据三角函数的定义，，因此：，对应选项为 D. 二、多项选择题 4. 关于单位圆与三角函数，下列说法正确的有（ ） A. 单位圆半径为1 B. 角终边与单位圆交点坐标为 C. 180°角的正切值不存在 D. 0°角的正弦值为1 【考点】单位圆三角函数核心性质 【答案】AB 【解析】A正确，单位圆定义为以原点为圆心、1个单位长度为半径的圆；B正确，单位圆终边交点坐标为；C错误，180°角正切值为0，存在；D错误，0°角正弦值为0.故选AB. 三、填空题 5. 单位圆中，180°角终边交点坐标为 ， . 【考点】特殊角的单位圆三角函数值 【答案】(-1,0)；0 【解析】180°终边与单位圆交于x轴负半轴，坐标为(-1,0)，根据单位圆定义，故. 6. 计算：（1）_____________； （2）_____________. 【考点】特殊角、界限角的三角函数值计算 【答案】（1）；（2）. 【解析】（1）根据特殊角的三角函数值：，，，. 代入计算：原式=； （2）根据特殊角的三角函数值：，，，故，，. 代入计算：原式=. 四、解答题 7. 计算： （1） ；（2）. 【考点】特殊角、界限角的三角函数值 【答案】（1）；（2） 【解析】（1）特殊角的三角函数值： ， 代入计算：原式； （2）特殊角、界限角的三角函数值： ，，，，，，，，，， 代入计算：原式. 1.（2022年湖北省技能高考第20题）已知角的终边经过点，则（ ） A. B. C. D. 【考点】任意角的三角函数的定义 【答案】D 【解析】根据正切函数的定义：角终边上一点，则. 已知，，代入得：. 2.（2021年湖北省技能高考第29题第1小题）求 的值. 【考点】特殊角的三角函数值 【答案】 【解析】由特殊角的三角函数值，得 ，，，， 所以，原式=. 3.（2020年湖北省技能高考第30题第1小题）计算 的值. 【考点】特殊角的三角函数值计算 【答案】 【解析】常用特殊角三角函数值：， . 4.（2014年湖北省技能高考第27题）若角，则下列结论中正确的是（ ） A.且 B.且 C.且 D.且 【考点】任意角的三角函数的符号判断 【答案】A 【解析】先判断角所在的象限：∵，∴是第三象限角. 根据三角函数符号规律：第三象限角中，正弦、余弦均为负数，即且. 5.（2014年湖北省技能高考第33题第2小题）设点在角的终边上，且，求的值. 【考点】任意角的三角函数的定义 【答案】 【解析】设点到原点的距离为，则： 根据正弦函数的定义：，结合已知，可得： 因为，两边同时除以：，两边平方得： 解得，即，因此. 根据余弦函数的定义： 6.（2014年湖北省高职统考第4题）下列各点中在角终边上的是（ ） A. B. C. D. 【考点】任意角的三角函数的定义 【答案】B 【解析】∵，∴是第三象限角，排除C、D选项. 根据三角函数定义，终边上点满足：，即故点在终边上. 7.（2013年湖北省高职统考第4题）若，且，则下列各角中与角终边相同的是（ ） A. B. C. D. 【考点】三角函数的定义、终边相同的角 【答案】B 【解析】根据三角函数定义，角终边上取点，由，得 在区间内，角在第三象限的角平分线上，故角. 终边相同的角相差，B选项：，与终边相同； 其他选项：，，，均不满足. 8.（2011年湖北省技能高考第28题）若角的终边过点，则等于（ ） A. B. C. D. 【考点】任意角的三角函数的定义 【答案】C 【解析】点到原点的距离： 根据三角函数定义：，因此：. 9.（2007年湖北省高职统考第4题）满足且的角所在的象限为（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【考点】任意角的三角函数的符号判断 【答案】D 【解析】：角的终边在第三、四象限或轴负半轴； ：角的终边在第二、四象限； 两者的交集为第四象限，故角在第四象限. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $